ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 4 Ιουνίου 8 Ασκηση Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του E, όπου E { } είναι ένας K-διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f Να δειχθεί ότι υπάρχει λ K έτσι ώστε f x = λ x, x E Λύση Από την υπόθεση έχουµε : Εστω x, y K, όπου x y Τότε : x E, x, λ x K : f x = λ x x f x = λ x x και f y = λ y y Αν x + y, τότε ϑα έχουµε και : f x + y = λ x+ y x + y και εποµένως : f x + f y = λ x+ y x + λ x+ y y = λ x x + λ y y = λ x+ y x + λ x+ y y Άρα : λ x λ x+ y x + λ y λ x+ y y = Υποθέουµε ότι : λ x λ y Τότε τα x και y είναι ιδιοδιανύσµατα της f τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές Τότε όπως γνωρίζουµε, τα x και y είναι γραµµικά ανεξάρτητα, και εποµένως η τελευταία σχέση δίνει : λ x λ x+ y = = λ y λ x+ y = λ x = λ x+ y = λ y το οποίο είναι άτοπο Άρα αν x + y, τότε : λ x = λ y Αν x + y =, τότε y = x, και ϑα έχουµε : = f x + y = f x + f y = λ x x + λ y y = λ x x λ x = λ x λ y x δηλαδή : λ x λ y x = Επειδή το x, ως ιδιοδιάνυσµα της f, έπεται από την τελευταία σχέση ότι λ x λ y =, και άρα λ x = λ y

2 Ετσι δείξαµε ότι σε κάθε περίπτωση : x y = λ x = λ y Θέτουµε λ x = λ = λ y την κοινή αυτή τιµή Τότε ϑα έχουµε : f x = λ x, x E και επειδή f = = λ, έπεται ότι : f x = λ x, x E Ασκηση Εστω A ένας n n-πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Υποθέτουµε ότι το άθροισµα των στοιχείων καθεµιάς γραµµής του είναι ίσο µε Να δειχθεό ότι το είναι ιδιοτιµή του A Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα στήλη του χώρου K n είναι ιδιοδιάνυσµα του A, να δειχθεί ότι ο A είναι ο µοναδιαίος πίνακας : A = I n Λύση Εχουµε : a a a n a + a + + a n A = a a a n = a + a + + a n = a n a n a nn a n + a n + + a nn και άρα το είναι ιδιοτιµή του πίνακα A µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα τη στήλη : Υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα στήλη του χώρου K n είναι ιδιοδιάνυσµα του A Τότε από την Άσκηση έχουµε ότι υπάρχει λ K έτσι ώστε a a a n x x x a a a n x = λ x, x M n K a n a n a nn x n x n x n Θεωρούµε το διάνυσµα στήλη Τότε : x x = x n a a a n a a a n = λ = a n a n a nn = λ = λ = Εποµένως έχουµε : a a a n x x a a a n x = x, a n a n a nn x n x n και άρα A = I n x x M n K x n

3 3 Ασκηση 3 Ενας πίνακας B = b ij M n n K καλείται δίκαιος αν : a b ij >, i, j =,,, n b b ij b jk = b ik, i, j, k =,,, n Για τους δίκαιους πίνακες να δείξετε τα ακόλουθα : Να δειχθεί ότι ο πίνακας A = είναι δίκαιος Να δειχθεί ότι αν B είναι ένας δίκαιος πίνακας, τότε : B = nb 3 Να δειχθεί ότι κάθε δίκαιος πίνακας είναι όµοιος µε τον A 4 Να δειχθεί ότι κάθε δίκαιος πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος και να προσδιορισθεί ένας αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P B P να είναι διαγώνιος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Λύση Ο πίνακας A είναι δίκαιος διότι i, j, k =,,, n έχουµε : Εστω B ένας δίκαιος πίνακας Τότε : B ij = B ik B kj = k= b ij = > και b ij b jk = = = b ik b ik b kj = k= b ij = nb ij = n B ij = nb ij για κάθε i, j =,,, n Άρα : B = nb 3 Εστω B ένας δίκαιος πίνακας Θα δείξουµε ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας C M n n K έτσι ώστε C B C = A Καταρχήν παρατηρούµε ότι k= b ii b ij = b ij i, j =,,, n b ij b ii = i =,,, n Θεωρούµε το πίνακα C µε δηλαδή Ο πίνακας C είναι αντιστρέψιµος µε διότι C ij = δ ij b j b b C = b n C ij = δ ij b j b b C C b = b = I n = C C b n b n Τότε υπολογίζουµε : B C ij = B ik C kj = k= b ik δ kj b j = b ij b j = b i k=

4 4 και C B C ij = C ik B C kj = k= δ ik b k b k = b i b i = k= Συνεπώς ϐρήκαµε αντιστρέψιµο πίνακα C έτσι ώστε C B C = = A και άρα ο δίκαιος πίνακας B είναι όµοιος µε τον A 4 Θεωρούµε το πολυώνυµο P t = t nt Τότε από το ερώτηµα έχουµε P B = B nb = O Επειδή το πολυώνυµο P t µηδενίζει το δίκαιο πίνακα B, έπεται ότι το πολυώνυµο P t ϑα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο Q B t του B: Q B t/p t Επειδή P t = tt n το ελάχιστο πολυώνυµο ϑα είναι ένα εκ των : Q B t = t ή Q B t = t n ή Q B t = tt n Αν το ελάχιστο πολυώνυµο του B είναι το t ή το t n, τότε ϑα έχουµε αντίστοιχα ότι : B = O ή B = ni n το οποίο είναι άτοπο διότι b ij >, i, j n Άρα Q B t = tt n και έτσι το ελάχιστο πολυώνυµο Q B t είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων Εποµένως ο πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος Επίσης ο πίνακας A, ως δίκαιος πίνακας, διαγωνοποιείται Βρίσκουµε τους ιδιοχώρους που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ = και λ = n Εχουµε : x x A = = = V =,,, x n και x x x A = n x = = Vn = x n Συνεπώς υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας Q = x n έτσι ώστε Q A Q = = n E nn n

5 5 όπου : E nn = Ετσι ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον n E nn Επειδή ο πίνακας B είναι όµοιος µε τον A, έπεται ότι ο B είναι όµοιος µε τον n E nn Λεπτοµερέστερα : C Q B C Q = Q C B C Q = Q A Q = = n E nn n Συνεπώς υπάρχει ο αντιστρέψιµος πίνακας P = C Q έτσι ώστε ο πίνακας P B P είναι διαγώνιος, και άρα η διαγώνια µορφή του δίκαιου πίνακα B είναι η = n E nn n Ασκηση 4 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος και x, y E Να δειχθεί ότι : x, y = x x + λ y, λ R Λύση Εστω x, y = Τότε : x + λ y = x + λ x, y + λ y = x + λ y x διότι λ y για κάθε λ R Συνεπώς : x + λ y x Αντίστροφα έστω ότι x x + λ y, λ R Τότε : x + λ y x = x + λ x, y + λ y x Αν y =, τότε y =, και προφανώς : x, y = Υποθέτουµε ότι : y Θέτουµε και άρα = λ y + λ x, y, λ R ϕλ = y λ + x, y λ, λ R Υποθέτουµε ότι x, y Οι ϱίζες του τριωνύµου ϕλ ως προς λ είναι : ϕλ, λ R λ = και λ = x, y y

6 6 οι οποίες είναι διακεκριµµένες : λ = λ διότι x, y = Επειδή η διακρίνουσα του ϕλ είναι = 4 x, y >, το τριώνυµο ϕλ λαµβάνει τιµές αντίθετες του πρόσηµου του y > στο διάστηµα µεταξύ των ϱιζών του Άρα : και ϕλ <, ϕλ <, λ λ, x, y, αν x, y < y x, y y,, αν x, y > Άρα επιλέγοντας λ σε ένα από τα παραπάνω διαστήµατα, ϐλέπουµε ότι : λ R : ϕλ < Από τις και ϐλέπουµε ότι η υπόθεση x, y, µας οδηγεί σε άτοπο Άρα x, y = Ασκηση 5 Εστω a, a,, a n, b, b,, b n, και c, c,, c n πραγµατικοί αριθµοί Αν c, c,, c n >, να δειχθεί ότι : n c i a i b i n c i a i n c i b i i= i= i= Λύση Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R n : x = c a,, c n a n και y = c b,, c n b n Τότε από την ανισότητα των Cauchy-Schwarz έχουµε : x, y x y = n c i a i b i i= n c i a i i= n c i b i i= ιαφορετικά: Επειδή c, c,, c n >, η απεικόνιση x,, x n, y,, y n = x k c k y k k= είναι ένα εσωτερικό γινόµενο στον R n Από την ανισότητα των Cauchy-Schwarz για τα διανύσµατα x = a,, a n και y = b,, b n ως προς το εσωτερικό γινόµενο,, ϑα έχουµε : x, y x y = n c i a i b i i= n c i a i i= n c i b i i= Ασκηση 6 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος Να δειχθεί η ισότητα του Απολλώνιου : z x + z y = x y + z x + y z, x, y E

7 = z x + z y 7 Λύση Εχουµε : x y + z x + y = x y + z z, x + y + x + y = x x, y + y + z z, x z, y + x + x, y + y = z z, x + x + z z, y + y Ασκηση 7 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε ότι για κάθε ενδοµορφισµό f : E E, υπάρχουν ενδοµορφισµοί g, h: E E έτσι ώστε : f = g + h, όπου : g = g και h = h Επιπλέον αν g, h : E E είναι ενδοµορφισµοί, έτσι ώστε f = g +h, όπου : g = g και h = h, τότε g = g και h = h Λύση Θεωρούµε τους ενδοµορφισµούς Τότε Επιπλέον : g = f + f f + f g = = f f h = και g + h = f + f h = f f + f f = f f + f = f + f = f + f = f f = f f = f f Υποθέτουµε ότι f = g + h, όπου : g = g και h = h Τότε : και άρα : = g = h f = g + h = g + h = g g = h h g g = h h Επειδή : { g g = g g = g g = g g = g g ϑα έχουµε : Από τις και έπεται ότι : h h = h h = h + h = h h = h h = h h g g = h h g g = = h h = g = g h = h Ασκηση 8 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E ένας ενδοµορφισµός του E Να δειχθεί ότι αν ο f ικανοποιεί δύο από τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες :

8 8 ο f είναι αυτοπροσαρτηµένος ο f είναι ισοµετρία 3 f = Id E τότε ικανοποιεί και την τρίτη Τι µορφή έχει ο ενδοµορφισµός f αν ικανοποιούνται οι παραπάνω ιδιότητες ; Λύση + 3 = : Εστω x, y E Τότε : f x, f y = x, f f y = x, ff y f = f και άρα ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµετρία = x, f y f = Id E = x, y + 3 = : Επειδή f = Id E έπεται ότι ο f είναι ισοµορφισµός µε f = f Επίσης, επειδή ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµετρία έχουµε x, y = f x, f y = x, f f y, x, y E = f f y = y, y E και άρα ο f είναι ισοµορφισµός µε = f f = Id E f = f Εποµένως από τις σχέσεις και έπεται ότι f = f, δηλαδή ο ενδοµορφισµνός f είναι αυτοπροσαρτηµένος + = 3 : Εστω x E Επειδή ο ενδοµορφισµός f είναι αυτοπροσαρτηµένος, ϑα έχουµε : f x, x = ff x, x = f x, f x = f x, f x = x, x 3 και επειδή ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµετρία, ϑα έχουµε : f x, f x = ff x, ff x = f x, f x = x, x 4 Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 3 και 4 έπεται ότι f x x, f x x = f x, f x f x, x x, f x + x, x = και άρα f x x = για κάθε x E Εποµένως : f = Id E Υποθέτουµε ότι ο ενδοµορφισµός f ικανοποιεί τις ιδιότητες, και 3 Θεωρούµε το πολυώνυµο P t = t = t t + Τότε P f = f Id E = και άρα το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t της f διαιρεί το P t: Q f t/p t Εποµένως : Q f t = t ή Q f t = t + ή Q f t = t Αν Q f t = t = f = Id E ή αν Q f t = t + = f = Id E

9 9 Τέλος, αν Q f t = t τότε, επειδή ο f είναι αυτοπροσαρτηµένος, από το Φασµατικό Θεώρηµα, υπάρχει ορθοκανονική ϐάση B του E έτσι ώστε ο πίνακας της f στη ϐάση B να είναι ο εξής : A = Ασκηση 9 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος Αν f : E E είναι ένας ενδοµορφισµός του E, για τον οποίο ισχύει ότι : f f = f f να δειχθεί ότι : Λύση Εστω x Kerf Τότε : Kerf = Kerf και Imf = Imf E = Kerf Imf και Kerf Imf f x = = f f x = = f f x = = f f x = = f f x, x = = ff x, x = = f x, f x = = f x = = f x = και άρα x Kerf Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται ότι Kerf Kerf Εναλλάσσοντας τους ϱόλους των f και f και χρησιµοποιώντας ότι f = f, έπεται ότι Kerf Kerf = Kerf Εποµένως Kerf = Kerf Χρησιµοποιώντας ότι Kerf = Imf και Kerf = Imf, ϐλέπε την Άσκηση 8 του Φυλλαδίου Ασκήσεων 7, ϑα έχουµε : Imf = Imf Τέλος, επειδή πάντα έχουµε : E = Kerf Kerf, από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι : E = Kerf Imf και Kerf Imf Ασκηση Εστω A M n R ένας συµµετρικός πίνακας Αν A = A, να δειχθεί ότι : Οι ιδιοτιµές του A είναι ή

10 Η ϐαθµίδα ra του A είναι ίση µε το ίχνος TrA του A 3 Πότε ο A είναι ϑετικός ; Λύση Επειδή ο πίνακας A είναι συµµετρικός, από το Φασµατικό Θεώρηµα υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε λ t P A P = λ n όπου λ i R οι ιδιοτιµές του πίνακα A Τότε : λ t P A P = t P A P = λ n και επειδή A = A έπεται ότι λ λ = = λ i = λ i = λ i λ i =, i n λ n λ n Εποµένως : λ i = ή λ i = και άρα οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι ή Εστω ότι η ϐαθµίδα του πίνακα A είναι ra = m Από το Φασµατικό Θεώρηµα, υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε t P A P = όπου το πλήθος των στην κύρια διαγώνιο είναι ίσο µε την πολλαπλότητα της λ = ως ιδιοτιµής του A Επειδή όµοιοι πίνακες έχουν την ίδια ϐαθµίδα, και επειδή η ϐαθµίδα του πίνακα στα δεξιά της παραπάνω σχέσης είναι προφανώς ίση µε m, έπεται ότι ra = m = πολλαπλότητα της λ = ως ιδιοτιµής του A Επειδή όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος και επειδή το ίχνος του πίνακα στα δεξιά της παραπάνω σχέσης είναι ίσο µε m, έπεται ότι : TrA = Tr t P A P = Tr = = m = ra και άρα η ϐαθµίδα ra του A είναι ίση µε το ίχνος TrA του A 3 Ο πίνακας A είναι ϑετικός αν και µόνο αν όλες οι ιδιοτιµές του είναι ϑετικές, δηλαδή στη περίπτωση µας ίσες µε Αυτό σηµαίνει ότι ο A όµοιος µε τον µιναδιαίο πίνακα I n Τότε προφανώς A = I n Ασκηση Εστω A M n R ένας συµµετρικός πίνακας Αν A 3 = A, να δειχθεί ότι : A = A

11 Λύση Επειδή ο πίνακας A είναι συµµετρικός, γνωρίζουµε από το Φασµατικό Θεώρηµα ότι υπάρχει ένας ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε λ t P A P = λ n όπου λ i οι ιδιοτιµές του πίνακα A Τότε : λ 3 t P A 3 P = λ 3 n και λ t P A P = λ n Επειδή A 3 = A, ϑα έχουµε : λ 3 λ A 3 = A = t P A 3 P = t P A P = = λ 3 n λ n και άρα λ 3 i = λ i, δηλαδή ισοδύναµα λ iλ i λ i =, για κάθε i n Αν λ i = για κάθε i =,, n τότε A = και άρα το Ϲητούµενο ισχύει ιαφορετικά αν κάποια από τα λ i τότε έχουµε λ i = λ i Εποµένως : t P A P = t P A P = A = A ιαφορετικά: Θεωρούµε το πολυώνυµο Qt = t 3 t Τότε QA = A 3 A = O Άρα το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t είναι διαιρέτης του Qt = t 3 t = t t, και άρα : Q A t = t ή Q A t = t ή Q A t = t ή Q A t = tt ή Q A t = t t Επειδή ο A είναι συµµετρικός από το Φασµατικό Θεώρηµα, ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα το ελάχιστο πολυώνυµο έχει διακεκριµένους παράγοντες Εποµένως : Q A t = t ή Q A t = t ή Q A t = tt Αν Q A t = t, τότε A = O Αν Q A t = t, τότε A = I n Και στις δύο αυτές περιπτώσεις έχουµε προφανώς ότι : A = A Τέλος αν Q A t = tt = t t, τότε A = A Ασκηση Εστω ο πίνακας πραγµατικών αριθµών a/n A = a/n όπου a R και nn Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας t P A P να είναι διαγώνιος Να ϐρεθούν οι τιµές του a R για τις οποίες ο πίνακας A είναι ϑετικός, και για τις τιµές αυτές του a να ϐρεθεί µια n-οστή ϱίζα του πίνακα A 3 Να ϐρεθεί η n-οστή δύναµη του A Λύση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: P A t = A ti = t a/n a/n t = t t + a n = t Εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι a t + a n n λ = a n και λ = + a n Για τον ιδιοχώρο V A a n, ϑα έχουµε το οµογενές σύστηµα : a/n a/n x = = a/n a/n y a x + y = = y = x n

12 Άρα : V A a { } { } x = R n x x R = x R x R Τότε το διάνυσµα είναι µια ϐάση του V A a n και το διάνυσµα { F = } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του V A a n Για τον ιδιοχώρο V A + a n, ϑα έχουµε το οµογενές σύστηµα : a/n a/n x = = a/n a/n y a x + y = = y = x n Άρα : Τότε το διάνυσµα V A + a { } { } x = R n x x R = x R x R είναι µια ϐάση του V A + a n και το διάνυσµα { F = } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του V A a n Θέτοντας P = F F = αποκτούµε έναν ορθογώνιο πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι : t a P A P = n + a n Ο πίνακας A είναι ϑετικός αν και µόνον αν οι ιδιοτιµές του είναι ϑετικές : A > O λ, λ > a n, + a n > n < a < n Υποθέτουµε ότι a n, n, και εποµένως ο πίνακας A είναι ϑετικός Θα έχουµε a A = P n + a tp n a = P n n+a n tp = P n a n n n + a Εποµένως µια n-οστή ϱίζα του A είναι ο πίνακας n A = P n n n n a n n + a 3 Επειδή όπως δείξαµε παραπάνω ϑα έχουµε : A n = P = n n tp = n n A = P n a n n + a tp n n a n n n + a tp = n n P = n n n a n tp n n + a + n n n a n + a n n a n n + a n n n a n + a + n n a n + a n n a n n + a n tp = n + a n + n a n n + a n n a n n + a n n a n n + a n + n a n = n n =

13 3 Ασκηση 3 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και έστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του E Υποθέτουµε ότι υπάρχει λ R έτσι ώστε : f = λf Να δειχθεί ότι είτε ο f είναι αυτοπροσαρτηµένος f = f είτε ο f είναι αντισυµµετρικός f = f Λύση Για κάθε διάνυσµα x E, ϑα έχουµε : Εποµένως : f x, x = x, f x = x, λf x = x, λf x = λ x, f x = λf x, x λ f x, x = = λ = ή f x, x = Αν λ =, τότε ϑα έχουµε f = f και ο f είναι αυτοπροσαρτηµένος Αν λ, τότε ϑα έχουµε, x E: f x, x = Γνωρίζουµε από παλαιότερη Άσκηση ότι αυτό είναι ισοδύναµο µε το ότι ο f είναι αντισυµµετρικός, δηλαδή f = f Ασκηση 4 Εστω E,, ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και έστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του E, έτσι ώστε : f = λf, όπου λ Να δειχθεί ότι E = Kerf Imf και Kerf Imf Kerf = Kerf και Imf = Imf 3 Αν λ =, να δειχθεί ότι η ϐαθµίδα rf του f είναι άρτιος αριθµός : rf : άρτιος 4 Να δειχθεί ότι η ϐαθµίδα κάθε αντισυµµετρικού πίνακα πραγµατικών αριθµών είναι άρτιος αριθµός Λύση Εστω y Imf Τότε, x E ϑα έχουµε : f x, y = = = x, f y = x, λf y = λ x, f y = f y, x =, x E = = f y, f y = = f y = = f y = = y Kerf Άρα Imf Kerf Από την εξίσωση διαστάσεων, ϑα έχουµε dim R E = dim R Kerf + rf και άρα : dim R Kerf = dim R E rf Επειδή E = Imf Imf, ϑα έχουµε dim R Imf = dim R E rf 3 Από τις σχέσεις,, και 3, έπεται ότι : Imf = Kerf και εποµένως από την και την 3 ϑα έχουµε : E = Kerf Imf και Kerf Imf

14 4 Γνωρίζουµε ότι : Imf Imf και Kerf Kerf Αν f x =, τότε ff x = και εποµένως f x Imf Kerf = { } x Kerf Αυτό δείχνει ότι Kerf Kerf και άρα Kerf = Kerf Άρα f x = και Από την άλλη πλευρά, επειδή όπως µπορούµε να δούµε εύκολα : f = λ f, από το µέρος της Άσκησης ϑα έχουµε : και εποµένως E = Kerf Imf και Kerf Imf Imf = Kerf = Kerf = Imf Ιδιαίτερα ϑα έχουµε : rf = rf 3 Επειδή Imf = Imf, µπορούµε να ορίσουµε έναν ενδοµορφισµό g : Imf Imf, g y = fy ο οποίος είναι ισοµορφισµός διότι αν y Kerg, τότε g y = f y = και άρα y Imf Kerf = { } Άρα ο g είναι µονοµορφισµός και άρα ισοµορφισµός διότι ο χώρος Imf έχει πεπερασµένη διάσταση Οµως ο ενδοµορφισµός g προφανώς είναι αντισυµµετρικός διότι g = f Imf και ο f είναι αντισυµµετρικός Άρα t g = g και εποµένως ϑεωρώντας ορίζουσες ϑα έχουµε Detg διότι ο g είναι αντιστρέψιµος, και : Detg = Det t g = Det g = dim R Imf Detg = rf Detg = = rf = = rf : άρτιος 4 Αν A είναι ένας αντισυµµετρικός n n πίνακας πραγµατικών αριθµών, τότε ο ενδοµορφισµός f A : R n R n, f A X = A X είναι αντισυµµετρικός Επειδή rf A = ra, ο ισχυρισµός προκύπτει από το µέρος 3 Αν A M n C είναι ένας πίνακας µιγαδικών αριθµών, τότε ορίζουµε τον πίνακα : A := t A δηλαδή αν a a a n a a a n a a a n A =, τότε a a a n A = a n a n a nn a n a n a nn Ο πίνακας A καλείται ο συζυγής ανάστροφος του A Παρατηρούµε ότι : A = t A = t A Η παρακάτω άσκηση περιγράφει τις κυριότερες ιδιότητες του ανάστροφου συζυγή ενός πίνακα µιγαδικών αριθµών Ασκηση 5 A, B M n C, τότε : A = A A B = B A 3 µ A = µ A 4 Αν Z M n C, τότε Z Z R και Z Z = αν και µόνον αν Z = O 5 Αν A M n R M n C, τότε A = t A

15 5 Λύση Θα έχουµε, i, j n: Άρα : A = A Θα έχουµε, i, j n: [A B ] ij = A B ji = Άρα : A B = B A 3 Θα έχουµε, i, j n: Άρα : µ A = µ A 4 Εστω Τότε : Άρα : [A ] ij = A ji = A ij = A ij = A jk B ki = k= A jk B ki = k= B ik A kj = B A ij k= B ki A jk = k= [µ A ] ij = µa ji = µa ji = µa ij = [µ A ] ij z z Z = = z n κ + iλ κ + iλ κ n + iλ n Z = z z z n = κ iλ κ iλ κ n iλ n Z Z = z z z n z z = z z + z z + + z n z n = z n κ j + λ j R είναι ένας πραγµατικός αριθµός και προφανώς : Z Z Τέλος Z Z = αν και µόνον αν n j= κ j + λ j = αν και µόνον αν κ j = = λ j, j n, αν και µόνον αν Z = O 5 Αν A M n R M n C, τότε, i, j n: A ij = A ji = A ji = A = t A j= Ασκηση 6 Εστω A M n R ένας αντισυµµετρικός πίνακας, δηλαδή : Λύση Να δείξετε ότι οι ιδιοτιµές του A στο C είναι της µορφής : λi, λ R Να δείξετε ότι οι πίνακες I n + A και I n A είναι αντιστρέψιµοι 3 Να δείξετε ότι ο πίνακας A + I n A I n είναι ορθογώνιος t A = A Εστω µ = κ + λi C, µε κ, λ R µια ιδιοτιµή του πίνακα A στο C, µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα Z M n C Τότε ϑα έχουµε : A Z = µ Z και εποµένως : Z A Z = Z µ Z = µ Z Z Επειδή ο A είναι πίνακας πραγµατικών αριθµών και αντισυµµετρικός, χρησιµοποιώντας την Άσκηση, ϑα έχουµε : Z A Z = Z A Z = Z ta Z = Z A Z = Z A Z και εποµένως από τη σχέση : Z A Z = Z µ Z = µ Z Z

16 6 Παίρνοντας ανάστροφο συζυγή στην σχέση και χρησιµοποιώντας την Άσκηση, ϑα έχουµε : Z A Z = µ Z Z = µ Z Z = µ Z Z = µ Z Z 3 Από τις και 3 έπεται ότι : µ Z Z = µ Z Z Επειδή από την Άσκηση έχουµε ότι Z Z R και Z Z, διότι το διάνυσµα-στήλη Z είναι µη-µηδενικό ως ιδιοδιάνυσµα του A, έπεται ότι : Ετσι αν µ = κ + iλ, ϑα έχουµε : µ = µ µ = µ = κ λi = κ λi = κ = κ = κ = = κ = Άρα µ = λi και εποµένως η ιδιοτιµή µ είναι καθαρά ϕανταστικός αριθµός Συνοψίζουµε : Οι ιδιοτιµές του A είναι της µορφής : λi, λ R Ιδιαίτερα η µόνη πραγµατική ιδιοτιµή του A είναι η µηδενική Υποθέτουµε αντίθετα ότι ο πίνακας I n + A δεν είναι αντιστρέψιµος Τότε : A + I n = = A I n = = : ιδιοτιµή του A που είναι άτοπο από το ερώτηµα Άρα ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος Παρόµοια, επειδή το δεν είναι ιδιοτιµή του A έπεται ότι πίνακας I n A είναι αντιστρέψιµος 3 Θα δείξουµε ότι Εχουµε A + I n A I n t A + I n A I n = I n t A + I n A I n = t A I n ta + I n = t A I n t A + I n = t A I n A + I n = A I n A + I n = A + I n A + I n = A + I n A I n και άρα A + I n A I n A + I n A I n = A + I n A + I n A I n A In = A + I n A I n A I n = A + I n A I n A + I n A In = A + I n A + I n A I n A I n = I n Εποµένως ο πίνακας A + I n A I n είναι ορθογώνιος