ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α x +β<0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β+γ)α. β+α. γ δ. π+υ. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επααλήψεις - συμπληρώσεις ) Τα μαθηματικά είαι μια αλυσίδα. Για α προχωρήσουμε στη ύλη της Γ Γυμασίου θα πρέπει α γωρίζουμε πλήρως τη ύλη της Β Γυμασίου. Επειδή όμως αυτό δε είαι εφικτό, για α καλύψετε τυχό κεά, σας παραπέμπουμε στο έθετο τεύχος μας όπου θα βρείτε όλη τη θεωρία της Β Γυμασίου με παραδείγματα. Παρακάτω θα βρείτε συοπτικά τη θεωρία που μας είαι απαραίτητη για α προχωρήσουμε στη λύση τω ασκήσεω της παραγράφου.

2 4 Κεφάλαιο ο Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είαι όλοι οι αριθμοί που γωρίσαμε στις προηγούμεες τάξεις. Π.χ.,6,, -7. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Το σύολο τω πραγματικώ αριθμώ το συμβολίζουμε με. Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που μπορεί α γραφεί με τη μορφή κλάσματος κ λ, όπου κ, λ ακέραιοι αριθμοί και λ 0. Το σύολο τω ρητώ αριθμώ το συμβολίζουμε με. Π.χ , 0, 7, Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δε είαι ρητός. Π.χ. 4,666...,π,. Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάοται με σημεία πάω σε έα άξοα. Απόλυτη τιμή Η απόλυτη τιμή εός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και είαι ίση με τη απόσταση του σημείου, που παριστάει το αριθμό α, απο τη αρχή του άξοα. Ισχύει ότι 0 0. Η απόλυτη τιμή εός θετικού αριθμού είαι ο ίδιος ο αριθμός. Η απόλυτη τιμή εός αρητικού αριθμού είαι ο ατίθετος του. Πρόσθεση Για α προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα αυτό βάζουμε το πρόσημό τους π.χ. ( ) ( ) ( )-Για α προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Α η διαφορά τω απόλυτω αριθμώ είαι μηδέ, τότε και το άθροισμα είαι μηδέ. π.χ. (-) + (+) -( -) -8, (-6) + (+6) 0

3 Κεφάλαιο ο Ιδιότητες της πρόσθεσης α + 0 α α + (-α) 0 α + β β + α (ατιμεταθετική ιδιότητα) (α + β) + γ α + (β+γ), (προσεταιριστική ιδιότητα) Με τη βοήθεια τω παραπάω ιδιοτήτω μπορούμε α βρίσκουμε το άθροισμα πολλώ προσθετέω. Αφαίρεση Είαι γωστό ότι διαφορά του αριθμού β από το αριθμό α είαι έας αριθμός γ, που ότα το προσθέσουμε στο β α προκύπτει το α. Δηλαδή α - β γ, ότα α β + γ Η διαφορά του β από το α βρίσκεται, α στο α προσθέσουμε το ατίθετό του β. Δηλαδή α - β α + (-β) π.χ. (+) -(-) (+) + (+) +8 Με τη βοήθεια της αφαίρεσης, λύοται οι εξισώσεις: χ + α β, τότε χ β α χ - α β, τότε χ α +β α- χ β, τότε χ + β α, οπότε χ α -β Απαλοιφή παρεθέσεω Ότα μία παρέθεση έχει μπροστά της το + (ή δε έχει πρόσημο) μπορούμε α τη απαλείψουμε μαζί με το + (α έχει) και α γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους. π.χ. (- - +) + ( -8 +) Ότα μία παρέθεση έχει μπροστά της το -, μπορούμε α τη απαλείψουμε μαζί με το - και α γράψουμε τους όρους που περιέχει με αλλαγμέα πρόσημα. π.χ. - ( - +) - (- + -8) Πολλαπλασιασμός Για α πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς θα εργαζόμαστε ως εξής: α) Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τω αριθμώ, δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα.

4 6 Κεφάλαιο ο β) Στο αποτέλεσμα (το γιόμεό τους) θα βάζουμε έα πρόσημο (+) ή (-) με βάση το επόμεο καόα.. (+) επί (+) μας δίει (+). Δηλαδή ότα και οι δύο αριθμοί είαι θετικοί το γιόμεό τους θα είαι θετικός αριθμός.. (-) επί (-) μας δίει (+). Δηλαδή ότα και οι δύο αριθμοί είαι αρητικοί το γιόμεό τους θα είαι θετικός αριθμός.. (+) επί (-) μας δίει (-). Ότα ο έας αριθμός είαι θετικός και ο άλλος είαι αρητικός τότε το γιόμεό τους θα είαι αρητικός αριθμός. 4. (-) επί (+) μας δίει (-). Ισχύει ό,τι και στη περίπτωση. (+) (+) (+) (+) ( ) ( ) ( ) ( ) (+) ( ) (+) ( ) Δε πρέπει α μπερδεύουμε τη πρόσθεση ή τη αφαίρεση δύο αριθμώ με το πολλαπλασιασμό. Από τους τέσσερις καόες για το «πολλαπλασιασμό» τω προσήμω, προκύπτου οι παρακάτω καόες για το πολλαπλασιασμό ρητώ αριθμώ. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού α) Ότα πολλαπλασιάζουμε έα ρητό αριθμό (είτε θετικό είτε αρητικό) με το μηδέ, το αποτέλεσμα θα είαι μηδέ: α 00 α0 Π.χ. (-) 0 0 (-) 0, 0 (+) (+) 0 0, β) Ότα πολλαπλασιάζουμε έα ρητό αριθμό με το + το αποτέλεσμα θα είαι ο ίδιος ο αριθμός: Π.χ. (-4) (-4) -4 α αα γ) Με όποια σειρά και α πολλαπλασιάσουμε δύο ρητούς α- ριθμούς το αποτέλεσμα δε αλλάζει. Αυτή είαι η ατιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Π.χ. (-) (+)(+) (-)-6 α β β α

5 Κεφάλαιο ο 7 δ) Επίσης ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού Π.χ. [ (-)] (-) [(-) (-)] (α β) γ α (β γ) ε) Δύο ρητοί αριθμοί που έχου γιόμεο + λέγοται ατίστροφοι Π.χ. Ο ατίστροφος του + είαι ο + αφού : ( + ) + + α β β α στ) Η ιδιότητα που συδέει το πολλαπλασιασμό με τη πρόσθεση ρητώ αριθμώ είαι η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς τη πρόσθεση. π.χ. ( + ) ή ( + ) () 9 α (β + γ) α β + α γ ή α β + α γ α (β +γ) Διαίρεση Αάλογη με τη σχέση που έχει η αφαίρεση προς τη πρόσθεση, είαι και η σχέση της διαίρεσης προς το πολλαπλασιασμό. Έχουμε λοιπό, τα παρακάτω «ζευγάρια». ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΙΡΕ- ΣΗ Έτσι για α διαιρέσουμε δύο ρητούς: α) Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα) β) Βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμεοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στο πολλαπλασιασμό (ατί «επί» έχουμε τη λέξη διά»). Έτσι : (+) δια (+) (+) (+) δια ( ) ( ) ( ) δια ( ) (+) ( ) δια (+) ( ) Δηλαδή α οι αριθμοί είαι ομόσημοι δίου (+) εώ α είαι ετερόσημοι δίου (-)

6 8 Κεφάλαιο ο Διαίρεση του ρητού α δια του ρητού β οομάζεται η πράξη κατά τη οποία βρίσκεται έας ρητός, έστω χ, ο οποίος πολλαπλασιαζόμεος με το β μας δίει το α. Η διαίρεση του α δια του β συμβολίζεται με «:» ή με, δηλαδή α β χ α, τότε: a α: βχ ή χ β. Ο α λέγεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης και ο χ πηλίκο. Προσοχή ιαίρεση δια του μηδεός (0) δε έχει όημα. Γι αυτό σε κάθε κλάσμα ο παρoομαστής πρέπει α είαι διαφορετικός του 0. Ιδιότητες της διαίρεσης ) Η διαίρεση εός αριθμού α (διάφορου του 0) με το εαυτό του δίει πηλίκο. α : α ή α α ) Η διαίρεση εός αριθμού α με το δίει το ίδιο αριθμό α, εώ η διαίρεσή του με το δίει το ατίθετο του α, το α. α : -α ή α α α : - -α ή α - α - ) Η διαίρεση του 0 (μηδέ) με έα αριθμό α (διάφορο από το 0) δίει 0. 0 : α 0

7 Κεφάλαιο ο 9 Να υπολογιστεί το άθροισμα Α (-) + (-) + (+) + (+) + (-7) ος τρόπος ος τρόπος ( ) + ( + ) + ( + ) + ( ) ( 7) ( ) ( ) ( 7) ( 4) ( ) ( 7) ( 9) ( 7) Α (-) Α (-+- ) ( ) +++(+) ( ) + (-7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++-9 ( ) ( ) + ος τρόπος Α (-) + (-) + ( + ) + ( + ) + (-7) (παραλείπουμε τις παρεθέσεις) (Διαγράφουμε τους ατίθετους όρους) (Χωρίζουμε θετικούς και αρητικούς) (Προσθέτουμε χωριστά θετικούς, χωριστά αρητικούς) Να βρείτε το γιόμεο (6-7) (6-7) Εδώ έχουμε αφαίρεση, θα τη μετατρέψουμε σε πρόσθεση. 8-8+(-)-(-8)- Άρα (6-7)- ή (6-7) (-)(+) (-) - - Να βρεθού τα πηλίκα : i) α : α ii) α : iii) α : (-) και iv) 0 : α

8 0 Κεφάλαιο ο i) Όπως γωρίζουμε η διαίρεση εός αριθμού με το εαυτό του μας δίει πηλίκο, έτσι α : α. ii) Η διαίρεση εός αριθμού με τη μοάδα μας δίει το ίδιο αριθμό, οπότε α : α. iii) Eδώ έχουμε τη διαίρεση του α με το. Αφού α: α θα είαι α:(-)-α iv) Όπως ισχύει και στο πολλαπλασιασμό, η διαίρεση του μηδεός με έα αριθμό (διάφορο του μηδεός) δίει πηλίκο 0, έτσι 0:α0

9 Κεφάλαιο ο x x 4 x+(6-): + Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; Για α προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Α η διαφορά τω απόλυτω αριθμώ είαι μηδέ, τότε και το άθροισμα είαι μηδέ. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ρητούς αριθμούς; Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τω αριθμώ, δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα και στο αποτέλεσμα (το γιόμεό τους) θα βάζουμε έα πρόσημο (+) ή (-) με βάση το επόμεο καόα. Πώς διαιρούμε δύο ρητούς; ιαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς πρόσημα) β)βάζουμε στο αποτέλεσμα πρόσημο, σκεπτόμεοι όπως ΑΚΡΙΒΩΣ στο πολλαπλασιασμό (ατί «επί» έχουμε τη λέξη διά»). Η διαίρεση του 0 με έα αριθμό α τι αποτέλεσμα μας δίει; Η διαίρεση του 0 (μηδέ) με έα αριθμό α (διάφορο από το 0) δίει 0.

10 Κεφάλαιο ο Για τη λύση τω ασκήσεω θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα: Πρόσθεση ρητώ αριθμώ ο βήμα Εξετάζουμε α οι αριθμοί είαι ομόσημοι ή ετερόσημοι. ο βήμα Εά οι αριθμοί είαι ομόσημοι (δηλαδή και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρητικοί) προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοιό πρόσημο τω αριθμώ. Εά οι αριθμοί είαι ετερόσημοι από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή αφαιρούμε τη μικρότερη και στο αποτέλεσμα βάζουμε το πρόσημο που είχε η μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Ότα προσθέτουμε περισσότερους από δύο ρητούς αριθμούς: ο βήμα Εά υπάρχου ατίθετοι αριθμοί τους διαγράφουμε. ο βήμα Χωρίζουμε τους αριθμούς σε θετικούς και αρητικούς. ο βήμα προσθέτουμε όλους τους θετικούς και όλους τους αρητικούς. 4 ο βήμα στο τέλος μέου δύο αριθμοί, έας θετικός και έας αρητικός, τους οποίους προσθέτουμε και παίρουμε το τελικό αποτέλεσμα. Αφαίρεση ρητώ αριθμώ Η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε στη πρώτη κατηγορία είαι η εξής: ο βήμα Ετοπίζουμε πού υπάρχου αφαιρέσεις και τις μετατρέπουμε σε προσθέσεις αλλάζοτας ταυτόχροα το πρόσημο του αριθμού που ακολουθεί. ο βήμα Βγάζοτας ή όχι τις παρεθέσεις προσθέτουμε όλους τους θετικούς, όλους τους αρητικούς και στους δύο αριθμούς που απομέου κάουμε μία αφαίρεση. Όπου χρειάζεται μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης:

11 Κεφάλαιο ο Πολλαπλασιασμός ρητώ αριθμώ ο βήμα Θα εξετάζουμε α οι αριθμοί είαι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Εά είαι ομόσημοι το πρόσημο του γιομέου θα είαι (+). Εά είαι ετερόσημοι το πρόσημο του γιομέου θα είαι (-). ο βήμα Θα πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές και στο αποτέλεσμα θα βάζουμε το πρόσημο που βρήκαμε στο ο βήμα. Ότα σε μια παράσταση υπάρχου πολλαπλασιασμοί, προσθέσεις και αφαιρέσεις θα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: ο βήμα Θα κάουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τα γιόμεα θα τα γράφουμε μέσα σε παρεθέσεις. ο βήμα Έπειτα θα κάουμε τις προσθέσεις. ο βήμα και τέλος θα κάουμε τις αφαιρέσεις (θα τις μετατρέπουμε σε προσθέσεις) και θα βρίσκουμε το τελικό αποτέλεσμα. Ότα έχουμε το πολλαπλασιασμό εός αριθμού με έα άθροισμα που είαι μέσα σε παρέθεση θα χρησιμοποιούμε τη επιμεριστική ιδιότητα. ο βήμα Θα κάουμε το πολλαπλασιασμό του αριθμού με κάθε έα από τους όρους του αθροίσματος. ο βήμα Θα υπολογίζουμε το άθροισμα κάοτας πρώτα τις προσθέσεις και έπειτα τις αφαιρέσεις. Διαίρεση ρητώ αριθμώ ο βήμα Διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τω αριθμώ ο βήμα: Βρίσκουμε το πρόσημο του αποτελέσματος σύμφωα με τους καόες. Για α διαιρέσουμε δύο κλάσματα εργαζόμαστε ως εξής: ο βήμα Ατιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα (το διαιρέτη). ο βήμα Μετατρέπουμε τη διαίρεση σε πολλαπλασιασμό. Σε κάποιες από τις ασκήσεις θα χρειαστεί α βρούμε τους ατίστροφους και τους ατίθετους ρητώ αριθμώ. Για δύο ατίστροφους αριθμούς α και α ισχύει α α Ατίθετος εός αριθμού είαι ο ίδιος αριθμός με αλλαγμέο πρόσημο.

12 4 Κεφάλαιο ο. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: και β) α) ( ) Για α υπολογίσουμε τις τιμές τω παραστάσεω ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρεθέσεις ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ο βήμα: Βγάζουμε παρεθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις β) Έχουμε έα σύθετο κλάσμα. ο βήμα: Κάουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις στο αριθμητή και το παραομαστή ατίστοιχα ο βήμα: Βρίσκουμε έα κλάσμα στο αριθμητή και έα στο παραομαστή ο βήμα: Κάουμε το σύθετο κλάσμα απλό α) ( ( Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις + + ( ) 9 ( ) + + ( ) 8 + Κάουμε τη πρόσθεση Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς

13 Κεφάλαιο ο Βγάζουμε τη παρέθεση ( ( ( 9 8 Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα β) 6 ( ( + ( ( Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε τη πρόσθεση Κάουμε τη πρόσθεση Κάουμε τη απλοποίηση Κάουμε τη πρόσθεση - αφαίρεση Κάουμε το σύθετο κλάσμα απλό Απλοποιούμε το κλάσμα Για α προσθέσουμε - αφαιρέσουμε κλάσματα πρέπει α τα κάουμε ομώυμα με το Ε.Κ.Π. Για α πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παραομαστή με παραομαστή.

14 6 Κεφάλαιο ο. Α α + β - και γ + δ -, α βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: ( ) A-γ-α+ β δ-για α βρούμε τη αριθμητική τιμή της παράστασης ο βήμα: Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα ο βήμα: Εφαρμόζουμε τη ατιμεταθετική ιδιότητα ο βήμα: Εφαρμόζουμε και πάλι τη επιμεριστική ώστε α προκύψου τα γωστά αθροίσματα. 4 ο βήμα: Κάουμε ατικατάσταση ο βήμα: Κάουμε τις πράξεις δ - γ -α ++ β- Α ( ) Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα -γ +α +β - δ Κάουμε τη απλοποίηση -γ + α +β -δ Εφαρμόζουμε τη ατιμεταθετική ιδιότητα α +β -γ -δ Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα (α+β) - (γ + δ) Ατικαθιστούμε τα γωστά αθροίσματα: όπου (α+β) - και (γ+δ) - (-) - (-) Κάουμε το πολλαπλασιασμό -6 + Κάουμε απαλοιφή παρεθέσεω - Κάουμε τις πράξεις

15 Κεφάλαιο ο 7 Ερωτήσεις Καταόησης Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα σημειώοτας «x» στη κατάλληλη θέση , -0,8 6,4 π 7 Ακέραιος Ρητός Άρρητος Το σύολο τω ακέραιω αριθμώ είαι το σύολο που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς και τους αρητικούς α- ριθμούς, που προκύπτου από τους φυσικούς με τη προσθήκη του συμβόλου «-». Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί α πάρει τη μορφή κλάσματος, μ, όπου μ, ακέραιοι αριθμοί και 0. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δε είαι ρητός. Το - είαι ακέραιος αλλά μπορεί α γραφεί και με τη μορφή κλάσματος ως. Άρα είαι και ρητός. Το είαι ρητός γιατί έχει τη μορφή κλάσματος. Το 6 είαι ακέραιος αλλά μπορεί α γραφεί και με τη μορφή κλάσματος ως 6. Άρα είαι και ρητός. Το 0, 0, είαι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως, το οποίο ισούται με 0,...

16 8 Κεφάλαιο ο Το -0,8 είαι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως 8. 0 Το είαι άρρητος επειδή δε είαι ούτε ρητός αλλά ούτε ακέραιος. Το 6 είαι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως 6 4 4, δηλαδή είαι 4. Άρα είαι και ακέραιος εφόσο η ρίζα του 6 δίει αποτέλεσμα 4. Το,4 είαι ρητός επειδή γράφεται με τη μορφή κλάσματος ως Το π,4... έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία και δε είαι περιοδικός, άρα είαι άρρητος. Το 7 είαι ρητός, έχει τη μορφή κλάσματος μ Οπότε ο πίακας γίεται: - 6 0, -0,8 6,4 π 7 Ακέραιος Χ Χ Ρητός Χ Χ Χ Χ Χ Χ Άρρητος Χ Χ Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) - +7 β) γ) --9 δ) (-)... ε) 0 στ) ζ) (-6): - η) ( ) 8 : θ) 4 4 : +...

17 Κεφάλαιο ο 9 Θα κάουμε τις πράξεις που δίοται. Στα κλάσματα πρέπει α θυμόμαστε ότι: - Για α πολλαπλασιάσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παραομαστή με παραομαστή. - Για α διαιρέσουμε κλάσματα, αφήουμε το πρώτο κλάσμα όπως είαι ατί για διαίρεση κάουμε πολλαπλασιασμό και ατιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος. α) β) Οι αριθμοί -6, +6 είαι ατίθετοι. Ατίθετοι είαι οι αριθμοί που δίου άθροισμα 0. γ) Κάουμε τη πρόσθεση ( ) δ) Κάουμε το πολλαπλασιασμό ε) Ότα έας από τους παράγοτες γιομέου είαι 0 τότε το γιόμεο είαι 0. στ) Οι αριθμοί που έχου γιόμεο τη μοάδα λέγοται ατίστροφοι. ζ) ( ) 6 : Κάουμε τη διαίρεση 6 Κάουμε το πολλαπλασιασμό

18 0 Κεφάλαιο ο 0 : 6 + : 6 + η) ( + 4) 8 : Κάουμε τη διαίρεση Κάουμε το πολλαπλασιασμό 8:4 0 : 4 4 θ) ( ) 4 4 : + Κάουμε τη διαίρεση Κάουμε το πολλαπλασιασμό : : Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) (- - ) χ β) - ( -χ) γ) - ( -)χ δ) - (χ ) +6 ε) (+χ) ( +y) στ) 4 ( + ) χ +8

19 Κεφάλαιο ο Για α συμπληρώσουμε τις ισότητες: - Θα κάουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις. - Εώ ότα μας δίεται το αποτέλεσμα θα πρέπει α εφαρμόσουμε τη επιμεριστική ιδιότητα. α) ( ) x Κάουμε το πολλαπλασιασμό (-6 -) x Κάουμε τη πρόσθεση -x β) ( x) Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα x Προσοχή ε μπορούμε α κάουμε πράξεις μεταξύ αριθμώ και μεταβλητώ. γ) - ( -) x Εφαρμόζουμε τη πράξη στη παρέθεση - (-) x Κάουμε το πολλαπλασιασμό 9 x δ) - (x......) Εφαρμόζουμε τη πράξη στη παρέθεση Θα εφαρμόσουμε τη επιμεριστική ιδιότητα για το - επί το χ και το αποτέλεσμα θα μπει μετά το ίσο. Εφόσο το αποτέλεσμα είαι γωστό και ξέρουμε επίσης ότι πρέπει α πολλα-

20 Κεφάλαιο ο πλασιαστεί αυτός ο αριθμός με το - έχουμε: - (x -) -x + 6 ε) ( + x)( + y) Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα. Κάθε 6 + y +x + xy όρος της παρέθεσης πολλαπλασιάζει και τους δύο όρους της ης παρέθεσης στ) 4 ( + ) x + 8 Εδώ μας δίεται το αποτέλεσμα. Επίσης δίεται ότι το 4 είαι κοιός παράγοτας. Άρα μέσα στη παρέθεση θα έπρεπε α έχουμε τους αριθμούς αυτούς που έ- χου πολλαπλασιαστεί με το 4 α μας δώσου το αποτέλεσμα της άσκησης. Έχουμε: 4 (x + ) x + 8 Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση: i) Α δύο αριθμοί είαι ατίθετοι τότε: α) είαι ομόσημοι γ) έχου γιόμεο μηδέ β) έχου ίσες απόλυτες τιμές δ) έχου γιόμεο τη μοάδα ii) Α δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι, τότε: α) είαι ετερόσημοι γ) έχου ίσες απόλυτες τιμές β) έχου άθροισμα μηδέ δ) έχου γιόμεο τη μοάδα i) Α δύο αριθμοί είαι ατίθετοι, δηλαδή, έχου άθροισμα μηδέ (0) τότε β) έχου ίσες απόλυτες τιμές. Δε είαι δυατό για δύο ατίθετους αριθμούς:

21 Κεφάλαιο ο α είαι ομόσημοι α έχου γιόμεο μηδέ α έχου γιόμεο τη μοάδα. ii) Α δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι, δηλαδή, έχου γιόμεο τη μοάδα () τότε δ) έχου γιόμεο τη μοάδα. Δε είαι δυατό για δύο ατίστροφους αριθμούς: α είαι ετερόσημοι α έχου ίσες απόλυτες τιμές α έχου άθροισμα μηδέ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) α είαι σωστές ή με (Λ) α είαι λαθασμέες: α) Οι ατίστροφοι αριθμοί είαι ομόσημοι. β) Το άθροισμα δύο ομόσημω αριθμώ είαι θετικός αριθμός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είαι θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γιόμεο θετικό και άθροισμα αρητικό είαι αρητικοί. α) Οι ατίστροφοι αριθμοί είαι ομόσημοι. Πράγματι, οι ατίστροφοι είαι ομόσημοι και έχου γιόμεο τη μοάδα. β) Το άθροισμα δύο ομόσημω αριθμώ δε είαι πάτα έας θετικός α- ριθμός. Μπορεί α είαι και αρητικός. γ) Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είαι θετικός αριθμός. Πράγματι, η απόλυτη τιμή είαι ίση με τη απόσταση του σημείου, που παρίσταε έας αριθμός, από τη αρχή εός άξοα, γι αυτό είαι πάτα θετικός αριθμός. δ) Δύο αριθμοί με γιόμεο θετικό και αρητικό είαι αρητικοί. Πράγματι, δύο αριθμοί μπορεί α έχου γιόμεο θετικό. Δηλαδή: (-) (-) + και άθροισμα αρητικό (-) + (-) -. Σ Λ Σ Σ

22 4 Κεφάλαιο ο. Να κάετε τις πράξεις : α) : (-4) + γ) - (-) - +4: (-) -6 β) + (4 - ): (-4 +) δ) -8 : (- +) -4 (- + 6) Για α κάουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρεθέσεις ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ο βήμα: Βγάζουμε παρεθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις + 4 : 4 + α) ( ) Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις Κάουμε τις προσθέσεις Κάουμε τη πρόσθεση : 4+ Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις β) ( ) + ( 8 ):( ) Κάουμε το πολλαπλασιασμό

23 Κεφάλαιο ο Κάουμε τη διαίρεση + 8 Κάουμε τη πρόσθεση 0 Σημείωση: Γεικά η ιεραρχία τω πράξεω είαι: ) δυάμεις, ) παρεθέσεις, ) πολλαπλασιασμοί - διαιρέσεις, 4) πρόσθεση - αφαίρεση γ) ( ) ( ) Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις - δ) 8: ( + ) 4 ( + 6) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις 8: ( + ) 4 ( + 4) Κάουμε πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις -4-6 Κάουμε τη πρόσθεση -0. Τα αποτελέσματα τω παρακάτω πράξεω σχηματίζου το έτος που έγιε έα γεγοός στη χώρα μας με παγκόσμιο εδιαφέρο. -( -4) -( + ) + (-6+4) -(-7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) (-) ( +) - (-) : (-)

24 6 Κεφάλαιο ο Για α βρούμε το έτος που σχηματίζεται από τα αποτελέσματα τω αριθμητικώ παραστάσεω αρκεί α ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρεθέσεις ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ο βήμα: Βγάζουμε παρεθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις α) ( 4) + ( ) + ( 6+ 4) ( 7) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις () ( + ) + ( ) ( 7) Απαλοιφή παρεθέσεω + 7 Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις - + Κάουμε τη αφαίρεση β) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις 4 + ( 4 ) + ( ) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις 4 + ( ) + ( ) Απαλοιφή παρεθέσεω 4 Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις - Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0 γ) ( 4 ) ( ) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις 4 + ( ) ( ) ( ) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις

25 Κεφάλαιο ο ( 4) ( ) ( ) Πολλαπλασιασμός 4 + ( 4) + ( 0) Απαλοιφή παρεθέσεω Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0-0 Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 0 δ) ( ) ( ) + 4 ( + ) ( ):( ) Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις ( ) + ( ) Απαλοιφή παρεθέσεω Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις +0-6 Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 4 Έτσι έχουμε το έτος που έγιε έα γεγοός στη χώρα μας με παγκόσμιο εδιαφέρο. -( -4) -( + ) + (-6+4) -(-7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) (-) ( +) - (-) : (-) 0 0 4

26 8 Κεφάλαιο ο. Έα αυτοκίητο ξεκίησε από τη θέση 0, κιήθηκε πάω στο άξοα x x προς τα αριστερά στη θέση Β και στη συέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Α είαι ΟΑ km, τότε α βρείτε πόσο διάστημα διήυσε το αυτοκίητο και πόσο μετακιήθηκε από τη αρχική του θέση. Για α βρούμε πόσο διάστημα διήυσε το αυτοκίητο θα μετρήσουμε κατά απόλυτη τιμή πόσο διάστημα ίσο με ΟΑ έκαε συολικά. Εφόσο το ΟΑ km, για α βρούμε τα συολικά χιλιόμετρα, θα τα πολλαπλασιάσουμε με το. Για α βρούμε πόσο μετακιήθηκε από τη αρχική του θέση θα υπολογίσουμε τη απόσταση ΟΓ. Για α βρούμε πόσο διάστημα διήυσε το αυτοκίητο, μετράμε τα διαστήματα από το Ο προς το Β και έπειτα από το Β στο Γ. Έχουμε: Απόσταση κατά απόλυτη τιμή ΟΒ 4 διαστήματα και ΒΟ 4 διαστήματα ΟΓ διαστήματα Δηλαδή προσθέτουμε τη απόσταση ΟΒ για α πάει στο Β τη απόσταση ΒΟ για α γυρίσει ξαά στο Ο και τέλος το ΟΓ για α βρεθεί στο Γ. Έχουμε: διαστήματα συολικά διήυσε Άλλα κάθε απόσταση που είαι ίση με ΟΑ ισούται με Km.

27 Κεφάλαιο ο 9 Οπότε πολλαπλασιάζουμε το επί τα Km που διήυσε συολικά. Έχουμε: Km 6 Km Άρα διήυσε συολικά 6Km. Για α βρούμε πόσο μετακιήθηκε από τη αρχική του θέση θα υπολογίσουμε μόο τη απόσταση ΟΓ. Δηλαδή έχουμε: Απόσταση ΟΓ διαστήματα Πολλαπλασιάζουμε και πάλι το με τα Km που είαι κάθε διάστημα, για α βρούμε τα χιλιόμετρα από τη αρχική του θέση. Είαι: διαστήματα Km Km 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) γ) β) δ) : + Για α υπολογίσουμε τις τιμές τω παραστάσεω ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις μέσα στις παρεθέσεις ο βήμα: Πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις ο βήμα: Βγάζουμε παρεθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις α) Απαλοιφή παρεθέσεω 4 6 ( ( ( ( Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε τις πράξεις

28 0 Κεφάλαιο ο 7 4:4 : 4 Κάουμε τις πράξεις β) Απαλοιφή παρεθέσεω ( ( ( ( ( ( Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις 6 6 Κάουμε τις πράξεις γ) ( ( Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Κάουμε πολλαπλασιασμούς διαιρέσεις ( ( ( Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις

29 Κεφάλαιο ο : 6: 7 δ) ( ( ( ( Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις 7 4 : : Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Κάουμε πολλαπλασιασμούς διαιρέσεις 4 : Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) γ)

30 Κεφάλαιο ο Για α υπολογίσουμε τις παραστάσεις, θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα και στο αριθμητή και στο παροομαστή. Έπειτα θα έχουμε έα σύθετο κλάσμα το οποίο θα κάουμε απλό. α) ( ( 6( + 6( ( ( + 6 Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις Κάουμε το σύθετο κλάσμα απλό 0:0 0 : 0 Κάουμε απλοποίηση 4 β) 4 Κάουμε το πολλαπλασιασμό 4 ( ( 4 Κάουμε τις πράξεις μέσα στη παρέθεση Κάουμε τις πράξεις μέσα στη παρέθεση

31 Κεφάλαιο ο 4( ( Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε το πολλαπλασιασμό Κάουμε τις πράξεις Κάουμε το σύθετο κλάσμα απλό 4 Κάουμε απλοποίηση 4 γ) ( ( 7 + ( ( + Κάουμε τα κλάσματα ομώυμα Κάουμε τις πράξεις μέσα στη παρέθεση Κάουμε το σύθετο κλάσμα απλό 7 0: + : Κάουμε απλοποίηση 7 + Κάουμε τις πράξεις 7+ Κάουμε τις πράξεις

32 4 Κεφάλαιο ο 6. Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήτα:, -, 0,,, -, -, 0, -, - Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό. Για α βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό θα κάουμε: Πρόσθεση όλες τις θερμοκρασίες Το άθροισμα τω θερμοκρασιώ θα το διαιρέσουμε με το 0, που είαι οι θερμοκρασίες. Για α βρούμε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία: Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Διαιρούμε το -0 με το άθροισμα τω θερμοκρασιώ το 0. Έχουμε: 0 Άρα η μέση θερμοκρασία είαι: Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κεά χρησιμοποιώτας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή - ). α) 0 - β) γ) δ) -0,... 6,... 8,0

33 Κεφάλαιο ο Για α συμπληρώσουμε τα κεά με το κατάλληλο σύμβολο (+) ή (-) θα δούμε τα αποτελέσματα τω πράξεω. Αυτά θα μας οδηγήσου στα κατάλληλα σύμβολα. α) Πράγματι είαι: β) Πράγματι είαι: γ) Πράγματι είαι: δ) -0, - 6, + 8,0 Πράγματι είαι: 0, 6, + 8,0 6, + 8, Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) 8 (α β) + (α β) β) (α + β γ) (4 + γ β) (- α) 0 γ) - (α ) + α (-7 +9) - (+) 0 Για α αποδείξουμε τις ισότητες πρέπει: Να κάουμε τις πράξεις στο α μέλος της ισότητας και το αποτέλεσμα θα πρέπει α είαι το αποτέλεσμα που δίεται στο β μέλος της ισότητας. α) 8 ( α β) + ( α β) Παίρουμε το α μέρος 8( α β) + ( α β) Κάουμε απαλοιφή παρεθέσεω 8 α + β + α β Σβήουμε τους ατίθετους

34 6 Κεφάλαιο ο 8 Κάουμε τις πράξεις β) ( α+ β γ) ( 4 + γ β) ( α) 0 Παίρουμε το α μέρος ( α++ β γ) ( 4 + γ β) ( α) Κάουμε απαλοιφή παρεθέσεω α β + γ 4 γ + β + + α Σβήουμε τους ατίθετους 4+ Κάουμε τις πράξεις γ) ( α ) + α ( 7+ 9) ( + ) 0 Παίρουμε το α μέρος ( α ) + α ( 7+ 9) ( + ) Εφαρμόζουμε τη επιμεριστική ιδιότητα -α + 6 7α + 9α 6 Κάουμε ααγωγή ομοίω όρω α 7α + 9α Σβήουμε τους ατίθετους -9α + 9α Κάουμε τις πράξεις 0 9. Α x + y - και ω + φ -7 α υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α 4 (x ω) (y φ) Β - (- x + φ) + (-8 + y) (ω- 4) Για α υπολογίσουμε τις τιμές τω παραστάσεω θα ατικαταστήσουμε όπου x +y - και ω + φ -7 Α 4 ( x ω) ( y φ) Απαλοιφή παρεθέσεω

35 Κεφάλαιο ο 7 4 x + ω y + φ Βάζουμε μαζί τα γωστά αθροίσματα 4 (x + y) + (ω+φ) Ατικαθιστούμε τα αθροίσματα 4 (-) + (-7) Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις 9 7 Κάουμε τις πράξεις Β ( x+ φ) + ( 8+ y) ( ω 4) Απαλοιφή παρεθέσεω + + x φ 8 + y ω + 4 Βάζουμε μαζί τα γωστά αθροίσματα ( x+ y) ( ω+ φ) Ατικαθιστούμε τα αθροίσματα (-) - (-7) Κάουμε τις πράξεις Κάουμε τις πράξεις + Κάουμε τις πράξεις 0 Α α, β είαι οι διαστάσεις εός ορθογωίου, που έχει περίμετρο 6 και γ, δ οι διαστάσεις εός άλλου ορθογωίου, που έχει περίμετρο, α υπολογίσετε τη παράσταση Α α (9 γ) - ( β δ). Θα υπολογίσουμε τη περίμετρο και για τα δύο ορθογώια. Θα βρούμε έτσι τα (α + β), (γ + δ) τα οποία θα ατικαταστήσουμε στη παράσταση.

36 8 Κεφάλαιο ο β α Π 6 α + β 6 (α + β) 6 α + β 6 α + β 8 Για το άλλο ορθογώιο έχουμε: δ γ Π γ + δ (γ + δ) γ + δ γ + δ 6 Άρα μπορούμε α υπολογίσουμε τη τιμή της παράστασης αρκεί α κάουμε τις α- παραίτητες πράξεις για α εμφαιστού τα αθροίσματα. α+ β 8 και γ + δ 6 Α α ( 9 γ) ( β δ) Απαλοιφή παρεθέσεω α 9+ γ + β+ δ Ααγωγή ομοίω όρω α+ β + γ+ δ 9 Ατικατάσταση Κάουμε το πολλαπλασιασμό Κάουμε τις πράξεις 60-4 Κάουμε τις πράξεις 6

37 Κεφάλαιο ο 9 Να τοποθετήσετε καθέα από τους παρακάτω αριθμούς -7, -6, -, -,,, 4,, 9 σε έα τετράγωο, ώστε τα τρία αθροίσματα α είαι ίσα μεταξύ τους Θα κάουμε τους κατάλληλους συδυασμούς ώστε και τα τρία αθροίσματα α είαι ίσα μεταξύ τους Δηλαδή είαι: Δηλαδή είαι: Δηλαδή είαι: Όλα τα αθροίσματα όλω τω αριθμώ είαι μηδέ (0).

38 40 Κεφάλαιο ο Λυμέες ασκήσεις εκτός βιβλίου. Να υπολογιστού τα γιόμεα: α) Α ( ) ( ) ( ) 9 β) Β (-) 4 (-6) - - (-6) Ελέγχουμε το πλήθος τω αρητικώ παραγότω και κάουμε τις πράξεις. Α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι άρτιος αριθμός, βάζουμε το πρόσημο (+) και πολλαπλασιάζουμε τους όρους. Α το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι περιττός αριθμός βάζουμε το πρόσημο (-) και πολλαπλασιάζουμε τους όρους. α) Α( ) ( ) ( ) Το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι 4, άρτιο Αλλάξαμε τη σειρά τω αριθμώ (είαι : και ) +(4 ) + β) Β (-) 4 (-6) 9 (-6) Το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι, περιττό Γράφουμε μπροστά το (-) και πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές (είαι : )

39 Κεφάλαιο ο Να βρείτε τους ατίστροφους και τους ατίθετους τω αριθμώ 9, -, -0,,, -, -. Για α δημιουργήσουμε ατίστροφους και ατίθετους αριθμούς πρέπει α γωρίζουμε τις ε- ξής έοιες: Ατίστροφοι λέγοται οι αριθμοί που έχου γιόμεο τη μοάδα. Ατίθετοι λέγοται οι α- ριθμοί που έχου άθροισμα 0. Λύση Ο ατίστροφος του 9 είαι ο 9 και ο ατίθετος ο 9. Ο ατίστροφος του - είαι ο και ο ατίθετος ο. Ο ατίστροφος του 0. είαι ο 4 και ο ατίθετος ο Ο ατίστροφος του είαι ο και ο ατίθετος ο. Ο ατίστροφος του είαι ο Μετατρέπουμε το μεικτό σε κλάσμα: Ο ατίστροφος του 7 είαι ο και ο ατίθετος ο και ο ατίθετος ο 7 7.

40 4 Κεφάλαιο ο. Να βρείτε τα αποτελέσματα α) (-6) β) 40 (-) + (-4) -69. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης Α ( ) + (-4 + 7) (- +0). Να υπολογισθεί το γιόμεο: α) Α α (α + ) (α -) β) Β α (α + ) (-4α +) (α-) ότα α - 4. Να γίου οι πράξεις 4 Α +. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 6 Α : ( 4 ):

41 Κεφάλαιο ο 4 Απατήσεις στις άλυτες ασκήσεις. α) 7 β) -4. Α 6. Α -6 Β Α. Α 4

42 44 Κεφάλαιο ο Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4. Αυτός ο συμβολισμός λέγεται δύαμη του. Πιο συγκεκριμέα ο παράγοτας που επααλαμβάεται (εδώ ) λέγεται βάση. Εώ ο αριθμός τω επααλήψεω λέγεται εκθέτης. Έτσι, στο προηγούμεο παράδειγμα το είαι βάση και το 4 εκθέτης, (ο εκθέτης δηλώει το αριθμό τω παραγότω. Εδώ έχουμε 4 φορές το ). Δηλαδή (-) (-) (-) (-) (-) 4 4 φορές ο παράγοτας (-) Π.χ. ο αριθμός (+) 4, που διαβάζεται δύαμη με βάση + και εκθέτη 4, σημαίει ότι έχουμε έα γιόμεο με (μοαδικό) παράγοτα το + (η βάση) που επααλαμβάεται 4 φορές (ο εκθέτης δηλώει το αριθμό τω παραγότω. Εδώ έχουμε 4 φορές το ). Δηλαδή (+) 4 (+) (+) (+) (+) Το γιόμεο παραγότω (όπου φυσικός αριθμός) ίσω με το ρητό α οομάζεται δύαμη με βάση το α και εκθέτη το. Συμβολίζεται α, δηλαδή α α α α α α α,, φυσικός ( 0) - παράγοτες Η δύαμη α διαβάζεται ιοστή δύαμη του α ή α στη ιοστή. Ότα, τότε α α Ότα, τότε α α α (α στο τετράγωο ή το τετράγωο του α) Ότα, τότε α α α α (α στο κύβο ή κύβος του α) Είαι 0 0 και

43 Κεφάλαιο ο 4 Ότα 0, τότε α 0 για α 0 Προσοχή ) ε θα πολλαπλασιάζετε ΠΟΤΕ τη βάση με το εκθέτη, ότα υπολογίζετε μία δύαμη. Είαι το πιο συηθισμέο λάθος τω μαθητώ, α πολλαπλασιάζου βάση με εκθέτη. ηλαδή δε ισχύει α α (είαι λάθος). Π.χ. (-4). Είαι ίσο με (-4) (-4) +6 και όχι ίσο με (-4) -8. Προσέξτε τη γραφή -4. ) Εδώ η βάση είαι το 4 και όχι το 4. ηλαδή 4 -(4) -(4 4) -6. Ότα υψώουμε έα αρητικό αριθμό σε μια δύαμη θα πρέπει α το βάζουμε απαραίτητα μέσα σε παρέθεση. Όπως στις άλλες πράξεις έτσι και στη περίπτωση τω δυάμεω υπάρχου κάποιοι καόες για το υπολογισμό τω προσήμω: α) Δύαμη με βάση θετικό αριθμό είαι θετικός αριθμός β) Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο (,4,6 κλπ) είαι θετικός αριθμός. γ) Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη περιττό (,,7 κλπ) είαι αρητικός αριθμός. Δηλαδή: α >0, α α>0 και φυσικός α >0, α α<0 και άρτιος α <0, α α<0 και περιττός Γιατί όμως συμβαίει αυτό; Όπως είδαμε η δύαμη είαι πολλαπλασιασμός της βάσης, τόσες φορές όσες είαι ο εκθέτης. Α ο εκθέτης είαι άρτιος τότε το πλήθος τω αρητικώ παραγότω (που εδώ είαι ο ίδιος αριθμός) είαι άρτιο. Α ο εκθέτης είαι περιττός αριθμός τότε το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι περιττό. Π.χ. (-) (-) (-) (-). Οι αρητικοί παράγοτες είαι τρεις. (-) 4 (-) (-) (-) (-). Οι αρητικοί παράγοτες είαι τέσσερις.

44 46 Κεφάλαιο ο Ιδιότητες τω δυάμεω ) α μ α α μ+ Το γιόμεο τω δυάμεω είαι ίσο με μία δύαμη που έχει σα βάση τη κοιή βάση (το α) και εκθέτη ίσο με το άθροισμα τω εκθετώ τω δυάμεω (μ+). Π.χ. + Προσοχή Θα πρέπει οι βάσεις α είαι ίδιες και οι δυάμεις α πολλαπλασιάζοται. ηλαδή δε ισχύει η ιδιότητα στις παρακάτω περιπτώσεις: α β μ και α + α μ. (Στη πρώτη περίπτωση έχουμε διαφορετικές βάσεις εώ στη δεύτερη έχουμε πρόσθεση και όχι πολλαπλασιασμό). μ ) α α αμ- ή α μ : α α μ- (με μ>) Το πηλίκο δύο δυάμεω με τη ίδια βάση άλλα διαφορετικούς εκθέτες είαι ίσο με μία δύαμη που έχει σα βάση τη κοιή βάση και εκθέτη το εκθέτη της δύαμης που είαι στο αριθμητή μείο το εκθέτη της δύαμης που είαι στο παροομαστή. ( ) Π.χ. ( ) (-) - (-). ) (α β) α β Έχουμε μία δύαμη που έχει ως βάση έα γιόμεο (ρητώ αριθμώ) το α β και ως εκθέτη το. Η δύαμη αυτή ισούται με το γιόμεο δύο δυάμεω α, β. Η μία έχει ως βάση το έα αριθμό και εκθέτη το εώ η άλλη έχει ως βάση το άλλο αριθμό και εκθέτη το. Π.χ. ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (4 φορές το ) (Ισχύει η ατιμεταθετική ιδιότητα) (4 φορές το επί 4 φορές το ) 4 4

45 Κεφάλαιο ο 47 4) α α β β Έχουμε μία δύαμη που έχει ως βάση το κλάσμα (το πηλίκο) α β και εκθέτη το. Η δύαμη ισούται με το πηλίκο δύο δυάμεω που η μία έχει ως βάση το αριθμητή του κλάσματος και εκθέτη το (και βρίσκεται στο αριθμητή) εώ η άλλη έχει ως βάση το παροομαστή του κλάσματος και εκθέτη το (και βρίσκεται στο παροομαστή). Π.χ. ) (α μ ) α μ Έχουμε μία δύαμη που έχει ως βάση μια άλλη δύαμη (τη α μ ) και εκθέτη το. Η δύαμη αυτή ισούται με μια δύαμη που έχει ως βάση το α (δηλαδή τη βάση της δύαμης α μ ) και εκθέτη το γιόμεο μ. Π.χ. (4 ) 4 (4 ) (4 ) (4 ) (4 4 4) (4 4 4) Να υπολογιστού οι παρακάτω δυάμεις: α) (-) β) (+) γ) (-6) δ) -6 ε) + 4 α) (-) (-) (-) (-) (-) (-) υπάρχου (περιττός) αρητικοί παράγοτες άρα το πρόσημο θα είαι (-) β) (+) (+) (+) (+) 7. γ) (-6) (-6) (-6) Εδώ βάση είαι το -6 δ) -6 -(6 ) -(6 6) -6. Εδώ βάση είαι το 6 ε)

46 48 Κεφάλαιο ο Να βρείτε το πρόσημο τω αριθμώ α) 8 β) 9 γ) 4 Θα βρούμε πρώτα το πρόσημο τω δυάμεω και έπειτα τω αριθμώ α) - 8 (δύαμη 8 ) ο βήμα Βάση είαι ο αριθμός και εκθέτης ο αριθμός 8. ο βήμα Επειδή η βάση είαι θετικός αριθμός η δύαμη θα είαι θετική. ο βήμα 8 (-) 8-8 Αφού η δύαμη είαι θετική ο αριθμός θα είαι αρητικός [«(-) (+)(-)»] β) 9 (δύαμη 9 ) ο βήμα Βάση είαι ο αριθμός 9 και εκθέτης το. ο βήμα Επειδή η βάση είαι θετικός αριθμός η δύαμη θα είαι θετική. ο βήμα 9 (-) 9-9 ο αριθμός είαι αρητικός [«(-) (+)(-)»] γ) (δύαμη ) 4 4 ο βήμα Βάση είαι ο αριθμός και εκθέτης το. 4 ο βήμα Η δύαμη είαι θετική αφού η βάση είαι αρητικός αριθμός αλλά ο εκθέτης άρτιος. ο βήμα 4 ( ) ο αριθμός είαι αρητικός [«(-) (+)(-)»]

47 Κεφάλαιο ο 49 Στο υπολογισμό τω δυάμεω πρέπει πρώτα α ξεχωρίζουμε ποια είαι η βάση και ποιος ο εκθέτης, έπειτα θα προχωράμε στο υπολογισμό χρησιμοποιώτας τις ιδιότητες τω δυάμεω. ο βήμα Βρίσκουμε πρώτα ποια είαι η βάση και ποιος ο εκθέτης. ο βήμα Βρίσκουμε το πρόσημο της δύαμης σύμφωα με τους καόες. Εά η βάση είαι θετικός αριθμός και ο εκθέτης φυσικός, τότε το πρόσημο είαι θετικό. Εά η βάση είαι αρητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος, τότε το πρόσημο είαι θετικό. Εά η βάση είαι αρητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός, τότε το πρόσημο είαι αρητικό. ο βήμα Αφού βρούμε το πρόσημο, υπολογίζουμε τη δύαμη πολλαπλασιάζοτας τη βάση τόσες φορές όσες είαι ο εκθέτης. Στο υπολογισμό μιας παράστασης εργαζόμαστε ως εξής: ο βήμα Υπολογίζουμε πρώτα όλες τις δυάμεις. ο βήμα Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. ο βήμα Κάουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Εά στη παράσταση υπάρχου παρεθέσεις υπολογίζουμε πρώτα αυτές ακολουθώτας τα παραπάω βήματα. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης ισχύου μόο για δυάμεις που έχου τη ίδια βάση. Η πρόσθεση και η αφαίρεση τω δυάμεω θα γίεται, αφού προηγουμέως τις υπολογίσουμε, έστω και α έχου τη ίδια βάση.

48 0 Κεφάλαιο ο. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: ( - ) ( - ) α) ( ) :xy και β) x ( x y ) ( ) α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 Για α υπολογίσουμε τις παραστάσεις θα εφαρμόσουμε ό- που είαι απαραίτητο κάθε φορά τις ιδιότητες τω δυάμεω. Είαι: α α α α : α α μ μ+ μ μ ( ) α β α β α β μ ( α ) α β α μ - α β β α Το - υψώεται σε ζυγό αριθμό άρα το αποτέλεσμα είαι θετικό. Υψώουμε το και το στη δευτέρα. Βάζουμε το (-) σε όλο το αριθμητή Πολλαπλασιάζουμε δύαμη επί δύαμη σύμφωα με τη δύαμη (α μ- ) α μ Βάζουμε μαζί τις ίδιες βάσεις Ξεχωρίζουμε τα κλάσματα

49 Κεφάλαιο ο 4 4 Κάουμε τις πράξεις 4 Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες τω δυάμεω α μ :α α μ- Τη αρητική δύαμη τη κάουμε θετική ατιστρέφοτας τη βάση Πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα Εκτελούμε τη δύαμη β) ( ) ( ) x x y : x y Τη διαίρεση τη κάουμε κλάσμα x ( xy ) ( x y ) Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α β) α β x x ( y ) ( x ) ( y ) Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α μ ) α μ / x x y 4 6 x y 6 Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα α μ α α μ+ x x + 4 Κάουμε τις πράξεις x x 4 Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα α α μ α μ- x 4 Κάουμε τις πράξεις x x

50 Κεφάλαιο ο. xy Α x y - -. α υπολογιστεί η παράσταση ( ) ( ) Axx.Για α υπολογίσουμε τη τιμή της παράστασης θα ατικαταστήσουμε στη παράσταση τη σχέση. Εφόσο εφαρμόσουμε τις ιδιότητες τω δυάμεω. Δηλαδή όπου είαι x y -. Και έπειτα θα κάουμε τις ατίστοιχες πράξεις στις ιδιότητες τω δυάμεω. Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α β) α β Α x ( x y ) ( x ) ( ) ( ) ( ) x x y x Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α μ ) α μ / 4 6 x x y x Έχουμε μαζί όλα τα x x x 4 y 6 x Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα α μ α α μ x + y Κάουμε τις πράξεις x y Βγάζουμε κοιό παραομαστή από τις δυάμεις 9 6 το ( x y ) Κάουμε ατικατάσταση (-) Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α μ ) α μ -7. Να υπολογιστού οι παραστάσεις: A : ( ) ( ) ( ) 6+( -4-:-B - ) ( ) ( )

51 Κεφάλαιο ο Για α υπολογίσουμε τις παραστάσεις ακολουθούμε τη εξής σειρά: Πρώτα γίοται οι πράξεις στις αγκύλες και τις παρεθέσεις. Αρχικά υπολογίζοται οι δυάμεις, στη συέχεια εκτελούται οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, τέλος γίοται οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις. Α ( ) ( ) ( ) + : 6 Υπολογίζουμε τις δυάμεις ( ) : 6 Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις : Κάουμε τις προσθέσεις και αφαιρέσεις 8 Β ( ) ( 4) : ( ) + Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις -δυάμεις ( ) + ( ) ( ) : Κάουμε το πολλαπλασιασμό μέσα στη παρέθεση ( 0 9) + ( 8 4) : Κάουμε προσθέσεις - αφαιρέσεις μέσα + 4 : ( ) στη παρέθεση Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις 9 + 4

52 4 Κεφάλαιο ο Ερωτήσεις Καταόησης Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) α είαι σωστές ή με (Λ) α είαι λαθασμέες: α) Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α+ α α 4 β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α α 4 γ) Οι αριθμοί (-) 6 και - 6 είαι ατίθετοι δ) Οι αριθμοί 6 6 και είαι ατίστροφοι ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει (α) 9α στ) Ο αριθμός - (-) είαι θετικός ζ) Ο αριθμός - - είαι θετικός. Το σύολο τω ακέραιω αριθμώ είαι το σύολο που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς και τους αρητικούς αριθμούς, που προκύπτου από τους φυσικούς με τη προσθήκη του συμβόλου «-». Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί α πάρει τη μορφή κλάσματος, μ, όπου μ, ακέραιοι α- ριθμοί και 0. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δε είαι ρητός. α) Για κάθε αριθμό α δε ισχύει α + α + α+ α α 4 Αλλά έχουμε: α + α+ α+ α+ 4 α β) Για κάθε αριθμό α ισχύει α α α α α 4 Άρα σωστό εφόσο αυτός είαι και ο ορισμός της δύαμης Λ Σ

53 Κεφάλαιο ο γ) Οι αριθμοί (-) 6 και - 6 είαι ατίθετοι Πράγματι έχουμε: (-) είαι ατίθετοι και - 6. Σ Άρα είαι ότως ατίθετοι. δ) Οι αριθμοί 6 6 και είαι ατίστροφοι Σ Πράγματι έχουμε: εώ Ότως είαι ατίστροφοι. ε) Για κάθε αριθμό α ισχύει (α) 9α Πράγματι, εφαρμόζουμε τη ιδιότητα τω δυάμεω (αβ) α β Σ στ) Έχουμε: ( ) α α 9 α Ο αριθμός - (-) δε είαι θετικός. Η πρόταση είαι λάθος διότι: ( ) ( ) Άρα είαι αρητικός + Λ ζ) Ο αριθμός - - δε είαι θετικός. Λ Η πρόταση είαι λάθος επειδή έχουμε: 9 Ο αριθμός θα ήτα θετικός α η δύαμη με το πρόσημο ήτα μέσα σε παρέθεση.

54 6 Κεφάλαιο ο Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) (-) 6 β) - 9 γ) -4-6 δ) -... ε) -... στ) ζ) -... η) ( 7+ ) Για α συμπληρώσουμε με το κατάλληλο σύμβολο () ή ( ) θα υπολογίσουμε πρώτα τις δυάμεις και έπειτα θα μπορούμε α συγκρίουμε. α) (-) 6 Υπολογίζουμε τη δύαμη -() Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα (α μ ) α μ. Εδώ εοείται μέσα στη παρέθεση το. Άρα είαι - β) - 9 Υπολογίζουμε τη δύαμη Κάουμε τη δύαμη θετική Ιδιότητα α α - 9 γ) -4-6 Υπολογίζουμε τη δύαμη Άρα είαι Το δε εξαρτάται από το εκθέτη. -6 Άρα είαι -6-6

55 Κεφάλαιο ο 7 δ)... Υπολογίζουμε τη δύαμη Κάουμε το εκθέτη θετικό - Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα α α β β ε)... - Υπολογίζουμε τη δύαμη Άρα είαι Κάουμε το εκθέτη θετικό α-ιδιότητα αάρα είαι στ) Υπολογίζουμε τη δύαμη 0 Οποιαδήποτε δύαμη υψωμέη στη μηδεική δίει αποτέλεσμα. Άρα είαι 0 ζ)... Υπολογίζουμε τη δύαμη

56 8 Κεφάλαιο ο Εφαρμόζουμε τη ιδιότητα α α β β Κάουμε τις πράξεις - Άρα είαι η) ( ) Προσοχή ε ισχύει η ιδιότητα όπως στο πολλαπλασιασμό που είαι: (αβ) α β Εδώ έχουμε πρόσθεση. Είαι λάθος α μπερδεύουμε αυτές τις έοιες. Υπολογίζουμε τη δύαμη ( 7+ ) Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις 9-8 Θα κάουμε τις πράξεις και στο άλλο μέρος 7 + Εκτελούμε τις δυάμεις Κάουμε τις πράξεις Άρα είαι 8 Να επιλέξετε τη σωστή απάτηση: i) Η τιμή της παράστασης - είαι:

57 Κεφάλαιο ο 9 α) 4-9 β) 9-4 γ) 9 4 δ) 4 9 ii) Η τιμή της παράστασης 0 ( ) - α) - β) -6 γ) δ) iii) Η τιμή της παράστασης + είαι: α) β) 7 γ) 6 δ) 6 Για α επιλέξουμε τη σωστή απάτηση πρώτα πρέπει σε καθεμία από τις παραστάσεις α υπολογίσουμε τις δυάμεις κι έπειτα θα βρούμε τη σωστή απάτηση. i) Υπολογίζουμε τις δυάμεις Κάουμε το εκθέτη θετικό Εφαρμόζουμε τη Ιδιότητα α α β β Κάουμε τις πράξεις 9 4 Άρα η σωστή απάτηση είαι το γ) 9 4 ii) Υπολογίζουμε τη δύαμη 0 ( ) Κάουμε τη δύαμη στη μηδεική Κάουμε τις πράξεις Άρα η σωστή απάτηση είαι το δ)

58 60 Κεφάλαιο ο iii) Υπολογίζουμε τη παράσταση: + Εκτελούμε τις δυάμεις 8+9 Κάουμε τις πράξεις 7 Άρα η σωστή απάτηση είαι το β) 7 Άρα έχουμε: i) Η τιμή της παράστασης - είαι: α) 4-9 β) 9-4 γ) 9 4 δ) 4 9 ii) Η τιμή της παράστασης 0 (-) α) - β) -6 γ) δ) iii) Η τιμή της παράστασης + είαι: α) β) 7 γ) 6 δ) 6 Να συμπληρώσετε το πίακα ατιστοιχίζοτας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. 4 α. ( 4 ) β. ( - ) γ. (-) - 4. δ. ( 4 : ) α β γ δ

59 Κεφάλαιο ο 6 Για α συμπληρώσουμε το πίακα δηλαδή για α ατιστοιχίσουμε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το αποτέλεσμα της από τη στήλη Β. Πρέπει, α υπολογίσουμε τη τιμή τω παραστάσεω στη Α στήλη ώστε το αποτέλεσμα για τη καθεμιά α φαίεται στη στήλη Β. α) Υπολογίζουμε τη δύαμη 4 ( ) Πολλαπλασιάζουμε τις δυάμεις (α μ ) α μ -4 Κάουμε τις πράξεις β) Υπολογίζουμε τις δυάμεις ( ) 0 (α μ ) α μ -0 0 α μ α α μ Κάουμε τις πράξεις 0 Κάουμε τις πράξεις γ) Υπολογίζουμε τη δύαμη ( ) α α Κάουμε τις πράξεις + 4 δ) Υπολογίζουμε τη παράσταση 4 α : α α : ( ) μ μ: 4 Κάουμε τις πράξεις

60 6 Κεφάλαιο ο α μ α α μ+ + Κάουμε τις πράξεις Οπότε έχουμε: α β γ δ 6 4

61 Κεφάλαιο ο 6. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύαμη: - 8 α) β) 4 : - γ) δ) ( - ) -4 ε) - (-) 4 ( -6 στ) )6 6 ζ) 4 : 4 η) Για α γράψουμε καθεμιά από τις παραστάσεις ως μία δύαμη θα πρέπει α ε- φαρμόσουμε τις ιδιότητες τω δυάμεω. α α α α : α α μ μ+ μ μ ( ) α β α β α β μ ( α ) α β α μ - α β β α α) β) 8 α μ α α μ Κάουμε τις πράξεις 4 : α μ : α (α β) 4 ( ) Κάουμε τις πράξεις

62 64 Κεφάλαιο ο γ) α β (αβ) ( ) 0 Κάουμε τις πράξεις δ) ( ) 4 (α μ ) α μ ( 4) +8 8 Κάουμε τις πράξεις ε) ( ) 4 Υπολογίζουμε τη δεύτερη δύαμη για α κάουμε ίδιες τις βάσεις 4 ( ) + Υψώεται σε ζυγό εκθέτη, άρα βάση θετική 4 α μ α α μ Κάουμε τις πράξεις ζ) α τρόπος 4 : 4 Κάουμε τις δυάμεις ίδιες 4 : ( ) (α μ ) α μ 4 :9 α : β (α :β) ( 4:9 ) 4 9 Κάουμε τις πράξεις ζ) β τρόπος 4 : 4 Κάουμε τις δυάμεις ίδιες ( ) : 4 (α μ ) α μ : 4 4 : ( ) 4 4 Κάουμε τις πράξεις

63 Κεφάλαιο ο 6 η) 4 7 Κάουμε όλες τις δυάμεις με τη ίδια βάση 4 Κάουμε τις πράξεις + 4 α μ α α μ+ 7-7+(-) 7- Κάουμε τις πράξεις. Να υπολογίσετε τη τιμή κάθε παράστασης: - 8 α) ( ) -4 β) (-) (-) γ) ( 0,7) 4 - δ) 6 :(-) ε) (,) 4 (-4) 4 στ) 4 : 0 ζ) -4 η) (0,0) Για α γράψουμε καθεμιά από τις παραστάσεις ως μία δύαμη θα πρέπει α εφαρμόσουμε τις ιδιότητες τω δυάμεω. μ μ+ α α α μ μ α : α α α β α β ( ) α β μ ( α ) α β α μ - α β β α α) ( ) (α μ ) α μ 6 8 Κάουμε τις πράξεις

64 66 Κεφάλαιο ο β) ( ) ( ) 4 α μ α α μ+ ( ) ( 4) + Κάουμε τις πράξεις ( ) 4 Κάουμε τις πράξεις ( ) α α α α β β Κάουμε τις πράξεις γ) ( 0,7) 4 Κάουμε ίδιες βάσεις επειδή 0, α μ α α μ+ 4 + Κάουμε τις πράξεις 0 4 α 0 δ) ( ) 6 : Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς - διαιρέσεις Απαλοιφή παρεθέσεω Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις

65 Κεφάλαιο ο 67 ε) (,) ( 4) 4 4 α β (α β) ( ) 4, 4 ( 0) 4 Κάουμε τις πράξεις στ) 0 4 : Κάουμε τις βάσεις ίδιες ( ) : 0 Κάουμε τις πράξεις 4 0 : α μ :α α μ Κάουμε τις πράξεις ζ) 4 Η βάση είαι θετική εφόσο ο εκθέτης είαι ζυγός 4 Κάουμε τις πράξεις ( ) + 4 α μ α α μ+ 4 Κάουμε τις πράξεις α β β α 9 4 Κάουμε τις πράξεις η) ( ) 0,0 0 0,0 0 - ( ) 0 0 (α ) μ α. μ

66 +68 Κεφάλαιο ο α μ α α μ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 4 α) ( x ) x β) ( xy ) x y γ) (-x) (-x ) δ) - x :x ε) (-x ) (-x ) στ) x : - x - Για α απλοποιήσουμε τις παραστάσεις θα ακολουθήσουμε τις εξής ιδιότητες τω δυάμεω. α) ( ) x x (α μ ) α μ 4 4 x x Κάουμε τις πράξεις x x Κάουμε τις πράξεις 6 4 Βάζουμε μαζί τις δυάμεις για α φαεί η ιδιότητα 6 4 x + μαα μα6 4 ( x x ) ( ) 0 x Κάουμε τις πράξεις β) ( ) xy x y (α μ ) α μ

67 Κεφάλαιο ο 69 x y x y Κάουμε τις πράξεις x y x y Χωρίζουμε τις ίδιες βάσεις Εοείται στο y η δύαμη 6 ( x x ) ( y y ) x y Κάουμε τις πράξεις x y Το επί εοείται 7 xy 7 γ) ( x) ( x ) (α μ ) α μ ( x ) ( x ) + Κάουμε τις πράξεις 4 x x ( ) Κάουμε τις πράξεις 4 ( ) ( x x ) Βάζουμε μαζί τις ίδιες δυάμεις 8 x + α μ α α μ+ 4 8 x Κάουμε τις πράξεις 4 8x δ) x :x (αβ) α μ β x :x x :x Κάουμε τις πράξεις α β αβ8 7 ( x :x ) 8 x 7 Κάουμε τις πράξεις α μ : α α μ-

68 70 Κεφάλαιο ο 8 x 7 8x 7 Κάουμε τις πράξεις ε) ( x ) ( x ) (α μ ) α μ ( ) ( x ) ( ) ( x ) Κάουμε τις πράξεις 7 x 4 x ( ) Χωρίζουμε τους αριθμούς και τις δυάμεις ( 4) ( x x ) + α μ α α μ x + Κάουμε τις πράξεις 08 x Κάουμε τις πράξεις 08x στ) x : x (α μ ) α μ x : x Κάουμε τις πράξεις x x Τη διαίρεση τη δείχουμε με κλάσμα για α φαεί καλύτερα η ιδιότητα x x α μ : α α μ- Κάουμε τις πράξεις

69 Κεφάλαιο ο 7 x Το εοείται x x Κάουμε τις πράξεις 4. Να υπολογίσετε τη τιμή κάθε παράστασης: Β (-4) :--(-) -(-) Α ( ) ( ) ( ) Γ ( ) ( ) ( ) ( ) 4,, -4-8 Δ ( ) :( ) Για α υπολογίσουμε τη τιμή κάθε παράστασης θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: Πρώτα γίοται οι πράξεις στις παρεθέσεις. Αρχικά υπολογίζοται οι δυάμεις, στη συέχεια εκτελούται οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις, τέλος γίοται οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις. Α ( ) ( ) ( ) Κάουμε τις πράξεις στις παρεθέσεις ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( )

70 7 Κεφάλαιο ο ( ) ( ) ( ) Εκτελούμε τις δυάμεις Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις ( ( Β (-4) :--(-) -(-) 4 Απαλοιφή παρεθέσεω ( + 6 ) : ( ) 4 ( + 6) Εκτελούμε τις δυάμεις ( + 6 ) : ( ) 4 ( + 6) Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς + 8 ( ) ( + 6) Κάουμε απαλοιφή παρεθέσεω Κάουμε τις προσθέσεις - αφαιρέσεις Γ [ ] [ ], ( 4), ( 8) Εκτελούμε τις δυάμεις ( 0) ( 0) Κάουμε τους πολλαπλασιασμούς Δ) ( 8 ): ( 40 ) ( ) 8 4 : 7 ( 8) 7 4 Εκτελούμε τις ιδιότητες τω δυάμεω ( 8 ):( 8 ) ( 8 ):( 8 ) ( 8 ) :( 8 ) ( 8 ):( 8 ) ( 8 ):( 8 )

71 Κεφάλαιο ο 7. Α τριπλασιάσουμε τη πλευρά εός τετραγώου, πόσες φορές μεγαλώει το εμβαδό του; Έστω ότι η πλευρά εός τετραγώου είαι α. Τότε α τριπλασιάσουμε τη πλευρά έχουμε: α θα υπολογίσουμε το εμβαδό με πλευρά α και το εμβαδό με πλευρά α. Έπειτα θα συγκρίουμε τα δύο εμβαδά και βλέπουμε πόσες φορές μεγαλώει το εμβαδό του τετραγώου. Υπολογίζουμε το εμβαδό τετραγώου με πλευρά α Εμβαδό τετραγώου με πλευρά α δίεται από το τύπο Ε α Είαι: Ε τετραγώου α Υπολογίζουμε το εμβαδό τετραγώου με πλευρά α. Άρα έχουμε: Είαι: E ( α) τετραγώου Εμβαδό τετραγώου με πλευρά α: Ε τετρ. α Εμβαδό τετραγώου με πλευρά α: Ε τετρ. 9α α 9 α Παρατηρούμε ότι το εμβαδό με τη τριπλάσια πλευρά είαι 9 φορές μεγαλύτερο από το άλλο.

72 74 Κεφάλαιο ο Λυμέες ασκήσεις εκτός βιβλίου. Να υπολογίσετε τα γιόμεα α) β) 4 4 γ) (0,) Θα χρησιμοποιήσουμε τις γωστές ιδιότητες τω δυάμεω. Θα χρησιμοποιήσουμε τις γωστές ιδιότητες τω δυάμεω α) και ίδιο εκθέτη (4).. Υπάρχου δύο δυάμεις που έχου διαφορετική βάση (7 και 7 ) Άρα, Αφού 7 7 και 4 β) 4 4. Υπάρχου τρεις δυάμεις με διαφορετικές βάσεις ( εκθέτη ()., 4 4 και ) και ίδιο

73 Κεφάλαιο ο 7 Άρα αφού ισχύει η ιδιότητα α α και, 8. β β, γ) (0,) Υπάρχου δύο δυάμεις με διαφορετικές βάσεις (0, και 40) και ίδιο εκθέτη (7). Άρα: (0,) (0, 40) 7 (0) Nα υπολογίσετε τις δυάμεις α) ( ), β) [(-) ], γ) [(-0) ] Θα χρησιμοποιήσουμε τη ιδιότητα τω μ δυάμεω ( ) μ α α Λύση Θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες τω δυάμεω α) ( ) Άρα, ( ) β) [(-) ]. Εδώ υπάρχει η δύαμη (-) υψωμέη στο. Άρα : [(-) ] (-) (-) 6 (-) (-) (-) (-) (-) (-) ο εκθέτης είαι το 6 (άρτιος) άρα η δύαμη είαι θετική γ) [(-0) ]. Εδώ υπάρχει η δύαμη (-0) υψωμέη στο.

74 76 Κεφάλαιο ο Άρα : [(-0) ] (-0) (-0) Να υπολογιστεί η παράσταση Α ( ) + 4 ( ) Λύση ( ) ( ) Α + 4 ( ) ( ) A + 4 ( ) A + 4 ( ) A A A 0 Κάουμε τις πράξεις μέσα στις παρεθέσεις Υπολογίζουμε τις δυάμεις Κάουμε το πολλαπλασιασμό Κάουμε τη πρόσθεση

75 Κεφάλαιο ο 77. Να υπολογιστού οι δυάμεις: α) β) :. Να υπολογισθεί η παράσταση: ( ) ( ) Α + 4 :. Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ) ( ) ( ) Α : 6 4. Να γραφού οι παραστάσεις με μορφή δύαμης εός αριθμού: α) ( ) : 0 7 β) ( ) : ( ) 4 ( ) 9 ( ). Να υπολογιστεί η παράσταση Α : 4 ( )

76 78 Κεφάλαιο ο Απατήσεις στις άλυτες ασκήσεις. α) 64 β). Α -4. Α α) β) -. Α - 6

77 Κεφάλαιο ο 79 ύαμη α, με βάση το αριθμό α και εκθέτη το φυσικό >0, είαι το γιόμεο από παράγοτες ίσους με α. ηλαδή: α α α.. α Ότα 0, και α 0, τότε α 0 Ότα, τότε α α Ότα, τότε α α α (α στο τετράγωο) Ότα, τότε α α α α (α στο κύβο) Είαι 0 0 και (στο δεξιό μέλος υπάρχου παράγοτες) Έστω α ρητός αριθμός. Για το πρόσημο τω δυάμεω του α ισχύου. Α α>0, τότε για κάθε είαι α >0 α >0, Α α<0, τότε ότα ο είαι άρτιος α <0, ότα ο είαι περιττός Ιδιότητες τω δυάμεω α μ α α μ+ μ α α αμ- ή α μ :α α μ- (με μ>) (α β) α β β α α α β β (α μ ) α μ