ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

Transcript

1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοπός Μελέτη Μήτρα Κρουστικών Αποκρίσεων Μήτρα Συναρτήσεων Μεταφοράς Καταστατικές Εξισώσεις 4

5 Εισαγωγή Ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί από διαφορετικά μαθηματικά πρότυπα που είναι όμως ισοδύναμα μεταξύ τους Για παράδειγμα ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα μπορεί να περιγραφεί: Σύστημα διαφορικών εξισώσεων (πεδίο του χρόνου) ισοδυναμία Με μετασχηματισμό Laplace (πεδίο της συχνότητας) Παρακάτω θα αναπτυχθούν μαθηματικά πρότυπα για γραμμικά συστήματα στα οποία θα μπορούν να αναχθούν πάσης φύσεως διαφορετικά σύνολα εξισώσεων που περιγράφουν ένα οποιοδήποτε σύστημα. 5

6 Συστήματα συνεχούς χρόνου Η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων (1) Έστω γραμμικό σύστημα m εισόδων και p εξόδων : y ( ) S[ u( )] Λόγω της γραμμικότητας το σύστημα περιγράφεται : y 1( ) S 11[ u 1( )] S 1 [ u ( )] S 13[ u 3( )] S 1m[ u m ( )] y ) S [ u ( )] S [ u ( )] S [ u ( )] S [ ( )] y ( m u m p ( ) S p [ u1( )] S p[ u ( )] S p3[ u3( )] S [ u 1 pm m ( )] 6

7 Η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων () Έστω ότι η j-στή είσοδος είναι ένα κρουστικό σήμα που εφαρμόζεται την χρονική στιγμή τ, δηλαδή u j (t)=δ(t-τ). Οι άλλες είσοδοι είναι μηδενικές, δηλαδή u l (t)0 l=1,,,m lj Τότε y S i ( ) [ (, )] i=1,,...,p ij η i-στή έξοδος Η απεικόνιση από την είσοδο j στην έξοδο i η στιγμή που εφαρμόζεται το κρουστικό σήμα διότι S il [ u l ( )] S [0] 0 l 1,,.., il m l j 7

8 Η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων (3) Θέτοντας hij (, τ) Sij[ δ(, τ)] i=1,,...,p προκύπτει y i ( ) h [ δ(, τ)] ij Η h ij ( t, τ) υποδηλώνει την τιμή της εξόδου i αν την χρονική στιγμή τ εφαρμοσθεί στην είσοδο j μία κρουστική διέγερση ενώ στις άλλες εισόδους του συστήματος εφαρμόζονται μηδενικές διεγέρσεις. 8

9 Η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων (4) Η μήτρα H(t,τ h h ) h 11 1 p1 (t,τ (t,τ (t,τ ) ) ) h h h 1 p (t,τ ) (t,τ ) (t,τ) h h h 1m m pm (t,τ ) (t,τ ) (t,τ ) ονομάζεται μήτρα κρουστικών αποκρίσεων (impulse-response matrix). Παρατήρηση: Περιέχει όλες τις πληροφορίες που απαιτούνται για το προσδιορισμό της εξόδου ενός γραμμικού συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο. 9

10 Η μήτρα κρουστικών αποκρίσεων (5) Θεμελιώδες Θεώρημα Έστω γραμμικό σύστημα συνεχούς χρόνου y ( ) S[ u( )] pxm Αν Η(t,τ), Η(t,τ), H:TT αποκρίσεων του συστήματος, τότε y ( t) H ( t, τ) u( τ) dτ για οποιαδήποτε είσοδο u() και t (-, ). 1 y R p x R είναι η μήτρα κρουστικών q 10

11 Εφαρμογές σε κατηγορίες γραμμικών συστημάτων (1) Χρονικώς αμετάβλητα συστήματα Η τιμή της μήτρας κρουστικών αποκρίσεων ενός χρονικώς αμετάβλητου συστήματος δεν εξαρτάται χωριστά από τις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών t και τ αλλά μόνο από την διαφορά τους t-τ Μπορεί να γραφεί υπό την μορφή Η(t-τ) Η σχέση εισόδου-εξόδου παίρνει την μορφή: y ( t) H ( t τ) u( τ) dτ 11

12 Εφαρμογές σε κατηγορίες γραμμικών συστημάτων () Για αιτιατό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα που είναι σε χαλάρωση την χρονική στιγμή t=0 - y( t) t 0 H ( t τ) u( τ) dτ 1

13 Σύμφωνα με τα προηγούμενα Η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς (1) y(s)= h h h 1 j ( s) j ( s) ( s) pj Γενικά: H( s) h 11(s) h 1( s) h 1m( s) h 1( s) h ( s) h m( s) h p1( s) h p( s) h pm( s) Το στοιχείο h kj (s) της μήτρας κρουστικών αποκρίσεων H(s) είναι ο μετασχηματισμός Laplace της k-στής συνιστώσας της εξόδου y(t) όταν η j-στή συνιστώσα της εισόδου είναι το κρουστικό σήμα δ(t) και οι άλλες συνιστώσες u k (t) για για k j είναι μηδενικές. 13

14 Η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς () Η μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς περιγράφει πλήρως τα χαρακτηριστικά εισόδου-εξόδου των γραμμικών αιτιατών και χρονικώς αμετάβλητων συστημάτων. Για ένα σύστημα που επιπλέον είναι σε χαλάρωση την χρονική στιγμή t=0, y( t) t H ( t 0 Laplace y(s)=h(s)u(s) τ) u( τ) dτ Ισχύει για οποιαδήποτε είσοδο u της οποίας υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace 14

15 Καταστατικές εξισώσεις (1) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t u t B t x A t t x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t u D t t x t C t y Ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα έχει καταστατικές εξισώσεις: q q A m q B q p C m p D όπου 15

16 Τα 3 μαθηματικά πρότυπα των γραμμικών δυναμικών συστημάτων που έχουν παρουσιαστεί μέχρι τώρα είναι: Μήτρα κρουστικών αποκρίσεων : y ( t) H ( t, τ) u( τ) dτ Μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς : y(s)=h(s)u(s) Καταστατικές εξισώσεις: x ( t) A( t) x( t) B( t) u( t) y( t) C( t) x( t) D( t) u( t) 16

17 Οι σχέσεις που συνδέουν πρότυπα μεταξύ τους φαίνονται παρακάτω: Μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς συναρτήσει των παραμέτρων των καταστατικών εξισώσεων: H(s)=C(s1 n -A) -1 B+D Μήτρα συναρτήσεων μεταφοράς συναρτήσει της μήτρας κρουστικών αποκρίσεων: H ( s) 0 H ( t) e Μήτρα κρουστικών αποκρίσεων συναρτήσει των παραμέτρων των καταστατικών εξισώσεων: At st dt H( t) Ce B Dδ( t) 17

18 Σε αντιστοιχία με τα συστήματα συνεχούς χρόνου, οι καταστατικές εξισώσεις για ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου έχουν την μορφή x[n+1]=a[n]x[n]+b[n]u[n] y[n]=c[n]x[n]+d[n]u[n] όπου A C qq pq B D qm pm 18

19 Λυμένες Ασκήσεις (1) Άσκηση 1: Για το παρακάτω RLC κύκλωμα να εξαχθούν οι καταστατικές εξισώσεις. Ως μεταβλητές κατάστασης να επιλεχθούν η τάση στα άκρα του πυκνωτή και το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο. u 19

20 Λύση: Λυμένες Ασκήσεις () Από το κύκλωμα προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: du1 C u t dt y t u du 1 t L xt Rut u1t dt Θεωρώντας ότι το διάνυσμα της κατάστασης είναι και v t u u 1 t t και φέρνοντας τα παραπάνω σε μορφή πίνακα προκύπτει 0

21 Λυμένες Ασκήσεις (3) C vt vt 1 1 R L L L και y t 1 0 v t Αν C=1/, L=R=1 προκύπτουν οι παρακάτω καταστατικές εξισώσεις: 0 v t vt και yt 1 0vt 1

22 Λυμένες Ασκήσεις (4) Άσκηση : Να εξαχθούν οι καταστατικές εξισώσεις για το παρακάτω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα συνεχούς χρόνου που y t y t y t x t περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση Λύση: Θεωρούμε μεταβλητές κατάστασης: v t 1 yt v t y t Επίσης ισχύει vt yt v t και v t yt 1 Από τη διαφορική εξίσωση : v t v t v t xt Άρα οι καταστατικές εξισώσεις είναι (σε μορφή πίνακα) v t v t x t y t v t o (έξοδος)

23 Λυμένες Ασκήσεις (5) Άσκηση 3: Να εξαχθούν οι καταστατικές εξισώσεις για το παρακάτω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα συνεχούς χρόνου που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση 3 3 y t y t y t u t u t u t Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην παραπάνω διαφορική εξίσωση προκύπτει η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος (θεωρούμε μηδενικές αρχικές συνθήκες): 3 3 s Y s sy s Y s s U s su s U s Άρα: H s Y s s s U s s s 3 3 3

24 Λυμένες Ασκήσεις (6) Κάνοντας τη διαίρεση των πολυωνύμων: s 3s3 s s s s 1 1 s Άρα s s 1 s s s s s Οπότε: 1 Y s s 1 U s s s ή Y () s U s U s s s 1 s 4

25 Λυμένες Ασκήσεις (7) (1) Y ( s) U s ( s 1) s U s s Θέτω Zs Δηλαδή Zs () U s s s Κάνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace : s Z s sz s Z s U s ( ) ( ) ( ) ( ) z( t) z( t) z( t) u( t) () Θέτοντας: x t zt x t x t και Z s X s z t 1 1 zt x t και sz s X s z t x t 1 (3) 5

26 Λυμένες Ασκήσεις (8) Από τις σχέσεις () και (3) προκύπτουν σε μορφή πίνακα: x 1 t 0 1 x1 t 0 xt u t x t x t 1 6

27 Λυμένες Ασκήσεις (9) Από τη σχέση 1: Y( s) U s ( s 1) Z s Y( s) U s sz( s) Z( s) Κάνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace : 1 y( t) u t x ( t) x ( t) Σε μορφή πινάκων: y t x x t t 1 ( ) u t 7

28 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Πέτρος Γρουμπός. «Σήματα και Συστήματα Ι, Καταστατικές Εξισώσεις». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 8