Σεισμική Φέρουσα Ικανότητα Επιφανειακών Θεμελίων μέσω Οριακής Ανάλυσης Τάσεων Seismic Bearing Capacity of Surface Footings by Stress Limit Analysis ΕΛΕΖΟΓΛΟΥ, Θ - Κ. Μεταλλειολόγος Μηχανικός ΕΜΠ, M.Sc. Imperial College, Μ Ε Π.Π. ΚΛΟΥΚΙΝΑΣ, Π. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταδιδάκτωρ Ερευνητής, Παν. Bristol ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ.Ε. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Π.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται κλειστή αναλυτική λύση για τον υπολογισμό της σεισμικής φέρουσας ικανότητας αβαθούς λωριδωτού θεμελίου με βάση τη μέθοδο της οριακής ανάλυσης τάσεων. Εξετάζεται μια γενικευμένη περίπτωση θεμελίωσης επί κεκλιμένου εδάφους, ενώ για το εδαφικό υλικό λαμβάνεται υπόψη το ίδιο φάρος, η γωνία τριβής και η συνοχή. Οι προβλέψεις της λύσης βρίσκονται σε καλή συμφωνία με καθιερωμένες λύσεις οριακής ισορροπίας και οριακής ανάλυσης από τη βιβλιογραφία. Συγκριτικά με τις παραπάνω μεθόδους, η προτεινόμενη λύση είναι γενικότερης ισχύος, μαθηματικά απλούστερη και εν γένει ασφαλής, δηλαδή υπερεκτιμά τη φέρουσα ικανότητα. ABSTRACT : A simple closed-form solution obtained by stress limit analysis is presented for determining the seismic bearing capacity of a strip shallow footing. The solution takes into consideration a generalized case of a footing resting on sloping ground. The soil material is characterized by uniform soil weight, friction angle and cohesion. The predictions of the proposed solution are in good agreement with established solutions of the limit equilibrium and the limit analysis type. Compared to existing methods, the proposed solution is more generalized, mathematically simpler and typically safe, as it underestimates bearing capacity.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο υπολογισμός της φέρουσας ικανότητας θεμελίων υπό σεισμικές συνθήκες αποκτά ιδιαίτερη σημασία στην περίπτωση θεμελιώσεων σε περιοχές πρανών. Στο Σχήμα απεικονίζεται το υπό εξέταση πρόβλημα στη γενική του μορφή: θεμέλιο-λωρίδα πλάτους Β εδραζόμενο σε επικλινή επίπεδη επιφάνεια με γωνία κλίσης ω, το ένα άκρο του οποίου βρίσκεται στο χείλος δεύτερης επικλινούς επιφάνειας με γωνία κλίσης β. Η εδαφική μάζα η οποία χαρακτηρίζεται από ειδικό βάρος, γ, γωνία τριβής φ και συνοχή c, η επιφόρτιση q, καθώς και το θεμέλιο που μεταφέρει κατακόρυφο φορτίο p, υπόκεινται σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης υπό την επίδραση βαρυτικών και σεισμικών δυνάμεων πεδίου που θεωρούνται ψευδοστατικές και ομοιόμορφα κατανεμημένες σε ολόκληρη την εδαφική μάζα (a hi x g στην οριζόντια και a vi x g στην κατακόρυφη διεύθυνση αντίστοιχα, όπου i = για το εδαφικό υλικό και i = 2 για το θεμέλιο, με μεταξύ τους λόγο λ = a h2 /a h2 <). Η χρήση διαφορετικής σεισμικής επιτάχυνσης χρησιμοποιείται ώστε να λαμβάνεται υπόψη διαφορετική απόκριση του θεμελίου από την εδαφική μάζα (Sokolovskii, 965). Η συνισταμένη αδρανειακή δράση ενεργεί υπό γωνία ψ ei =tan - [a hi /(-a vi )] ως προς την κατακόρυφη. Η οριζόντια αδρανειακή δράση a hi λαμβάνει θετική τιμή (ψ ei > 0) όταν κατευθύνεται προς το πρανές της επιφόρτισης q, με τελικό αποτέλεσμα την ελαχιστοποίηση της φέρουσας ικανότητας (Sarma & Chen 995, Richards et al., 2006). Η κατακόρυφη
συνιστώσα a vi λαμβάνεται θετική όταν δρά προς τα πάνω. Παρότι η συγκεκριμένη συνιστώσα συμπεριλαμβάνεται στην ανάλυση, η επίδρασή της δεν εξετάζεται αριθμητικά καθώς είναι εν γένει ήσσονος σημασίας. Το έδαφος θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση επικείμενης διαρροής σε όλα του τα σημεία, η οποία επιφέρει πλήρη ανάπτυξη των παθητικών ωθήσεων. Επισημαίνεται επίσης ότι η τραχύτητα (δ) του θεμελίου θεωρείται ίση με τη γωνία τριβής (φ) του εδάφους ώστε να αποτρέπεται η ολίσθηση του θεμελίου πριν την πλαστική διαρροή της εδαφικής μάζας. Σχήμα. Το υπό εξέταση πρόβλημα Figure. The problem under consideration Το γενίκευμένο πρόβλημα που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία (θεμέλιο σε κεκλιμένο έδαφος και διαφορετικές συνθήκες σεισμικής απόκρισης θεμελίου εδάφους), δεν έχει εξεταστεί στο παρελθόν. Αξίζει να σημειωθεί πως η κλίση της επιφάνειας έδρασης του θεμελίου είναι ασυνήθιστη ως σχεδιαστική επιλογή, εξετάζεται όμως επειδή εκτός της θεωρητικής γενίκευσης, προσφέρει τη δυνατότητα εφαρμογής τεχνικών όπως η περιστροφή του συστήματος αναφοράς (αυτό-ομοιότητα) για το σεισμικό πρόβλημα (Mylonakis et al., 2007). Οι περισσότερες λύσεις της βιβλιογραφίας αφορούν τη συνηθισμένη περίπτωση οριζόντιου εδάφους (Sokolovskii, 965; Sarma & Iossifelis, 990; Richards et al., 993; Soubra, 997) ή οριζόντιου θεμελίου στο χείλος πρανούς (Sarma & Chen, 995; Kumar & Rao, 2003; Kumar & Ghosh, 2006). Επίσης, διαφορετική απόκριση εδάφους και θεμελίου λαμβάνεται μόνο στη λύση του Sokolovskii (965). Επιπλέον, οι προαναφερθείσες λύσεις, είτε εξετάζουν μηχανισμό αστοχίας (μέθοδοι οριακής ισορροπίας και οριακής ανάλυσης) είτε ισορροπία (μέθοδος γραμμών διαρροής) δεν καταλήγουν συνήθως σε κλειστές εκφράσεις για τους συντελεστές φέρουσας ικανότητας, κάτι που τις καθιστά ιδιαιτέρως δύσχρηστες για πρακτικές εφαρμογές. Όπως γίνεται αντιληπτό από τα παραπάνω, η ανάπτυξη μιας απλής, κλειστής λύσης οριακής ανάλυσης τάσεων, η οποία επιπλέον να είναι προς το πλευρό της ασφάλειας, είναι ιδιαιτέρως χρήσιμη. 2. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Για την ανάλυση του προβλήματος με τη μέθοδο του κάτω ορίου, η εδαφική μάζα χωρίζεται νοητά σε δύο κύριες περιοχές στις οποίες επικρατούν διαφορετικές συνθήκες τάσεων, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 2. Η πρώτη, (Ζώνη Α) βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια του εδάφους (πρανές κλίσης β) και αντιστοιχεί στην περιοχή στην οποία αναπτύσσονται παθητικές ωθήσεις, ενώ η δεύτερη (περιοχή Β) βρίσκεται κοντά στο θεμέλιο αντιστοιχεί στην περιοχή στην οποία αναπτύσσονται ενεργητικές ωθήσεις. Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο δράσης της p είναι κοντά στο επίπεδο της σ, ενώ το επίπεδο δράσης της q είναι κοντά σε αυτό της σ 3. Και στις δύο περιοχές η εδαφική μάζα θεωρείται ότι βρίσκεται σε κατάσταση επικείμενης διαρροής, δηλαδή ότι ικανοποιείται οριακά, χωρίς να παραβιάζεται, το κριτήριο αστοχίας. Αυτό δεν ισχύει για τις δράσεις επαφής οι οποίες ενεργούν στη διεπιφάνεια εδάφους θεμελίου, καθώς η συγκεκριμένη διεπιφάνεια δε θεωρείται, εξ ορισμού επιφάνεια ολίσθησης, όπως γίνεται για παράδειγμα στους ευμετακίνητους τοίχους αντιστήριξης (Mylonakis et al., 2007). Οι τάσεις στις δύο αυτές περιοχές ισορροπούν μέσω μίας (πχ σε μία κατακόρυφη στη λύση των Richards et al, 2003) ή περισσότερων ασυνεχειών. Στην παρούσα ανάλυση χρησιμοποιείται ζώνη σταδιακής μετάβασης από την Ζώνη Α στη Ζώνη Β (ριπίδιο τάσεων
Ζώνη C), η οποία σχολιάζεται στη συνέχεια. Σχήμα 2. Ανάλυση του προβλήματος με χρήση τριών πεδίων τάσεων Α, Β και C Figure 2. Analysis of the problem by means of three stress fields A,B and C Ο προσδιορισμός των τάσεων στις Ζώνες Α και Β γίνεται με την υπόθεση συνθηκών τύπου απειρομήκους πρανούς όπως φαίνεται στο Σχήμα 2. Πράγματι, τα γραμμοσκιασμένα εδαφικά στοιχεία του σχήματος ισορροπούν υπό την επίδραση της επιφόρτισης, των δυνάμεων πεδίου, των πλευρικών αντιδράσεων στις δύο κάθετες παρειές (οι οποίες αλληλοαναιρούνται λόγω συμμετρίας), των ψευδοδυναμικών αδρανειακών δυνάμεων και της αντίδρασης στη βάση τους. Συγκεκριμένα, από την ισορροπία στη Ζώνη Α, προκύπτει ότι ο λόγος των διατμητικών προς τις ορθές τάσεις για δεδομένη οριζόντια σεισμική επιτάχυνση εδάφους και κλίση πρανούς- είναι σταθερός με το βάθος και ίσος με τ β /σ β = tan(β+ψ e ), όπου ( zq )cos cos( e ) / cos () e Ας σημειωθεί επίσης πως στην περίπτωση βαρυτικής φόρτισης (a h =0), οι παραπάνω σχέσεις ταυτίζονται με τις εκφράσεις του Terzaghi (943) για ευστάθεια απειρομήκους πρανούς (λόγος τ β /σ β =tanβ). Ο κύκλος Mohr που αντιστοιχεί στην παραπάνω εντατική κατάσταση εμφανίζεται στο Σχήμα 3α και σχεδιάζεται εφαπτόμενος στο κριτήριο αστοχίας, ώστε η εδαφική μάζα στην περιοχή Α να βρίσκεται υπό συνθήκες επικείμενης διαρροής. e επιφάνεια πρανούς S e e e A e2 e2 επιφάνεια πρανούς S e2 e f f ΖΩΝΗ Α περιοχή πρανούς ΖΩΝΗ Β διεπιφάνεια θεμελίου-εδάφους Σχήμα 3. Τανυστές τάσεων στην παθητική Ζώνη Α και την ενεργητική Ζώνη Β Figure 3. Stress tensors in passive Zone A and active Zone B Από τη γεωμετρία του σχήματος είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η ορθή τάση σ β συνδέεται με την μέση τάση S A μέσω της σχέσης αναλογίας:
[sincos( )] (2) SA e όπου sin - [sin(β+ e )/sin] η βοηθητική γωνία Caquot. Στην περίπτωση της Ζώνης Β, η στατική επίλυση του αντίστοιχου γραμμοσκιασμένου τμήματος, οδηγεί σε λόγο διατμητικής προς ορθής τάσης ίσο με: f z(ah cos sin ) p(ah2 cossin ) z(cosa sin ) p(cosa sin ) f h h2 Στην περίπτωση ίσης σεισμικής απόκρισης θεμελίου και εδάφους, ο παραπάνω λόγος είναι ίσος με tan(ψ e ω), το οποίο καταδεικνύει ότι οι τάσεις επαφής ενεργούν επί της διεπιφάνειας θεμελίου-εδάφους με μια κινητοποιούμενη τραχύτητα, η οποία κάθε φορά μεταβάλλεται με τη σεισμική οριζόντια επιτάχυνση, μέχρις ότου δ=φ, οπότε λαμβάνει χώρα αστοχία τύπου ολίσθησης. Κατ απόλυτη ομοιότητα με πριν, για βαρυτική φόρτιση ισχύει η σχέση για απειρομήκες πρανές, τ f /σ f =tanω. Επίσης, η διατμητική τάση τ f έχει τη φορά που απεικονίζεται στο Σχήμα 2, όταν η σεισμική επιτάχυνση του θεμελίου ικανοποιεί τη σχέση a h2 tanω. Ο κύκλος Mohr που περιγράφει την εντατική κατάσταση της Ζώνης Β απεικονίζεται στο Σχήμα 3β. Από τη γεωμετρία του σχήματος αποδεικνύεται ότι η ορθή τάση στο θεμέλιο σ f συνδέεται με τη μέση τάση S B στο επίπεδο του σχήματος μέσω της σχέσης αναλογίας: [sincos( )] (4) f SB 2 e2 όπου 2 sin - [sin( e2 )/sin] η βοηθητική γωνία Caquot. Από τους κύκλους Mohr στις περιοχές Α και Β είναι φανερό πως ο προσανατολισμός των κυρίων επιπέδων (και των επιπέδων αστοχίας) στις δύο περιοχές είναι διαφορετικός και συνεπώς η εντατική κατάσταση στο έδαφος δεν μπορεί να περιγραφεί από έναν μοναδικό κύκλο Mohr. Για να εξασφαλιστεί η ομαλή μετάβαση μεταξύ των δύο διαφορετικών εντατικών καταστάσεων, υιοθετείται μια απειρία τασικών ασυνεχειών (ριπίδιο τάσεων), το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην κοινή κορυφή των δύο πρανών. Στο εσωτερικό του ριπιδίου, οι κύριες τάσεις περιστρέφονται βαθμιαία κατά τη γωνία θ ΑΒ =(π 2 βωψ e ψ e2 )/2 που χωρίζει τα κύρια επίπεδα στις δύο περιοχές, ενώ η μέση τάση (κέντρο S του κύκλου Mohr) αυξάνεται σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση S S exp(2 tan ) (5) B A AB Η παραπάνω σχέση είναι ακριβής λύση για την περίπτωση αβαρούς εδαφικού υλικού, που σημαίνει ότι το ριπίδιο «μεταφέρει» με ακρίβεια τις τάσεις που εφαρμόζονται στα σύνορά του (δυνάμεις επαφής), αλλά περιγράφει προσεγγιστικά τις δυνάμεις πεδίου (Sokolovskii, 965; Mylonakis et al., 2007). Με συνδυασμό των Εξ. 2, 4 και 5 λαμβάνεται η σχέση που δίνει την ορθή τάση που ενεργεί στην διεπιφάνεια θεμελίου- εδάφους: (3) f sin cos( ) S 2 e2 B (6) sincos( e ) SA Στη συνέχεια υπολογίζεται η κατακόρυφη τάση p του θεμελίου, η οποία αντιστοιχεί στην κατακόρυφη συνιστώσα της συνισταμένης δράσης επαφής και δίνεται από τη σχέση pσ f cos(ψ e2 )/cos(ψ e2 ω). Το φορτίο αστοχίας του θεμελίου προκύπτει με ολοκλήρωση της τάσης p κατά μήκος της διεπιφάνειας θεμελίου εδάφους, πλάτους Β, ύστερα από κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής zs cosω(tanωtanβ) (Ελεζόγλου, 2008), από την οποία τελικώς λαμβάνεται η κλασική εξίσωση της φέρουσας ικανότητας: 2 P NqEqB B N E NcEcB (7) 2 Στην παραπάνω εξίσωση, Ν qe, Ν γe και Ν ce είναι οι αδιάστατοι συντελεστές φέρουσας
ικανότητας λόγω επιφόρτισης, ιδίου βάρους και συνοχής, αντίστοιχα. Οι δύο πρώτοι δίνονται απευθείας από τις απλές κλειστές Εξ. 8 και 9, από τις οποίες η πρώτη είναι ακριβής, ενώ η δευτερη προσεγγιστική. N cos cos cos( ) sincos( ) exp(2 AB tan ) e2 e 2 e2 q coscosecos( e2 ) sincos( e ) (tan tan ) N N (9) q cos Οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται περαιτέρω για την περίπτωση οριζόντιου εδάφους, ίδιας σεισμικής απόκρισης ή βαρυτικής φόρτισης. Ειδικότερα, ο συντελεστής Ν qe (Εξ.8) στην περίπτωση οριζόντιου εδάφους και βαρυτικής φόρτισης (β = ω = ψ e = 0), μεταπίπτει στον απλό τύπο Ν q = tan 2 (π/4+φ/2) e πtanφ, η οποία αντιστοιχεί στην κλασσική λύση του Reissner (924). Αντίθετα, ο συντελεστής Ν γ για την περίπτωση του οριζόντιου εδάφους (β=ω=0) δίνει ένα απόλυτα συντηρητικό κάτω όριο (Νγ=0). Επιπλέον, επειδή η ύπαρξη συνοχής στο έδαφος δεν ελήφθη υπόψη στη λύση, η επίδρασή της μπορεί να εκτιμηθεί βάσει του θεωρήματος των «αντίστοιχων καταστάσεων» του Caquot (934), σύμφωνα με το οποίο η λύση για την φέρουσα ικανότητα ενός εδαφικού υλικού με συνοχή (c φ) προκύπτει από τη λύση για συνεκτικό έδαφος, αν οι ορθές τάσεις αυξηθούν ομοιόμορφα κατά c cotφ. Αυτό οδηγεί στην σχέση: N ( N )cot () c q Το συγκεκριμένο θεώρημα ισχύει επακριβώς μόνο όταν η εφαρμογή της πρόσθετης υδροστατικής τάσης c cotφ δεν μεταβάλλει τις διευθύνσεις των επιπέδων των κυρίων τάσεων, κάτι που δεν ισχύει στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι, η Εξ. είναι εν γένει προσεγγιστική και το σφάλμα της μεταβάλλεται συναρτήσει των ιδιοτήτων του εδάφους (Michalowski 200). 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα από την παρούσα ανάλυση, σε σύγκριση με καθιερωμένες λύσεις από τη βιβλιογραφία, για τους σεισμικούς συντελεστές φέρουσας ικανότητας λόγω επιφόρτισης, Ν qe και συνοχής, N ce. Στο Σχήμα 4α συγκρίνονται αποτελέσματα για τον συντελεστή Ν qe, για την περίπτωση θεμελίου επί οριζόντιου εδάφους με θεώρηση ίσης απόκρισης του συστήματος στη σεισμική δράση (λ = ψ e2 /ψ e =). Τα αποτελέσματα από τις διαθέσιμες λύσεις βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία, εκτός από τη λύση των Richards et al (993), η οποία για μικρές επιταχύνσεις γενικώς υποεκτιμά τον συντελεστή σεισμικής φέρουσας ικανότητας (εκτός της περίπτωσης φ 45 ο ), ενώ συγκλίνει με τις υπόλοιπες όσο πλησιάζει στην κατάσταση αστοχίας. Η σεισμική φέρουσα ικανότητα φυσιολογικά αυξάνεται όσο μεγαλώνει η γωνία τριβής του εδάφους και μειώνεται όσο αυξάνεται η σεισμική επιτάχυνση. Στο Σχήμα 4β παρουσιάζεται η μεταβολή του συγκεκριμένου συντελεστή για τις περιπτώσεις φ = 30 και φ = 45, όταν η αδράνεια της επιφόρτισης αγνοηθεί. Επίσης, με διακεκομμένη γραμμή διακρίνεται η αντίστοιχη λύση του Sokolovskii (965) όταν η αδράνεια της επιφόρτισης ληφθεί υπόψη η οποία συμπίπτει με τις αντίστοιχες λύσεις των Sarma & Iossifelis (990) και την αντίστοιχη παρούσα λύση. Όπως και πριν, τα αποτελέσματα όλων των λύσεων ταυτίζονται, με εξαίρεση την απλοποιημένη λύση των Richards et al (993). Στo Σχήμα 4γ συγκρίνονται αποτελέσματα για τον συντελεστή Ν qe για την περίπτωση οριζόντιου θεμελίου που εδράζεται στο χείλος πρανούς για την περίπτωση φ = 45 ο. Τα αποτελέσματα της προτεινόμενης λύσης βρίσκονται σε εξαιρετική συμφωνία με τα αντίστοιχα αποτελέσματα των Sarma & Chen (995) και Kumar & Rao (2003). Όλες οι καμπύλες σταματούν στην τιμή της οριζόντιας επιτάχυνσης η οποία προκαλεί αστοχία του πρανούς, και απεικονίζεται στο σχήμα με εστιγμένη καμπύλη (Ελεζόγλου, 2008). Στο Σχήμα 4δ, με συνεχή (8)
διακεκομμένη γραμμή απεικονίζεται η μεταβολή των αποτελεσμάτων, όταν και το θεμέλιο εδράζεται επί του πρανούς (βω). Σε αυτή την περίπτωση η αστοχία του πρανούς συνοδεύεται από ταυτόχρονη ολίσθηση του θεμελίου (αστοχία διεπιφάνειας θεμελίουεδάφους) και αντιστοιχεί στην τιμή Ν qe =. Όπως είναι αναμενόμενο, η φέρουσα ικανότητα μειώνεται με την αύξηση της κλίσης των πρανών β και ω, ενώ μειώνεται η τιμή της κρίσιμης επιτάχυνσης που μπορεί να προκαλέσει αστοχία. Αποτελέσματα παρόμοια με του Σχήματος 4, για τον συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω συνοχής N cε παρουσιάζονται στο Σχήμα 5. Εκτός από τη λύση Sarma & Iossifelis (990), όλες οι υπόλοιπες έχουν προκύψει με χρήση του θεωρήματος των «αντίστοιχων καταστάσεων» του Caquot (934), για αυτό τον λόγο βρίσκονται σε συμφωνία μεταξύ τους. Η απόκλιση των προσεγγιστικών λύσεων (με χρήση του θεωρήματος των «αντίστοιχων καταστάσεων») σε σχέση με την αναλυτική λύση Sarma & Iossifelis (990) βρίσκεται στην πλευρά της ασφάλειας. Συγκεκριμένα η απόκλιση αυξάνεται με τη μείωση της γωνίας τριβής και την αύξηση της σεισμικής επιτάχυνσης, κάτι που συμφωνεί με τα συμπεράσματα του Michalowski (200). Συντελεστής φέρουσας ικανότητας, N qε Συντελεστής φέρουσας ικανότητας, N qε 0 0 Sokolovskii (965) Sarma & Iossifelis (990) Richards et al (993) Soubra (997) Kumar & Rao (2002) 45 o o 5 o 20 φ= o 25 o 30 o o 35 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 (α) (γ) Sarma & Chen (995) Kumar & Rao (2003) 45 ο Αστοχία πρανούς 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 00 0 Sokolovskii (965) Sokolovskii (965) + απόκριση επιχώματος Sarma & Iossifelis (990) Richards et al (993) a h =tanφ 30 o 45 o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 8 40 ο 35 ο 30 ο 25 ο 20 ο 5 ο ο 5 ο β =0 ο 6 40 ο 5 30ο 20 ο 4 β= ο 3 200 0 80 60 50 40 30 20 (β) (δ) - οριζόντιο θεμέλιο στο χείλος πρανούς - θεμέλιο επί πρανούς (β ω) 45 ο β=0 ο 2 Αστοχία πρανούς 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0, Σχήμα 4. Μεταβολή του συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω επιφόρτισης N qe με την οριζόντια σεισμική επιτάχυνση a h για διάφορες γωνίες τριβής φ και κλίσεις πρανών β και ω Figure 4. Variation of bearing capacity factor due to surcharge N qe with respect to horizontal seismic acceleration, for various soil friction and slope angles β and ω Τέλος, στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται ξανά αποτελέσματα για τον συντελεστή λόγω επιφόρτισης Ν qe, για την περίπτωση που λαμβάνεται διαφορετική απόκριση εδάφους και
θεμελίου, μέσω του λόγου των σεισμικών επιταχύνσεων λ ψ e2 /ψ e. Τα αποτελέσματα για την περίπτωση του οριζόντιου εδάφους βρίσκονται σε απόλυτη ταύτιση με τη λύση του Sokolovskii (965). Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι η φέρουσα ικανότητα μειώνεται με την αύξηση του λόγου λ. Συντελεστής φέρουσας ικανότητας, N c 0 Sokolovskii (965) Sarma & Iossifelis (990) Richards et al (993) 0 - οριζόντιο θεμέλιο στο χείλος πρανούς (β, ω0) - θεμέλιο επί πρανούς (β ω) φ 45 ο 40 o 35 o β= ο β=0 ο 40 ο 30 ο 20 ο 5 o 20 o 25 o 30 o Αστοχία πρανούς φ= o 5 o 20 o 25 o 30 o 35 o 40 o 45 o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0 Σχήμα 5. Μεταβολή του συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω συνοχής N c με την οριζόντια σεισμική επιτάχυνση a h για διάφορες γωνίες τριβής φ και κλίσεις πρανών β και ω Figure 5. Variation of bearing capacity factor due to surcharge N ce with respect to horizontal seismic acceleration, for various soil friction and slope angles β and ω Συντελεστής φέρουσας ικανότητας, N qε φ 30 ο ω β 0 ο Sokolovskii (965) λ 0.2 0.4 0.6 0.8.0 βω0 20.0 λ 0.2 0.4 0.6 0.8 φ 30 ο 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Σχήμα 6. Επίδραση του λόγου σεισμικών επιταχύνσεων λ στον συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω επιφόρτισης N qε, για διάφορες κλίσεις πρανών και γωνία τριβής φ = 30 ο Figure 6. Effect of the seismic acceleration ratio λ, on the bearing capacity factor due to surcharge N qe for various slope angles β and ω and friction angle φ = 30 ο 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε λύση οριακής ανάλυσης τάσεων για τον υπολογισμό της σεισμικής φέρουσας ικανότητας επιφανειακών θεμελίων, για τη πλέον γενικευμένη γεωμετρία του προβλήματος (κεκλιμένο θεμέλιο κοντά σε πρανές) και για διαφορετική σεισμική απόκριση
στο έδαφος και το θεμέλιο. Η ανάλυση καταλήγει σε μαθηματικές εκφράσεις κλειστής μορφής, οι οποίες είναι απλούστερες από υπάρχουσες λύσεις, για τους σεισμικούς συντελεστές φέρουσας ικανότητας λόγω επιφόρτισης, ιδίου βάρους και συνοχής (Ν qe, Ν γe και Ν ce αντίστοιχα), οι οποίες είναι απλούστερες από τις υπάρχουσες λύσεις. Σημειώνεται πως παρόμοιες εκφράσεις δεν είναι διαθέσιμες στη βιβλιογραφία. Λόγω της προσεγγιστικής φύσης του ριπιδίου των τάσεων, το οποίο ισχύει επακριβώς μόνο για αβαρές εδαφικό υλικό, το μέσο γενικώς δεν ισορροπεί μέσα στο ριπίδιο, συνεπώς η προτεινόμενη λύση δεν μπορεί να εκληφθεί ως αυστηρό κάτω όριο. Ωστόσω τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι πάντοτε συντηρητικά καθώς υποεκτιμούν τη φέρουσα ικανότητα. Ειδικά όσον αφορά τον συντελεστή Ν qe, τα αποτελέσματα είναι ακριβή, όπως δείχνουν οι συγκρίσεις με εναλλακτικές λύσεις. Πέρα από το θεωρητικό της ενδιαφέρον, η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την σύγκριση και αξιολόγηση άλλων συναφών μεθόδων. 5. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς θέλουν να ευχαριστήσουν τον Επ. Καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Παπαντωνόπουλο για τη συμβολή του στην εκπόνηση της παρούσας έρευνας 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ελεζόγλου Θ.-Κ. (2008) Σεισμική Φέρουσα Ικανότητα Θεμελίου με Ανάλυση Οριακών Τάσεων. ιατριβή για Μ..Ε., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών. Πανεπιστήμιο Πατρών Caquot A.I. (934). Equilibre des massifs a frottement interne. Stabilite des terres pulverulentes et coherentes. Gauthier-Villars, Paris Chen W.F. (975). Limit analysis and soil plasticity. Developments in geotechnical engineering, Elsevier: Amsterdam Davis R.O., Selvadurai A.P.S. (2002). Plasticity and Geomechanics, Cambridge Univ. Press Kumar J., Ghosh P. (2006). Seismic bearing capacity for embedded footings on sloping ground. Geotechnique, Vol.56, No.2, pp.33-40 Kumar J., Mohan Rao V.B.K. (2003). Seismic bearing capacity of foundations on slopes. Geotechnique, Vol.53, No.3, pp.347-36 Meyerhof G.G. (963). Some recent research on the bearing capacity of foundations. Canadian Geotechnical Journal, Vol., No., pp.6-26 Michalowski R.L. (200). The rule of equivalent states in limit-state analysis of soils. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.27, No., pp.76-83 Mylonakis G., Kloukinas P. Papantonopoulos C. (2007). An alternative to the Mononobe- Okabe equations for seismic earth pressures. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol.27, pp.957-969 Powrie W. (997). Soil Mechanics: Concepts and applications, E & FN Spon: London Richards Jr.R., Elms D.G., Budhu M. (993). Seismic bearing capacity and settlements of foundations. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol.9, No.4, pp.662-674 Reissner, H. (924). "Zum Erddruck Problem", Proceedings of the First International Congress Applied Mechanics, Delft, pp.295-3. Sarma S.K., Chen Y.C. (995). Seismic bearing capacity of shallow strip footings near sloping ground. 5th SECED Conference on European Seismic Design Practice, Chester, U.K., pp. 505-52 Sarma S.K., Iossifelis I.S. (990). Seismic bearing capacity factors of shallow strip footings. Geotechnique, Vol. 40, No.2, pp.265-273 Sokolovskii V.V. (965). Statics of granular media, Pergamon Press: New York Soubra A.-H. (997). Seismic bearing capacity of shallow strip footings in seismic conditions. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Geotechnical Engineering, London, Vol.25, No.4, pp.230-24 Terzaghi K. (943). Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons Inc.: New York Vesic A.S. (973). Analysis of ultimate loads of shallow foundations. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol.99, No.SM, pp.45-73