ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2015

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το έργο αυτό αδειοδοτείται από την Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές Άδεια. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής, επισκεφτείτε http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.el. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

- Διδάσκων Δημήτριος Σαγρής (Δρ. Μηχανολόγος Μηχανικός) Σχήμα C1 Σχήμα C2 1

Περιγραφή στερεού σώματος στο χώρο Σχήμα C3 Περιγραφή στερεού σώματος στο χώρο Σχήμα C4 2

Περιγραφή στερεού σώματος στο χώρο Σχήμα C5 Περιγραφή στερεού σώματος στο χώρο Σχήμα C6 3

Διάνυσμα θέσεως στο σύστημα i p t i xi yi zi Σχετική θέση συστημάτων στο σύστημα j t rji x o yo zo Διάνυσμα θέσεως στο σύστημα j t pj xj yj zj xj xo a11x i a12yi a13zi yj yo a21xi a22yi a23zi zj zo a31x i a32yi a33zi Όπου: a mn (m,n=1,2,3)=cos(θ) με 1Ξx, 2Ξy, 3Ξz Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Διάνυσμα θέσεως Σχήμα C7 Περιγραφή στερεού σώματος στο χώρο Σχήμα C8 4

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Σχήμα C9 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Σχήμα C10 5

Σχήμα C11 Σε μητρωική μορφή: pj rji Rpi cosxjxi cosxjyi cosxjz όπου: a i 11 a12 a13 R a21 a22 a 23 cosyjxi cosyjyi cosyjz i a 31 a32 a33 coszjxi coszjyi coszjz i n o a Για τα στοιχεία του R ισχύουν: a11a 12 a21a22 a31a32 0 a12a13 a22a23 a32a33 0 a13a11 a23a21 a33a31 0 2 2 2 a11 a21 a31 1 2 2 2 a12 a22 a32 1 2 2 2 a13 a23 a33 1 n o 0 o a 0 a n 0 n 1 o 1 a 1 Αν R δεξιόστροφο σύστημα: det(r) = 1 Αν R αριστερόστροφο σύστημα: det(r) = -1 Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Μητρώο θέσεως Σχήμα C12 6

Περιγραφή προσανατολισμού Σχήμα C13 Περιγραφή προσανατολισμού Σχήμα C14 7

Περιγραφή προσανατολισμού Σχήμα C19 1 0 0 Rot x, 0 c s 0 s c c 0 s Rot y, 0 1 0, s 0 c c s 0, Rot z, s c 0 0 0 1 1 Rot i, Rot i, i x,y,z Περιγραφή προσανατολισμού Σχήμα C20 10

Σύνθεση στροφών Σχήμα C21 Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών : 1. Στροφή κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα-x του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία ψ γύρω από τον άξονα-z του πλαισίου βάσης. 3. Στροφή κατά γωνία θ γύρω από τον τρέχοντα άξονα-x. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; Επιλέξτε απάντηση Σύνθεση στροφών Σχήμα C22 11

Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών : 1. Στροφή κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα-x του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία θ γύρω από τον τρέχοντα άξονα-z. 3. Στροφή κατά γωνία ψ γύρω από τον τρέχοντα άξονα-x. 4. Στροφή κατά γωνία α γύρω από τον άξονα-z του πλαισίου της βάσης. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; Σύνθεση στροφών (Παράδειγμα) Σχήμα C23 Σύνθεση στροφών Σχήμα C24 12

Σχήμα C25 Ομογενές διάνυσμα θέσεως στο σύστημα i p t i xi yi zi 1 Ομογενές διάνυσμα θέσεως στο σύστημα j t pj xj yj zj 1 Τότε, σε μητρωική μορφή: i pj Api pj Aj pi όπου: a11 a12 a13 xo i a21 a22 a23 y o A j a31 a32 a33 zo 0 0 0 1 n o a p Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Ομογενές μητρώο θέσεως Σχήμα C26 13

Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Ομογενές μητρώο θέσεως Σχήμα C27 Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Ομογενές μητρώο θέσεως Σχήμα C28 14

Κινηματική ανάλυση μηχανισμών Ομογενές μητρώο θέσεως Σχήμα C29 Στοιχειώδη ομογενή μητρώα περιστροφής Α(x,α) Σχήμα C30 15

Στοιχειώδη ομογενή μητρώα περιστροφής Α(y,β) Σχήμα C31 Στοιχειώδη ομογενή μητρώα περιστροφής Α(z,γ) Σχήμα C32 16

ΠΡΟΣΟΧΗ A(a,b,c) A(z,k) A(z,k) A(a,b,c) A(x,a) A(y,b) A(y,b) A(x,a) A(a,b,c) A(z,k) A(d,e,f) A(z,k) A(a,b,c) A(d,e,f) A(a,b,c) A(z,k) A(d,e,f) A(a,b,c) A(d,e,f) A(z,k) Στοιχειώδες ομογενές μητρώο μετατόπισης Α(x o,y o,z o ) Σχήμα C33 Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A A B που μετασχηματίζει το P B σε P A. B A B A B p 3 7 0 t A A x, y,z A z,? A A z, A x, y,z? ΑΣΚΗΣΗ 2 η Συντεταγμένες σημείου ως προς ορισμένο σύστημα, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C34 17

Ερώτημα α Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A j i που μετασχηματίζει το Pi σε Pj. Εν συνεχεία να γίνει εφαρμογή για τα εξής δεδομένα: i p 4 5 2 t o 45 a 7 Απάντηση: [-0.71, 13.36, 2] ΑΣΚΗΣΗ 2 η Συντεταγμένες σημείου ως προς ορισμένο σύστημα, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C35 Ερώτημα β Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A j i που μετασχηματίζει το Pi σε Pj. Εν συνεχεία να γίνει εφαρμογή για τα εξής δεδομένα: i t o 30 p 5 2 1 a 8, b 3 Απάντηση: [3.17, 5.00, 1.63] ΑΣΚΗΣΗ 2 η Συντεταγμένες σημείου ως προς ορισμένο σύστημα, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C36 18

Ερώτημα γ Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A i j που μετασχηματίζει το Pi σε Pj. Εν συνεχεία να γίνει εφαρμογή για τα εξής δεδομένα: p t i 3 1 4 o 240 a 6 c 2 b 4 k 2 Απάντηση: [-3.634, -1.902, 7.333] ΑΣΚΗΣΗ 2 η Συντεταγμένες σημείου ως προς ορισμένο σύστημα, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C37 o a 0 o b 0 Ερώτημα δ Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A j i που μετασχηματίζει το P 2 σε P 0. Εν συνεχεία να γίνει εφαρμογή για τα εξής δεδομένα: 2 o t o p 9 0 0 a 30, b 180, c 36 Απάντηση: [10.206, 0, 35.667] ΑΣΚΗΣΗ 2 η Συντεταγμένες σημείου ως προς ορισμένο σύστημα, με χρήση ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C38 19

Σύνθεση ομογενών μετασχηματισμών Σχήμα C39 Σύνθεση ομογενών μετασχηματισμών Σχήμα C40 20

Σύνθεση ομογενών μετασχηματισμών Σχήμα C41 Σύνθεση ομογενών μετασχηματισμών Σχήμα C42 21

Εάν ένα ομογενές μητρώο μετασχηματισμού είναι: τότε ως αντίστροφό του ορίζεται το: j A i A i j R p 0 1 και ισχύει ότι: A j i T T i 1 R R p Aj 0 1 Αντίστροφος ομογενής μετασχηματισμός Σχήμα C43 A 1 0 x1 2 0 0 x 1 0 1 x 3 0 0 0 1 i 2 j 3 Ερωτήματα: Α) Να προσδιορισθεί το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού A ji. Β) Να προσδιορισθεί το αντίστροφο μητρώο μετασχηματισμού A ij. Γ) Να γίνει γραφική αναπαράσταση της σχετικής θέσης των συστημάτων (i) και (j). ΑΣΚΗΣΗ 3 η Ομογενή μητρώα μετασχηματισμού και ιδιότητές τους Σχήμα C44 22

Ένας σταθμός εργασίας βιομηχανικού ρομπότ παρακολουθείται από μια κάμερα σε σταθερή θέση στο χώρο (βλέπε σχήμα). Η κάμερα βλέπει το σύστημα συντεταγμένων του πλαισίου του ρομπότ και επίσης ένα αντικείμενο (κύβο) το οποίο χειρίζεται το ρομπότ. Αν στο κέντρο του κύβου ορίζεται ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων, η θέση και ο προσανατολισμός του κύβου ως προς την κάμερα μπορεί να εκφραστεί με ένα ομογενές μητρώο μετασχηματισμού Τ 1. Η θέση και ο προσανατολισμός του συστήματος συντεταγμένων του πλαισίου του ρομπότ ως προς την κάμερα εκφράζεται με το ομογενές μητρώο μετασχηματισμού Τ 2. Προσδιορίστε τη θέση του κέντρου του κύβου και τον προσανατολισμό του συστήματος συντεταγμένων του κύβου ως προς το πλαίσιο του ρομπότ. Δίδονται: 0 1 0 1 1 0 0 10 T1 0 0 1 9 0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 20 T2 0 0 1 10 0 0 0 1 ΑΣΚΗΣΗ 4 η Εφαρμογή ομογενών μητρώων μετασχηματισμού σε χώρο εργασίας ρομποτικού βραχίονα Σχήμα C45 Να υπολογισθούν τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού,, μεταξύ των 2 A 0 πλαισίων 0, 1 και 2 και να αποδειχθεί ότι: = 1 A 0 2 A 1 1 A 0 2 A 0 2 A 1 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Εφαρμογή ομογενών μητρώων μετασχηματισμού Σχήμα C46 23