Εισαωή στις Συναρτήσεις Πλοήησης (Navigation Functions - NF) Οι συναρτήσεις πλοήησης είναι μια μεθοδολοία που εισήααν οι Rimon και Koditschek ια τον προραμματισμό κίνησης (motion planning) ενός ρομπότ, με άση τη μέθοδο των Τεχνητών Δυναμικών Πεδίων (ΤΠΔ). Το κύριο χαρακτηριστικό των NF έναντι των ΤΠΔ είναι ότι δεν παρουσιάζουν τοπικά ελάχιστα αλλά ένα μοναδικό ολικό ελάχιστο, που συμπίπτει με τον επιθυμητό προορισμό του ρομπότ. Θεωρούμε ότι ρομπότ ρίσκεται μέσα σε έναν επίπεδο χώρο που περιλαμάνει εμπόδια. Ως configuration q του ρομπότ ορίζουμε το διάνυσμα q = [ x y] T όπου x, y οι συντεταμένες της θέσης του ρομπότ ως προς ένα καρτεσιανό αδρανειακό σ.σ. σε κάποιο σημείο του χώρου. Ένα μοντέλο κίνησης του ρομπότ δίνεται από τη σχέση q = u T όπου u = ux u y η είσοδος του συστήματος. Το ζητούμενο είναι να κινηθεί το ρομπότ από ένα αρχικό configuration qi σε ένα τελικό configuration, αποφεύοντας τα εμπόδια του χώρου. Τι είναι η συνάρτηση πλοήησης; Η NF ϕ q είναι μια ειδική μορφή συνάρτησης δυναμικού, η οποία έχει ένα μοναδικό ελάχιστο, το ( ) τελικό configuration τότε q q. t του ρομπότ. Δηλαδή αν το ρομπότ κινηθεί με το νόμο ελέχου u = ϕ Προφανώς, ως συνάρτηση δυναμικού, η συνάρτηση πλοήησης χαρακτηρίζεται από μια συνάρτηση «ελκτικού» δυναμικού, που έλκει το ρομπότ προς το τελικό configuration q, και από μια συνάρτηση «απωστικού» δυναμικού, που ορίζεται ύρω από τα εμπόδια του χώρου και ωθεί το ρομπότ μακριά από αυτά Η NF ϕ ορίζεται ια χώρους που περιλαμάνουν εμπόδια νωστής εωμετρίας και ρίσκονται σε νωστές, σταθερές θέσεις. Η απλούστερη μορφή χώρου ια τον οποίο εξετάζουμε τη NF στα πλαίσια αυτού του εισαωικού κειμένου, είναι ένας σφαιρικός χώρος, αποτελούμενος από μια μεάλη σφαίρα που περιέχει μικρότερες σφαίρες στο εσωτερικό της, οι οποίες αναπαριστούν τα φυσικά εμπόδια (Σχ. ). D (,ρ ) ρ ρ Ο χώρος ερασίας D (q,ρ ) Σχήμα : Σφαιρικός χώρος: Η πιο απλή περίπτωση περιάλλοντος W (workspace) του ρομπότ οριοθετείται από τον κυκλικό δίσκο οποίο περιέχονται M (μικροί) κυκλικοί δίσκοι ( ) (, ) D ρ στον D q, ρ, =,, M, που οριοθετούν τα εμπόδια. Τα κέντρα και οι ακτίνες των δίσκων είναι νωστά. Οι μικροί δίσκοι δεν τέμνονται μεταξύ τους και ρίσκονται εξολοκλήρου μέσα στο μεαλύτερο δίσκο.
Προφανώς, ο ελεύθερος χώρος W free (free space), στον οποίο μπορεί να κινηθεί το ρομπότ αποφεύοντας τη σύκρουση με τα εμπόδια, προκύπτει αν από το χώρο ερασίας W αφαιρεθεί ο συνολικός χώρος των εμποδίων. Οι Rimon και Koditschek απέδειξαν ότι η NF ϕ πρέπει να πληροί συκεκριμένες μαθηματικές ιδιότητες, ώστε να ευάται τη σύκλιση του ρομπότ στο επιθυμητό configuration, με ταυτόχρονη αποφυή των εμποδίων του χώρου. Η NF ϕ πρέπει να είναι: ) αναλυτική (analytic) στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή να είναι τουλάχιστον δύο φορές παραωίσιμη & η δεύτερη παράωός της να είναι συνεχής, και να μπορεί να ραφεί ως σειρά Taylor ια κάθε σημείο του πεδίο ορισμού της ) πολική (polar) στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή να έχει ένα μοναδικό ελάχιστο, το οποίο είναι το τελικό configuration q 3) admissible στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή να παίρνει ομοιόμορφα τη μέιστη τιμή της στα όρια του πεδίου ορισμού της (δηλαδή στα όρια των εμποδίων) 4) μια συνάρτηση Morse, δηλαδή ο πίνακας των μερικών παραώων ης τάξης της συνάρτησης, στα κρίσιμα σημεία της (στα σημεία που η πρώτη μερική παράωος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν) να είναι μη ιδιάζων Η συνάρτηση πρέπει να περιλαμάνει ένα ελκτικό δυναμικό, που θα έλκει το ρομπότ στο μοναδικό ελάχιστο της συνάρτησης (το τελικό configuration ), και ένα απωστικό δυναμικό, που θα ωθεί το ρομπότ μακριά από τα όρια των εμποδίων. Για τη δημιουρία των δυναμικών αυτών, ορίζονται κατάλληλες συναρτήσεις, ως εξής: Ελκτικό Δυναμικό: Συνάρτηση απόστασης από το τελικό σημείο = όπου. η ευκλείδεια νόρμα, και κ > μια παράμετρος. Η συνάρτηση αυτή παίρνει τιμές μεαλύτερες του μηδενός, ενώ ίνεται ίση με μηδέν στο σημείο ταυτιστεί με το επιθυμητό configuration. q q - κ q =, δηλαδή όταν το configuration του ρομπότ Απωστικό Δυναμικό: Συνάρτηση εμποδίων Η συνάρτηση των εμποδίων περιράφει την απόσταση του ρομπότ από τα εμπόδια του χώρου, τα οποία είναι νωστής εωμετρίας (δηλαδή τα κέντρα q και οι ακτίνες ρ, =,, M των σφαιρών είναι νωστά). Η συνάρτηση αυτή ορίζεται έτσι ώστε να παίρνει τιμές μικρότερες του μηδενός, όταν το ρομπότ ρεθεί στο εσωτερικό του εμποδίου, ενώ ίνεται μηδέν όταν το ρομπότ ρεθεί στο σύνορο του εμποδίου. Έτσι, ια τη σφαίρα, η οποία ορίζει το workspace του ρομπότ, ορίζεται η συνάρτηση: D ( ) q = q- q + ρ η οποία είναι μικρότερη του μηδενός στο εξωτερικό της σφαίρας (αφού το ρομπότ δεν επιτρέπεται να κινηθεί έξω από το χώρο ερασίας του) και ίνεται ίση με το μηδέν στο όριο του workspace ενώ ια τις σφαίρες D, =,, M (τα εμπόδια του χώρου) ορίζονται οι σχέσεις = q- q ρ οι οποίες είναι ίσες με το μηδέν στα όρια των εμποδίων και μικρότερες του μηδενός στο εσωτερικό των σφαιρών, δηλαδή στο εσωτερικό των εμποδίων. D Τελικά, η απόσταση του ρομπότ από όλα τα εμπόδια του χώρου δίνεται από τη συνάρτηση των εμποδίων, που ορίζεται ως το ινόμενο των συναρτήσεων και, =,, M M = i i= D
Αναλυτική μορφή της συνάρτησης πλοήησης : free Για την κατασκευή της συνάρτησης πλοήησης ϕ W [ ], θεωρούμε αρχικά τη συνάρτηση ˆ ϕ = που περιλαμάνει το «ελκτικό δυναμικό» και το «απωστικό δυναμικό» των εμποδίων. Η συνάρτηση ˆϕ είναι ίση με μηδέν στο q, το οποίο αποτελεί το μοναδικό ελάχιστο της συνάρτησης τείνει στο άπειρο όταν η τιμή της συνάρτησης των εμποδίων τείνει στο μηδέν, δηλαδή στα όρια των εμποδίων Ωστόσο, το πεδίο τιμών της συνάρτησης δυναμικού πρέπει να είναι το [, ]. Έτσι, θεωρούμε τη συνάρτηση σ ( x) [ ],. H σύνθεση της συνάρτησης ( ) ως πεδίο τιμών το [, ]. Αναλυτικά: x + x, η οποία έχει πεδίο ορισμού το [, ) και πεδίο τιμών το x σ ˆ ϕ = σ ˆ ϕ έχει σ με τη συνάρτηση ˆϕ, δηλαδή η συνάρτηση ( ) ' ˆ ( ˆ ϕ = σ ϕ = σ ϕ) = = + + Η συνάρτηση ϕ ' παίρνει τη μικρότερη τιμή της (ίση με το μηδέν) ια =, δηλαδή στο τελικό configuration q (μοναδικό ελάχιστο της συνάρτησης) ίνεται ίση με όταν =, δηλαδή στα όρια των εμποδίων (στα όρια του πεδίου ορισμού της) είναι αναλυτική στο πεδίο ορισμού της Η συνάρτηση ϕ ' πληρoί τις τρεις από τις τέσσερις ιδιότητες ια να είναι συνάρτηση πλοήησης. Επιπλέον, πρέπει να είναι συνάρτηση Morse. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση ϕ που προκύπτει από τη σύνθεση της ϕ ' με τη συνάρτηση σ d ( x) x κ, δηλαδή η ϕ = σd ϕ', είναι μία συνάρτηση Morse. Η αναλυτική μορφή της φ είναι ϕ = σd ϕ' = σd( ϕ' ) = + και πληροί όλες τις ιδιότητες -4 που δόθηκαν προηουμένως. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ακέραιος N ώστε, η συνάρτηση ϕ = σ ˆ d σ ϕ = + αποτελεί (ια κάθε κ > N ) μια συνάρτηση πλοήησης. Έτσι, όταν η είσοδος στο σύστημα είναι u = ϕ το ρομπότ συκλίνει στο τελικό configuration, δηλαδή q t q, ξεκινώντας σχεδόν από οποιαδήποτε αρχική συνθήκη, με ταυτόχρονη αποφυή των εμποδίων. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφέρουμε ότι μιλάμε ια σύκλιση στο τελικό configuration από «σχεδόν όλες» τις αρχικές συνθήκες. Αυτό συμαίνει ιατί κάθε εμπόδιο του χώρου εισάει τουλάχιστον ένα ϕ q, που είναι όμως σημείο ασταθούς ισορροπίας. Επομένως, σημείο σάματος (saddle point) στη NF ( ) κ κ
υπάρχει ένα σύνολο μηδενικού μέτρου, με πεπερασμένο αριθμό αρχικών συνθηκών, από τις οποίες αν ξεκινήσει το ρομπότ, θα οδηηθεί και θα εκλωιστεί σε κάποιο σημείο σάματος της NF. Η μεθοδολοία των συναρτήσεων πλοήησης επεκτείνεται και εφαρμόζεται σε χώρους που περιέχουν εμπόδια (ή σύνολα επικαλυπτόμενων εμποδίων) με εωμετρία αστεροειδούς. Ένα αστεροειδές χαρακτηρίζεται από ένα «κεντρικό» σημείο Α, από το οποίο όλες οι ακτίνες του σχήματος το τέμνουν μία μόνο φορά. Με χρήση κατάλληλων συμμόρφων μετασχηματισμών, ένας τέτοιος μη σφαιρικός χώρος μετασχηματίζεται σε σφαιρικό και, αντίστοιχα, η συνάρτηση πλοήησης ϕ ενός σφαιρικού κόσμου μετασχηματίζεται κατάλληλα σε συνάρτηση πλοήησης ϕ r του πραματικού κόσμου. Έτσι, οι συναρτήσεις πλοήησης εφαρμόζονται επιτυχώς στον προραμματισμό της πορείας ενός ρομπότ σε έναν πραματικό κόσμο που περιλαμάνει εμπόδια αρκετά πολύπλοκης εωμετρίας. Το πλεονέκτημα των συναρτήσεων πλοήησης έναντι των κλασικών συναρτήσεων δυναμικού καταδεικνύεται στο παράδειμα που ακολουθεί. Θεωρούμε ότι το ρομπότ ρίσκεται σε έναν επίπεδο χώρο, ο οποίος περιλαμάνει ένα εμπόδιο σε σχήμα «Π». Το αρχικό και το τελικό configuration του ρομπότ είναι το q και το q, αντίστοιχα. Το ρομπότ κινείται από το αρχικό στο τελικό configuration, I αρχικά με την εφαρμοή μιας κλασικής συνάρτησης δυναμικού, και στη συνέχεια με την εφαρμοή μιας συνάρτησης πλοήησης. Η πορεία που προκύπτει φαίνεται στα ακόλουθα σχήματα. 3 Α q I - - -3-4 -3 - - 3 = Σχήμα : Ισοδυναμικές ραμμές του ΤΠΔ (αριστερά) & η τιμή της συνάρτησης U σε κάθε σημείο του χώρου (δεξιά) Στο σχ. απεικονίζονται οι ισοδυναμικές ραμμές του πεδίου που ορίζεται από μια κλασική συνάρτηση δυναμικού U (αριστερά) και η τιμή της συνάρτησης δυναμικού σε κάθε σημείο του ελεύθερου χώρου (δεξιά). Η συνάρτηση ίνεται ίση με μηδέν στο τελικό configuration, ενώ στα σημεία ύρω από το εμπόδιο παίρνει μεάλες τιμές, εξαιτίας του απωστικού δυναμικού. Επιπλέον σημειώνεται ένα σημείο Α, στο οποίο η μερική παράωος της συνάρτησης δυναμικού είναι ίση με το μηδέν: =. Το σημείο Α αποτελεί ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης. Το ρομπότ κινείται από το αρχικό configuration δηλαδή προς το τελικό configuration ρυθμό μείωσης του συνολικού δυναμικού. qi με είσοδο u = - K U, K > οδηείται, κινούμενο προς την κατεύθυνση που εμφανίζει το μέιστο Η πορεία που ακολουθεί το ρομπότ σημειώνεται με την έντονη ραμμή στα σχήματα. Ωστόσο, το ρομπότ οδηείται στο κρίσιμο σημείο Α (τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης δυναμικού), στο οποίο ισχύει / q=, που συνεπάεται ότι η είσοδος ίνεται ίση με μηδέν, δηλαδή u =. Κατά συνέπεια, το ρομπότ εκλωίζεται στο σημείο Α και δεν οδηείται ποτέ στο τελικό configuration.
Έτσι, η μέθοδος των Τεχνητών Δυναμικών Πεδίων δε δίνει πάντοτε λύση στο πρόλημα του προραμματισμού της πορείας ενός ρομπότ. Στη συνέχεια, το ίδιο πρόλημα αντιμετωπίζεται με χρήση συναρτήσεων πλοήησης. Στο σχ. 3 απεικονίζονται οι ισοδυναμικές ραμμές του πεδίου που προκύπτει από τη συνάρτηση πλοήησης. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειώσουμε ότι προφανώς το εμπόδιο δεν είναι σφαιρικό, αλλά ένα σύνολο ελλειπτικών, επικαλυπτόμενων μεταξύ τους, σχημάτων. Ωστόσο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση πλοήησης και σε χώρους που περιέχουν εμπόδια τέτοιας εωμετρίας. 4 3 q Ι - - -3-4 -5-4 -3 - - 3 4 5 Σχήμα 3: Ισοδυναμικές ραμμές του πεδίου που ορίζεται από τη συνάρτηση πλοήησης Όπως φαίνεται στο σχ. 4, η συνάρτηση πλοήησης έχει ένα μοναδικό ελάχιστο, το οποίο συμπίπτει με το τελικό configuration, και στο οποίο η τιμή της είναι ίση με μηδέν. Επιπλέον, η τιμή της συνάρτησης ίνεται μέιστη, ίση με, στα όρια των εμποδίων, δηλαδή στο όριο του εσωτερικού εμποδίου και στο όριο του χώρου ερασίας του ρομπότ. Η πορεία που ακολουθεί το ρομπότ με είσοδο ελέχου u = ϕ( ) σχ. 4. Το ρομπότ συκλίνει στο τελικό configuration q φαίνεται με την έντονη ραμμή στο αποφεύοντας τα εμπόδια του χώρου. Έτσι, η χρήση των συναρτήσεων πλοήησης επιλύει το πρόλημα του εκλωισμού του ρομπότ στα τοπικά ελάχιστα των κλασικών συναρτήσεων δυναμικού. Σχήμα 4: H τιμή της συνάρτησης πλοήησης σε κάθε σημείο του ελεύθερου χώρου και η αντίστοιχη τροχιά προς το ολικό ελάχιστο από μία τυχαία αρχική θέση.