4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

Transcript

1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Το θεώρηµα του Τέηλορ Το θεώρηµα του Τέηλορ (Tayl) µάς δίνει τη δυνατότητα να αναπτύσσουµε συναρτήσεις ως δυναµοσειρές Μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Αν η f() είναι µια συνεχής µονότιµη συνάρτηση του µε συνεχείς παραγώγους ), ( ) f (),, f n ( ) στο διάστηµα ( ) f n+ a b, και η ( ) υπάρχει στο a < < b, τότε n f ( ) f ( ( + f ( ( + f ( ( + Rn ( ) ()!! n! n+ ( ( n+ ) όπου R n ( ) f ( ξ ) και a < ξ < ( n + )! Το Αν R n () είναι το υπόλοιπο της συνάρτησης µετά τη lim ( ), τότε R n n Θέτοντας f ( ) f ( + f ( ( + f ( (!! a +, έχουµε την ισοδύναµη µορφή f a f a f a f a + ) ( ) + ( ) + ( )!! n οστή δύναµη του ( f! ( ) ( ( () ( ) ( f ( ()! Οι δύο αυτές σειρές ονοµάζονται σειρές Τέηλορ Για a ( ) ( f () ()! f f f f ) () + () + ()!! η οποία είναι γνωστή ως σειρά Μακλώριν (Maclauin) Απόδειξη του θεωρήµατος του Τέηλορ Μια απλή απόδειξη του θεωρήµατος του Τέηλορ, η οποία όµως δεν εξετάζει το θέµα του υπολοίπου, είναι η ακόλουθη: Έστω ότι + f ( ) A + A ( + A ( + A ( όπου A A, A,, σταθερές Τότε, µε παραγώγιση, βρίσκουµε ότι και γενικά, f Θέτοντας ) A + A ( + A ( f ( ) A + A ( + A ( f ( )! A +! A ( ( n n, A ) n! A + ( n + )! A + ( + όροι µε ανώτερες δυνάµεις του ( () a έχουµε τις σχέσεις f ( A A f (! A f (! A f ( n! An από τις οποίες βρίσκουµε τους συντελεστές στη σειρά Τέηλορ για την f ():

2 8 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής A f ( A A f ( A f ( ( n A ) n f (!! n! Οι σειρές Τέηλορ και Μακλώριν µερικών κοινών συναρτήσεων Συνοψίζουµε τους τύπους που χρησιµοποιούνται στην ανάπτυξη συναρτήσεων σε σειρές Τέηλορ και Μακλώριν: f ( ) f () ) + f () + f ()!!! f ( ) f ( ( + f ( ( + f ( (!!! f ( a + ) f ( + f ( + f (!!! Ανάπτυγµα Μακλώριν (γύρω από το σηµείο ) Αναπτύγµατα Τέηλορ γύρω από το σηµείο a Θα εφαρµόσουµε τους τύπους αυτούς για να εξαγάγουµε δυναµοσειρές για κάποιες κοινές συναρτήσεις Παράδειγµα Να βρεθεί η σειρά Μακλώριν για τη συνάρτηση e Επειδή f ( ) e και f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) e, έχουµε: f () ) f () f () f () Εποµένως, e + + +!!! Παράδειγµα Να βρεθεί η σειρά Μακλώριν για τη συνάρτηση sin Επειδή f ( ) sin και () ) cs, f ( ) sin, f ( ) cs, f ( ) sin,, έχουµε () () () ), f (), f (), f (), f (), f (), f () (), και εποµένως sin +!!! Παράδειγµα Να βρεθεί η σειρά Τέηλορ για τη συνάρτηση ln( + ) Από την εξίσωση f ( a + ) f ( + f ( + f (, µε a έχουµε!!! f ( + ) f () ) + f () + f ()!!! Για f ( ) ln έχουµε: ( () f ), f ( ), f ( ), f ( ),

3 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 9 Έτσι είναι f ( ) και ), f (), f (), f n ( n )! ή, γενικά, f ( ) ( ) n για n > () (), Εποµένως f ( ) και f () ( ) ( n )! για n >, n και ln( + ) + Οι δυναµοσειρές για κάποιες κοινές συναρτήσεις δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: e + +! +! για κάθε sin + για κάθε (σε ακτίνια)!!! cs + για κάθε (σε ακτίνια)!!! ln( + ) + για < sinh για κάθε!!! csh για κάθε!!! Χρήσιµα αναπτύγµατα διωνύµων είναι τα εξής: n( n ) n( n )( n ) Για κάθε, αν το n είναι θετικός ακέραιος!! Η σειρά έχει n + όρους a( a ) a( a )( a ) για < + a + a + + +!! και κάθε πραγµατικό a ( + ) n + n + + ( ) ( + ) για < για < για για <

4 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Υπολογισµός ορίων µέσω των σειρών Τέηλορ και Μακλώριν f ( ) Αν ζητείται το όριο lim δύο συναρτήσεων f () και ), γράφουµε a g ( ) f ( ( + f ( ( f ( )!! ) + g ( ( + g ( (!! οπότε, lim f ( ( + f ( ( f ( ) a!! lim a ) lim + g ( ( + g ( ( a!! () f ( ) f ( f ( Αυτή η σχέση δίνει lim, εκτός εάν ο λόγος αυτός είναι της µορφής a ) f ( ) Τότε, η σχέση µάς δίνει lim Αν και αυτός ο λόγος είναι απροσδιόριστος, a ) g ( χρησιµοποιούµε τις αµέσως επόµενες παραγώγους, κοκ Η επαναλαµβανόµενη αυτή διαδικασία µπορεί να διατυπωθεί γενικά ως εξής: Εάν ο λόγος f ( f ( ) ) είναι της µορφής, τότε lim lim a ) a g ( ) που είναι ο γνωστός κανόνας του ντε λ Οπιτάλ (de l Hspital) Η χρήση του κανόνα του ντε λ Οπιτάλ δεν είναι απαραίτητη αν χρησιµοποιήσουµε αναπτύγµατα σε σειρές, όπως φαίνεται στα παραδείγµατα που ακολουθούν Αν το όριο ζητείται για a χρησιµοποιούµε τις αντίστοιχες σειρές Τέηλορ για τις f () και ), ενώ για το όριο χρησιµοποιούµε τις σειρές Μακλώριν () Παράδειγµα Ο λόγος sin a και εποµένως, Παράδειγµα γράφεται, µε τη βοήθεια της σειράς Μακλώριν για το ηµίτονο, ως sin a ( ( a a a +!!! sin a lim a e lim lim lim + +!!! a +! lim !! +! Προσεγγίσεις Οι σειρές Τέηλορ και Μακλώριν µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να δώσουν προσεγγίσεις συναρτήσεων, απλοποιώντας έτσι τη λύση πολύπλοκων προβληµάτων Ένα παράδειγµα θα επιδείξει τη µέθοδο:

5 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παράδειγµα d θ Η εξίσωση κίνησης του απλού εκκρεµούς βρίσκεται ότι είναι L g sinθ, όπου L είναι dt το µήκος του εκκρεµούς, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και θ η γωνία περιστροφής του εκκρεµούς από την προς τα κάτω κατακόρυφη κατεύθυνση Να βρεθεί η λύση θ (t) Η πλήρης λύση θ (t) µπορεί να βρεθεί, αλλά συναρτήσει πολύπλοκων συναρτήσεων, των ελλειπτικών ολοκληρωµάτων Μια απλή και εύχρηστη λύση µπορεί να βρεθεί αν εξετάζουµε µόνο το πρόβληµα των ταλαντώσεων µικρού πλάτους Τότε, η σειρά για το ηµίτονο µας δίνει, για µικρές τιµές του θ, θ θ θ sinθ θ +!!! sin θ θ Έτσι, η εξίσωση κίνησης µπορεί να γραφτεί, για ταλαντώσεις µικρού πλάτους, ως d θ d θ L gθ, ή ω θ, όπου dt dt Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι, ( ω φ ) θ ( t) θ sin t +, θ, φ σταθερές g ω L όπως µπορούµε εύκολα να επαληθεύσουµε µε παραγώγιση Μπορεί να δειχθεί ότι, για πλάτος π L µικρότερο των, η περίοδος των ταλαντώσεων T π, όπως βρέθηκε µε την ω g προσέγγιση που χρησιµοποιήθηκε, διαφέρει από την ακριβή τιµή κατά λιγότερο από, % Χρήσιµες προσεγγίσεις των κοινών συναρτήσεων Για µικρές τιµές του ορίσµατος, µπορούµε να βρούµε, από τις σειρές Τέηλορ και Μακλώριν για τις κοινές συναρτήσεις, τις ακόλουθες προσεγγίσεις: e + ln( + ) sin ln( a + ) ln a + cs tan a + ( + ) n + n + + Οι προσεγγίσεις που δίνονται στον πίνακα µπορούν να θεωρηθούν ως πρώτες προσεγγίσεις Μια δεύτερη προσέγγιση θα περιελάµβανε ακόµα έναν όρο στην καθεµιά Για παράδειγµα, e + + Ο βαθµός της προσέγγισης που χρησιµοποιείται εξαρτάται από το συγκεκριµένο πρόβληµα και την επιθυµητή ακρίβεια στη λύση του Τα ακριβή όρια του σφάλµατος δίνονται από την έκφραση για το R n () στο θεώρηµα του Τέηλορ Ως µια πρόχειρη εκτίµηση για το σφάλµα που γίνεται κατά την προσέγγιση µπορεί να ληφθεί ο πρώτος παραλειπόµενος όρος Έτσι, το σφάλµα στην προσέγγιση sin είναι µικρότερο από Παράδειγµα Κάποια παραδείγµατα αριθµητικών υπολογισµών δίνονται παρακάτω, Να υπολογιστεί προσεγγιστικά το e

6 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Από την προσεγγιστική σχέση e +, έχουµε e +,, Ο πρώτος παραλειπόµενος όρος, έχει τιµή ίση µε,,, που αποτελεί µια εκτίµηση του σφάλµατος που κάναµε στην προσέγγιση Με µεγαλύτερη ακρίβεια, είναι, e, Το πραγµατικό σφάλµα είναι εποµένως, Παράδειγµα 8 Να υπολογιστεί προσεγγιστικά το sin Στην προσέγγιση Έτσι, sin sin,, sin, η τιµή της γωνίας σε ακτίνια είναι π, ad Η πρόχειρη εκτίµηση του σφάλµατος είναι (,), 88 Η ακριβής τιµή είναι sin, Το πραγµατικό σφάλµα είναι ίσο µε,88, ή, % Παράδειγµα 9 Να βρεθεί µια σχέση για τη µεταβολή της επιτάχυνσης της βαρύτητας για µικρά ύψη πάνω από την επιφάνεια της Γης Το βάρος ενός σώµατος µάζας m που βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της Γης είναι Mm B G, όπου M είναι η µάζα της Γης Η επιτάχυνση της βαρύτητας στην απόσταση M είναι εποµένως ίση µε g ( ) G Αν το ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης συµβολίζεται µε y, θα είναι R + y, όπου R είναι η ακτίνα της Γης Εποµένως, M GM y) G ή ( R + y) R [ + ( y / R)] g y), [ + ( y / R)] GM όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης R Η φράση µικρά ύψη πάνω από την επιφάνεια της Γης σηµαίνει y << R Αναπτύσσοντας τον παράγοντα [ + ( y / R)] σε σειρά δυνάµεων του y / R, βρίσκουµε: y + R y y + R R Εποµένως, σε πρώτη προσέγγιση, είναι: y) g[ y / R] Παράδειγµα Φόρτιση πυκνωτή Ένας πυκνωτής χωρητικότητας C, τοποθετείται τη χρονική στιγµή t σε σειρά µε µια αντίσταση R και µια πηγή σταθερής τάσης V Η εξίσωση που περιγράφει τη µεταβολή, συναρτήσει του χρόνου t, του φορτίου Q του πυκνωτή είναι Q CV e είξτε ότι για µικρές τιµές του t το φορτίο του πυκνωτή µεταβάλλεται γραµµικά µε το χρόνο t / RC ( ) Αναπτύσσοντας το εκθετικό σε σειρά δυνάµεων του t, έχουµε: Q CV t / RC ( e ) t t CV + RC! ( RC)

7 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής t t ή Q CV RC! ( RC) V Για τιµές του χρόνου t R t V t t t + ανώτερες δυνάµεις του RC R RC RC t << RC, είναι V Q t ή Q t, όέδ R Προβλήµατα Εξαγάγετε τις σειρές Τέηλορ ή Μακλώριν για κάποιες από τις συναρτήσεις των Πινάκων Η θέση (t) ενός σώµατος που κινείται υπό την επίδραση σταθερής δύναµης και υφίσταται δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητάς του δίνεται από τη σχέση τf + υτ Mυ t / τ τf ( e ) + t όπου t είναι ο χρόνος και όλα τα άλλα µεγέθη είναι σταθερά Βρέστε την εξάρτηση του (t) από το χρόνο για µικρές τιµές του t, αναπτύσσοντας τη συνάρτηση σε σειρά δυνάµεων του t και διατηρώντας µόνο τους όρους µέχρι και t Να βρείτε επίσης τη µορφή της (t) καθώς τ Η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος µάζας m που βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της Γης είναι ίση µε U ( ) GMm/, όπου M είναι η µάζα της Γης Να βρεθεί µια προσεγγιστική σχέση για τη δυναµική ενέργεια U (y) συναρτήσει του ύψους y του σώµατος πάνω από την επιφάνεια της Γης, για µικρά ύψη, και λαµβάνοντας ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας την επιφάνεια της Γης M Βιβλιογραφία Ι S Sklnikff και R M Redheffe, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, Κεφ M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 98 Κεφ