iii. Ακόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α

Transcript

1 . ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ετός από τις λασσιές, θυμηθείτε υρίως τις δύο παραάτω : α β α β α αβ β α β α β α αβ β, αλλά αι τη γειότητα: α β α β α α β α β... αβ β, α,β,.. ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ορισμοί σχέσεις συμπεράσματα) α, α α 0 i. Ισχύου : α, α α, α α α. α, α α 0 α α ii. Επίσης : αβ α β,, αλλά α β α β α β. β β Στη τελευταία σχέση, τα ίσο ισχύου α οι α,β είαι ετερόσημοι ή ομόσημοι. iii. Αόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α iv. Προσοχή!!!!! α α για άθε άρτιο φυσιό. v. y 0 0 αι y 0. Στο ίδιο συμπέρασμα αταλήγουμε α : 0 v v y ή y 0, δηλαδή y 0. vi. f() a a f() a, όπου α 0. vii. f() θ f() θ ή f() θ.. ΡΙΖΕΣ Προσοχή στη περίπτωση όπου έχουμε: αρητιός αι μπορούμε α το γράψουμε στη μορφή : α. Α το είαι περιττός, τότε το α είαι απαραίτητα μη * α α,. Α το είαι άρτιος, τότε δε πρέπει απαραίτητα το α α είαι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδεός, οπότε διαρίουμε δύο περιπτώσεις, προειμέου α βγάλουμε τη ρίζα από το συμβολισμό: α α, α α 0 α, α α 0 δύο πιο περίεργες: Γειά, μπορείτε α χρησιμοποιείτε τις γωστές ιδιότητες, αλλά αι τις ρ ρ * α α αι α α εώ α β α β για άθε α,β 0,,. 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 0 ο 45 ο 60 ο ημ συ εφ 0 ο 90 ο 80 ο 70 0 ημ συ 0-0 εφ σφ - 0-0

2 i. Βασιές τριγωομετριές ταυτότητες: ημχ συχ ημ χ συ χ, εφχ, σφχ, εφχ σφχ, εφ χ, σφ χ συχ ημχ συ χ ημ χ ii. Τύποι αθροίσματος διαφοράς (ποτέ δε ξέρεις) αι αποτετραγωισμού διπλάσιου τόξου (που πρέπει οπωσδήποτε α ξέρεις!) ημ(α β) ημασυβ ημβσυα ημ(α β) ημασυβ ημβσυα συ(α β) συασυβ ημαημβ συ(α β) συασυβ ημαημβ εφα εφβ εφα εφβ εφ(α β) εφ(α β) εφαεφβ εφαεφβ εφα συχ συχ ημα ημασυα, συα συ α ημ α συ α ημ α, εφα ημ χ, συ χ. εφ α iii. Λύσεις τριγωομετριώ εξισώσεω: ημχ ημα χ π α ή χ π π α συχ συα χ π α εφχ εφα ή σφχ σφα χ π α, όπου. Προσοχή στις περιπτώσεις : ημχ 0 χ π, συχ 0 χ π π iv. Ααγωγή στο ο τεταρτημόριο Ότα έχεις π/ ή π/, αλλάζεις τριγωομετριό, α έχεις π ή π, το αφήεις ίδιο. Για το πρόσημο, ρίεις από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσεσαι. Παραθέτω μεριούς τύπους, όχι για παπαγαλία, αλλά για α μάθετε το τρόπο οιτώτας το ο μέλος, α μπορείτε α «βγάλετε» το ο αι όχι α το θυμηθείτε. ημ(π χ) ημχ, συ(π χ) συχ, εφ(π χ) εφχ, σφ(π χ) σφχ συ(π χ) συχ, ημ( χ) ημχ, εφ( χ) εφχ, σφ( χ) σφχ, αλλά συ( χ) συχ π ημ( χ) συχ, συ(π / χ) ημχ, εφ(π / χ) σφχ, σφ(π / χ) εφχ π π π συ( π / χ) ημχ, ημ( χ) συχ, εφ( χ) σφχ, σφ( χ) εφχ 5. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ i. f() a, a 0, a, f : 0,, f γήσια αύξουσα α α, γήσια φθίουσα α 0 α. άτι ln(άτι) ii. f() ln, f : 0,, f γήσια αύξουσα, ln 0, ln, ln άτι k ln ln y ln(y), ln ln y ln( / y), ln kln.

3 ΣΤ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ i. Δευτεροβάθμιες εξισώσεις β Δ α β α αχ βχ γ 0 Δ β 4αγ, για Δ 0 είαι : χ, αχ βχ 0 χ αχ β 0 χ 0 ή χ αχ β 0. Λύουμε ως προς χ, τη φέρουμε στη μορφή χ θ αι εφόσο θ 0, τότε χ θ. ii. Εξισώσεις ου αι άω βαθμού. Παραγοτοποιούμε αι μετατρέπουμε τη παράσταση σε γιόμεο παραγότω έως δεύτερου βαθμού ή άουμε σχήμα Hornr. Ζ. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ i. Στα δύο μέλη μιας αίσωσης, μπορούμε α προσθέσουμε ή α αφαιρέσουμε το ίδιο αριθμό χωρίς α αλλάξουμε τη φορά, μπορούμε επίσης α πολλαπλασιάσουμε ή α διαιρέσουμε με το ίδιο θετιό αριθμό, επίσης χωρίς α αλλάξουμε τη φορά. Α όμως διαιρέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε με το ίδιο αρητιό αριθμό, πρέπει α αλλάξουμε τη φορά. Με σύμβολα: Α α β, τότε α γ β γ, α γ β γ, αι εφόσο γ 0, ισχύει ότι α β α β αγ βγ αι, εώ, α γ 0, είαι αγ βγ αι. γ γ γ γ ii. Μεταξύ τω μελώ δύο αισώσεω, σε αμιά περίπτωση δε επιτρέπεται η αφαίρεση αι η διαίρεση. Επιτρέπεται, εφόσο μιλάμε για ομοιόστροφες αισώσεις, η πρόσθεση ατά μέλη αι με τη προϋπόθεση ότι όλα τα μέλη είαι θετιές ποσότητες ο πολλαπλασιασμός ατά μέλη. Συμβολιά: Α α β αι γ δ τότε α γ β δ αι, εφόσο α,β, γ, δ θετιοί, α γ β δ iii. Ισχύου επίσης οι σχέσεις : Α α,β ομόσημοι, τότε α β αι α β α α,β θετιοί αι φυσιός, α β α β. Τέλος, α περιττός, τότε α β α β για άθε α,β. v v iv. Προσοχή στο εξής: Α, τότε, εώ, α 0 ισχύει ότι. v. Για α λύσουμε αίσωση ου βαθμού, θυμόμαστε τις τρεις περιπτώσεις: - Α Δ<0, το τριώυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο, ίδιο με του α. Οπότε η απάτηση στη αίσωση είαι πως ισχύει για άθε χ πραγματιό ή πως είαι αδύατη. - Α Δ=0, το τριώυμο γράφεται σε μορφή ταυτότητας, οπότε είαι (χ λ) 0 για άθε χ. - Α Δ>0 ή βρούμε δύο ρίζες (με οιό παράγοτα, διαφορά τετραγώω ή «μάτι») τότε πρι απατήσουμε στη αίσωση, φτιάχουμε πιαάι, όπου για τιμές του χ μεταξύ τω ριζώ το τριώυμο είαι ετερόσημο του α αι ομόσημο του α πατού αλλού.

4 Η. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΗΛΙΚΟ Μιλάμε για αισώσεις της μορφής 0 Α(χ) Α(χ) Γ(χ) ή. Β(χ) Β(χ) Δ(χ) i. Για τη μορφή: Α(χ) Α(χ) Β(χ) 0 0. Εφόσο τα Α(χ), Β(χ) είαι μέχρι δευτέρου βαθμού, Β(χ) Β(χ) 0 φτιάχουμε πιαάι αι συμπληρώουμε τα πρόσημα. Α είαι μεγαλύτερου βαθμού παραγοτοποιούμε ή άουμε Hornr για α μειώσουμε το βαθμό. ii. Για τη μορφή: Α(χ) Γ(χ) Α(χ) Γ(χ) 0. Κάουμε ομώυμα, οπότε το φέρουμε στη Β(χ) Δ(χ) Β(χ) Δ(χ) Ε(χ) μορφή 0 αι αολουθούμε τη πρώτη περίπτωση. Ζ(χ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να μετατρέψετε σε γιόμεο τις παραάτω παραστάσεις: 6 a. 8 7 b. 8 c. 64 d. 7 y. 6 f. ( ) 4 Απατήσεις : α. ( χ ) ( 4χ 6χ 9) β. (χ )(χ χ 4) γ. (χ 4)(χ 4χ 6) δ. ( χ y)( 9 y y ) ε. ( χ 4χ)( χ 4χ) ( χ)( 6χ ) στ. ( χ χ )( χ χ ) (χ )( 5χ ). Να συμπληρώσετε με τις ατάλληλες παραστάσεις το πίαα που αολουθεί: ή ή ά Να λύσετε τις παραάτω εξισώσεις-αισώσεις. b. c. 4 d.. f. a., b. c., 4 5 d.. ή 5 f. 0

5 4. Να λύσετε τις παραάτω αισώσεις:. 5 0 b. 5 0 c. 4 0 d f g h. 4 0 i. 0 k l. 7 0 m. 0 Απατήσεις : a. b. αδύατη c. (, 4] [ 0, ) d. [ 0, ]. (, 0] [, ) f. αδύατη g. h. i. (, ) k. (, ] [, ) l. ( 7, 7) m. (, ] [, ) 5. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε οι παραάτω αισώσεις α ισχύου για άθε α πραγματιό αριθμό: 5. a a a 0 (A : a (, ) b. a a 0 ( : a (,)) 6. Να συμπληρώσετε τις παραάτω ισότητες: ή : Α ισχύου οι σχέσεις: y 4, ί ύ ώ ί ά :. y b. y c. 0 y d.. y ή :. y 7 b. y 8 c. 0 y y d y 4 y 8. Να λύσετε τις παραάτω αισώσεις: a. 0 b. 0 c. ( ) 8 ή : a. (, ] [,] b. (, ] (,] c. (, ) (, ) 9. Να λυθού οι παραάτω τριγωομετριές εξισώσεις: π χ π π α. ημχ 0 (χ ) β. συ 0 (χ π π) γ. εφχ (χ ) π π π δ. ημχ συχ (χ ) ε. συχ (χ π ) 8 π π π π στ. ημχ συχ (χ ) ζ. ημχ (χ π ή χ π ) 6 π π π π ) 4 8 η. ημ χ ημχ 0 (χ π ) θ. ημχ συχ (χ π ή χ

6 0. Να λύσετε τις παραάτω ομάδες εξισώσεω αισώσεω: ln ln 0 ln ln ( ) 0 ( ) f. ( ) (ln ) ln 0 (ln ) ln 0 α. b. c. ln ln d. ln ln. ( ) Απατήσεις: c. ή ή, ή ή, 0 ή ln d. (, ) (, ), (, ] [, ], (, 0] [ln, ) *., 0, ή ή f.,, [, ] 4 4 α. χ χ, ln, ή b. [, ], [ln, ), (, ) (, ). Να λύσετε τις παραάτω αισώσεις: α. 0 Απατ.: (, ) [, ) β. 0 Απατ. : (, ) (, ) γ. 4 Απατ. : (, ] ( 0, ) [, ) δ. 0 Απατ. : (, ) (, ) [, ) ε Απατ. : [, ) (, ). Α ισχύου οι σχέσεις: αι y, α βρείτε μεταξύ ποιω τιμώ βρίσοται οι ποσότητες : y α. y Aπ : ( 5, ) β. Απ : (, ) γ. y Απ :( 7, 5 )

7 . Να λύσετε τις παραάτω αισώσεις: α. 5 ( (, ) (, ) ) b. [ 0, ] [, ] c. 0 (, ) d. ln ( ln ) ( ) ln 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΕΔΙΑ ΟΡΙΣΜΟΥ Να βρείτε τα πεδία ορισμού τω παραάτω συαρτήσεω: ln( ) a. f() b. f() c. f() ln d. f() ln ln( ). f() f. f() ln g. f() 4 h. f() ln( ln) i. f() ln ln j. f() ln k. f() ln ln l. f() a.[, ) b. (,0) (0,) c. (0,) (, ) d.[, / ]. [0,ln] f. (,) g. (, 4] {0} [, ) h. (, ) i. [ln, ] j. (, ) k.(0, / ] [, ) l. [,) (, ) Απατήσεις: