ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3

11 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Αθηνών 31 Μαΐου Ιουνίου 013 ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 Δρ. Δεληβός Ιωάννης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1

1. ΣΧΕΤΙΚΑ ΚΑΘΕΤΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙ- ΟΥ ΧΩΡΟΥ Ε n+1 Έστω Φ := (Μ, x ) μια C r υπερεπιφάνεια του χώρου Ε n+1, όπου Μ είναι μια n διάστατη, προσανατολισμένη, συνεκτική, διαφορίσιμη C r n 1 πολλαπλότητα (r 3) και x : M E + μια C r εμβύθισή της. Για την καμπυλότητα Gauss Κ Ι της Φ υποθέτουμε ότι Κ Ι (P) 0, σε κάθε σημείο P œ Φ. n 1 y : M E +, (r > s 1) καλείται C s σχετική καθετοποίηση της υπερεπι- Μια C s απεικόνιση φάνειας Φ, εάν y (1) y (b) T P Φ, i u (b) œ T PΦ (i = 1,,, n), P = x (b) σε κάθε σημείο P œ Φ, όπου T P Φ είναι ο εφαπτόμενος χώρος της Φ στο P και (u 1, u,, u n ) τοπικές συντεταγμένες (E. Müller 191). Μια υπερεπιφάνεια, εφοδιασμένη με μια σχετική καθετοποίηση, ονομάζεται σχετικά καθετοποιημένη υπερεπιφάνεια. Εάν η Ψ := (Μ, y ) είναι μια ομαλή υπερεπιφάνεια, τότε οι δυο υπερεπιφάνειες Φ και Ψ βρίσκονται σε αντιστοιχία Peterson.

Το συνδιάνυσμα (covector) X του εφαπτομενικού υπερεπιπέδου της Φ ορίζεται μονότιμα από τις σχέσεις x () < X, >= 0 u i (i = 1,,, n), < X, y >= 1. Με χρήση του X ορίζεται η σχετική μετρική G της σχετικά καθετοποιημένης ως προς y υπερεπιφάνειας Φ, η οποία έχει συνιστώσες (3) x Gij =< X, > u i u j i, j = 1,,.., n. Η σχετική μετρική G είναι γνήσια μετρική Riemann ή ψευδο Riemann μετρική, εάν η Φ είναι ελλειπτικά ή υπερβολικά καμπυλωμένη, αντίστοιχα. Η συνάρτηση στήριξης της σχετικής καθετοποίησης y ορίζεται από τη σχέση (4) q =< ξ, y >, όπου ξ είναι το ευκλείδειο καθετικό διάνυσμα της Φ. Ισχύει q(p) 0, P œ Μ. 3

Λόγω των () ισχύει (5) και από τις (3), (5) προκύπτει X 1 = q ξ, (6) G = q 1 h, ij όπου h ij είναι οι συνιστώσες του τανυστή της δεύτερης θεμελιώδους μορφής ΙΙ της Φ. Εάν η συνάρτηση στήριξης q είναι δεδομένη, τότε ορίζεται ακριβώς μια σχετική καθετοποίηση της Φ μέσω της σχέσης (F. Manhart, 1986) ij (7) q x = + u u ( ij ) y h q i j ξ, όπου h (ij) είναι οι συνιστώσες του αντίστροφου τανυστή του h ij. Τελεστής σχήματος (8) Β i j : M R, B X y = BG, όπου Bij =<, >. i j u u j kj i ik 4

Η σχετική καμπυλότητα Κ και η σχετική μέση καμπυλότητα Η ορίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις (9) K = det( B j i ), H = 1 n tr( j B i ). Ο συμμετρικός τανυστής του Darboux ορίζεται από τη σχέση x (10) A, G G ijk =< X k j >, i u όπου G i είναι η συναλλοίωτη παραγώγιση ως προς τη σχετική μετρική G. Το διάνυσμα Tchebychev T ορίζεται από τις σχέσεις 1 jk 1 j (11) Ti = AijkG = A ij. n n x x x Οι συνιστώσες του T ως προς τη βάση,,..., 1 n u u u (1) Τ i = G ik T k. δίνονται από τη σχέση 5

Για την αναλλοίωτο του Pick ισχύει (13) J = 1 nn ( 1) A A ijk ijk. Theorema Egregium της σχετικής Διαφορικής Γεωμετρίας : (14) n i S = J + H TT i, n 1 όπου S είναι η αριθμητική καμπυλότητα της σχετικής μετρικής G. Εξισώσεις Weingarten : (15) y u i = B j i x u j (i, j = 1,,.., n). Η οικογένεια των σχετικών καθετοποιήσεων ( a) y κατά F. Manhart (1987) ορίζεται με τη χρήση των συναρτήσεων στήριξης (16) ( a) q K I a =, α œ R. Η οικογένεια αυτή των σχετικών καθετοποιήσεων περιλαμβάνει : 6

(α) για α = 0 την ευκλείδεια καθετοποίηση, (β) για α = 1/(n + ) την (ισο)αφινική καθετοποίηση, οπότε η μετρική G είναι τότε η γνωστή μετρική Blaschke Berwald. (γ) για α = 1/ τη (σχετική) καθετοποίηση αναφορικά με τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή (F. Manhart, 1984). 7

. ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Έστω Φ: x = x (u, v) μια ομαλή επιφάνεια του χώρου Ε 3, ορισμένη στον απλώς συναφή τόπο D του (u, v) επιπέδου. Ας είναι y = y (u, v) μια σχετική καθετοποίηση της Φ. Θεωρούμε την επιφάνεια (17) Φ μ : x μ (u, v) = x (u, v) + μ y (u, v), μ œ R \ {0}. Τα διανύσματα y u και y v είναι συνεπίπεδα των x u και x v, καθώς και των ( επιφάνειες Φ και Φ μ βρίσκονται σε αντιστοιχία Peterson. x μ ) u, ( x μ ) v. Άρα οι Η επιφάνεια Φ μ καλείται παράλληλη επιφάνεια της Φ σε απόσταση μ, ως προς τη σχετική καθετοποίηση y. Τις επιφάνειες Φ και Φ μ καλούμε σχετικά παράλληλες. Τα διανύσματα y, ( x μ ) u και ( x μ ) v είναι γραμμικά ανεξάρτητα για κάθε (u, v) œ D. Επομένως, η y (u, v) είναι μια σχετική καθετοποίηση και της επιφάνειας Φ μ. 8

.1. Σχετικά ανάλογα δύο θεωρημάτων του Ο. Bonnet Για τις επιφάνειες Φ και Φ μ ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι Weingarten (βλ. σχέσεις (15)) : 1 (18) y u = Β 1 1 (19) y v = Β x u Β 1 x u Β x v, x v, (0) y u = Β 1 μ1 ( x μ ) u Β μ1 ( x μ ) v, (1) y v = Β 1 μ ( x μ ) u Β μ ( x μ ) v. Αν Κ και Η αντ. Κ μ και Η μ είναι η σχετική καμπυλότητα και η σχετική μέση καμπυλότητα της Φ αντ. Φ μ ως προς την κοινή σχετική καθετοποίηση y, εξ ορισμού θα έχουμε () Κ = det(b i j ), H = 1 tr(b i j ), (3) Κ μ = det(b μi j ), H μ = 1 tr(b μi j ). Από τις σχέσεις (18) (3), έχουμε 9

(4) yu yv = Kxu xv, (5) x y + y x = H x x, u v u v u v (6) y y = K ( x ) ( x ) u v μ μ u μ v, (7) ( x ) y + y ( x ) = H ( x ) ( x ) μ u v u μ v μ μ u μ v. Από την (17) και με χρήση των (4) και (5) προκύπτει (8) ( xμ) u ( xμ ) v = (1 μη + μ Κ) x u x v. Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι η επιφάνεια Φ μ είναι ομαλή ακριβώς τότε, όταν για κάθε σημείο της Φ ισχύει (9) 1 μη + μ Κ 0. Αν ληφθεί υπόψη ότι ισχύουν οι σχέσεις (30) Κ = 1 R R, Η = 1 1 1 1 ( + ), R R 1 10

όπου 1 1 R, 1 R είναι οι σχετικές πρωτεύουσες καμπυλότητες της Φ, τότε η σχέση (9) είναι ισοδύναμη με το γεγονός ότι μ R 1, R. Στο εξής υποθέτουμε ότι ισχύει αυτός ο περιορισμός. Από τις σχέσεις (3) (7) εύκολα προκύπτουν οι ακόλουθοι τύποι : (31) K Κ μ = 1 μh + μ K (3) H μk Η μ = 1 μh + μ K,. Υποθέτοντας Η = σταθ. και εκλέγοντας μ = 1 H, τότε από την (31) έχουμε Κ μ = 4Η. Ισχύει λοιπόν η ΠΡΟΤΑΣΗ 1. Όταν η σχετική μέση καμπυλότητα Η μιας σχετικά καθετοποιημένης ως προς y επιφάνειας Φ Õ Ε 3 είναι σταθερή και διάφορη από το μηδέν, τότε υπάρχει παράλληλη επιφάνεια της Φ ως προς τη σχετική καθετοποίηση y, της οποίας η σχετική καμπυλότητα ως προς την ίδια σχετική καθετοποίηση είναι ίση με 4Η. 11

Υποθέτοντας τώρα Κ = σταθ. και εκλέγοντας μ = 1 K (αντ. μ = 1 K ), τότε από την (3) έχουμε Η μ = K (αντ. Η μ = K ). Αποδείχθηκε έτσι η ΠΡΟΤΑΣΗ. Όταν η σχετική καμπυλότητα μιας σχετικά καθετοποιημένης ως προς y επιφάνειας Φ Õ Ε 3 είναι σταθερή και θετική, τότε υπάρχουν δύο παράλληλες επιφάνειες της Φ ως προς τη σχετική καθετοποίηση y, των οποίων η σχετική μέση καμπυλότητα ως προς την ίδια σχετική καθετοποίηση είναι ίση με ± K. Οι δυο προτάσεις αποτελούν γενίκευση δυο γνωστών θεωρημάτων του O. Bonnet. 1

.. Αφινικά παράλληλες επιφάνειες Στον Ευκλείδειο χώρο Ε 3 θεωρούμε μια ευθειογενή επιφάνεια με διανυσματική παράσταση (33) Φ : x( uv, ) = su ( ) + veu ( ), όπου u œ I ( I Õ R ανοιχτό διάστημα), v œ R. Υποθέτουμε ότι (34) eu ( ) = e'( u ) = 1, < s '( u ), e'( u ) > = 0, u œ I. Κατά μήκος της γραμμής σύσφιγξης s = s (u) θεωρούμε το συνοδεύον τρίακμο D = { e, n, z}, όπου (35) nu ( ) = e'( u), zu ( ) = eu ( ) nu ( ). Το διάνυσμα n (u) καλείται κεντρικό καθετικό, ενώ το z (u) κεντρικό εφαπτομενικό της Φ. Ισχύουν οι τύποι (36) e' = n, n' = e +κ z, z' = κ n, όπου κ = ( ee, ', e'') είναι η κωνική καμπυλότητα της Φ. 13

Στρεβλότητα δ της Φ : (37) δ = ( s ', e, e'), (δ(u) 0, u œ I). Σύσφιξη σ της Φ : (38) σ := ( e, s ') με ( π, sign sign ) < π σ δ = σ. Εφαπτόμενο διάνυσμα s ' της γραμμής σύσφιγξης της Φ : (39) s ' = δ ( λ e + z), όπου λ := cotσ. Θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της Φ : (40) g 11 = v + δ (λ + 1), g 1 = g 1 = δλ, g = 1. Οι συνιστώσες του τανυστή της δεύτερης θεμελιώδους μορφής καθώς και εκείνες του αντίστροφου τανυστή αυτού είναι : (41) h 11 v + ' v+ ( ) = κ δ δ κ λ, h1 h1 ω = = δ ω, h = 0, 14

(4) h (11) = 0, h = h = ω δ, (1) (1) h () [ v + ' v+ ( )] = ω κ δ δ κ λ δ, όπου ω := v + δ. Ευκλείδεια καμπυλότητα Gauss της Φ : (43) Ευκλείδειο καθετικό διάνυσμα της Φ : I K = δ ω. 4 (44) δ v ξ = n z ω ω. Οι σχετικές καθετοποιήσεις Manhart ( α ) y της Φ είναι (Α. Μάγκος, 003) (45) ( α ) y = ακ αδ δ ' (4 v + ) ω 4α 1 α e + α δ δ δ (4 v + ) ω 4α + 1 α n + (4α 1)v δ ω 4α + 1 α z. Θέτοντας α = 1/4, έχουμε την αφινική κάθετο της Φ : 1/ ' 3/ (46) yaff ( u, v) = εδ n + ( κv+ δ ) δ e, με εδ = δ. 15

Η επιφάνεια Φ μ με διανυσματική παράσταση (47) x μ (u, v) = x (u, v) + μ y AFF (u, v), μ œ R \ {0}, καλείται αφινικά παράλληλη επιφάνεια της Φ. Από την (47) λόγω των (33), (46) προκύπτει (48) x μ (u, v) = [(1 + μκ δ -3/ )v + μδ ' δ 3/ ]e + εμ δ -1/ n + s (u). Υποθέτουμε ότι μ 0 και 1 + μκ δ -3/ 0. Τότε η Φ μ είναι επίσης ευθειογενής επιφάνεια με γενέτειρες παράλληλες στις αντίστοιχες της Φ. Λόγω της παραλληλίας αυτής, οι κωνικές καμπυλότητες των Φ και Φ μ θα ταυτίζονται. Η καμπύλη αφετηρίας (49) Γ μ : γ μ(u) = s (u) + εμ δ -1/ n, της Φ μ κείται και στην κεντρική καθετική επιφάνεια της Φ. 16

Οι θεμελιώδεις αναλλοίωτοι της Φ μ είναι : (50) κ μ = κ, δ μ = εμκ δ -1/ + δ, λ μ = Η γραμμή σύσφιγξης της Φ μ είναι : μ( δδ '' 3 δ ' 4 δ ) + 4 λ δ 7/ 4μκδ + 4 δ 7/. (51) s μ (u) = s (u) + μδ ' δ 3/ e + εμ δ -1/ n. Θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της Φ μ : (5) (μ) g 11 = Α 1 + Α (v + δ ), (μ) g 1 = (μ) g 1 = Α 1 Α, (μ) g = Α, όπου (53) Α 1 = ε δ -5/ μ( κδ ' 3 κδ') μ( δδ '' 3 δ ' 4 δ ) [ v + 4 + λ δ 7/ ], Α = 1 + μκ δ -3/. Έστω ότι η Φ είναι επιφάνεια Edlinger (δ = 1 + κλ = 0), τότε από τις σχέσεις (50) ισχύει 1 + κ μ λ μ = 0, δηλ. η γραμμή σύσφιγξης της Φ μ είναι γραμμή καμπυλότητας. Ώστε έχουμε : 17

ΠΡΟΤΑΣΗ 3. Αν μια ευθειογενής επιφάνεια Φ Õ Ε 3 είναι επιφάνεια Edlinger, τότε η γραμμή σύσφιγξης μιας αφινικά παράλληλης επιφάνειας αυτής είναι γραμμή καμπυλότητας αυτής. Ειδικότερα ισχύει το ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Κάθε αφινικά παράλληλη επιφάνεια μιας επιφάνειας Edlinger με ίσα εγγύτατα υπερβολοειδή είναι επίσης μια επιφάνεια Edlinger με ίσα εγγύτατα υπερβολοειδή. Από τη σχέση (49) για το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης αφετηρίας Γ μ της Φ μ έχουμε (54) ' γ μ(u) = (λδ εμ δ -1/ )e μδ ' δ 3/ n + (δ + εμκ δ -1/ ) z. Υποθέτουμε, ότι η καμπύλη Γ μ και η γραμμή σύσφιγξης της Φ είναι σε αντιστοιχία Combescure. Τότε από τις σχέσεις (39), (54) προκύπτει ότι αυτό ισχύει ακριβώς τότε, όταν δ = 1 + κλ = 0 (Φ επιφάνεια Edlinger). Αποδείχθηκε λοιπόν η ΠΡΟΤΑΣΗ 4. Θεωρούμε μια ευθειογενή επιφάνεια Φ Õ Ε 3 και μια αφινικά παράλληλη επιφάνεια αυτής Φ μ. Αν η γραμμή σύσφιγξης της Φ και η καμπύλη αφετηρίας Γ μ της Φ μ βρίσκονται σε αντιστοιχία Combescure, τότε η Φ είναι επιφάνεια Edlinger. 18

Επιφάνεια Edlinger με ίσα εγγύτατα υπερβολοειδή z x y 19

Από την (47) επάγεται η απεικόνιση f μ : Φ Φ μ, η οποία απεικονίζει τις γενέτειρες της Φ στις γενέτειρες της Φ μ. Ισχύει η ακόλουθη ΠΡΟΤΑΣΗ 5. Για την απεικόνιση f μ : Φ Φ μ ισχύει : (α) Αν η f μ είναι ισεμβαδική, τότε η Φ είναι κωνοειδής ή για την κωνική καμπυλότητα αυτής ισχύει η σχέση (55) κ = 3/ δ μ (β) Αν η f μ είναι σύμμορφη, τότε η Φ είναι κωνοειδής με στρεβλότητα c (56) δ = cos. u, c = σταθ. 0 ή για τις θεμελιώδεις αναλλοιώτους της Φ ισχύουν οι σχέσεις (57) κ = c δ 3/, λ = δδ '' 3 δ ' 4δ 7/ 4 c δ, c = σταθ. 0, 1/μ. (γ) Αν η f μ είναι ισομετρική, τότε η Φ θα είναι κωνοειδής με στρεβλότητα (56) ή για τις θεμελιώδεις αναλλοιώτους της Φ ισχύουν οι σχέσεις (57) με c = /μ. 0

Απόδειξη. Έστω ότι η f μ είναι ισεμβαδική, τότε det(g ij ) = det( (μ) g ij ). Από την τελευταία σχέση και με χρήση των (40), (5), (53), έχουμε (58) 1 + μκ δ -3/ = ±1. Από όπου προκύπτει κ = 0 ή κ = 3/ δ μ. Έστω ότι η f μ είναι σύμμορφη. Τότε ισχύει (59) g g ( μ ) 11 11 = g g ( μ ) 1 1 = g g ( μ ). Από τη δεύτερη ισότητα προκύπτει (60) κδ ' 3 κδ' δδ '' 3 δ ' 4δ v + κλδ = 0, 4 επομένως είναι 1

(61) κ δ 3κδ = 0, (6) δδ 3δ 4δ 4κλδ = 0. Περίπτωση 1. Αν κ = 0, από την (6) έχουμε c (63) δ = cos u, c = σταθ. 0. Περίπτωση. Αν κ 0, τότε από τις (61), (6) προκύπτει (64) κ = c δ 3/, λ = δδ '' 3 δ ' 4δ 7/ 4 c δ, c = σταθ. 0, 1 μ. Και στις δυο περιπτώσεις η πρώτη ισότητα των σχέσεων (59) ικανοποιείται ταυτοτικά. Στην περίπτωση 1, η f μ θα είναι ισομετρική, ενώ στην περίπτωση θα είναι ισομετρική αν c = /μ.