AO Ηλεκτρονική ΙΙΙ Παύλος - Πέτρος Σωτηριάδης Ανάλυση Θορύβου Σε Γραμμικά Κυκλώματα Θεωρία, Εξαρτήματα και ιατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
R Θόρυβος σε Εξαρτήµατα (Θα τα µελετήσουµε αργότερα σε λεπτοµέρεια) Noiseless (ideal) BJT Thevenin D Norton MOSFET (!) Στα ισοδύναµα µοντέλα θορύβου των εξαρτηµάτων οι αντιστάσεις (ωµικές) είναι Noiseless
Θόρυβος σε ίθυρα 3
Ανάλυση Θορύβου Σε Γραµµικά Κυκλώµατα Μέρος 1ο : Βασικές Μαθηµατικές Έννοιες 4
Ορολογία Convolution Συνέλιξη Autocorrelation Αυτό-συσχέτιση Cross-correlation Ετερο-συσχέτιση Power Spectral Density (PSD) Πυκνότητα Ισχύος Φάσµατος (Cross) Power Spectral Density Ετερο- Πυκνότητα Ισχύος Φάσµατος Linear Time Invariant (LTI) Γραµµικό Χρονικά Αµετάβλητο Impulse Function Κρουστική Συχνότητα (Joint) Probability Density Function (Από κοινού) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (Joint) Wide Sense Stationary (WSS) (Από κοινού) Στάσιµη υπό την ευρεία έννοια 5
( ) { t : t T} Στοχαστικές ιαδικασίες Στοχαστική ιαδικασία : Μία παραµετροποιηµένη (t) οικογένεια από τυχαίες µεταβλητές (t) t T ( t) Προσοχή: για κάθε τιµή του η είναι τυχαία µεταβλητή! Προσοχή: για µας θα είναι: T =R Η Στοχαστική ιαδικασία χαρακτηρίζεται πλήρως όταν: k N t t t R, 1,,..., k Γνωρίζουµε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint probability density function) : f a a a ( ) ( ) ( )(,,..., t, t,..., t k k) 1 1 6
Wide Sense Stationary (WSS) Σ Η Στοχαστική ιαδικασία λέγεται Wide Sense Stationary (WSS) όταν : ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( )( ) ( ) R t, t τ E t t τ y z f y, z dydz R τ, tτ R + + = t, t+ τ = R Autocorrelation ( ) ( ) { } ( )( ) m t E t f d m = = t R (, y : Real) ύο Σ λέγονται Jointly Wide Sense Stationary (JWSS) όταν : ( ) ( ) y( ) { } ( ) ( )( ) ( ) R, t, t+ τ E t t+ τ = y y z f y, z dydz= R t, t τ, τ y + y Cross-correlation R 7
Φάσµα WSS Σ και Cross-Φάσµα JWSS Σ Η πυκνότητα Ισχύς Φάσµατος (Power Spectral Density, (PSD) ) ή απλά Φάσµα µιας WSS Σ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της autocorrelation : πι f t ( ) ( ) S f = R t e dt Η Cross- Power Spectral Density ή Cross-Spectrum δύο JWSS Σ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της cross-correlation αυτών : πι f t S, ( f) = y R, y( τ) e dt 8
[ Θεώρηµα Wiener-Khintchine ] Ο "πραγµατικός" ορισµός της Πυκνότητας Ισχύς Φάσµατος (Power Spectral Density, (PSD) ) στοχαστικής διαδικασίας είναι : T / true 1 πι f t S ( f) = lim E ( t) e dt T T T / Το θεώρηµα δείχνει ότι αν η Χ είναι WSS (και τα ολοκληρώµατα και το όριο ορίζονται µαθηµατικά), τότε ισχύει : S = S true Είναι σηµαντικό να κρατήσουµε ότι : S( f) 0 f R 9
( τ) = ( ) ( + τ) { } R E t t ( τ) = ( ) ( + τ), y y { } R E t t πι f t S, ( f) = y R, y( τ) e dt PSD S( f) 0 Κάποιες Ιδιότητες Autocorrelation ( ) = ( ) R t R t Cross-correlation ( ) = ( ) R t R t, y y, (, y : Real) t R t R t R Cross-Power Spectral Density * ( ) = ( ) = ( ) S f S f S f, y, y y, f R 10
Στοχαστική είσοδος σε Linear Time Invariant (LTI) Σύστηµα X ( t) Y( t) LTI System Impulse function: h Ακριβώς όπως µε ντετερµινιστικό σήµα στην είσοδο (convolution): Y ( t) = ( h X)( t) ( ) X( ) ( ) X( ) h t τ τ dτ h τ t τ dτ = = Θυµηθείτε ιδιότητες της συνέλιξης (convolution): a b= b a ( a b) c a ( b c) = Οπότε το a b c είναι σαφώς ορισµένο ( a a a )( ) = a ( ) a ( ) a ( ) 1 k 1 k 11
Correlations και PSD των Σ Εισόδου - Εξόδου, y ( ) = ( ( ) )( ) R t h h R t y ( ) = ( )( ) ( ) = y( ) = ( h( ) R( ) )( t) = ( h( ) R )( t) R t h R t R t R t y,, ( ) = ( ) ( ) S f H f S f y Θυµηθείτε ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier : πι f t ( ) ( ) A f = a t e dt a b A B ( a : Real) * ( ) = ( ) a A A, y ( ) = ( ) ( ) * ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) S f H f S f S f H f S f H f S f y, 1
LTI Σύστηµα µε Εισόδους Ντετερµινιστική Είσοδος u1 u ( t) ( t) LTI System Impulse functions: h 1, h y( t) y= h1 u1+ h u Στοχαστική Είσοδος ( t 1 ) LTI System Impulse y( t) ( t) functions: h 1, h y= h + h 1 1 13
Μια Χρήσιµη Σχέση E{ ( g1 z1)( t) ( g z)( t+ τ) } = E g1( r) z1( t r) dr g( s) z( t+ τ s) ds (*) { } ( ) ( ) z ( ) z ( τ ) = dr ds g r g s E t r t+ s 1 1 ( ) ( ) ( τ ) = dr ds g r g s R s+ r 1 z, z ( )( )( τ ) ( ) ( )( τ ) 1 ( g1( ) g Rz, z )( τ) 1 = dr ds g r g R + r 1 z, z 1 z, z 1 = dr g r g R r = 1 14
LTI Σύστηµα µε Στοχαστικές Εισόδους {( )( ) ( )( )} ( 1 z1 z + τ = 1( ) z, z )( τ) E g t g t g g R 1 ( t 1 ) LTI System Impulse y( t) ( t) functions: h 1, h y= h + h 1 1 ( τ) { ( ) ( + τ) } Ry = h1 h1( ) R 1 + h1( ) h R 1, + h1 h ( ) R ( ) 1, ( h1( ) h R )( ) 1, + h h ( ) R Ry E y t y t = 15
PSD Εξόδου LTI Συστήµατος µε Στ. Εισόδους ( ) R = h h R y 1 1 ( ) + h h R 1, ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 + h h R 1, + h h R 1 S = H S y + H H S * 1, + H H S 1 1 * * 1, + H S 1 { * } S = H S + Re H H S + H S y 1 1, 1 1 Θυµηθείτε : πι f t ( ) ( ) S f = R t e dt πι f t *, y( ), y ( τ) a( ) A = A( ) S f = R e dt πι f t ( ) ( ) A f = a t e dt 16
Συµ_βολική Μέθοδος Y = H1 X1+ H X S Y վ * ( ) ( ) * Y Y = H1X1+ HX H1X1+ HX * S X X = X * Sy Y Y = Y S X X *, 1 * * * * 1 1 1 1 1 1 = H X + H H X X + H H X X + H X 1 վ վ վ վ * * y = 1 + 1, + 1, + S H S H H S H H S H S 1 1 1 { * } = H S + Re H H S + H S 1 1, 1 1 17
Γενίκευση : LTI Σύστηµα µε Ν Στοχ. Εισόδους ( ) t 1 LTI System ( t) y( t) : n ( t) Impulse functions: h 1,h,,h n y n = hk k= 1 k n * { } k l = + S H S Re H H S y 1 1 k, l k= 1 k< l Συµ_βολική Μέθοδος : αντίστοιχα 18
Παράδειγµα Λεπτοµέρειες : Μετασχηµατισµός Laplace αντί για Fourier, s πift ( s) = H ( s) ( s) + H ( s) ( s) u u u 1 1 1+ R Cs R Cs H ( s) =, H ( s) = R R Cs R R Cs 1 1 1+ ( 1+ ) 1+ 1+ ( ) ( ) = ( π ) ( ) S f H if S f u 1 1 ( π ) u( ) *( π ) ( π ) ( ) + H if S f u + H if H if S f 1 u, u 1 19
Πυκνότητα Ισχύς Φάσµατος Θορύβου (PSD) Σ.. WSS (& εργοδικό) ( t) Ιδανικό Ζωνοπερατό Φίλτρο 1 f δ f f +δ f y ( t) lim T 1 T T 0 ( ( t) ) y dt = E y {( ( t) ) } ([ δ, + δ ]) P f f f f S ( f) = lim δ f 0 [ δ, + δ ] ( ) P f f f f δ f Μέση Ισχύς της Σ.. µέσα στη ζώνη συχνοτήτων f f, f + f [ δ δ ]
Πυκνότητα Ισχύς Φάσµατος Θορύβου (PSD) Πώς δίνεται η S (f)? (1) Για πραγµατικά σήµατα: ( ) = ( ) R t R t ( ) = ( ) S f S f πι f t S ( f) = R( t) e dt ( ) cos( πι ) = R t f t dt Ποιο Συνηθισµένη : ΑΥΤΉ θα Χρησιµοποιούµε ( ) = ( ) + ( ) = ( ) S f S f S f S f unilateral Μονόπλευρη περιγραφή Αµφίπλευρη περιγραφή f [ 0, ) f (, )
Πυκνότητα Ισχύς Φάσµατος Θορύβου (PSD) Πώς δίνεται η S (f)? () Τάση: v( t) S ( f) v = : V Hz "Γράφεται" και: Η και σαν v ( ) v S f = v : V ( rms) Hz Ρεύµα: i( t) S ( f) i = : A Hz "Γράφεται" και: Η και σαν i ( ) i S f = i : A( rms) Hz
Ισχύς Θορύβου Προσοχή: Ισχύς µε την έννοια της Volt ή Amp Ισχύς θορύβου (όχι πυκνότητα ισχύος) f v f 1 ( ) Μονόπλευρη περιγραφή Μέσα στην µπάντα [f1,f] : S f df ( ) : V ( rms ) v 0 { } Συνολική Ισχύς θορύβου : ( ) v ( ) S f df = E t = σ v Μονόπλευρη περιγραφή στην ανάλυση είχαµε αµφίπλευρη ίδιο σύµβολο ( v N 0, σ ) v ( ) { v } 0 E t =
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) (1) Ονόµατα: Θερµικός, Johnson Nyquist, Johnson, Nyquist Ιδιότητες: v( t) 1) Κανονική κατανοµή (Gaussian ) Με µέση τιµή ΜΗ ΕΝ ( ) { } 0 E v t = ) Θόρυβος ανεξάρτητος από αυτόν άλλων αντιστάσεων και στοιχείων του κυκλώµατος Συνήθης Συµβολισµός Πηγής θορύβου Η πολικότητα της πηγής δεν έχει σηµασία 3) Πυκνότητα Ισχύος µέχρι 100GHz : --> Λευκός Θόρυβος (White Noise) Μονόπλευρη Περιγραφή : ( ) = 4 S f ktr v ( ) = S f ktr v αν αν f [ 0, ) f (, )
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) () ( ) = 4 S f ktr v : V Hz v = 4kTR v = 4kTR f S i ( f) = 4kT R : A Hz v + C v c - σ { ( )} 1 = E vc t = 4kRT df 1+ v C =... = kt C 0 ( RC π f) Ανεξάρτητο από την R!!! Πεπερασµένη ισχύς
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) (3) Από την Wikipedia v + C v c - Εφαρµογή: Α) Κύκλωµα Sample & Hold Β) Φίλτρα διακοπτόµενων πυκνωτών Noise of capacitors at 300 K (rms) σ vc = Capacitan ce 1 ff 10 ff 100 ff 1 pf 10 pf 100 pf 1 nf mv 640 µv 00 µv 64 µv 0 µv 6.4 µv µv Electrons 1.5 e 40 e 15 e 400 e 150 e 4000 e 1500 e
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) (4) Ανεξάρτητοι (άρα και) ασυσχέτιστοι οι θόρυβοι = R v + R 1 + v 1
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) (5) * : noiseless v 1 * * * Ζ 1 v Ζ v n Ζ n = v * Ζ Ανεξάρτητες πηγές θορύβου (ασυσχέτιστες) v =? Z =?
Θόρυβος σε Αντιστάσεις (Θερµικός) (6) Θερµικός Θόρυβος Σύνθετης Αντίστασης "Πραγµατική". δηλ. µε εσωτερικό Ζ = θερµικό θόρυβο v * Ζ * : noiseless { } v = 4k Re Z T
Άλλοι Τύποι Θορύβου: Shot Noise Μέχρι στιγµής έχουµε δει µόνο τον Θερµικό. Shot Noise (ή και current noise) Σε ιόδους, MOS, BJT γενικά σε ηµιαγώγιµες επαφές (µε ρεύµα I D ) ( ) = D S f qi i : A Hz i = qi D i = qi f D σε µορφή ρεύµατος Λευκός µέχρι αρκετά ψηλές συχνότητες εξαρτάται από το εξάρτηµα Ανάλογος του ρεύµατος επαφής! I D : DCρεύµα Π.χ. : ιοδος (έχει κι άλλους θορύβους) :
Άλλοι Τύποι Θορύβου: Flicker Noise Flicker Noise (ή και " 1/f " Noise) Σε όλα τα ενεργά εξαρτήµατα I Si( f) = K1 f a b : A Hz i = qi D i = qi f D σε µορφή ρεύµατος "Χρωµατισµένος" Ανάλογος της "α"-δύναµης του ρεύµατος! I : DCρεύµα a : σταθερά 0.5... b : σταθερά 1 K 1 S ( f) : σταθερά του εξαρτήµατος i
Άλλοι Τύποι Θορύβου: Burst Noise Burst Noise (ή και Popcorn! Noise) ( ) = S f K i I c f 1+ fc : A Hz S i ( f) I : DCρεύµα c : σταθερά 0.5... f c K : σταθερά 1 : σταθερά του εξαρτήµατος
Άλλοι Τύποι Θορύβου: Avalanche Noise Avalanche Noise (ή ZENER Noise) Προσεγκιστικά Λευκός ΌΧΙ Gaussian Γενικά πολύ πιο ισχυρός από τον Θερµικό και τον Shot Noise --> Προσοχή σε διόδους Zener ακατάλληλες για κυκλώµατα χαµηλού θορύβου.
Ken Martin & David Johns : Analog Integrated Circuit Design Μοντέλα Θορύβου (R,D) ισοδύναµα Πιο πλήρες µοντέλο για τη δίοδο: I I d ( f ) = qi D+ K f a D Shot Noise Flicker Noise
Μοντέλο Θορύβου (BJT) εν υπάρχουν, είναι ισοδύναµα γι' αυτό δεν έχουν θόρυβο Οι 5 πηγές είναι στατιστικά ανεξάρτητες Θερµικός θόρυβος της Shot noise (BC) Shot noise (BE) Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Gray & Mayer
Μοντέλο Θορύβου (MOS) Οι 3 πηγές είναι στατιστικά ανεξάρτητες IG : ρεύµα διαρροής της Πύλης αµελητέο.ig ~ fa Για L<1µm ο θερµικός θόρυβος είναι ακόµα Μεγαλύτερος από Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Gray & Mayer
Μοντέλα Θορύβου "µε Αναφορά στην είσοδο" Ken Martin & David Johns : Analog Integrated Circuit Design Εξαρτηµένα προκύπτουν από το Shot noise της CE Αµελητέο για σχετικά χαµηλές συχνότητες Τυπικά ο θόρυβος Flicker είναι πολύ πιο ισχυρός στα MOS σε σχέση µε τα BJT
Μοντέλα Θορύβου Opamp (a) n v noiseless vn noiseless i n (b) (c) TL 081 :
Παράδειγµα Υπολογισµού Θορύβου (1): Φίλτρο µε Opamp Σκόπιµα διάλεξε ισοδύναµες πηγές ρεύµατος (θορύβου) + V i
Παράδειγµα Υπολογισµού Θορύβου (): Φίλτρο µε Opamp Τυπικά νούµερα :
Θόρυβος ιαφορικού Σταδίου (1) Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, Gray & Mayer
Θόρυβος ιαφορικού Σταδίου () χρήση του µοντέλου θορύβου του BJT µε
Θόρυβος ιαφορικού Σταδίου µε Καθρέπτη / Ολοκληρώστε το σαν άσκηση Ken Martin & David Johns : Analog Integrated Circuit Design
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.