Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Ποσομοίωση Mot Crlo Δ.Γ. Παπαγεωγίου Λίγη ιστοία 777 Gorgs Lous LClrc, Cot d Buffo: Θεωητική πόβλεψη για το πείαμα τυχαίας ίψης βελόνας. 90 Lzzr: Πειαματική επιβεβαίωση της πόβλεψης του Buffo. Τέλος ου παγκόσμιου πολέμου u, Ul, Mtropols: Μελέτη διάχυσης νετονίων σε σχάσιμο υλικό. 949 Mtropols, Ul: Πώτη πειγαφή της μεθόδου. 95 Mtropols t l.: Εφαμογή της μεθόδου για την καταστατική εξίσωση δισδιάστατου συστήματος σκληών σφαιών. Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Στοχαστικά πειάματα τύπου ευστοχίας αστοχίας Cot d Buffo 777 Θεωήστε παάλληλες γαμμές που απέχουν d. Ρίχνουμε τυχαία μια βελόνα μήκους l πάνω στις γαμμές. Ποια είναι η πιθανότητα η βελόνα να τμήσει μια γαμμή ; P Για Για short l d l d ναλυτική λύση (μική βελόνα l Pshort d (μεγάλη βελόνα d l d Plog cos l d l Πειαματική επιβεβαίωση cross l d cross l d Gorgs Lous Lclrc d Buffo 707 788 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 90 Lzzr: Έκανε 407 τυχαίες ίψεις και υπολόγισε μια ποσέγγιση του π.4599 Στοχαστικά πειάματα τύπου ευστοχίας αστοχίας Θεωήστε ένα κύκλο ακτίνας και το πειγεγαμμένο τετάγωνο. Κάνουμε τυχαίες ίψεις στο τετάγωνο ΟΓ χησιμοποιώντας αιθμούς από μια ομοιόμοφη κατανομή. Μετάμε πόσες ίψεις ht πέφτουν εντός του κύκλου (σκιασμένη πειοχή. Η πιθανότητα να βεθεί μια ίψη στη σκιασμένη πειοχή ισούται με το λόγο των εμβαδών: E P E crcl squr 4 ht Το σφάλμα είναι ανάλογο του 4 ht Μετά από 0 7 ίψεις το αποτέλεσμα έχει μόνο ψηφία σωστά (ο Lzzr είχε ένα τυχεό απόγευμα!! Εκτίμηση του αιθμού π σαν συνάτηση των τυχαίων ίψεων. Coputr Sulto of Lquds, M.P. All, D.J. Tldsly Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 4 Γ O Πείαμα Buffo Πείαμα κύκλου
Ολοκλήωση ευστοχίας αστοχίας Κατανομές πιθανότητας τυχαίων αιθμών Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήωμα I f ( Γνωίζουμε ότι η συνάτηση f( πεικλείεται σε πααλληλόγαμμο με x f f ( x f low hgh. Παάγουμε Ν ζεύγη τυχαίων σημείων (x,y με x και f low y f hgh. Μετάμε τα σημεία Ν s που πέφτουν εντός της σκιασμένης πειοχής, δηλαδή ικανοποιούν τη συνθήκη f low y f hgh. Η πιθανότητα να πέσει ένα σημείο εντός της σκιασμένης πειοχής είναι ο λόγος των εμβαδών της σκιασμένης πειοχής / πααλληλογάμμου. s f hgh I P I ( ( fhgh flow ( ( f f hgh low f low Ολοκλήωση ευστοχίας αστοχίας s Οι τυχαίοι αιθμοί επιλέγονται με βάση τη συνάτηση κατανομής πιθανότητας (. H ( δείχνει πόσο «πυκνοί» είναι οι τυχαίοι αιθμοί σε κάθε σημείο του διαστήματος μέσα στο οποίο επιλέγονται. ( = πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεταξύ x και x+ ( 0 και ( Tο πλήθος των τυχαίων αιθμών που θα βεθούν εντός διαστήματος [x,x ] επί συνόλου είναι: x x ( ( Μέση τιμή της κατανομής Διακύμανση ν x είναι τυχαία μεταβλητή που υπακούει την κατανομή (, τότε η μέση τιμή της συνάτησης f( είναι: ~ f f ( ( x ( ( x ( Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 5 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 6 Συνήθεις κατανομές πιθανότητας Ολοκλήωση με τη μέθοδο της μέσης τιμής Ομοιόμοφη κατανομή Εκθετική κατανομή ( ( ( x Κατανομή Guss ή κανονική κατανομή ( x ( Κατανομή Mxwll Boltz ( v 4v v Μέση τιμή Διακύμανση ( 8 ( Θεωήστε το ολοκλήωμα I g( Υποθέστε ότι η g( μποεί να γαφεί ως: g( f ( ( όπου ( μια κατανομή πιθανότητας με ( 0 και ( Τότε το ολοκλήωμα είναι η μέση τιμή της συνάτησης f( χησιμοποιώντας τυχαίους αιθμούς που λαμβάνονται από την κατανομή (. Ολοκλήωση με τη μέθοδο μέσης τιμής. Παάγουμε Ν τυχαίους αιθμούς x με x από την κατανομή (.. Το ολοκλήωμα ποσεγγίζεται ως: I Το σφάλμα είναι ανάλογο του Δειγματοληψία σπουδαιότητας Iportc splg Η συνάτηση ( πέπει να επιλεγεί έτσι ώστε οι τυχαίοι αιθμοί να δειγματοληπτούν πειοχές της f( που συνεισφέουν σημαντικά στη μέση τιμή. f ( x Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 7 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 8
ιτιοκατικός υπολογισμός ολοκληώματος Πολυδιάστατα ολοκληώματα Η μέθοδος του ταπεζίου I f ( I hf ( x f ( x με σφάλμα ολοκλήωσης / ν εφαμόσουμε μια αιτιοκατική μέθοδο ολοκλήωσης σε πολυδιάστατο ολοκλήωμα πχ: Χωίζουμε το διάστημα ολοκλήωσης σε ίσα υποδιαστήματα. Η συνάτηση f( μεταξύ δύο σημείων ποσεγγίζεται από μια ευθεία. Σε κάθε υποδιάστημα το ολοκλήωμα ποσεγγίζεται από το εμβαδό ενός ταπεζίου. Άλλες γνωστές μέθοδοι Μέθοδος του οθογωνίου Η συνάτηση ποσεγγίζεται από μια σταθεά. Σφάλμα / Μέθοδος Spso H συνάτηση ποσεγγίζεται από μια πααβολή. 4 Σφάλμα / Γενική πείπτωση: Μέθοδοι wto Cots Η συνάτηση ποσεγγίζεται από ένα πολυώνυμο βαθμού k Σε όλες τις πειπτώσεις καταλήγουμε σε άθοισμα της μοφής: I w f ( x Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 9 Θα καταλήξουμε σε ένα τύπο της μοφής: Ποβλήματα Το πλήθος των υπολογισμών της συνάτησης αυξάνει με τη διάσταση ως d Το σφάλμα ολοκλήωσης χειοτεεύει!! Θεώημα Bkhvlov ν σε μια συμβατική μέθοδο ολοκλήωσης σε μια διάσταση το σφάλμα είναι ανάλογο του / τότε για d διαστάσεις το σφάλμα είναι ανάλογο του / /d Στις μεθόδους ολοκλήωσης Mot Crlo το σφάλμα είναι πάντα ανάλογο του / ανεξάτητα από τη διάσταση της συνάτησης. Οι μέθοδοι ολοκλήωσης Mot Crlo υπετεούν έναντι των συμβατικών για ολοκληώματα πολλών διαστάσεων. kol Srgvch Bkhvlov 94 005 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 0 Που χειαζόμαστε την πολυδιάστατη ολοκλήωση ; λυσίδες Mrkov Η τιμή μιας ιδιότητας είναι: A os T A d A( ( s Η κατανομή πιθανότητας στο ισόθεμο στατιστικό σύνολο είναι: T H ( T drdp! h dp! h K T U T H ( r, p K ( p dr U ( r! K T U T T h k T T B dr U ( r Aos d A( ( K dra( r T Θεμικό μήκος κύματος d Brogl U ( r T Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή μιας ιδιότητας στο στατιστικό σύνολο χειαζόμαστε πολυδιάστατη ολοκλήωση κολουθία δοκιμών που ικανοποιεί τις συνθήκες: Το αποτέλεσμα μιας δοκιμής ανήκει σε ένα πεπεασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Γ, Γ, που ονομάζεται χώος καταστάσεων. Το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής εξατάται μόνο από την αμέσως ποηγούμενη δοκιμή («μνήμη» ενός μόνο βήματος. Η πιθανότητα να γίνει μετάβαση από την κατάσταση στην κατάσταση δίνεται από το στοιχείο π του πίνακα μετάβασης π. Ποφανώς Πος πό Έστω ή αχική κατανομή πιθανοτήτων του συστήματος. Μετά από ένα βήμα, έχουμε: ( Γενικά μετά από k βήματα: ( k ή σε μοφή πίνακα: π Το όιο για μεγάλο αιθμό μεταβάσεων υπάχει και είναι μοναδικό (θεώημα Prro Frous: ( k q l k λυσίδες Mrkov στις οποίες μποεί κανείς να πάει από οποιαδήποτε κατάσταση σε οποιαδήποτε άλλη ονομάζονται εγοδικές ή μη αναγώγιμες. Η συνθήκη εγοδικότητας σημαίνει ότι όλα τα στοιχεία του π k είναι μη μηδενικά για κάποια δύναμη k. ( π ( k k π Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση
Παάδειγμα αλυσίδας Mrkov Θεωείστε δύο δοχεία και με δύο μπλε και τεις κόκκινες μπάλες κατανεμημένες έτσι ώστε στο δοχείο να υπάχουν πάντα δύο μπάλες και στο τεις. Μπάλες του ιδίου χώματος δεν ξεχωίζονται. Το σύστημα έχει τείς δυνατές καταστάσεις: Κατάσταση Κατάσταση Κατάσταση Οι μεταβάσεις γίνονται επιλέγοντας τυχαία μια μπάλα από το δοχείο, μια άλλη από το και ανταλλάσσοντας τις θέσεις τους. Παάδειγμα αλυσίδας Mrkov Κατάσταση Κατάσταση Κατασκευή του πίνακα μετάβασης πό την κατάσταση Για να μείνουμε στην κατάσταση Για να πάμε στην κατάσταση Για να πάμε στην κατάσταση Ποια είναι η τελική πιθανότητα,, των τιών καταστάσεων μετά από μεγάλο αιθμό μεταβάσεων ; Adry Mrkov 856 9 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 4 Παάδειγμα αλυσίδας Mrkov Δειγματοληψία σπουδαιότητας Επιλέγουμε μια αχική εκτίμηση για τις πιθανότητες, πχ 0 0 Μετά από μια σειά τυχαίων μεταβάσεων οι πιθανότητες γίνονται: ( ( ( (4 π π π π Ποια είναι η κατάσταση ισοοπίας q μετά από πολλές μεταβάσεις ; ( ( ( Επαναληπτική λύση 0 π π 4 π 0 0.667 0.08 0.06 0.5 0.68 0.587 0. 0.77 0. Στην κατάσταση ισοοπίας το διάνυσμα δεν αλλάζει. Πέπει δηλαδή q π ναλυτική λύση q q ( π I 0 0 6 0 0 q 0. Η λύση είναι 0.6 0. Το q είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα π με ιδιοτιμή Σύστημα ομογενών εξισώσεων με αγνώστους Συνθήκη κανονικοποίησης Στην πείπτωση ατομικών συστημάτων ο πίνακας μετάβασης είναι εξαιετικά μεγάλος. Σε αντίθεση με το παάδειγμα των δύο δοχείων τα στοιχεία του πίνακα μετάβασης είναι άγνωστα, όμως είναι γνωστή η τελική κατανομή = T Θέλουμε να βούμε μια αποτελεσματική αιθμητική διαδικασία δειγματοληψίας του χώου σύμφωνα με την κατανομή. Η δειγματοληψία συνίσταται στην κατασκευή μιας αλυσίδας Mrkov με διαδοχικές καταστάσεις του συστήματος Γ, Γ, Γ trls Κάθε κατάσταση Γ k μποεί να εμφανίζεται πεισσότεες από μια φοές έτσι ώστε να ανταποκίνεται στην δοσμένη πιθανότητα (Γ k. ν μποέσουμε να δημιουγήσουμε αυτή την ακολουθία καταστάσεων τότε θα μποέσουμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή οποιασδήποτε ιδιότητας ως πος την κατανομή πιθανοτήτων : A trls trls k A( k Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 5 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 6
Μέθοδος Mtropols Ο πίνακας μετάβασης επιλέγεται ως: και ικανοποιεί Ο α ονομάζεται υποκείμενος πίνακας της αλυσίδας Mrkov, είναι συμμετικός chols Mtropols 95 999 Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Ο πίνακας μετάβασης γάφεται και ως: Πιθανότητα μετάβασης, Πιθανότητα να επιχειηθεί κίνηση Πιθανότητα αποδοχής Τα στοιχεία του πίνακα π υπακούουν τη συνθήκη μικοσκοπικής αντιστεπτότητας: θοίζοντας ως πος όλες τις καταστάσεις λαμβάνουμε Η σε μοφή πίνακα: π Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 7 Μέθοδος Mtropols Δεδομένης μιας κατάστασης κατασκευάζεται η επόμενη δοκιμαστική κατάσταση, επιλέγοντας τυχαία ένα άτομο και μετατοπίζοντας το τυχαία μέσα σε κύβο R πλευάς δ rx. Υπάχουν R νέες δυνατές θέσεις του ατόμου. Τα στοιχεία του υποκείμενου πίνακα α επιλέγονται ως / R 0 r R r R Με την επιλογή αυτή οι κινήσεις επιχειούνται μόνο μεταξύ καταστάσεων που είναι κοντά μεταξύ τους. Τα στοιχεία του πίνακα α είναι μηδέν εκτός από κάποια που αντιστοιχούν σε ζεύγη γειτονικών καταστάσεων. U / Τα στοιχεία του πίνακα μετάβασης π εξατώνται από T τις σχετικές πιθανότητες των U / καταστάσεων, U / U / Κατάσταση Coputr Sulto of Lquds, M.P. All, D.J. Tldsly ( U U / U / Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 8 T Τυπικός αλγόιθμος Mot Crlo Τυχαία επιλογή ενός ατόμου Δημιουγία δοκιμαστικής κατάστασης με τυχαία μετατόπιση του ατόμου Υπολογισμός μεταβολής δu στη δυναμική ενέγεια ποδοχή πάντα xp( δu/k B T πόιψη ποδοχή δu δu Παάγουμε ένα τυχαίο αιθμό ξ στο διάστημα (0, από την ομοιόμοφη κατανομή. U / Ο αιθμός ξ συγκίνεται με Εάν είναι μικότεος τότε η κίνηση γίνεται αποδεκτή ειδάλλως αποίπτεται. Δημιουγία τυχαίου αιθμού t t U / k B T Ναι Οχι πόιψη της δοκιμαστικής κατάστασης Οχι U 0 Ναι ποδοχή της δοκιμαστικής κατάστασης ποδοχή της δοκιμαστικής κατάστασης Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 0
Ποσομοίωση Mot Crlo στο ισόθεμο ισοβαές σύνολο Ποσομοίωση Mot Crlo στο ισόθεμο ισοβαές σύνολο Σταθεά: Πλήθος ατόμων Ν Πίεση P Θεμοκασία Τ Η πυκνότητα πιθανότητας στο ισόθεμοισοβαές στατιστικό σύνολο είναι: PT ( r, PT U P Μια οποιαδήποτε ιδιότητα υπολογίζεται ως: A d dra( r, PT ( r, PT Χησιμοποιούμε ανηγμένες συντεταγμένες s r / L όπου L η διάσταση του κουτιού (κύβου της ποσομοίωσης. Οι ανηγμένες συντεταγμένες δείχνουν τη σχετική θέση των ατόμων ως πος τα όια του κουτιού και έχουν τιμές 0 s Η πιθανότητα στο στοιχείο του πολυδιάστατου χώου είναι: ( r, drd ( r, L dsd ( r, dsd Η πυκνότητα πιθανότητας στις ανηγμένες συντεταγμένες είναι: PT ( s, ( r, PT PT PT U P l PT U P l U P Ο λόγος πιθανοτήτων δύο καταστάσεων είναι: ( U P / l T ( U P / l T ( U P / l ( U P / l ( U U / P( / l ( U P / l Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση Ποσομοίωση Mot Crlo στο ισόθεμο ισοβαές σύνολο ασικές κινήσεις χική κατάσταση Μετατόπιση τυχαία επιλεγμένου ατόμου Συστολή ή διαστολή του κουτιού διατηώντας ίδιες τις ανηγμένες συντεταγμένες (οι κατεσιανές συντεταγμένες όμως αλλάζουν Μετατόπιση: Πιθανότητα αποδοχής: Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση, Πιθανότητα αποδοχής: s w Μεταβολή όγκου: s old s U / w, ( x ξ: τυχαίος αιθμός ομοιόμοφα κατανεμημένος στο διάστημα (0, old x ( w ( U P / l old Ποσομοίωση Mot Crlo στο μεγαλο κανονικό σύνολο Σταθεά: T ( r, Χημικό δυναμικό μ Όγκος Θεμοκασία Τ Η πυκνότητα πιθανότητας είναι: T! U Όπως και στο ισόθεμο ισοβαές χησιμοποιούμε ανηγμένες συντεταγμένες s r L / Η πιθανότητα στο στοιχείο του πολυδιάστατου χώου είναι: ( r, dr ( r, L ds ( r, ds Η πυκνότητα πιθανότητας στις ανηγμένες συντεταγμένες είναι: ( s, ( r, Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 4 T T U T! U l! l l T Ο λόγος πιθανοτήτων δύο καταστάσεων είναι: U w! l l l old!
Ποσομοίωση Mot Crlo στο μεγαλο κανονικό σύνολο ασικές κινήσεις Μετατόπιση τυχαία επιλεγμένου ατόμου Πιθανότητες αποδοχής, U / χική κατάσταση Ν άτομα Δημιουγία ατόμου, ( U Ν άτομα Ν+ άτομα Καταστοφή ατόμου Ν άτομα, U Πόγαμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Ποηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική ποσομοίωση 5