Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μάθηµα 3 ο Αναπαράσταση θέσης στο επίπεδο (2 ) και στο χώρο (3 ) Οµογενής Μετασχηµατισµός Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

2 Μεταφορά αξόνων σε 2 X Ι Ο Ι Y Ι αδρανειακό σύστηµα αναφοράς X Β Ο Β Y Β σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς! ΠΡΟΣΟΧΗ! Χ Ι Ο Ι Υ Ι & Χ Β Ο Β Υ Β : Έχουν ίδιο προσανατολισµό Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

3 Μεταφορά αξόνων σε 2 (συνέχεια) r r r r = r + r o r r r r = x i + j o o o r r r r = x + x i + + j ( ) ( ) o o x r r r r i j i j ( ) Ι xo + x = ( + ) o r r r r = x i + j r xι xo + x = x = = o+ Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

4 Μεταφορά αξόνων σε 2 (συνέχεια) x x xo+ x 1x + 0+ xo 1 0 xo = o = 0x 1 = o o { x T, x ιάνυσµα στο αδρανειακό σύστηµα Πίνακας µεταφοράς ιάνυσµα στο σωµατόδετο σύστηµα x = T x, 3 1 xι 1 0 xo x 0 1 Ι o = { { x Προσαύξηση διάστασης πίνακα µε 0 & 1 :3 1 T :3 3 x :3 1, A Τετραγωνικός πίνακας Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

5 Στροφή αξόνων σε 2 Lx 1 = x cosθ Lx 2 = sinθ L 1 = x sinθ L 2 = cosθ! Προσοχή! Ανθωρολογιακή φορά γωνίας στροφής

6 r Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Στροφή αξόνων σε 2 (συνέχεια) x Lx 1 Lx 2 x cosϑ sinϑ cosϑ sinϑ x = = = = L + L x sinϑ+ cosϑ sinϑ cosϑ 1 2 x = R x, Προσαύξηση διάστασης πίνακα µε 0 & 1 x R, x ιάνυσµα στο αδρανειακό σύστηµα Πίνακας στροφής ιάνυσµα στο σωµατόδετο σύστηµα x cosϑ sinϑ 0 x sinϑ cosϑ 0 = { { x :3 1 R :3 3 x :3 1, Τετραγωνικός πίνακας

7 R, Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος Στροφή αξόνων σε 2 (συνέχεια) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 = sin cos Αποδεικνύεται ότι: 1 ( ) ( ) R = R = R,,, T x = R x, ( R ) x = R x = x,, T ιάνυσµα θέσης στο αδρανειακό σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα ιάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο αδρανειακό σύστηµα

8 x = T x Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό Έτος , x = R x, Αναπαράσταση θέσης T Συνοπτικά (σε 2 ), A 1 0 xo = 0 1 o Τελεστής µεταφοράς R, ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 = sin cos Τελεστής στροφής Εύρεση διανύσµατος θέσης στο αδρανειακό σύστηµα όταν δίδεται το διάνυσµα θέσης στο σωµατόδετο σύστηµα Πώς αντιµετωπίζεται η σύνθεση ενός τελεστού µεταφοράς µε έναν τελεστή στροφής;

9 Οµογενής µετασχηµατισµός σε 2! ΠΡΟΣΟΧΗ! Χ Ι Ο Ι Υ Ι & Χ Β Ο Β Υ Β : Έχουν διαφορετικό προσανατολισµό! r = r + r r r o r = ro + R, r x T R r =,, H, r H, cosϑ sinϑ xo = sinϑ cosϑ o 0 0 1

10 Οµογενής µετασχηµατισµός σε 3 x = H x, H, n o a x n o a x x x o o = nz oz az zo

11 Ειδικές περιπτώσεις στροφών σε 3 Rot-x Rot- Rot-z! ΠΡΟΣΟΧΗ! R X cosϑ sinϑ 0 = 0 sinϑ cosϑ R Y Κανόνας δεξιάς χειρός cosϑ 0 sinϑ = sinϑ 0 cosϑ R Z ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) cos sin 0 0 sin cos 0 0 =

12 Παράδειγµα 1 ο : Ανυψωτική διάταξη Πορεία Περιστροφή Ανύψωση Πραγµατική κατασκευή (γερανός µε βραχίονα) Μονογραµµική αναπαράσταση

13 Παράδειγµα 2 ο : Βραχίονας RRR Πραγµατική κατασκευή (τυχαία θέση #1) Πραγµατική κατασκευή (τυχαία θέση #2)