ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

Transcript

1 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται από νόρμα. Επίσης θα εξετάσουμε παραδείγματα τοπολογικών διανυσματικών χώρων ( Hausor) οι οποίοι δεν είναι τοπικά κυρτοί. Έστω ( E, T ) ένας τ.δ.χ. ) Ο ( E, T ) έχει την ιδιότητα Hee-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. ) Ο ( E, T ) λέγεται ότι είναι Frechet αν είναι τοπικά κυρτός και η τοπολογία του επάγεται από κάποια πλήρη και αναλλοίωτη για τις μεταφορές μετρική. Είναι προφανές ότι κάθε Ευκλείδειος χώρος χώρος Baach ( X, ) είναι χώρος Frechet. R έχει την ιδιότητα Hee-Borel και ότι κάθε 3.4. Ο χώρος C( Ω ). Έστω Ω ανοικτό μη κενό υποσύνολο κάποιου Ευκλείδειου χώρου R. Θεωρούμε τον χώρο C Ω των συνεχών συναρτήσεων : Ω K με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή T C( πρβλ. το παράδειγμα 3..6 (4)).Τότε ο τοπικά κυρτός χώρος C επάγεται από νόρμα. Πράγματι, θέτομε για κάθε Ω είναι διαχωρίσιμος χώρος Frechet του οποίου η τοπολογία δεν = x Ω : x και x, R \ Ω ( ). Ισχυρισμός. Το είναι συμπαγές σύνολο, η ακολουθία( ) κυριαρχεί τα συμπαγή υποσύνολα του Ω και επιπλέον ( ) t,. Ιδιαίτερα ισχύει, + Απόδειξη του ισχυρισμού. Επειδή οι κλειστές σφαίρες του Ευκλειδείου χώρου είναι συμπαγή σύνολα και η απεικόνιση x R ( x, R \ ) Ω συνεχής έπεται αμέσως ότι κάθε είναι συμπαγές. Έστω Ω τυχόν συμπαγές, επειδή το είναι φραγμένο υπάρχει : x, x. Επειδή Ω έπεται ότι ( x R ) και επειδή η x R ( x, R \ Ω ) συνεχής και συμπαγές έπεται ότι, \ Ω > 0, x

2 6 { ( x R Ω) x } >. Συνεπώς υπάρχει, \ : 0 { } max, τότε 0 Έστω τώρα και x + 0. x. Τότε Συνεπώς t x, εφόσον το σύνολο x Ω : x < + και x, R \ Ω > : x, R \ Ω, x. Αν < + και ( x, R \ ) Ω > +. + είναι ανοικτό υποσύνολο του +. Προφανώς ισχύει και η απόδειξη του ισχυρισμού είναι πλήρης. Έστω τώρα B ( 0, ε) βασική περιοχή του 0 C συμπαγές. Αν ώστε Ω στην τοπολογία T C, όπου Ω έπεται αμέσως ότι B ( 0, ε) B ( 0, ε). ατά συνέπεια η τοπολογία T C καθορίζεται από την οικογένεια ημινορμών =,, όπου { } = su x : x,, C Ω και είναι άρα μετρικοποιήσιμη. (Πρβλ. θεώρημα ). Παρατηρούμε ότι επειδή,......, θα ισχύει ότι,......, απ όπου έπεται ότι η ακολουθία V = C Ω : < = B 0,,, είναι μια φθίνουσα βάση περιοχών του 0 C( Ω ) στην τοπολογία T C, αποτελούμενη από ανοικτά κυρτά και ισορροπημένα σύνολα. Ισχυρισμός. Δεν υπάρχει περιοχή του 0 C( Ω ) η οποία να είναι φραγμένο σύνολο. Απόδειξη του ισχυρισμού. Υποθέτομε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι,. Παρατηρούμε ότι \ t,. ( Αν t = τότε προφανώς. Αν t τότε \ t, γιατί διαφορετικά = t και το θα ήταν ανοικτό και κλειστό υποσύνολο του αντιφάσκει στην συνεκτικότητα του R με R το οποίο R ). Έστω V μια φραγμένη περιοχή του 0 C Ω. Υπάρχει τότε 0 : 0 V V και έτσι οι περιοχές V, 0 είναι φραγμένα σύνολα. Επειδή η V είναι φραγμένη από την Πρόταση υπάρχουν M > 0,, M V () ώστε,, Έστω 0 και M τυχόν θετικός με M > M +. Επειδή τα σύνολα και + \ t + είναι ξένα μη κενά και σχετικά κλειστά υποσύνολα του ( μετρικού ) χώρου Ω μπορούμε να ορίσουμε μια ( συνεχή ) συνάρτηση Urysoh ϕ : Ω [ 0,], ώστε { 0} ϕ = και

3 63 ( \ t ) {} =. Έστω M ϕ ϕ + +. Όμως ( ϕ) V V =, τότε ( ) M ( ϕ) = = και άρα = M = M = M > M. Η τελευταία ανισότητα αντιφάσκει με την ().( Ουσιαστικά αποδείξαμε ότι οι περιοχές V περιέχουν συναρτήσεις ώστε το ( ) πλήρης. + να είναι οσοδήποτε μεγάλο ). Έτσι η απόδειξη του ισχυρισμού είναι Από τον ισχυρισμό και το θεώρημα έπεται ότι η τοπολογίαt C του C( Ω ) δεν επάγεται από νόρμα. Από την μέθοδο απόδειξης του θεωρήματος μια αναλλοίωτη για τις μεταφορές μετρική που επάγει την τοπολογία T C του χώρου C( Ω ) είναι η ακόλουθη ( g) (, g) =. = + ( g) Έστω ( ) C Ω ακολουθία η οποία είναι Cauchy. Έπεται τότε ότι για κάθε, lm ( j) = 0, δηλαδή η( ) j, είναι Cauchy στον χώρο Baach C, (πρβλ. την παρατήρηση3.3. ()) και έτσι συγκλίνει ομοιόμορφα επί του σε μια συνεχή συνάρτηση g : K. Επειδή η ακολουθία ( ) είναι αύξουσα έπεται εύκολα ότι η g + επεκτείνει την g για κάθε, ούτως ώστε ορίζεται μια ( συνεχής ) συνάρτηση g : T Ω K για την οποία ισχύει, C g (, g) 0. Έτσι η είναι μια πλήρης μετρική και ο χώρος C( Ω ) είναι χώρος Frechet. Αποδεικνύουμε τέλος ότι ο ( C, TC) θεωρούμε ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο { : } (Ο είναι συμπαγής μετρικός χώρος και άρα ο ( C, ) Ω είναι διαχωρίσιμος χώρος. Για κάθε, του χώρου Baach C( ) είναι διαχωρίσιμος χώρος Baach). Επειδή ο Ω είναι μετρικός χώρος μπορούμε να επεκτείνουμε την κάθε συνάρτηση : K σε μια συνεχή συνάρτηση g : Ω K, με χρήση του θεωρήματος του Tetze. Θέτομε D { g :, } πυκνό υποσύνολο του χώρου ( C, TC) διαχωρίσιμος. = και παρατηρούμε ότι το D είναι ένα αριθμήσιμο και Ω και συνεπώς ο χώρος C. Ω είναι Παρατήρηση. Το θεώρημα του Tetze για μετρικούς χώρους ισχυρίζεται ότι: Αν A είναι κλειστό υποσύνολο ενός μετρικού χώρου X και : A R είναι συνεχής συνάρτηση τότε

4 64 η έχει μια συνεχή επέκταση F : X μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε F( x) 3.4. Ο χώρος 3..6 (5), ο R. Μάλιστα, αν ( x) < c επί του A τότε η F < c επί του X. H Ω. ΈστωΩ C ανοικτό σύνολο. Όπως γνωρίζουμε από το παράδειγμα H Ω είναι ο χώρος των ολομόρφων συναρτήσεων : Ω C ο οποίος θεωρούμενος ως διανυσματικός υπόχωρος του C( Ω) είναι, με την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του Ω όσο ένας τοπικά κυρτός χώρος. Από το προηγούμενο παράδειγμα ο H χώρος. (Ι) Ο H( Ω ) είναι κλειστός υπόχωρος του C Έστω ( ) H Ω και : Ω C ώστε Ω είναι μετρικοποιήσιμος και διαχωρίσιμος Ω. T C. Από το θεώρημα του weerstrass της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων έπεται ότι η είναι ολόμορφη και άρα H( Ω ). Έτσι ο H( Ω ) είναι κλειστός υπόχωρος του C( Ω ) ( H, TC) πλήρους μετρικού χώρου C,. Έπεται ότι ο Ω είναι ένας ( διαχωρίσιμος ) χώρος Frechet ως κλειστός υπόχωρος του (ΙΙ) Ο H Έστω E H Ω έχει την ιδιότητα Hee- Borel. Ω, όπου η είναι η μετρική του παραδείγματος Ω φραγμένο σύνολο. Από την Πρόταση υπάρχει οικογένεια θετικών αριθμών M, Ω συμπαγές ώστε,, z M z E. Από το θεώρημα Motel της θεωρίας των Μιγαδικών συναρτήσεων το σύνολο E είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του χώρου H( Ω ) τότε βέβαια το E είναι συμπαγές στον H ( Ω, TC). (ΙΙΙ) Η τοπολογία T C του H( Ω ) δεν επάγεται από μια νόρμα. (, C) Πράγματι, ο H( Ω ) T δεν έχει φραγμένη περιοχή του 0 H. Αν το E είναι επί πλέον κλειστό Ω διότι διαφορετικά, από την ιδιότητα Hee-Borel, ο H( Ω ) θα είχε μια συμπαγή περιοχή του μηδενός και έτσι ο H( Ω ) θα είχε πεπερασμένη διάσταση. (Πρβλ. Θεώρημα 3.3.6). Είναι βέβαια σαφές ότι ο διανυσματικός χώρος H( Ω ) είναι απειροδιάστατος, εφόσον η ακολουθία των μονωνύμων,,,...,,... z z z είναι γραμμικά ανεξάρτητη.

5 65 Παρατήρηση Το θεώρημα Motel λέει ότι: Ένα υποσύνολο του χώρου H( Ω ) είναι σχετικά συμπαγές στην τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του Ω αν και μόνο αν υπάρχουν θετικές σταθερές M, Ω, ώστε,, z M z E (). Τα υποσύνολα του H( Ω ) που ικανοποιούν την () ονομάζονται στην ορολογία της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων «φυσιολογικές οικογένειες» ( ormal amles ). Οι φυσιολογικές οικογένειες F H υποσύνολα του τοπικά κυρτού χώρου H( Ω ). Ω είναι στην δική μας ορολογία τα φραγμένα ) Το θεώρημα Weerstrass που χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα λέει ότι: Αν : Ω C ακολουθία ολομόρφων συναρτήσεων και : Ω C συνάρτηση ώστε ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ω τότε ολόμορφη στο Ω και επιπλέον ' για κάθε k = 0,,,..., ' ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ω. Έπεται με επαγωγή ότι ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ω Ο χώρος C ( I). Έστω χώρος C ( I) παραγώγους κάθε τάξης. Ο C ( I) ( k) ( k) I = a, b, a< b + ανοικτό διάστημα στο R. Ο είναι ο διανυσματικός χώρος των συναρτήσεων : I R που έχουν, με μια κατάλληλη τοπικά κυρτή τοπολογία, είναι ένας διαχωρίσιμος χώρος Frechet με την ιδιότητα Hee-Borel και συνεπώς η τοπολογία του δεν επάγεται από νόρμα. Έστω( ) ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων ( διαστημάτων ) του I ώστε, t( ). Συνεπώς η + Παράδειγμα 3.4.). και = I = κυριαρχεί τα συμπαγή υποσύνολα του I ( Πρβλ Είναι σαφές ότι τα,, μπορούν να επιλεγούν να είναι συμπαγή διαστήματα. Ορίζουμε τώρα μια ακολουθία ημινορμών,...,,..., ( m { ) } = su t : t,0 m,. Είναι σαφές ότι η τοπικά κυρτή τοπολογία T T( : ) επί του C ( I ) ως εξής, = είναι λεπτότερη της τοπολογίας T C της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του I και ότι είναι

6 66 μετρικοποιήσιμη. Μια μετρική η οποία επάγει την T είναι βέβαια η ( g). = + ( g), g =,, g C I Επειδή......, τα σύνολα V = B 0, C ( I) :, = <, ορίζουν μια φθίνουσα βάση περιοχών του 0 C ( I). Παρατηρούμε τα ακόλουθα: ) Μια ακολουθία ( ) C ( I) C I ( συγκλίνει ως προς την μετρική στην συνάρτηση ) αν και μόνο αν για κάθε m στα συμπαγή υποσύνολα του I ( δηλαδή, για κάθε m 0,, η στον χώρο Baach )Έστω( ) C ( I) C στην συνάρτηση ( m ). μια -Cauchy ακολουθία. Τότε ( j) lm q 0 j Ιδιαίτερα έπεται ότι ( j) υπάρχει C( I) ώστε ( m) ( m) 0, ομοιόμορφα ( m) ( ) συγκλίνει lm = 0,. j = όπου { } q = su t : t,. Άρα ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του I (Πρβλ. το Παράδειγμα 3.4.). Έπεται από γνωστά αποτελέσματα του Απειροστικού Λογισμού ότι ( C ( I), ) C I και ακόμη ότι είναι ένας χώρος Frechet., δηλαδή η είναι πλήρης μετρική και ο Ισχυρισμός Έστω E φραγμένο υποσύνολο του C ( I). Αν τότε το σύνολο, ( m) { : E,0 m } είναι ισοσυνεχές επί του συμπαγούς συνόλου. Απόδειξη του ισχυρισμού. Εφόσον το E είναι φραγμένο υπάρχουν θετικές σταθερές M > 0,, ώστε ( ) M, E,. Ισοδύναμα, ( m ),,,0, t M E t m. Για λόγους απλότητας, αποδεικνύουμε τον Ισχυρισμό για =. Έστω x, y με x y. Από το θεώρημα μέσης τιμής του Διαφορικού Λογισμού και την υπόθεσή μας θα έχουμε, ( x) ( y) M x y και ' x ' y M x y, E. Έπεται ότι ικανοποιείται η συνθήκη Lschtz επί του και άρα επί του για το σύνολο ( m) { : E, m 0,} =.

7 67 Έστω ε > 0. Αν το δ > 0 επιλεγεί έτσι ώστε δ < ε M, τότε έχομε το συμπέρασμα. ( m) ( Παρατηρούμε ότι το σύνολο { : E,0 m } είναι, από το θεώρημα του Ascol, σχετικά συμπαγές υποσύνολο του χώρου Baach C Αποδεικνύουμε τώρα ότι ο C ( I) φραγμένο υποσύνολο του C ( I).) έχει την ιδιότητα Hee-Borel. Έστω E κλειστό και. Θεωρούμε μια ακολουθία ( ) E. Προχωρούμε με επαγωγή με την βοήθεια του ισχυρισμού ( και του θεωρήματος Ascol ) και βρίσκουμε μια ακολουθία απείρων υποσυνόλων M M... M... του και μια ακολουθία συνεχών συναρτήσεων g : R,, ώστε για κάθε και για κάθε k = 0,,..., ισχύει ότι, ( k) ( k) M g ομοιόμορφα επί του Είναι τότε σαφές ότι g =, + g Έστω m, M ώστε m < m <... < m <... Θέτομε { } M= m< m <... < m <... και ορίζουμε μια συνάρτηση : I R ώστε t g t =, αν t. Έπεται τότε από την κατασκευή μας και τα «γνωστά Αποτελέσματα του Απειροστικού Λογισμού» που χρησιμοποιήσαμε πριν ότι C ( I) και ότι για κάθε και κάθε m 0 ισχύει, Ισοδύναμα, M ( m) ( m), ομοιόμορφα επί του. Έπεται ότι το E είναι συμπαγές υποσύνολο του C ( I), M αφού είναι και κλειστό. Έτσι ο χώρος έχει την ιδιότητα Hee-Borel. Επειδή ο C ( I) ( ) είναι ( προφανώς ) απειροδιάστατος και έχει την ιδιότητα Hee-Borel, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει φραγμένη περιοχή του 0 C ( I) του χώρου δεν επάγεται από νόρμα. ( C I, ) Το γεγονός ότι ο το παράδειγμα 3.4..).. Συνεπώς η τοπολογία είναι διαχωρίσιμος χώρος αφήνεται ως άσκηση. ( Πρβλ. και Παρατηρήσεις ) Υπενθυμίζουμε ένα αποτέλεσμα του Απειροστικού Λογισμού το οποίο χρησιμοποιήσαμε στην μελέτη μας του προηγούμενου παραδείγματος. Έστω [ ] ακολουθία διαφορίσιμων συναρτήσεων και, :[, ] : a, b R R, συναρτήσεις ώστε g συνεχής. Υποθέτουμε ότι, (α) κατά σημείο επί του [ a, b ] και g a b R, (β) ' g ομοιόμορφα επί του [ a, b ].

8 68 ' Τότε η είναι διαφορίσιμη και lm ( x) '( x) g( x), x [ a, b] Calculus του M. Svak, ch.3) = = ( Πρβλ. το βιβλίο, ) Το θεώρημα του Ascol είναι το ακόλουθο. Έστω συμπαγής ( μετρικός ) χώρος και E φραγμένο υποσύνολο του χώρου Baach C( ),(εφοδιασμένο με την su-orm ). Τότε, το E είναι σχετικά συμπαγές στον C( ) αν και μόνο αν είναι ισοσυνεχές σύνολο. 3) Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να ορισθεί και στις παραπάνω διαστάσεις. Δηλαδή, αν m Ω R ανοικτό σύνολο και συναρτήσεων : C Ω είναι ο χώρος των C διαφορισίμων Ω R, τότε με ανάλογο τρόπο ορίζεται μια μετρική στον C ( Ω ) η οποία τον καθιστά διαχωρίσιμο χώρο Frechet. Έτσι για κάθε a ( a a ) k =,,..., m μη αρνητικοί ακέραιοι, θεωρούμε τον διαφορικό τελεστή D a a =... x xm a m =,..., m, όπου a k,, του οποίου η τάξη είναι, a = a am. Αν a = 0 θέτομε =. Οι ημινόρμες που καθορίζουν την τοπολογία του a D { } a = su :,,, όπου D x x a συμπαγών υποσυνόλων του Ω με Ω= και + = C Ω ορίζονται ως εξής: είναι μια ακολουθία t,. Η απόδειξη των ιδιοτήτων του χώρου C ( Ω ) ακολουθεί τις γραμμές της απόδειξης του παραδείγματος Οι χώροι L [ ] a> 0, b> 0 και 0< < τότε. 0,,0< < : Αποδεικνύουμε καταρχήν την ακόλουθη ανισότητα: Αν a+ b a + b () Πράγματι, η () ισοδυναμεί με την ακόλουθη ανισότητα a + b a b = + a+ b a+ b ( a+ b) Είναι σαφές ότι για να αποδείξουμε την () είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι: Αν A> 0, B> 0, A+ B= και 0< < τότε A + B. Θέτομε t t = +, ( 0, + ). Τότε F t A B t () t t F ' t = log A A + log B B < 0, t> 0, εφόσον

9 69 0 < A, B<. ατά συνέπεια η F είναι γνήσια φθίνουσα στο ( 0,+ ) και έτσι ( ) <,0< < ή F F t t Ορίζουμε τώρα τους χώρους [ 0,] με L L [ 0,] 0 t t = F < A + B, 0< t< ή t t A + B >,0< t<. L με 0 < <. Δοθέντος του ( 0,) συμβολίζουμε τον χώρο ( των κλάσεων ισοδυναμίας ) των Lebesgue μετρησίμων συναρτήσεων :[ 0,] R ώστε q( ) = ( t) t<+. 0 Από την ανισότητα () έπεται αμέσως ότι, q( + g) q( ) + q( g),, g L. Επίσης, αν L και λ R τότε q( λ ) = λ q( ) <+. Συνεπώς ο L είναι γραμμικός χώρος επί του R. Έπεται εύκολα ότι ο τύπος (, ) g = q g,, g L ορίζει μια αναλλοίωτη για τις μεταφορές μετρική επί του L. Αποδεικνύεται εύκολα ότι η τοπολογία T = T που ορίζει η επί του L είναι συμβατή με την δομή του γραμμικού χώρου και συνεπώς ο ( L, ) είναι τοπολογικός γραμμικός χώρος. Περαιτέρω αποδεικνύεται όπως και στην περίπτωση των χώρων L με, ότι ο ( L, ) είναι πλήρης μετρικός χώρος. ( Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες.) Ισχυρισμός. Αν V είναι ανοικτό κυρτό μη κενό υποσύνολο του χώρου ( L, ) τότε V = L. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας ότι 0 V. Έστω L, θα { } αποδείξουμε ότι V. Έστω r> 0 : B ( 0, r) = g L : ( g, o) = q( g) < r V. Μπορούμε να υποθέσουμε για την ότι q( ) > 0( αν q( ) = 0 τότε ( 0, ) q < r. Επειδή η συνάρτηση : ). Επιλέγομε [ ] [ + ) = [ ] x 0 B r V F : 0, 0, : F x t t, x 0,, είναι συνεχής και αύξουσα, υπάρχουν σημεία 0 x0 x... x = < < < =, ώστε x x ( F( 0) 0 F( x) F( ) q( ), x [ 0,] = =.) q t t=, =,,...,.

10 70 Για κάθε =,,...,, ορίζουμε μια συνάρτηση g ( t), αν t x < t x =. 0, διαφορετικά g επί του [ ] Οι συναρτήσεις g,, είναι μετρήσιμες και επειδή x x = = q g t t t t x x g B 0, r V, =,,...,. Έπεται ότι q 0, με τον τύπο = = q < r. Επειδή το V είναι κυρτό και ισχυρισμού είναι πλήρης. g g =, έπεται ότι V και η απόδειξη του Από τον ισχυρισμό συμπεραίνουμε ότι οι μόνες κυρτές περιοχές του 0 είναι ολόκληρος ο χώρος L και έτσι ο ( L, ) L δεν μπορεί να είναι τοπικά κυρτός χώρος Παρατηρήσεις. Ο ( τοπολογικός ) συζυγής ή δυϊκός ενός τ.δ.χ. ( E, T ) ορίζεται- όπως και στην περίπτωση των χώρων με νόρμα- να είναι το σύνολο των συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών : E K. Ο συζυγής ενός τ.δ.χ. E συμβολίζεται με * E και είναι με τις συνήθεις πράξεις ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος K. Όπως θα αποδείξουμε λίγο αργότερα με την βοήθεια του θεωρήματος Hah-Baach ο συζυγής ενός Hausor τοπικά κυρτού χώρου E { 0} είναι μη τετριμμένος, μάλιστα διαχωρίζει τα σημεία του E ( x, y E με x y E *, ώστε ( x) ( y) ). Παρατηρούμε ότι στο προηγούμενο παράδειγμα ο συζυγής του L είναι ο τετριμμένος χώρος { 0 }. Πράγματι, έστω : L R συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές. Επειδή για κάθε ε > 0 το σύνολο (( ε, ε) ) είναι ανοικτή και κυρτή περιοχή του 0 L, έπεται ότι Ker = L, δηλαδή * = 0και άρα L = { 0}. Στις ασκήσεις πρόκειται να περιγράψουμε ένα παράδειγμα ενός μη τοπικά κυρτού τοπολογικού διανυσματικού χώρου E, ο οποίος όμως έχει αρκετά ανοικτά και κυρτά σύνολα ούτως ώστε ο συζυγής του και επομένως είναι μη τετριμμένος. * E να διαχωρίζει τα σημεία του E