ΓΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 5ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Μηχανική στερεού σώματος (συνέχεια)

ΓΛ/Μ5 05-06 ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 5ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Μηχανική στερεού σώματος (συνέχεια)

76 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική Κατεύθυνσης για την Γ' Τάξη του Λυκείου. Μηχανική στερεού σώματος (συνέχεια) σελ. 77. Μηχανική στερεού σώματος (συνέχεια). Κρούσεις ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΤΕΥΧΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 77 Μηχανική στερεού σώματος ΘΕΩΡΙΑ Να αποδείξετε ότι σε κύλιση τροχού, ισχύουν: υ =ω.r και α =α γων.r Απόδειξη Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του υ, είναι ίση κατά μέτρο με την γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς του. Αν ο τροχός μετατοπίστηκε κατά dx σε dx χρόνο dt τότε: dt Στον ίδιο χρόνο κάθε σημείο της περιφέρειας του τροχού διέγραψε τόξο ds ώστε: ds dt Επειδή όμως ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα είναι dx = ds. Άρα: υ = υ και επειδή υ = ω R θα είναι: υ = υ = ω R. Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση έχουμε: dυ dω dt dt α =α.r γων υ ω R R

78 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος ΘΕΩΡΙΑ Να αποδείξετε ότι η ροπή ζεύγους δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο (Ο) του επιπέδου των δυνάμεων, είναι ανεξάρτητη από την θέση του σημείου (Ο). Απόδειξη Έστω το ζεύγος δυνάμεων του σχήματος και ένα σημείο (Ο) του επιπέδου τους. Τότε: F d F d F d Fd d F d F d ΘΕΩΡΙΑ 3 Να αποδείξετε ότι η στροφορμή στερεού δίνεται από τη σχέση: L=Ι ω Απόδειξη Θεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα y y με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Οι διάφορες στοιχειώδεις μάζες από τις οποίες αποτελείται το σώμα διαγράφουν κυκλικές τροχιές σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα αλλά με διαφορετική γραμμική ταχύτητα (υ=ω. r), καθώς διαγράφουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Θεωρούμε ότι το σώμα αποτελείται από ένα τεράστιο πλήθος ν στοιχειωδών μαζών, των οποίων οι στροφορμές, L m r, L m r,..., L m r είναι συγγραμμικές και ομόρροπες επομένως η στροφορμή του στερεού σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων που αποτελούν το σώμα: L L L... L L m r m r... m r L m r m r... m r Aλλά είναι: I m r m r... m r. Επομένως: L I

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 79 ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε τη γενικευμένη μορφή του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης. Απόδειξη Όταν ο άξονας περιστροφής του στερεού σώματος είναι σταθερός, τότε και η ροπή αδράνειας του σώματος είναι σταθερή, επομένως από τη σχέση L=Ι ω έχουμε: Είναι όμως ΘΕΩΡΙΑ 5 dl d Iω dω dl I I α γων dt dt dt dt, άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται: dl dt Να αποδείξετε τη σχέση με την οποία υπολογίζεται η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής. Απόδειξη Το σώμα μάζας m, του σχήματος, αποτελείται από τις στοιχειώδεις μάζες (υλικά σημεία) m, m,, που διαγράφουν κυκλικές τροχιές με ακτίνες r, r,, αντίστοιχα και οι οποίες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και γραμμικές ταχύτητες,,..., τα μέτρα των οποίων είναι: r, r,... Η κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μαζών: στρ στρ K m υ m υ... Κ m ωr m ωr... K στρ mω r mω r... K m r m r... ω στρ Όμως: m r m r... I Επομένως, η () γράφεται: K στρ Ιω

80 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος ΘΕΩΡΙΑ 6 Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει το έργο σταθερής ροπής: W= τ θ Απόδειξη Ας θεωρήσουμε τη δύναμη F η οποία ασκείται πάνω στο σώμα (διπλανό σχήμα) και έστω r η ακτίνα περιστροφής του σημείου εφαρμογής της. Θεωρούμε επίσης ότι η διεύθυνση της δύναμης, βρίσκεται στο επίπεδο περιστροφής του σημείου εφαρμογής της και εφάπτεται στην τροχιά. Για μία απειροστή στροφή του σώματος, κατά γωνία dθ, η δύναμη παράγει έργο: dw F ds () όπου ds είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Όμως: ds r d (η γωνία dθ μετριέται σε rad) Άρα η εξίσωση () γράφεται: dw F r d () Όμως: F r Άρα η () γράφεται: dw d (3) Για στροφή του σώματος κατά γωνία θ, μπορούμε να χωρίσουμε τη γωνία θ σε στοιχειώδεις γωνίες d,d,..., και να αθροίσουμε τα επιμέρους έργα: 3 W dw dw... W d d... (4) Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, τότε η σχέση (4) γράφεται: W d d... W ΘΕΩΡΙΑ 7 Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την ισχύ ροπής: Ρ=τ ω Απόδειξη dw d Από την σχέση dw d παίρνουμε: dt dt Όμως ο ρυθμός παραγωγής του έργου εκφράζει την ισχύ της δύναμης dw P και dt d. Οπότε η τελευταία σχέση γράφεται: P dt

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 8 Λυμένες ασκήσεις.85. Η ράβδος ΑΓ είναι αβαρής και μπορεί να στραφεί γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το (O). Είναι (ΑΔ) = (ΔO) = (ΟΒ) = 0,5 m, (ΒΓ) =,5 m F = 40N, F = 30N, F 3 = 00N. α. Nα βρεθεί η ολική ροπή των δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής β. Ποια δύναμη F πρέπει να ασκηθεί κάθετα στην ράβδο και στο σημείο Δ ώστε τ ολ = 0. Δίνεται ημ30 0 = 0,5. Λύση α. Αναλύοντας την F 3 σε συνιστώσες F 3x, και F 3y και με θετική φορά αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού έχουμε: O O O O 0 F F AO, F F OB, TF 0, F F3 30 3,x 3,y 0 F AO F OB F 30 3 και με αντικατάσταση των τιμών Στ (Ο) = - 75 Νm. To αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η ράβδος στρέφεται κατά την αρνητική φορά. β. Θέλουμε Στ (Ο) = 0,άρα F (ΔΟ) - 75 Nm = 0, δηλαδή F = 50 N.

8 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος.86. Ομογενής δοκός έχει βάρος w =30 N και μήκος l = 5m και ισορροπεί οριζόντια με το ένα άκρο της στερεωμένο μέσω άρθρωσης σε κατακόρυφο τοίχο όπως φαίνεται στο σχήμα, που ακολουθεί, ενώ στο άλλο άκρο της έχει συνδεθεί σώμα βάρους w = 90N. Να βρεθούν οι τάσεις των νημάτων ΔΕ, ΓΖ και η αντίδραση της άρθρωσης. Δίνονται (ΔΓ) = m, (ΑΕ) = 3m. Λύση Στο σώμα εξασκούνται δύο δυνάμεις το βάρος του w και η τάση Τ του νήματος ΓΖ. Στην δοκό εξασκούνται: το βάρος της w στο μέσον της διότι είναι ομογενής η τάση Τ από το νήμα ΓZ, η τάση Τ από το νήμα ΕΔ και η αντίδραση F της άρθρωσης. Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες και εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το σώμα και τη δοκό. Για το σώμα: F ολ. = 0, άρα ' T = w = 90N και επειδή το νήμα είναι αβαρές ' T T 90 N Για τη δοκό : ΣF x = 0 () ΣF y = 0 () Στ (A) = 0 (4)

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 83 x F T 0 F T w T 0 y T T A w AM 0 3 Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΔ έχουμε: 4 3 5,, 5 5 Από τη λύση του συστήματος έχουμε : T 8,75 N, F 75 N, F, 5N x y F F F 75,36 N F F x y y x 0,06 Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι έχει αντίθετη φορά από αυτήν που σχεδιάστηκε..87. Το ξύλινο δοκάρι του σχήματος έχει μήκος (ΑΓ) = 4,5 m βάρος w =00Ν και ισορροπεί. Το κέντρο βάρους βρίσκεται στο Κ με (ΑΚ) = /3 (ΑΓ). Είναι (ΓΔ) = 3,6m και ο κατακόρυφος τοίχος είναι λείος. Να βρεθούν η αντίδραση του τοίχου και της άρθρωσης στο Α. Λύση Στο δοκάρι εξασκούνται το βάρος του w, η αντίδραση F του τοίχου κάθετη σ' αυτόν επειδή είναι λείος και η δύναμη F από την άρθρωση.

84 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Αναλύουμε την F στους άξονες x x, y y και εφαρμόζουμε τις συνθήκες ισορροπίας: ΣFx = 0 () ΣFy =0 () Στ (Α) = 0 () Είναι: ΑΔ =,7 m, AZ = 0,9 m, AE = ΓΔ F - F,x = 0 (6) F,y - w = 0 (7) w. (ΑΖ) - F (ΑΕ) = 0 () Είναι A F 0. Aπό τη λύση του συστήματος έχουμε: F 5 N, F,y 00N, F3,x 5N F y F F x F y 03, 3 N, 4 F.88. Η σανίδα του κολυμβητηρίου έχει μήκος (ΑΓ) = 4m, είναι ομογενής, με βάρος w = 00 Ν. Είναι στερεωμένη σε τοίχο στο Α και στηρίζεται σε λεπτή ράβδο ΔΖ. Στο Ε στέκεται κολυμβητής βάρους w = 600 Ν είναι (ΑΔ) =,5 m και (ΕΓ) = 0, m. To σύστημα ισορροπεί. Να βρεθούν οι αντιδράσεις του τοίχου και της ράβδου. x

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 85 Λύση Στη σανίδα εξασκούνται : το βάρος της w, η δύναμη από τον άνθρωπο ίση κατά το μέτρο με το βάρος του w, η δύναμη από τη ράβδο ΔΖ (οι οποίες είναι παράλληλες άρα και η δύναμη από τον τοίχο θα είναι παράλληλη προς αυτές). Από τις συνθήκες ισορροπίας για τη σανίδα έχουμε ΣFx = 0 () ΣFy = 0 () F - F - w - w = 0 Στ (A) = 0 (3) F (ΑΔ) - w (AM) - w (ΑΕ) = 0 (5) F = 786,6 N, F = 986,6 N..89. Ομογενής ράβδος μήκους l και μάζας Μ είναι αρθρωμένη στο ένα άκρο και συγκρατείται οριζόντια. Την αφήνουμε να περιστραφεί. Να υπολογίσετε: α. την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής β. την γωνιακή επιτάχυνση όταν η ραβδος είναι: i. οριζόντια, ii. κατακόρυφη, iii. σχηματίζει γωνία φ με τον ορίζοντα. Δίνεται I M και το g.

86 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση α. Εφαρμόζουμε το θ. Steiner: M +M I M I M () 4 3 β. i. Σε οριζόντια θέση: Θεμ. Ν. Μηχ. Mg w 3g M Mg 3 ii. Σε κατακόρυφη θέση Θεμ. Ν. Μηχ. Όμως Στ = 0 ( γιατί η διεύθυνση του βάρους περνά από τον άξονα περιστροφής). Άρα 0 0 iii. Σε πλάγια θέση Στο x OM : x θεμ. Ν. Μηχ. w x 3 3 w x M 3 Mg 3 3g. 3 Επειδή η γωνιακή επιτάχυνση δεν είναι σταθερή, η κίνηση είναι μη ομαλά επιταχυνόμενη περιστροφική..90. Μια τροχαλία μάζας Μ, ακτίνας R και ροπής αδράνειας I MR μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, όπως στο σχήμα. Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές νήμα στην ελεύθερη άκρη του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m. Aφήνουμε το σώμα μάζας m να κινηθεί. Να βρείτε α. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος μάζας m.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 87 β. την τάση του νήματος γ. τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας δ. όταν η τροχαλία έχει κάνει δύο περιστροφές πoια είναι η γωνιακή της ταχύτητα και ποια η ταχύτητα του σώματος m. Αρχικά τα σώματα ηρεμούσαν. Εφαρμογή: Μ = Kg, m = Kg, R = 0, g = 0 m s Λύση Στο σώμα m ασκούνται το βάρος w, η τάση T F m w T m () Στην τροχαλία ασκούνται το βάρος της M g, η δύναμη F αλληλοεξουδετερώνονται) και η τάση T και εκτελεί μεταφορική κίνηση: από τον άξονα (που που περιστρέφει την τροχαλία. MR T R T () T R Θεμ. Ν. Μηχ. MR MR Η γραμμική επιτάχυνση (α ε )στην περιφέρεια του τροχού έχει ίσο μέτρο με την επιτάχυνση του σώματος m, ενώ συνδέεται με την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας με την σχέση R άρα R 3 Μ Από (),(3) έχω Τ= (4) Μ mg m M m s Από (),(4) έχω mg- m 5 m 5 s rad R 0,m s Από (3) έχω = 50 MR Από () έχω T= 5N

88 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Επειδή Στ = σταθ. η τροχαλία κάνει ομαλά επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση. Όταν έχει διαγράψει δύο περιστροφές 4 8 8 4 t t 0, 4 s t 50 rad Άρα t 0 s Ενώ για το σώμα m που κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη m t. s.9. Δύο μάζες m 3Kg και m Kg συνδέονται με αβαρές μη εκτατό νήμα που είναι περασμένο σε τροχαλία, η οποία έχει σχήμα κυλίνδρου, ακτίνα Λύση R = 0, μάζα Μ = Kg και ροπή αδράνειας I MR. Να υπολογίσετε: α. την επιτάχυνση των μαζών m και m β. αν η υψομετρική διαφορά των σωμάτων αρχικά ήταν h = 8 m και αρχικά το σύστημα ήταν ακίνητο, να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγμή που συναντιώνται οι μάζες m και m. Η μάζα m ήταν αρχικά χαμηλότερα από την m. Δίνονται m g 0. (Το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία). s (Ο Άγγλος φυσικός G. Atwood, επινόησε τη μηχανή που βλέπετε για να επαληθεύσει τον θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής και την αρχή της αδράνειας). α. Σχεδιάζουμε τα βάρη και τις τάσεις. Έχουμε T T γιατί ασκούνται στην τροχαλία που θα περιστραφεί, οπότε πρέπει να δημιουργήσουν ροπή. Επειδή w w, το σύστημα θα κινηθεί προς την μεριά του m.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 89 Για το m ο Θεμελ. Ν. Μηχ. δίνει: F m w T m () Για το m ο Θεμελ. Ν. δίνει: F m T w m () Για την τροχαλία που περιστρέφεται Θεμ. Ν. Μηχ. MR T R T RT T R MR T T T T R (3) Επειδή η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς το νήμα να ολισθαίνει R ( 4 ). Από την λύση των (), (), (3), (4) έχουμε: m m g m rad = 4 ενώ 40. M m s R s m (Τα σώματα m, m επειδή είναι δεμένα με τεντωμένο σχοινί έχουν κοινά στοιχεία κίνησης). β. Όταν τα σώματα m και m συναντηθούν το καθένα θα έχει μετατοπιστεί κατά h. Επειδή κινούνται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα με υ 0 = 0 θα είναι: h h t t s. Η τροχαλία κάνει ομαλά επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση. rad Άρα t 40 s

90 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος.9. Σώμα μάζας m = Kg ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Το σώμα αυτό είναι δεμένο με αβαρές μη εκτατό νήμα που περνά μέσα από το αυλάκι μιας τροχαλίας μάζας Λύση Μ = Kg, ακτίνας R = 0, ροπή αδράνειας I MR, με άλλο σώμα μάζας m 3Kg που βρίσκεται σε ύψος h = 0 m από το έδαφος. Αν για την τροχαλία η γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας με τον χρόνο είναι αυτή που βλέπετε στο σχήμα να υπολογίσετε: α. την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και την μεταβολή της γωνιακής θέσης της σε χρόνο t = s β. την επιτάχυνση του m, τις τάσεις των νημάτων και το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. γ. την ταχύτητα του m την στιγμή που φθάνει στο έδαφος. m Δίνεται g 0 s. (Το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία). α. Από την γραφική παράσταση ω ( t ) υπολογίζω την κλίση 40 rad rad Άρα 0 t s s d dt.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 9 Από το εμβαδόν του OA έχουμε: rad EOA s 40 40rad s β. Για το m : Fy 0 N mg ενώ T N mg (τριβή ολίσθησης) Fx m T T m T mg m () Για το m : F m mg T m () Για την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας T T R MR Θεμ. Ν. Μηχ. MR MR T R T R T T R T T (3) m Επειδή το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία R s (4) Από () T mg m 4 N MR Από (3) T T N T m Από () = =0,9 m g γ. Το m κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Άρα m t 4 5. s. h= t t 5s.93. Μια συμπαγής σφαίρα με mr, ένας κύλινδρος με mr και 5 ένας δακτύλιος με mr, έχουν ίδιες μάζες και ακτίνες. Αν αφήνονται από ύψος h κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ και κατά την κάθοδο κυλίονται μόνο χωρίς να ολισθαίνουν να βρείτε: α. ποιo σώμα θα φθάσει πιο γρήγορα στην βάση του κεκλιμένου επιπέδου, β. να υπολογίσετε τις ταχύτητές τους εκείνη τη στιγμή, γ. το έργο της στατικής τριβής. Δίνεται το g.

9 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση Αν ΑΓ=x τότε από έχω h h x (I) x Καθώς το σώμα κυλίεται το βάρος και η κάθετη αντίδραση δεν ασκούν ροπή στο κέντρο μάζας του για να το περιστρέψουν. Τον ρόλο αυτό τον παίζει η στατική τριβή T. Άρα στην κύλιση έχουμε πάντα δύναμη τριβής. Καθώς το σώμα κυλίεται αλλάζει το σημείο επαφής. Το σημείο που ερχόταν σ επαφή με το δάπεδο απομακρύνεται απ αυτό χωρίς να ολισθαίνει, δίνοντας την θέση του σ ένα άλλο, που τώρα έρχεται σε επαφή με το δάπεδο. Δηλαδή η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο επαφής, αλλά το συγκρατεί στιγμιαία. Άρα και το έργο της στατικής τριβής είναι μηδέν. Για την μεταφορική κίνηση έχουμε: w T m () Για την περιστροφική κίνηση έχουμε: T R () T R Επειδή το σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει R (3) Λύνοντας τις (), (), (3) έχουμε: mg (4). I m R Η μεταφορική κίνηση του σώματος είναι ομαλά επιταχυνόμενη. Άρα: x h x= t t (5). Ενώ = t (6) h h Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες ροπές αδράνειας έχω: Για την σφαίρα R m 5

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 93 (5) t 4h 5g, 0 (6) gh 7 Για τον κύλινδρο mr (5) t 3h g, 4 (6) gh 3 Για τον δακτύλιο mr (5) t 4h g, (6) gh Άρα t t t ενώ. Πρώτη θα φθάσει η σφαίρα έχοντας την μεγαλύτερη ταχύτητα..94. Ένας συμπαγής κύλινδρος αφήνεται σε κεκλιμένο δάπεδο με τον άξονά του σε οριζόντια θέση. Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης μ, ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Λύση Δίνεται η γωνία κλίσης του επιπέδου φ και MR. Στατική τριβή είναι μία δύναμη που ασκείται στην διαχωριστική επιφάνεια δύο σωμάτων, όταν προσπαθήσουμε να τα μετακινήσουμε χωρίς αυτά να κινούνται. Τότε F T. Αυξάνοντας το μέτρο της F, για κάποια τιμή, μόλις το σώμα είναι έτοιμο να κινηθεί τότε: T T, N. max Ο συντελεστής στατικής τριβής είναι λίγο μεγαλύτερος του μ. Συνήθως όμως θεωρούμε. Για να μην έχουμε ολίσθηση πρέπει T < μ Ν.

94 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Για τον κύλινδρο ισχύουν: Για την μεταφορική κίνηση: Fy 0 N w () Fx M w T M Mg T M () I T R MR T R την περιστροφική κίνηση I T R MR T (3) Επειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει R Από (3), (4) έχω Τ= (5) Από (5), () έχω g R (4) M 3 Άρα Mg T (6). Για να μην ολισθαίνει ο κύλινδρος πρέπει: 3 (),(6) Mg T< N Mg 3 3.95. Μαθητής στέκεται στο κέντρο ενός περιστρεφόμενου χωρίς τριβές σκαμνιού διατηρώντας τα χέρια του τεντωμένα και κρατώντας στο καθένα έναν αλτήρα μάζας 5 kg. Ο μαθητής στρέφεται εκτελώντας δύο στροφές ανά δευτερόλεπτο. Πόσες στροφές θα εκτελεί ανά δευτερόλεπτο όταν συσπειρώσει τα χέρια του; Η ροπή αδράνειας του μαθητή χωρίς τους αλτήρες μαζί με το περιστρεφόμενο τμήμα του σκαμνιού και με τεντωμένα τα χέρια του είναι 3 kg.m ενώ με τα χέρια συσπειρωμένα είναι kg.m. Αρχικά ο κάθε αλτήρας απέχει από τον άξονα περιστροφής m ενώ στην τελική κατάσταση 0,5 m. Λύση Επειδή δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές, η στροφορμή του συστήματος, ως προς τον άξονα περιστροφής, διατηρείται. Άρα I

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 95 Η ροπή αδράνειας του συστήματος ισούται με το άθροισμα των ροπών του μαθητή σκαμνιού και των αλτήρων, άρα: και 3kg m 5 kg m kg m I kg m 5 kg 0,5m 4,5kg m. Η αρχική συχνότητα περιστροφής είναι f / s z. Επομένως αν f η συχνότητα περιστροφής στην τελική κατάσταση, από τη σχέση () θα έχουμε: I f I f, ή, I f I f, ή, f If 3kg m Hz I 4,5kg m 5,8kg m. Παρατηρούμε ότι ο μαθητής στρέφεται με μεγαλύτερη συχνότητα. (Όπως θα δούμε και σε επόμενη παράγραφο η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται διότι ο μαθητής παράγει έργο δηλ. δαπανά ενέργεια για την συσπείρωση των χεριών του)..96. Ένα βλήμα έχει μάζα m = 0, kg και κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 0 =00 m/s σε διεύθυνση που απέχει απόσταση 0,4m από τον άξονα του τροχού. Αρχικά ο τροχός περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 4 rad/s γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος σ αυτόν. Η ακτίνα του τροχού είναι R = 0,5 m και η μάζα του, η οποία είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, είναι m = 3 kg. Να υπολογίσετε: α. Τη στροφορμή του βλήματος και του τροχού πρίν το βλήμα καρφωθεί στον τροχό β. Την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αφού το βλήμα καρφωθεί στην περιφέρεια του τροχού. Λύση α. Η αρχική στροφορμή του βλήματος είναι: L m 0 ή L 0,kg 00 m / s 0,4 m 4 kg m / s Επειδή η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του, η ροπή αδράνειας του είναι:. Άρα η στροφορμή του τροχού είναι: I m R 3kg 0,5m 0,75kg m L I ή, L 0,75kg m 4 rad / s ή L 3kg m / s.

96 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος β. Η ροπή αδράνειας του συστήματος μετά την κρούση είναι: I ' I m R ή I ' 0,75kg m 0,kg 0,5m 0,775kg m Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής έχουμε: L L, ή L L I' ή 9,03rad / s. 4 3 kg m /s 0,775kg m ή.97. Ένα μικρό αντικείμενο μάζας συνδέεται με ένα ελαφρύ νήμα που περνάει από ένα σωλήνα. Ο σωλήνας κρατιέται με το ένα χέρι και το νήμα με το άλλο. Το αντικείμενο μπαίνει σε περιστροφή πάνω σε κύκλο ακτίνας r με ταχύτητα μέτρου υ. Στη συνέχεια το νήμα έλκεται προς τα κάτω, μικραίνοντας την ακτίνα της τροχιάς σε r. Βρείτε το μέτρο της νέας γραμμικής ταχύτητας υ και της νέας γωνιακής ταχύτητας ω του αντικειμένου σε συνάρτηση με τις αρχικές τιμές υ και ω και τις ακτίνες r και r. Λύση Η προς τα κάτω έλξη πάνω στο νήμα μεταβιβάζεται σαν μια ακτινική δύναμη πάνω στο αντικείμενο (μέσω της τάσης του νήματος). Μια τέτοια δύναμη εξασκεί μηδενική ροπή πάνω στο αντικείμενο ως προς το κέντρο της περιστροφής, επομένως η στροφορμή του στην διεύθυνση αυτή είναι σταθερή. Άρα L r L, ή m r m r, ή r Αφού r r το αντικείμενο επιταχύνεται όταν το τραβήξουμε προς τα μέσα. Χρησιμοποιώντας την σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας ( r και r ) έχουμε: r mr mr, ή. r Από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι υπάρχει αύξηση της γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με την αρχική τιμή.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 97.98. Ένα σώμα με μάζα m βρίσκεται στην περιφέρεια ενός δίσκου που έχει μάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνάει από Λύση το κέντρο μάζας του R. Η μάζα είναι ακίνητη ως προς τον δίσκο και το όλο σύστημα περιστρέφεται ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του δίσκου με γωνιακή ταχύτητα ω. Ξαφνικά η μάζα αρχίζει να κινείται στην περιφέρεια του δίσκου με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα υ 0, ως προς τον δίσκο. Να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του δίσκου ω στις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: α. η φορά της κίνησης της μάζας συμπίπτει με την φορά περιστροφής του δίσκου, β. η φορά της κίνησης της μάζας είναι αντίθετη με την φορά περιστροφής του δίσκου. á. Από το σχήμα σε κάτοψη βλέπουμε τις δύο φάσεις (α) και (β) όπου η φορά κίνησης της μάζας m συμπίπτει με την φορά περιστροφής του δίσκου. Μεταξύ των δύο φάσεων διατηρείται η στροφορμή. Στη φάση (α) η στροφορμή ως προς τον άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του δίσκου είναι: L I όπου R, άρα L MR m R Στη φάση (β) η μάζα m κάνει σχετική κίνηση ως προς τον δίσκο με ταχύτητα R άρα η γωνιακή ταχύτητα της μάζας είναι 0 0. Επομένως R R η στροφορμή του συστήματος είναι: 0 L MR mr R Η διατήρηση της στροφορμής L L από τις () και () δίνει: M m m M m 0 R

98 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος β. Αν η φορά της κίνησης της μάζας είναι αντίθετη της φοράς περιστροφής του δίσκου σκεπτόμενοι με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε την στροφορμή L : 0 L MR mr R και λόγω της διατήρησης της στροφορμής από τις σχέσεις () και (3) παίρνουμε: M m m M m 0 R.99. Ένας δίσκος περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα Οz με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Δεύτερος δίσκος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω γύρω από τον ίδιο άξονα. Αφήνουμε τον δεύτερο δίσκο να πέσει πάνω στον πρώτο δίσκο από πολύ μικρό ύψος. Αν Ι και Ι είναι οι ροπές αδράνειας των δύο δίσκων ως προς τον άξονα z, να βρεθεί το μέτρο της κοινής γωνιακής ταχύτητας ω καθώς και η απώλεια ενέργειας. Λύση Στο σύστημα των δίσκων δεν ασκείται ροπή ως προς τον άξονα z επομένως διατηρείται η στροφορμή ως προς αυτό τον άξονα. Άρα L L, ή, ή Η απώλεια ενέργειας είναι: I Από () και () μετά από πράξεις προκύπτει: 3

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 99 Από την (3) συμπεραίνουμε ότι αν έχουμε απώλεια ενέργειας, η οποία οφείλεται στην ολίσθηση του ενός δίσκου ως προς τον άλλο μέχρι την στιγμή που αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα. Αν δεν υπάρχουν απώλειες αφού δεν υπάρχει ολίσθηση. Παρατήρηση: Αν οι φορές περιστροφής των δύο δίσκων ήταν αντίθετες, τότε η κοινή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής τους θα ήταν.00. Ένας κυκλικός δίσκος με μάζα m και ακτίνα R βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Μικρό βλήμα μάζας μ που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ κτυπά τον δίσκο στη διεύθυνση μιας ευθείας που απέχει απόσταση R/ από το κέντρο. Να βρεθεί η κίνηση που θα κάνει ο δίσκος αν το βλήμα αναπηδήσει ελαστικά με γωνία 90 ο με την αρχική τροχιά. (I CM =mr /). Λύση Επειδή η κρούση είναι ελαστική το Ο παραμένει κέντρο μάζας του δίσκου και μετά την κρούση. Από την αρχή της διατήρησης της γραμμικής ορμής έχουμε: mu V Εκτός από την διατήρηση της ορμής σε κάθε ελαστική κρούση ισχύει και η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας: mu ICM V Η στροφορμή του βλήματος πρίν και μετά την κρούση ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του δίσκου είναι αντίστοιχα: R 3R και V V Η εφαρμογή της αρχής διατήρησης της στροφορμής του συστήματος δίσκος βλήμα για την κρούση δίνει την εξίσωση: mr 3V 3.

300 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Με επίλυση του συστήματος των εξισώσεων (), () και (3) προσδιορίζουμε τις ταχύτητες u και V καθώς και την γωνιακή ταχύτητα ω περιστροφής του δίσκου γύρω από τον κάθετο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας Ο..0. Μια μπάλα μπιλιάρδου έχει μάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως Λύση προς τον άξονα του κέντρου μάζας της I MR. Η μπάλα δέχεται 5 απότομο κτύπημα σε ύψος h από το κέντρο της οπότε αμέσως μετά αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω 0 ενώ το κέντρο μάζας του αποκτά μεταφορική ταχύτητα υ 0. Να βρεθούν: α. η σχέση των υ 0, ω 0, R, h 0R β. το ύψος h ώστε 0 γ. το ύψος h ώστε η μπάλα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο επίπεδο. α. Έστω ότι η δύναμη F που προκαλεί το κτύπημα είναι σταθερή και ενεργεί επί χρονικό διάστημα Δτ. Η F είναι η μόνη δύναμη πού δέχεται η μπάλα αφού το βάρος της εξουδετερώνεται από την κάθετη αντίδραση του επιπέδου. Ο dp δεύτερος νόμος του Newton για την μεταφορική κίνηση, F, δίνει: dt M0 0 F t διότι αρχικά η μπάλα δεν έχει ταχύτητα. Η ροπή της δύναμης ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι F. h. Ο δεύτερος νόμος του Newton για την περιστροφική κίνηση, I t 0 Fh dl, δίνει dt

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 30 Διαιρώντας κατά μέλη τις () και () και αντικαθιστώντας την ροπή αδράνειας Ι = 5 Μ.R, παίρνουμε την ζητούμενη σχέση: 50h 0R 3 0R 4R β. Αν 0, η σχέση (3) δίνει: h 5 γ. Για να κυλίεται χωρίς ολίσθηση η μπάλα αμέσως μετά το κτύπημα, πρέπει R, οπότε η σχέση (3) δίνει: R 0 0 h. 5.0. Μία λεπτή ράβδος μήκους, 60 συγκρατείται σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα x x ο οποίος είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το ένα άκρο της απόσταση ίση με. 3 Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να περιστραφεί. Να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν σχηματίζει γωνία 30 ο με την οριζόντια διεύθυνση, καθώς επίσης και τη γραμμική ταχύτητα του άκρου που βρίσκεται πλησιέστερα στον άξονα περιστροφής. β. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I m. Λύση α. Η ράβδος θεωρείται ομογενής και έτσι το κέντρο μάζας m θα απέχει από τον άξονα περιστροφής της απόσταση: OM 3 6 Επομένως, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, υπολογίζεται áðü ôï èåþ ñçì á Steiner, ως εξής: I I m m m I m 6 36 9

30 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 30 ο με την οριζόντια διεύθυνση, το κέντρο μάζας της έχει κατέλθει κατακόρυφα κατά: h 30 6 Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30 ο με την οριζόντια διεύθυνση, θα έχουμε: U 3 g mg I mg m 9 3 g 3 0 rad rad 5 0, 6 s s rad 5 s Η γραμμική ταχύτητα του άκρου της ράβδου που βρίσκεται πλησιέστερα στον άξονα περιστροφής, θα είναι: m m 50, 3 s s β. Όταν η ράβδος βρεθεί σε κατακόρυφη θέση, το κέντρο μάζας της έχει κατέλθει κατά 6. Επομένως, από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας πάλι ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου, θα έχουμε: U g mg I mg m 3 6 6 9 g 0 rad rad rad 3 3 50 5 0,6 s s s

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 303.03. Μία κοπέλα κρατά με το χέρι της τη μία άκρη κλωστής που είναι τυλιγμένη σε μικρό καρούλι ακτίνας R 0 m και μάζας m 50g (θεωρήστε το καρούλι ως κυλινδρικό φλοιό). Κάποια στιγμή το καρούλι πέφτει από το χέρι της και η κλωστή ξετυλίγεται καθώς το καρούλι κατεβαίνει κατακόρυφα περιστρεφόμενο. Όταν το καρούλι έχει κατέβει κατά h 0, να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή ταχύτητα του καρουλιού β. την ταχύτητα του κέντρου μάζας του καρουλιού γ. την κινητική της ενέργεια λόγω περιστροφής. Λύση m Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 και η ροπή αδράνειας s του καρουλιού ως προς τον άξονά του I mr. α. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας του καρουλιού, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε: U R mgh I m mgh mr m R gh R gh R gh 00 R R 0 s s gh 00 0 rad rad β. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του καρουλιού θα είναι: m s γ. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι: R 00 0 3 K mr 500 0 0 J K 0, 05 J m s

304 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος.04. Συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R m, αφήνεται από ύψος h 5 m να κυλήσει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ. Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. Να υπολογίσετε: α. το λόγο της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής προς την κινητική K ενέργεια λόγω της μεταφορικής κίνησης που εκτελεί ο κύλινδρος. Λύση β. τη γωνιακή ταχύτητα και την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. m Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 s και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του I mr. α. Ο λόγος K Κ στρ μετ υπολογίζεται ως εξής: K mr R K R K m m R β. Η δύναμη που στρέφει τον κύλινδρο, ώστε να μην ολισθαίνει, είναι η στατική τριβή T. Επειδή όμως αυτή ασκείται σε διαφορετικό σημείο κάθε χρονική στιγμή, το έργο της θα είναι μηδέν: WT 0. Όταν ο κύλινδρος φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, το κέντρο μάζας του έχει κατέλθει κατά h. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε: mgh I m mgh mr m R 4gh 3 R R

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 305 4 gh 3 R 4gh gh 0 5 rad rad 0 3R R 3 3 s s Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου θα είναι: m m R 0 0 s s.05. Συμπαγής ομογενής σφαίρα από πλαστελίνη ακτίνας r και μάζας m, αφήνεται ελεύθερη από ύψος h, 7 m να κυλήσει κατά μήκος του οδηγού. Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου του συναντά ημικύκλιο ακτίνας R m r. α. Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα εκτελέσει ανακύκλωση. β. Η σφαίρα εγκαταλείποντας το ημικύκλιο «κολλά» στο ένα άκρο μίας λεπτής ράβδου μάζας M 0,3kg και μήκους 0,4m που ισορροπεί σε οριζόντια θέση και η οποία έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Θεωρήστε ότι, κατά την προσκόλληση της πλαστελίνης στη ράβδο, η ταχύτητα της σφαίρας μηδενίζεται. Να υπολογίσετε την ταχύτητα της σφαίρας όταν περνά από το κατώτερο σημείο της τροχιάς της. Δίνεται m 0,kg Τριβές αμελητέες. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 m / s, η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μία διάμετρό της I mr και η ροπή αδράνειας 5 της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I M. Λύση α. Ας θεωρήσουμε τη σφαίρα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς επί του ημικυκλίου. Για να εκτελέσει η σφαίρα ανακύκλωση αρκεί στο σημείο αυτό η σφαίρα να είναι σε επαφή με το ημικύκλιο, δηλαδή N 0.

306 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Στη σφαίρα ασκούνται δύο δυνάμεις: το βάρος w και η αντίδραση N από το ημικύκλιο. Η συνισταμένη αυτών των δυνάμεων παίζει το ρόλο της κεντρομόλου: NR NR mg N m gr gr R g g Στην περίπτωση που η σφαίρα εκτελεί οριακά ανακύκλωση, δηλαδή για N 0, από την παραπάνω εξίσωση θα έχουμε: min gr δηλαδή, για να εκτελέσει η σφαίρα ανακύκλωση θα πρέπει η ταχύτητά της στο ανώτερο σημείο του ημικυκλίου να είναι: min gr Στην περίπτωση του προβλήματός μας, θα πρέπει: m 0 () s Η δύναμη που στρέφει τη σφαίρα καθ όλη τη διαδρομή πάνω στον οδηγό, ώστε να μην ολισθαίνει, είναι η στατική τριβή T. Επειδή όμως αυτή ασκείται σε διαφορετικό σημείο κάθε χρονική στιγμή, το έργο της θα είναι μηδέν: W 0. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κατώτερο σημείο της τροχιάς, όταν η σφαίρα έχει φτάσει στο ανώτερο σημείο της ημικυκλικής τροχιάς, θα έχουμε: U U T mgh mg R I m mgh mg R m m 5 7 0 m g h R g h R 0 0 7 s Άρα, συγκρίνοντας με την (), παρατηρούμε ότι η σφαίρα θα εκτελέσει οριακά ανακύκλωση.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 307 β. Η σφαίρα προσκολλάται στο άκρο της ράβδου, δηλαδή σε απόσταση. Η ροπή αδράνειας του συστήματος θα είναι ίση με: I I m M m 3m m 4 4 I m Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας της σφαίρας, όταν η ράβδος βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, θα έχουμε: U g g 0 rad mg I mg m 0, 4 s 5 rad / s.06. Η ράβδος του σχήματος έχει την εξής ιδιομορφία: το μισό της τμήμα μήκους,5 m και μάζας m m kg είναι από ξύλο και συνδέεται με το άλλο μισό (επίσης μήκους ) μάζας m m που είναι από μέταλλο. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα x x που περνά από το μέσο της (το σημείο δηλαδή που ενώνονται τα δύο τμήματα). Αρχικά, η ράβδος συγκρατείται σε οριζόντια θέση. Στη συνέχεια αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να κινηθεί. α. Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας της ράβδου. β. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου:. τη στιγμή της εκκίνησης.. όταν η ράβδος βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. γ. Τη στιγμή που η ράβδος είναι σε κατακόρυφη θέση να υπολογίσετε:. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. τη γραμμική ταχύτητα των δύο άκρων της 3. τη στροφορμή της ράβδου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 m / s και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I m.

308 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση α. Η ροπή αδράνειας της ράβδου υπολογίζεται ως το άθροισμα των ροπών των δύο επιμέρους τμημάτων ως προς άξονα περιστροφής τον άξονα που περνά από το μέσο της ενιαίας ράβδου. I m m I m m I m 4 3 I m m I m m 4 I m Επομένως: I I I m m I m 3 3 3 β.. Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, τη στιγμή της εκκίνησης: w w g mg mg mg mg mg 0 0 rad / s rad / s,5 β.. Τη στιγμή που η ράβδος είναι κατακόρυφη, οι διευθύνσεις των δυνάμεων w και w διέρχονται από τον άξονα περιστροφής και επομένως: 0 0 γ.. Από την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ñüâäï õ ì Üæáò m, όταν η ράβδος βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, θα έχουμε: U U U g mg mg I mg mg mg m mg g 0 rad /s rad /s,5

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 309 γ.. Η γραμμική ταχύτητα των άκρων της θα είναι:,5m / s 5 m / s γ.3. Η στροφορμή της ράβδου θα είναι: L I m,5 kg m / s L 5 kgm / s.07. Για να περιστρέψει τον κυκλικό μηχανισμό ακτίνας R 0 που ανοίγει την πόρτα του θησαυροφυλακίου, ο υπάλληλος της τράπεζας ασκεί ζεύγος δυνάμεων με το μέτρο κάθε δύναμης να είναι ίσο με F 0 N. Πόση ενέργεια θα ξοδέψει ο υπάλληλος για να στρέψει το μηχανισμό κατά 60 o ; Λύση Η συνολική ροπή που ασκείται στον τροχό είναι: FR Επομένως, η ενέργεια που δαπανά ο υπάλληλος για να περιστρέψει το μηχανισμό κατά 60 o θα είναι: 8 W W FR 00, J W J 3 3.08. Συμπαγής ομογενής τροχός μάζας m = kg και ακτίνας R 0 0, αφήνεται από ύψος h = 3 m να κυλήσει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30 ο. Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. α. να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δέχεται ο τροχός και να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του, β. να υπολογίσετε την στατική τριβή του κυλίνδρου και τις τιμές του συντελεστή τριβής για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. γ. η ταχύτητα του και το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s και η ροπή αδρά- νειας του κυλίνδρου I mr.

30 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση α. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις: το βάρος του w, που αναλύεται σε συνιστώσες: w x =w ημφ και w y =w συνφ η κάθετη δύναμη Ν από το κεκλιμένο επίπεδο, η στατική τριβή Τ σ. Για τη μεταφορική κίνηση: Για τη στροφική κίνηση: F = m α wημφ -T = mα 0 - T = α () x σ σ () (K) τ = Ια γων Τ. σ R=I. α γων Τ σ = mrα γων Τ σ = Rα γων Στην κύλιση ισχύει: α = α γων. R (3) Λύνουμε τις σχέσεις () Τ σ και αντικαθιστούμε στην (), οπότε παίρνουμε: 0 0- α = α α = m/s 3 0 β. Η σχέση () δίνει: T σ = Ν 3 Η συνθήκη για να έχομε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι το μέτρο της στατικής τριβής να μη ξεπεράσει το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δηλαδή: Τ σ <μν

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 3 Αντικαθιστώντας στην τελευταία την τιμή της Τ σ που βρίκαμε και Ν=wσυνφ, 0 3 παίρνουμε: < μ0 3 < μ 3 9 γ. Από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας ως επίπεδο U=0, αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε: mgh I m mgh mr m R 4gh 3 R R 4gh gh 0 3 rad rad 0 3R R 3 0, 0 3 s s m m Η ταχύτητα του είναι: R 00, 0 0 s s Το μέτρο της στροφορμής είναι: L=I.ω= mr 0, 0 0 kg.m / s kg.m / s.09. Συμπαγής κύλινδρος μάζας M 3Kg είναι δεμένος στην άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K 00 N m, έτσι ώστε να μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνε- ται από τη σχέση I MR. Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x 0,3m και το αφήνουμε ελεύθερο. Ζητούνται: α. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση της κίνησής του καθώς επιταχύνεται. β. Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους.

3 Λύση α. γ. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους. δ. Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό του. ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος β. K K μετ. περ. / Μυ Μ ω R Kμετ. / Ιω M R K ω περ. γ. K K E K K / Κ x μετ. περ. oλ μετ. περ. () K K 9K K 9 μετ. περ. περ. περ. 3K 9J και K 3J, K 6J περ. περ μετ. δ. Στην Θ.Ι. (): ΣF = 0 Στην Τ.Θ.Τ. ():ΣF = Τ F ελ () Αλλά: Fελ. Τ Μ α T Fελ Μ α (3) Επίσης: Στ Ι α γων Τ R Μ R αγων α T Τ ΜR α (4) R m

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 33 T Οπότε από τις σχέσεις (3), (4) T Fελ Μ Fελ 3T (5) Μ Τελικά από τις σχέσεις (), (5) Άρα το σύστημα εκτελεί α.α.τ. Η περίοδος ταλάντωσης είναι: Fελ ΣF T Fελ ΣF Fελ 3 ΣF /3F ΣF / 3Κx Κ D 3 ελ Μ 3Μ Τ π π T 0,3πs K / 3 K.0. Σε μια μπάλα του μπιλιάρδου με κατάλληλο χτύπημα τη χρονική στιγμή t = 0 προσδίδουμε γωνιακή ταχύτητα ω ο και γραμμική ταχύτητα υ o σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα. α.i. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που εξασκούνται στη μπάλα και να εξηγήσετε σε ποια σημεία πρέπει να γίνει το χτύπημα για να έχουμε την κίνηση του σχήματος. ii. Να περιγράψετε το είδος κίνησης της μπάλας μέχρι να αρχίσει να κυλά. β.i. Να γίνουν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας του κέντρου μάζας της και της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση του χρόνου. (υ =f(t)) και ω=f(t)). ii. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που αρχίζει η μπάλα να κυλά και ο αριθμός των στροφών που πραγματοποιεί μέχρι τότε αν γνωρίζω ότι τελικά η μπάλα κυλά προς τα δεξιά. Οι ποσότητες ω 0, υ 0, Μ, μ, g και I θεωρούνται γνωστές.

34 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση α. Η μπάλα αποκτά ταχύτητα υ 0 λόγω της δύναμης F, οπότε η φορά της F πρέπει να είναι προς τα δεξιά. Η μπάλα αποκτά επίσης και γωνιακή ταχύτητα ω 0. Άρα η δύναμη F θα πρέπει να ασκηθεί κάτω από το κέντρο της για να έχουμε την κατάλληλη γωνιακή επιτάχυνση ώστε να μπορεί να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω 0. Το σημείο Α έχει ταχύτητα με φορά προς τα δεξιά, που δίδεται από τη σχέση υ A =ωr+υ o και τείνει να ολισθήσει. Επομένως στη μπάλα ασκείται τριβή ολίσθησης προς τα αριστερά. Η τριβή ολίσθησης παίζει δύο ρόλους: Επιβραδύνει το κέντρο μάζας της μπάλας, άρα μειώνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας. Λόγω της ροπής της επιβραδύνει τη στροφική κίνηση της μπάλας, άρα μειώνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Ο τροχός θα στρέφεται και θα ολισθαίνει μέχρι τη στιγμή που θα αρχίσει να κυλά. Εκείνη τη στιγμή θα παύσει η εφαρμογή της τριβής ολίσθησης και στη μπάλα δε θα ασκείται καμία δύναμη, οπότε οι ταχύτητες υ και ω παραμένουν σταθερές. β. i. Έχουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με τι τιμές των ω ο και υ o. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η ταχύτητα του κέντρου μάζας, οπότε η τριβή ολίσθησης θα αρχίσει να επιταχύνει τη μπάλα προς τα πίσω και η κύλιση θα γίνεται προς τα αριστερά (ανάποδα φάλτσα). Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται:

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 35 Τη χρονική στιγμή t έχουμε υ =0 και αρχίζει η κίνηση προς τα αριστερά, ενώ τη χρονική στιγμή t αρχίζει η μπάλα να κυλά (υ =ω R). Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η γωνιακή ταχύτητα, οπότε η ροπή της τριβής ολίσθησης αρχίζει να στρέφει τη μπάλα ανάποδα και η κύλιση γίνεται προς τα δεξιά. Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται: Τη χρονική στιγμή t αρχίζει η μπάλα να στρέφεται ανάποδα και τη χρονική στιγμή t αρχίζει κυλά (u =ω R). ii. Λόγω της μεταφορικής κίνησης: T ολ = Μα μμg = Mα α = μg () Για τη ταχύτητα του κέντρου μάζας έχουμε: υ = υo - αt () Λόγω της στροφικής κίνησης: μμgr (3) Στ = Ιαγ ΤολR = Ιαγ μμgr = Ιαγ α γ = Ι Για τη γωνιακή ταχύτητα έχουμε: ω = ωo - αγt (4)

36 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Για να αρχίζει να κυλά πρέπει υ A =0. Άρα έχουμε με τη βοήθεια των σχέσεων (), (), (3) και (4), έχουμε: ω R - υ ο ο γ o ωr = υ (ω - α t )R = (υ - α t ) t = μμgr -μg o Προσοχή! Όσο στρέφεται το σώμα και ολισθαίνει: Ι υ ωr και α αγr O αριθμός των στροφών υπολογίζεται από τη γωνία θ που διαγράφει η μπάλα μέχρι να αρχίσει να κυλά. Έχουμε ότι: θ = ωοt - αγt όπου η α γ δίδεται από τη σχέση (3). Τελικά ο αριθμός των στροφών είναι: θ N = π.. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζα M = 4kg και ακτίνα R = 0. Tη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να ασκείται σταθερού μέτρου δύναμη F = 0Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z z που περνά από το του. α. Να υπολογίσετε: i. τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, ii. τη στροφορμή του τροχού και την ισχύ της δύναμης που τον στρέφει, τη χρονική στιγμή 5s, iii. το έργο της ροπής της δύναμης μετά από χρόνο 5s. β. Τη χρονική στιγμή t = 5s παύει να ενεργεί η δύναμη. Ένα κομμάτι λάσπης μάζας 0,5kg, αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και κολλά πάνω στον τροχό σε απόσταση R / από τον άξονα περιστροφής του τροχού. Να υπολογίσετε:

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Λύση 37 i. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού αμέσως μετά την προσκόλληση της λάσπης σ αυτόν και την κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονική στιγμή 7s. ii. πόσo έργο απαιτείται για να σταματήσει το σύστημα; Δίνεται: η ροπή αδράνειας τροχού ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του I M R. Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές. α.i. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: M R 4 0, I kg m I 80 kg m Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα υπολογίσουμε τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού. F.R 4 Έχουμε: rad/s 50rad / s 80 ii. Η κίνηση του τροχού είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη.επομένως τη χρονική στιγμή 5s η γωνιακή του ταχύτητα είναι: t 50 5rad / s 50rad / s Άρα, η στροφορμή του δίσκου, την ίδια χρονική στιγμή, και ο ρυθμός παραγωγής του έργου (ισχύς της δύναμης) θα είναι: L I 80 50kg m /s L 0kg m /s και η ζητούμενη ισχύς: P 4 50J / s P 000J /s iii. Από το ΘΜΚΕ για τη στροφική κίνηση θα υπολογίσουμε το ζητούμενο έργο: K W W W W 80 50 J W 500 J

38 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος β.i. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα (δεν υ- πάρχει εξωτερική ροπή από τη χρονική στιγμή 5s και μετά): L L L L I ω ω I Μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό,η ροπή αδράνειας του συστήματος γίνεται: I I m R I 80 0,5 0, kg m I 8,5 0 kg m 0 Άρα: rad / s 35rad / s 8,5 0 Από τη χρονική στιγμή 5s και μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό, αφού θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα είναι σταθερή και ίση με ω. Επομένως, τη χρονική στιγμή 7s η κινητική ενέργεια του τροχού λόγω περιστροφής θα είναι: K I 8,5 0 35 J K 347 J ii. Το ζητούμενο έργο θα υπολογιστεί με Θ.Μ.Κ.Ε Κ τελ -Κ αρχ =W 0-347 J=W W=-347 J

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 39.. Μία λεπτή ράβδος μήκους 3m και μάζας m= kg, συγκρατείται σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα (Ο), που είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το ένα άκρο της απόσταση / 3. Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να περιστραφεί. Nα βρείτε: Λύση α. τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το (Ο), β. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν έχει στραφεί κατά 30, καθώς επίσης και τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Β, γ. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, τη στροφορμή της και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της εκείνη τη στιγμή; Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της I m. α. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, βρίσκεται με το θεώρημα Steiner: I I m m m I m kg.m 6 36 9 β. Όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 30 ο με την οριζόντια διεύθυνση, το της έχει κατέβει κατακόρυφα κατά: h 30 m 6 4 Θεωρώντας ως επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30 ο με την οριζόντια διεύθυνση, και εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ, έχουμε: 3 g U αρχ =Κ τελ ή mg I mg m 9 3 g 3 0 rad rad 5 3 s s

30 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος Η γραμμική ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου θα είναι:.3 m m 5 5 3 3 s s γ. Όταν η ράβδος βρεθεί σε κατακόρυφη θέση, το κέντρο μάζας της έχει κατέβει κατά 0,5m 6. Επομένως, από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου, έχουμε: U mg I mg m 6 6 9 g g 0 rad 3 ω 3 3 3 s rad 0 s Η στροφορμή της ράβδου έχει τιμή: L=I.ω = 0 kg.m / s Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι: L 0 t.3. Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματος έχει ακτίνα R=m, μάζα m=kg και βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τη ράβδο ΑΓ και το οριζόντιο επίπεδο, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κυλίνδρου και του επιπέδου καθώς και με τη ράβδο είναι μ=0,5 και η αρχική του γωνιακή ταχύτητα είναι ω 0 =00 rad/s, να υπολογίσετε: α. Τα μέτρα των τριβών που δέχεται ο τροχός και τη γωνιακή επιβράδυνσή του. β. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να περιστρέφεται ο κύλινδρος αφού έρθει σε επαφή με τα δύο επίπεδα. γ. Το πλήθος των περιστροφών του κυλίνδρου από τη στιγμή που α- φήνεται μέχρι να σταματήσει. δ. Τα έργα των τριβών.

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 3 Λύση Δίνονται συνφ=0,8, ημφ=0,6, για τον κύλινδρο Ι = mr, g =0m/ s και δεν κάνει μεταφορική κίνηση. α. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο κύλινδρο είναι: το βάρος του w οι τριβές T, T και οι κάθετες δυνάμεις N, N από το επίπεδο και τη ράβδο αντίστοιχα. Ο κύλινδρος δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση άρα: ΣF x = 0 () ΣF y = 0 () Αναλύουμε τις δυνάμεις N, T σε συνιστώσες. Ν χ =Ν.ημφ (3) και Ν y =N.συνφ (4) Τ y =T.ημφ (5) και Τ χ =Τ.συνφ (6) Από τις σχέσεις () και () με την βοήθεια (3), (4), (5) και (6) έχουμε ότι: Τ χ + Ν χ - Τ =0 Τ.συνφ + Ν.ημφ -Τ =0 Τ y +Ν -w - Ν y =0 Τ.ημφ +Ν - mg - N.συνφ = 0 Από τον νόμο της τριβής (Τ=μ.Ν) παίρνουμε: μ Ν συνφ + Ν ημφ μ Ν =0 και μ Ν ημφ +Ν mg N συνφ = 0 N (μ.συνφ + ημφ) Ν = μ μ.ν ημφ - mg - N συνφ + (7) και N (μ.συνφ + ημφ) μ = 0 μ Ν ημφ - m g μ - Ν μ συνφ+ν ( μ συνφ + ημφ)=0 m.g.μ Ν (μ συνφ+ημφ μ συνφ+μ ημφ) = mgμ Ν = (μ +)ημφ

3 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 40 Με αντικατάσταση παίρνουμε: N = N 3 m.g.μ (μ.συνφ + ημφ) Από τις (7),(6) παίρνουμε: Ν = (μ +)ημφ μ m.g.(μσυνφ + ημφ) Ν = (μ +)ημφ Με αντικατάσταση παίρνουμε: Ν = 80 N 3 Οπότε οι τριβές που ασκούνται στον κύλινδρο από τις επιφάνειες θα είναι: Τ =μ Ν Τ = 40 N και Τ =μ Ν Τ = 0 N 3 3 Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής και λαμβάνοντας υπόψιν ότι οι μόνες δυνάμεις που προκαλούν ροπή είναι οι τριβές, επειδή στις άλλες έχουμε ότι οι φορείς τους διέρχονται από τον άξονα περιστροφής, θα ισχύει: Στ=Ι.α γων Τ.R + T.R = mr α γων Τ + T = mr α γων 40 N + 0 N =kgm. α γων α γων = 0rad/s 3 3 β. Η γωνιακή επιβράδυνση είναι α= 0rad/s, οπότε η εξίσωση της γωνιακής ταχύτητας θα είναι: ω=ω 0 -α γων t 0=00-0. t t=5s γ. Η εξίσωση της γωνιακής θέσης θα είναι: θ=ω 0 t- α. t θ=50 rad Άρα το πλήθος των περιστρoφών είναι: Ν= θ 5 π π δ. W =T R θ= 40 N 3 W =T R θ= 0 N 3. m. 4 50 rad= 0 J 3 m 50 rad= 3 5 0 J 3

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 33 Ασκήσεις για λύση:.89. Η ράβδος (ΑΒ) είναι ομογενής με βάρος μέτρου w = 00N και μήκος (ΑΒ) = m. Δίνονται w = 400 N και (ΑΓ) = m και το σύστημα ισορροπεί. Να βρεθούν οι τάσεις των νημάτων ΒΓ, ΒΔ και η δύναμη στην άρθρωση Α. Απ. 450 Ν, 400Ν, 477 Ν, φ = 39, ο.90. Η ράβδος ΑΓ είναι ομογενής με βάρος w = 30 N και ισορροπεί όπως στο σχήμα: Να υπολογισθούν η τάση του νήματος ΓΔ και η δύναμη στην άρθρωση. Απ. 6 Ν, 5 Ν, φ = 30 ο.9. Η ράβδος ΑΓ είναι ομογενής με βάρος w = 300 N και μήκος (ΑΔ) = m. Αν το όριο για να κοπεί το νήμα ΓΔ είναι 000 Ν, να βρεθεί η μέγιστη δυνατή απόσταση x που σ' αυτή μπορούμε να κρεμάσουμε σώμα βάρους w = 500 N χωρίς να κοπεί το νήμα ΓΔ. Απ. x =,4 m

34 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος.9. Το ομογενές δοκάρι ΑΓ έχει βάρος w = 000 Ν και ισορροπεί δεμένο με σκοινί ΑΚ στο μέσον του Κ όπως στο σχήμα: Αν w = 000N, να βρεθούν οι τάσεις των νημάτων και η αντίδραση στην άρθρωση. Απ. 000Ν, 3535Ν, 550Ν, εφθ = 0,.93. Η δοκός ΓΖ και οι ράβδοι ΓΕ και ΕΔ είναι αβαρείς όπως και το σύρμα ΑΓ. Δίνονται (ΓΕ) = (ΓΔ) = m (ΓΖ) = 0m, w = 000 N. To σύστημα ισορροπεί. Να υπολογισθεί η δύναμη στο σύρμα και στην ράβδο ΓΕ Απ. 00 Ν, 000 Ν

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 35.94. Είναι (ΑΓ) = (ΓΜ) = (ΜΔ) = (ΔΕ) = m. Η ράβδος AE είναι ομογενής με βάρος μέτρου w = 00 Ν. Δίνεται w = 50N Πόσο βάρος w πρέπει να κρεμάσουμε στο Α ώστε να ανατραπεί η ράβδος; Απ. 50 Ν.95. Η δοκός ΑΓ είναι ομογενής με βάρος w = 00Ν και μήκος (ΑΓ) = 0,8 m. Το σχοινί είναι οριζόντιο και αβαρές. Η σφαίρα έχει ακτίνα R = 0, m και βάρος w = 80Ν. Τριβές αμελητέες και το σύστημα ισορροπεί. Να βρείτε: α. Την τάση του νήματος, β. Την αντίδραση της άρθρωσης. Απ. α. 6,5 Ν, β. 96,7, εφθ=,6.96. Η κορυφή του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού εκκλησίας μετατοπίζεται κατά s 5, 7 σε χρόνο t min. Να υπολογίσετε: α. το μήκος του λεπτοδείκτη β. την γραμμική ταχύτητα του μέσου του. Απ: α.,5 m, β.,3 0 3 m.97. Ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου σε κυκλικό στίβο ακτίνας R = 96 m και διαγράφει έναν κύκλο σε 0 s. Αν η διάμετρος των τροχών του είναι d = 60 να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής τους. s Απ: 6 Hz

36 ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος.98. Ένα αυτοκίνητο επιταχύνεται ομαλά από 0 έως Km 80 h σε 6 s. Το αυτοκίνητο έχει τροχούς ακτίνας 30. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση των τροχών; rad Απ:,3 s.99. Η λάμα ενός κυκλικού πριονιού που έχει διάμετρο 0, επιταχύνεται ομαλά από την ηρεμία έως τις 7000 στροφές / min σε, s. α. Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση; β. Να κάνετε την γραφική παράσταση ω ( t ). Τι δείχνει η κλίση της και τι το εμβαδόν της; γ. Πόσες στροφές θα έχει κάνει η λάμα ως την στιγμή που έφθασε αυτή την συχνότητα; rad Απ: α. 60,86, γ. 70 s.00. Όταν σβήνετε το μοτέρ, ένας δίσκος πικάπ που αρχικά περιστρεφόταν με 33,33, εκτελεί 5 περιστροφές μέχρι να σταματήσει. Υπολογίστε την min γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου, θεωρώντας ότι είναι σταθερή. rad Απ: 0,039 s.0. Υποθέστε ότι το μόριο του βρωμιούχου καλίου (KBr) περιστρέφεται ως στερεό σώμα περί το κέντρο μάζας του. Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειάς του ως προς το κέντρο μάζας του αν οι μάζες του Br και του Καλίου είναι αντίστοιχα m 79,9u και m 39,u ενώ οι αποστάσεις τους από το κέντρο μάζας του μορίου είναι αντίστοιχα: R 0,930 m και R,89 0 m. 0 0 7 Δίνεται u,66 0 Kg. 45 Απ: 5,30 Kg m

ΦΥΣΙΚΗ: Μηχανική στερεού σώματος 37.0. Στις κορυφές Α, Β, Γ ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α = m υπάρχουν τρεις ίσες σημειακές μάζες m = Kg για κάθε μια. Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήματος, ως προς άξονα: α. κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου που περνά από το Α β. κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου που περνά από το περίκεντρο γ. που ταυτίζεται με το ύψος του τριγώνου, το οποίο φέρεται από το Α προς την πλευρά ΒΓ. Απ: α. 8 Kg m, β. 4 Kg m, γ. Kg m.03. Ένας τροχός διαμέτρου m περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα αυτόν είναι 5Kgm. Μια σταθερή τάση 0 Ν δημιουργείται με ένα σχοινί, που είναι τυλιγμένο γύρω από την περίμετρο του τροχού, έτσι ώστε αυτός να επιταχύνεται. Αν ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται όταν t = 0, να υπολογίσετε: α. την γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, β. την γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = 3 s γ. το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε στα πρώτα 3 s. rad Απ: α. s, β. rad 6 s, γ. 4,5 m.04. Ένα βάρος 50 Ν είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός ελαφρού νήματος τυλιγμένου σε μια τροχαλία ακτίνας 0,5 m και μάζας 3 Kg. Η τροχαλία είναι ελεύθερη να περιστρέφεται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο ως προς ένα οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Το βάρος αφήνεται ελεύθερο 6 m πάνω από το έδαφος. α. Προσδιορίστε την τάση του νήματος, β. την επιτάχυνση του σώματος, γ. την ταχύτητα που έχει το σώμα όταν φθάνει στο έδαφος. Δίνεται για την τροχαλία: m MR,g 0. s m Απ: α.,54 Ν, β. 7,69, γ. 9,6 m s s