Πυκνωτές και διηλεκτρικά Ιωάννης Γκιάλας 1 Μαρτίου 014
Μεταλλικά σώματα (τυχαίου σχήματος) που συνδέονται με τους πόλους μίας μπαταρίας Φορτίο πυκνωτή = φορτίο ενός οπλισμού Δυναμικό πυκνωτή η διαφορά δυναμικού των οπλισμών Πυκνωτές
Πυκνωτές Φόρτιση πυκνωτή με το χέρι Εμφάνιση ίσου και αντίθετου φορτίου στους δύο οπλισμούς Μπορούμε να προσθέτουμε φορτίο απεριόριστα;
Ορισμός Χωρητικότητα Μονάδα 1Farad=1 C/V Ένας σφαιρικός μονωμένος αγωγός αποτελεί πυκνωτή (σφαιρικό) αν θεωρήσουμε τον άλλο οπλισμό σφαιρικό κέλυφος σε ακτίνα άπειρη kq kq V VR V 0 R R Q Q R Άρα C 4 0R V kq k Ioannis Gkialas, FME Dpt, U Rof the Aegean, C Q V
Μέγεθος Farad Για να έχουμε C=1F, Η σφαίρα πρέπει να έχει ακτίνα C C 4 0R R kc 910 NC m 1F 4 Ποοοοολύ μεγάλη!! 9 0 9 1F 1 C / V 1 C / JC 1J C 1N m C R 910 m 1 1 1 1
Οι οπλισμοί είναι δύο επίπεδες παράλληλες πλάκες με εμβαδόν Α και Φορτίο +Q, -Q Επίπεδοι πυκνωτές d Q d E V Ed 0 0 A 0 Q 0 C V d
Συνδεσμολογία πυκνωτών παράλληλα Ίδια τάση στους οπλισμούς Τι είναι ένας ισοδύναμος πυκνωτής (Ceq, ίδιο V, άθροισμα φορτίων) Q Q Q eq 1 Ceq C1 C eq 1 1 Qeq C V Q C V Q C V
Συνδεσμολογία πυκνωτών σε σειρά Ίδιο φορτίο Τι είναι ο ισοδύναμος πυκνωτής; (Ceq, ίδιο q) Q Q Q V V1 V 1 1 1 C eq C 1 C Ceq C C V V V 1 1
Ενέργεια σε πυκνωτή Αρχίζω από αφόρτιστο πυκνωτή και μεταφέρω ένα στοιχειώδες dq κάθε φορά q dw Vdq dq C V q W U Vdq dq C max 0 0 Q 1 1 U VmaxQ CV C Q max Q C
Πυκνότητα ενέργειας Είναι ο λόγος την αποθηκευμένης ενέργειας προς τον όγκο που καταλαμβάνει το ηλεκτρικό πεδίο Στην ειδική περίπτωση του επίπεδου πυκνωτή έχω 1 CV U u 0 V 1 Ad Ad u u 0E d A C 0 d Η τελευταία σχέση είναι γενικό αποτέλεσμα
Εισαγωγή μεταλλικής πλάκας ανάμεσα στους οπλισμούς Καταλήγουμε με δύο πυκνωτές συνδεδεμένους σε σειρά, ίδια επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ αλλά με πολύ μικρότερα διάκενα d1, d
Εισαγωγή διηλεκτρικής πλάκας ανάμεσασ τους οπλισμούς Μονωτικά υλικά (αέρας, χαρτί, κενό, πλαστικό, τεφλόν, κλπ) Εγκατάσταση εσωτερικού ηλεκτρικού πεδίου λόγω του διηλεκτρικού αντίθετο προς το κύριο Ε=Ε0-Εd
Πολικά και μη πολικά μόρια Τα πολικά έχουν διπολική ροπή, δηλ. η πλεόν πιθανή θέση της πλεόν πιθανής πιθανότητας εύρεσης των αρνητικών φορτίων δεν ταυτίζεται με το κέντρο βάρους των θετικών Σε ηλεκτρικό πεδίο προσανατολίζονται Τα μη πολικά επίσης δεν έχουν διπολική ροπή, όμως προσανατολίζονται εξ επαγωγής όταν βρεθούν μέσα σε ήλεκτρικό πεδίο
Χωρητικότητα πυκνωτή με διηλεκτρικό Φορτισμένος πυκνωτής αλλά όχι συνδεδεμένος (φορτίο Q, δυναμικό V0) Όταν εισάγεται διηλεκτρικό το δυναμικό του μειώνεται (αφού μειώνεται το ηλεκτρικό πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς) V V 0 κ: σχετική διηλεκτρική σταθερά Το φορτίο του παραμένει το ίδιο
Χωρητικότητα πυκνωτή με διηλεκτρικό C Q Για επίπεδο πυκνωτή Q 0 0 V V0 C 0 C Q C 0 0 V d d ε=ε 0 κ όπου ε η διηλεκτρική σταθερά του μέσου
Διηλεκτρικές σταθερές Διηλεκτρική σταθερά του κενού: ε 0 = 8.85410-1 C / Nm Υλικό Σχετική Διηλεκτρική σταθερά κ Αντοχή του διηλεκτρικού (V/m) Κενό 1.000000 3 Χ10 6 Αέρας 1.000599 4 Χ10 6 Χαρτί 3.7 16 Χ10 6 Βακελίτη 4.9 4 Χ10 6 Τεφάλ.1 60 Χ10 6 Έλαιο σιλικόνης.5 15 Χ10 6 Τιτανιούχο στρόντιο 33 8 Χ10 6 Είναι η μέγιστη ένταση πεδίου χωρίς εκκενώσεις
Παράδειγμα Υπολογίστε την ισοδύναμη χωρητικότητα της συνδεσμολογίας C C 36 1 C1 F F C1C 36 C C1 C3 F F 4F
(β) Αν τα άκρα της συνδεσμολογίας συνδεθούν με πηγή 1 V, υπολογίστε την τάση και το φορτίο κάθε πυκνωτή. Αν η συνδεσμολογία συνδεθεί με μπαταρία 1 V ο πυκνωτής C 1 θα είναι σε δυναμικό 1 V και το φορτίο του θα είναι Q1 C1V 4 Cb Ο ισοδύναμος πυκνωτής C 3 βρίσκεται επίσης υπό τάση 1 V και φορτίο Q C3V 48 Cb Ο πυκνωτής C έχει φορτίο 48 μcb και βρίσκεται υπό τάση Q V 8 V C Ομοίως, ο πυκνωτής C 3 έχει φορτίο 48 μcb και βρίσκεται υπό τάση V 3 4V
Εφαρμογή Ένας επίπεδος πυκνωτής έχει τετραγωνικούς οπλισμούς ακμής 0 cm.οι δύο ολισμοί απέχουν 1 mm μεταξύ τους και χωρίζονται από ένα φύλλο χαρτί διηλεκτρικής σταθεράς 3.7. (α) Ποια είναι η χωρητικότητα του; (β) Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο που μπορεί να συγκρατήσει αν το μέγιστο ηλεκτρικό πεδίο που μπορεί να εφαρμοσθεί χωρίς να καταρρεύσει το διηλεκτρικό είναι 16 MV/m. (γ) Ποια είναι η αποθηκευμένη ενέργεια σε αυτή την περίπτωση; (δ) Ποια είναι η πυκνότητα ενέργειας;
(α) Υπάρχει διηλεκτρικό μεταξύ των οπλισμών. Η διηλεκτρική σταθερά που δίνεται είναι καθαρός αριθμός, άρα πρόκειται για τη σχετική διηλεκτρική σταθερά κ (κ=3.7). Η χωρητικότητα έχει αυξηθεί και είναι A -1 0. m 9 C C 0 =3.7 8.854 10 C / N m 1.3110 1.31nF 3 d 10 m N m (β) Στον πυκνωτή μπορεί να εφαρμοσθεί ένα μέγιστο δυναμικό 6V 3 V max Emaxd 1610 10 m 16kV m Το μέγιστο φορτίο που μπορεί να κρατήσει είναι 9 3 6 Qmax CVmax 1.310 F 1610 V 0.810 Cb 0.8 C
(γ) Η αποθηκευμένη ενέργεια 1 9 3 3 U CV 0.5 1.3110 F 1610 V 167.7 10 J (δ) Επειδή έχουμε και διηλεκτρικό η πυκνότητα ενέργειας είναι μεγαλύτερη από ότι χωρίς κατά τον παράγοντα της σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς, κ -1 C 6 V kj 0E 0.5 3.7 8.854 10 16 10 4.19 3 1 u N m m m Για να ελέγξουμε το αποτέλεσμα μπορούμε να πάμε και από τον ορισμό u 3 Αποθηκευμενη ενεργεια 167.7 10 J kj 4.19 Ογκος 0. m 10 m m 3 3
Εφαρμογή Οι οπλισμοί ενός επίπεδου πυκνωτή βρίσκονται σε κενό και σε απόσταση mm μεταξύ τους. Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με 0.047 μc. Το ηλεκτρικό πεδίο ανάμεσα στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι 410 6 V/m. (α) Ποιο είναι το δυναμικό του πυκνωτή; (β) Πόση είναι η χωρητικότητα του; (γ) Πόση είναι η επιφάνεια του κάθε οπλισμού;
(α) (β) 6 3 3 V Ed 410 V / m 10 m 810 V q V 1 C 5.910 F 5.9 pf (γ) A dc 0 13.3cm
Εφαρμογή Ένας επίπεδος πυκνωτής μπορεί να αποθηκεύσει μέγιστη ενέργεια U α αν μεταξύ των οπλισμών του υπάρχει αέρας. Ποια μέγιστη ενέργεια μπορεί να αποθηκεύσει ο πυκνωτής αν αντί για αέρα γεμίσουμε το χώρο μεταξύ των οπλισμών με τεφλόν; Η διηλεκτρική αντοχή του αέρα, δηλαδή το μέγιστο ηλεκτρικό πεδίο που μπορούμε να εφαρμόσουμε χωρίς να καταστραφεί το διηλεκτρικό (ο αέρας) είναι 310 6 V/m. Η σχετική διηλεκτρική σταθερά του τεφλόν και η διηλεκτρική του αντοχή είναι.3 και 6010 6 V/m αντίστοιχα.
Η μέγιστη ενέργεια που μπορεί να αποθηκεύσει ο πυκνωτής μετά την εισαγωγή του διηλεκτρικού είναι U tef. Θα έχουμε 1 U CVmax tef C0 Etef,max d 60.3 90 U 1 a CV C 0 Ea,max d 3 0 0 Άρα με την εισαγωγή του Teflon αυξάνεται η μέγιστη ενέργεια που μπορεί να αποθηκευθεί στον πυκνωτή κατά 90 φορές.
Άσκηση Θεωρείστε επίπεδο πυκνωτή με φορτίο Q και εμβαδόν κάθε οπλισμού Α. Υπολογίστε την δύναμη που ο κάθε οπλισμός ασκεί στον άλλο. Απάντηση: F Q / Έστω x τυχαία απόσταση των οπλισμών Εξ ορισμού το έργο Έργο για φόρτιση πυκνωτη W W 0 d o 1 Fdx CV C 0 x
Ερώτηση Ένας φορτισμένος πυκνωτής με παράλληλους επίπεδους οπλισμούς παραμένει συνδεδεμένος με μία μπαταρία ενόσω εισάγουμε ένα διηλεκτρικό ανάμεσα στους οπλισμού. Πώς θα μεταβληθούν τα C,Q, E, ΔV
Άσκηση: Χωρητικότητα Κυλινδρικού πυκνωτή Κυλινδρικά κελύφη (εσωτ. Ακτίνα α, εξωτερική ακτίνα b, ύψος L, φορτίο Q) E k r b dr b V V E dr k kln r a C b a r a Q Q L V b b k ln kln a a b a
Άσκηση: Χωρητικότητα Σφαιρικού πυκνωτή Σφαιρικά κελύφη (εσωτ. Ακτίνα α, εξωτερική ακτίνα b, φορτίο Q) E kq r b dr 1 1 V V E dr kq kq r b a b a r a 1 1 b a V Vb Va kq kq a b ab Q ab C V k b a b a
άσκηση Επίπεδος πυκνωτής μπορεί να φορτισθεί με φορτίο 3C προτού δημιουργηθεί σπινθήρας, όταν μεταξύ των οπλισμών υπάρχει αέρας. Ποιο είναι το μέγιστο φορτίο αν μεταξύ των οπλισμών τοποθετηθεί (α) γυαλί (κ=5), (β) πολυαιθυλένιο (κ=.3).
Άσκηση Δείτε τον πυκνωτή του σχήματος με τατράγωνους οπλισμούς πλευράς L. Βρείτε μία έκφραση για την χωρητικότητα του πυκνωτή συναρτήσει του L,d, κ1,κ,κ3