4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ"

Ανάργυρος Δελή
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε: Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. Β. α) Αν Δ(x) = δ(x) π(x), δηλαδή αν το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο (υ(x) = 0), τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x). Το δ(x) λέγεται επίσης παράγοντας του Δ(x) ή διαιρέτης του Δ(x) και η διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέγεται τέλεια. Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ A. Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x ρ ισχύουν τα εξής συμπεράσματα: α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Ισχύει δηλαδή ότι: υ = Ρ(ρ) β) Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Για να βρούμε λοιπόν το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x ρ), αρκεί να βρούμε το Ρ(ρ). Αν Ρ(ρ) = 0, τότε το x ρ είναι παράγοντας του P(x) και αντιστρόφως. Τονίζουμε ότι: ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [1]

πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. Β.

2 Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + α) είναι υ = Ρ(-α). δευτέρου ή Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (αx + β) είναι, όπου α 0. Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν, αν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερου βαθμού. Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x). Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i. Το P(x) διαιρείται με το x ρ. ii. iii. Το x ρ διαιρεί το P(x). Το x ρ είναι διαιρέτης του P(x). iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x ρ. v. Το x ρ είναι παράγοντας του P(x). vi. vii. Η διαίρεση του P(x) με το x ρ είναι τέλεια. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x). viii. Ισχύει ότι Ρ(ρ) = 0. ix. Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x ρ) είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλες μαζί. Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η πρόταση Ρ(ρ) = 0 είναι αμέσως αξιοποιήσιμη. Γ. Έστω P(x) = α ν x ν + α ν-1 x ν α 1 x + α 0, με α ν 0. Αν ρ 1, ρ,, ρ ν είναι οι ρίζες του P(x), τότε ισχύει ότι: P(x) = α ν (x ρ 1 )(x ρ ) (x ρ ν ) ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ []

Το x ρ διαιρεί το P(x). Το x ρ είναι διαιρέτης του P(x). iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x ρ. v. Το x ρ είναι παράγοντας του P(x). vi. vii. Η διαίρεση του P(x) με το x ρ είναι τέλεια.

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑ 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. α) (x 4 + x 3 + 3x + x + 7) : (x + 1) β) (x 4 x 3 + 5x 4x + 6) : (x x + 3) γ) (x 5 + x 4 + x 3 + x + 4x + ) : (x + x + 1) δ) (3x 3-4αx + α ) : (x - α) ε) [7x 3 - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α). Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x +1 δίνει πηλίκο 3x+ και υπόλοιπο -x Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x 4 +1 να διαιρείται ακριβώς με x +κx+λ. 4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : 4 i) x x 5x 3x 14 : (x ) ii) x x 7x 5 : (x 1) 5 iii) x 3x x 1 : (x 1) iv)5x x 3 : (x ) 5. Να βρείτε το,ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου: 3 P(x) x ( 3)x 3 3με το x 1,να είναι Να βρείτε α, β,ώστε το πολυώνυμο 4 P(x) x 1 x (3 )x 7 x 10,να έχει παράγοντες τους x 1 και x. 7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x 014 x 01 + x x - α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x 1. γ) Ποιο από τα πολυώνυμα x + 1 και x 1 είναι διαιρέτης του P(x); ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [3]

Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x +1 δίνει πηλίκο 3x+ και υπόλοιπο -x+3. 3. Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x 4

4 8. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x (1)x ( )x 1.Να βρείτε τα α, β, ώστε το P(x),να έχει παράγοντα το x1και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x 1,να είναι Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο 4 x x 3 x 3 x 5x 6να παράγοντα το x +x Αν το x-3 είναι παράγοντας του Ρ(x), να δείξετε ότι το x- είναι παράγοντας του Q(x)=Ρ(4x-5). 11. Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : x 4x 3 είναι Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο x -x δίνει υπόλοιπο x+1, να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x):x και Ρ(x):x Αν οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου Ρ(x) με τα x+1 και x- δίνουν αντίστοιχα υπόλοιπα 3 και -3, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x -x-). 14. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) x 5x 9x 18 διαιρείται με το γινόμενο (x )(x 3) και να βρείτε το πηλίκο. 15. Να βρείτε το α, β,ώστε το πολυώνυμο P(x) x x x 6,να διαιρείται με το γινόμενο (x )(x 3). 16. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο x 1 x. Px x x 1 x 5 να έχει για παράγοντα το 17. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να δείξετε ότι το 4 P(x) x x x 7x 5 έχει παράγοντα το (x 1). 18. Να βρείτε το α, β,ώστε το πολυώνυμο P(x) x 5x x 1,να έχει παράγοντα το (x ). 19. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο x. Px x x 3 x 10 να έχει για παράγοντα το ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [4]

Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : x 4x 3 είναι 5. 1.

5 Β ΟΜΑΔΑ 0. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x ν+1 (ν + 1)x + ν όπου νn *. Να αποδείξετε ότι: α) το P(x) έχει παράγονται το x 1, β) το P(x) διαιρείται με το (x 1). 1. Αν το πολυώνυμο P (x) = αx ν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) x ν - νx ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1). 3. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο το x x P(x) (1 3 )x 3 x 1 διαιρείται με 4. Να βρείτε τους λ,μr ώστε το πολυώνυμο x 4 +(λ-μ)x 3 +λx -5x+4 να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x Δίνεται το πολυώνυμο Px xx x 1 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px με το 3 Q x x 3x x β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του Δίνεται το πολυώνυμο Px x 4 x 5. α) Να αποδείξετε ότι το x3 είναι παράγοντας του Px β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 11 είναι πολλαπλάσιο του γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το Ένα πολυώνυμο P(x) έχει την ιδιότητα: xp(x + 1) + (x + )P(x + 3) = x 5 -x -10 για κάθε xr. i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με τα x 3 και x + 1. ii) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο: Q(x) = x x 3 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [5]

β) το P(x) διαιρείται με το (x 1). 1. Αν το πολυώνυμο P (x) = αx ν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x - 1.

6 8. Δίνονται τα πολυώνυμα : Qx 1 ax x a 1 x 5 P x x ax 1 a x 4και.Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με το x-1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. α) Να βρείτε τον αριθμό a β) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε: i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x) ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το x Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι διαιρείται ακριβώς με (x-α)(x-β). 30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες: α. Υπάρχει α τέτοιο ώστε P(α)-1=Q(α)-1=0. β. P(x)=Q(x)+Q(P(x))+P(Q(x)). Να δείξετε ότι το πολυώνυμο R(x)=P(x)+Q(x) διαιρείται με x Αν Π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α), να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α) είναι υ(x)=π(α)x+ρ(α)-απ(α). 3. Αν τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x): (x-α) και Ρ(x): (x-β), αβ είναι αντίστοιχα Π 1 (x) και Π (x), να δείξετε ότι Π 1 (β)=π (α). 33. Έστω πολυώνυμο Ρ(x) με Ρ(1)=1 και Ρ(x)=Ρ(1-x). Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο Q(x) έτσι ώστε Ρ(x)=x(x-1)Q(x)+1. ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [6]

Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι διαιρείται ακριβώς με (x-α)(x-β). 30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες: α.

Σχετικά έγγραφα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x