Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση των σχετικών σχημάτων και ασκήσεων Φυσική 1
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος 1m, 1sec, 1kg (S.I. - 1960) Ακρίβεια & σημαντικά ψηφεία 8.1 + 0.1 8.1 + 10% 8.1 + 0.81 8.143 + 0.1 8. 043 8. 43 ΒΑΘΜΩΤΑ ΜΕΓΕΘΗ: Αριθμητικές πράξεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ: Γεωμετρικές πράξεις Φυσική
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Απλοποίηση πράξεων με τις συνιστώσες! z A Z A C φ Z A Y y A x x C x = A x + B x C y = A y + B y Φυσική 3
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Τα μοναδιαία διανύσματα ι, j, k, περιγράφουν το χώρο z k j y A A X i A Y j A Z k i x Φυσική 4
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Εσωτερικό γινόμενο A Β A φ AB φ AB =90 o Β AB A B cos AB A B 0 AB A X B X A Y B Y A Z B Z Φυσική 5
ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Εξωτερικό γινόμενο A X Β AB A B sin AB Β φ AB Α B A AB Φυσική 6
Φυσική 7 ΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος Εξωτερικό γινόμενο )] ( ), ( ), ( [ X Y Y X Z X X Z Y Z Z Y B A B A B A B A B A B A AB Z Y X Z Y X B B B A A A k j i B A Β φ AB Α A X Β
ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Ευθύγραμμη κίνηση Μέση Ταχύτητα 0sec 1sec sec 3sec m 4m 3m Μέση Ταχύτητα x - x 1 = = a t - t 1 x t a 9m - 0m = 3 m 3sec- 0 sec s Φυσική 8
Ευθύγραμμη κίνηση Μέση Ταχύτητα x x(t) x x - x 1 = = a t - t 1 x t x 1 t 1 t t Φυσική 9
ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Ευθύγραμμη κίνηση Μέση Ταχύτητα 0sec 1sec sec 3sec a 3 m s m 4m 3m 0sec 1sec sec 3sec a 3 m s 5m m m Η Μέση Ταχύτητα εξαρτάται μόνο από το αρχικό & τελικό σημείο και το Φυσική 10 χρόνο διαδρομής!
Ευθύγραμμη κίνηση Μέση Ταχύτητα x x A (t) x B (t) x Ίδια Μέση Ταχύτητα για τις δύο καμπύλες για τα σημεία (t 1, x 1 ) και (t, x ) x 1 t 1 t t Φυσική 11
Μέση Ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα x x A (t) dx Δx Δx Δx = a t t 0 x dt Δt t Φυσική 1
Ευθύγραμμη κίνηση Στιγμιαία Ταχύτητα x x(t) = x dx lim t 0 t dt t Φυσική 13
Στιγμιαία Ταχύτητα - Παράδειγμα = x dx lim t 0 t dt Φυσική 14
Στιγμιαία Ταχύτητα Παράδειγμα -1 Εξίσωση κίνησης λεοπάρδαλης x(t)=0m+(5m/s )*t Μέση ταχύτητα λεοπάρδαλης μεταξύ 1 και sec; x =0m+(5m/s )*(s) =40m x 1 =0m+(5m/s )*(1s) =5m V 1-sec =(40m-5m)/(s-1s)=15m/s Στιγμιαία ταχύτητα λεοπάρδαλης στα 1 και sec; = dx (10 m / s) t dt V 1s =10 m/s V s =0 m/s Φυσική 15
Ευθύγραμμη κίνηση Μέση Επιτάχυνση t 1 t (t) - 1 a = = a t - t 1 t 1 t 1 t t Φυσική 16
Επιτάχυνση Λειτουργώντας ένα προωθητικό πύραυλο για διάστημα Δt, ο αστροναύτης προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητα ίση με Δ=a*Δt, όπου a η σταθερή επιτάχυνση του πυραύλου Πατώντας σταθερά το γκάζι για διάστημα Δt, ο πιλότος της F1 προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητα ίση με Δ=a*Δt, όπου a η σταθερή επιτάχυνση του αυτοκινήτου Φυσική 17
Ευθύγραμμη κίνηση Στιγμιαία Επιτάχυνση (t) a= d lim t 0 t dt t d dx d x a= dt dt dt Φυσική 18
Στιγμιαία Επιτάχυνση - Παράδειγμα a= lim t 0 Φυσική 19 d d x t dt dt
Στιγμιαία Ταχύτητα και Επιτάχυνση - Παράδειγμα d x dx a= dt = dt x = 50m + (10m/s)t + (1m/s )t - (1/60 m/s 3 )t 3 = dx/dt =10m/s + (m/s )t - (1/0 m/s 3 )t a = d x/dt = m/s - (1/10 m/s 3 )t Φυσική 0
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; a = d lim. aa t dt t 0-1 a = = a t - t 1 t Πατώντας σταθερά το γκάζι για διάστημα Δt, ο πιλότος της F1 προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητα ίση με Δ=a*Δt, όπου a η σταθερή επιτάχυνση του αυτοκινήτου - 0 a = at a t- 0 Φυσική 1 0
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; - 0 a = at a t- 0 0 (t) at 0 0 Φυσική t
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; dx at at dx 0 0 dt 0 0 x( t) dt ( at) dt dt a tdt dt 1 x() t t at c 0 1 x() t x t at 0 0 x( t 0) x c Φυσική 3 0
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; a. Απαλείφοντας το t: at 0 0 0 a( x x ) Απαλείφοντας το a: x x 0 t 0 x 1 x x t at 0 0 Εξίσωση παραβολής Φυσική 4 t
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Παράδειγμα: Ελεύθερη πτώση Όλα τα σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση κατά την ελεύθερή τους πτώση (Γαλιλαίος) για πτώση μικρή σε σχέση με την ακτίνα της Γης θεωρώντας μηδενική αντίσταση του αέρα a g 9.8 m/ s g 1.6 m/ s g 74 m/ s Φυσική 5
Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Παράδειγμα: Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο a g 9.81 m/ s gt 0 1 x x t gt 0 0 Φυσική 6
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + Παράδειγμα -7 Πετάμε μία μπάλα προς τα πάνω με 0 =15m/s. H μπάλα ξαναπέφτει παράλληλα με το κτίριο. Α) Πού είναι η μπάλα 1s και 4s μετά τη ρίψη; Β) Τι ταχύτητα έχει η μπάλα 5m πάνω από το κτίριο; Γ) Πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα; - Προσοχή στον καθορισμό της + και διεύθυνσης του άξονα (αυθαίρετη επιλογή) Φυσική 7
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + gt 0-1 x x t gt 0 0 - Ο καθορισμός της + και διεύθυνσης του άξονα επηρρεάζει το πρόσημο όλων των ποσοτήτων (x,, a) σε όλες τις σχέσεις Φυσική 8
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο y 0 =? =0m V 0 =? =15m/s a=? a=g=-9.8m/s + - gt 15 9.8 t 0 y y t 1 gt 0 0 y 15t 4.9t - a y y 0 0 ( ) 5 19.6 y Φυσική 9
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + Πού είναι η μπάλα 1s και 4s μετά τη ρίψη; y 15t 4.9t - y y 1s 4s 15 *1 4.9 *1 10.1m 15 * 4 4.9 * 4 18.4m Φυσική 30
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + Τι ταχύτητα έχει η μπάλα 5m πάνω από το κτίριο; a y y 0 0 ( ) 5 19.6 y - 5m 5 19.6 * 5 11.7 m / s Φυσική 31
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + Πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα; Στο ψηλότερο σημείο =0m/s! 5 19.6 y - 0 5 19.6 y y max max 5 11.48m 19.6 Φυσική 3
Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο + - Φυσική 33
Μετάθεση και ταχύτητα από ολοκλήρωση dx x() t dx dt dt 1 dt t t t dx x x dx dt dt dt t1 t1 t1 t t x x dt x x dt 0 0 0 t 0 0 adt 0 Δx Φυσική 34
0 ΤΑΧΥΤΗΤΑ-ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στιγμιαία Ταχύτητα και Επιτάχυνση - Παράδειγμα adt t a = d x/dt = m/s - (1/10 m/s 3 )t 0 =10m/sec x 0 =50m 0 t t 0 10 ( 0.1 ) adt t dt 0 0 1 (t=0s) t 0.1 t 10 [ t] 0 [ t ] 10 ( t 0) 0.05( t 0 ) 0 10 m / s ( m / s ) t ( m / s t 0 ) 3 Φυσική 35
Στιγμιαία Ταχύτητα και Επιτάχυνση - Παράδειγμα x x dt 0 t 0 = dx/dt = (m/s )t - (1/0 m/s 3 )t x 0 =50m t t 50 ( 0. ) 0 x x dt t t dt 0 0 t 0.1 3 t x 50 [ t ] 0 [ t ] 0 * 3 1 x 50 m (1 m / s ) t ( m / s t 60 ) 3 3 Φυσική 36
Σχετική Ταχύτητα x P/A = x P/B + x B/A Τα διαφορικά δίνουν: dx P/A = dx P/B + dx B/A Ανάγκη εισαγωγής του συστήματος αναφοράς! Η διαίρεση με Δt δίνει: P/A = P/B + B/A Φυσική 37
Άσκηση - Σεληνάκατος κατεβαίνει ελεγχόμενα λόγω της προωθητικής μηχανής. Σε ύψος 5m έχει ταχύτητα m/s προς τα κάτω και ο πιλότος σβήνει τη μηχανή. Με τι ταχύτητα ακουμπάει στο έδαφος; (g ΣΕΛΗΝΗΣ =1.6m/s ) Η πιο εύκολη λύση είναι με τη σχέση: a x x 0 0 ( ) a g m s x x m 1.6 / 5 0 *1.6 *5 0 4.47 m / s Φυσική 38
Άσκηση -8 Αερόστατο θερμού αέρα ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα 5m/s. Στα 40m ο χειριστής πετάει ένα σακί άμμο. Α) Τι θέση και ταχύτητα θα έχει το σακί 0.5 και s μετά; Β) Πότε θα χτυπήσει το σακί το έδαφος και με ποια ταχύτητα; + Πρώτο βήμα ο καθορισμός (αυθαίρετα) της θετικής διεύθυνσης π.χ. Απαραίτητο είναι να γνωρίζουμε από πού μετράμε αποστάσεις, π.χ. από το έδαφος Με βάση τα παραπάνω, το σακί έχει αρχική ταχύτητα και θέση: - 0 = 5m/s x 0 =40m Φυσική 39
0 = 5m/s x 0 =40m gt 0 1 x x t gt 0 0 Το g επιβάλλεται γιατί η βαρύτητα είναι αντίθετη με τη θετική διεύθυνση που επιλέξαμε 0.5s 5 9.8* 0.5 s 0. m / s 1 x0.5s 40 5 * 0.5 9.8 * 0.5 41.8m s 5 9.8* s 14.6 m / s 1 xs 40 5 * 9.8 * 30.4m + - Φυσική 40 g
gt 0 1 x x t gt 0 0 Στο έδαφος x=0m, οπότε: 0m 40 5 * t 1 9.8 * t 0 = 5m/s x 0 =40m + t 5 5 4( 9.8)40 1 1 ( 9.8) 3.41s - g 5 9.8* 3.41 8.4 m / s Φυσική 41
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις Που είμαστε στο χώρο; Στο σημείο (x, y, z)!!! Διάνυσμα θέσης r xi y j zk r ( x, y, z ) Φυσική 4
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις Μέση Ταχύτητα a - 1 = = t - t r r Δr 1 t Δr = lim t 0 t dr dt Φυσική 43
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις y Δr r = lim t 0 Δr t dr Δr Δr Δr x dr dt Φυσική 44
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις dr dt r xi y j zk dx dy dz i j k dt dt dt dx dy dz x y z dt dt dt Φυσική 45
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις dx dy dz dt dt dt π.χ. σε διαστάσεις dx dy i j dt dt dx dy dt dt Φυσική 46
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις x r y Παράδειγμα 3-1 x=x(t)=3+t y=y(t)=10t+0.5t 3 Που είναι το αυτοκίνητο για t=s; x=3+* =11m y=10*+0.5* 3 =m r s (11 m) i ( m) j Ποια η μετατόπιση του αυτοκίνητου και η μέση ταχύτητα από t=0s ως t=s; 3 r x i y j (3 t ) i (10t 0.5 t ) j r 0s 3 i 0 j r s 11 i j 0 s a = r - r 1 t - t 1 (4 m / s) i (11 m / s) j Φυσική 47
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις x 3 r (3 t ) i (10t 0.5 t ) j r y Ποια η στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκίνητου και πόση είναι στα t=s; = dr dt (4 t) i (10 0.75 t ) j s = (4 * ) i (10 0.75 * ) j = 8 i 13 j s 8 13 15 m/ s Φυσική 48
Μετάθεση-Ταχύτητα στις 3 διαστάσεις x r y 3 r (3 t ) i (10t 0.5 t ) j = (4 t) i(10 0.75 t ) j r r r Φυσική 49
Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις a a - 1 = = t - t Δ 1 t a Δ = lim t 0 t d dt Φυσική 50
Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις y t 0 a a 1 d a = a lim t 0 d dt Δ t x Φυσική 51
a ΤΑΧΥΤΗΤΑ-ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις d d dt d dr dr dt d a x y z a i j k dt dt dt dt r xi y j zk d x d y d z a i j k dt dt dt d x d y d z a a a x y z dt dt dt Φυσική 5
Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις x y Παράδειγμα 3- x=3+t y=10t+0.5t 3 3 r (3 t ) i (10t 0.5 t ) j r d d x y a i j 4 i 1.5t j dt dt a s (4 m / s ) i (3 m / s ) j = (4 t) i(10 0.75 t ) j Ποια η στιγμιαία επιτάχυνση για t=s; a s 4 3 5 m / Φυσική 53 s
Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις x r y a 3 r (3 t ) i (10t 0.5 t ) j = (4 t) i(10 0.75 t ) j a a 4 i 1.5t j a Φυσική 54
Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις s = (8 m / s ) i (13 m / s ) j 13 tan( ) = 58 8 a s (4 m / s ) i (3 m / s ) j 3 tan( ) = 37 4 Φυσική 55
Σχέση Ταχύτητας-Επιτάχυνσης a Η επιτάχυνση (κάθε χρονική στιγμή) αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη. a a a a Η παράλληλη επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το μέτρο της ταχύτητας Η κάθετη επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας, δηλαδή: d 0 Φυσική 56 dt ενώ a d dt 0
Ομαλή κυκλική κίνηση Ομαλή Κυκλική κίνηση Η κίνηση γίνεται πάνω σε ένα κύκλο Η ταχύτητα έχει σταθερό μέτρο 1 Τρίγωνα Op 1 p και OP 1 P όμοια, άρα: Δ 1 s R a a Δ s t R t Φυσική 57
a ΤΑΧΥΤΗΤΑ-ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Ομαλή κυκλική κίνηση a a Δ s t R t s lim a rad R t 0 t R R a rad Δ Κεντρομόλος Επιτάχυνση Δ Φυσική 58
Ομαλή κυκλική κίνηση a rad R R T fr R 4 a 4 f R R rad R Φυσική 59
Ομαλή κυκλική κίνηση Παράδειγμα 3-9 Σε ένα λούνα-παρκ, οι αναβάτες σε οριζόντιο τροχό ακτίνας 5m, κάνουν ένα γύρο σε 4s. Τι ταχύτητα και επιτάχυνση έχουν; 5 4 7, 9 m/ s R T a rad 4 R 4 5 a 1 m / s 1.g rad 4 Φυσική 60
Σχέση Ταχύτητας-Επιτάχυνσης a a a a a a rad R Η κάθετη (ακτινική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας R a a tan a Φυσική 61 d dt Η παράλληλη (εφαπτομενική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το μέτρο της ταχύτητας
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μέση Στιγμιαία Ταχύτητα-Επιτάχυνση σε 1 διάσταση x - x 1 = = a t - t 1 x t = dx dt - 1 a = = a t - t 1 t a= d dt d x dt Κίνηση σε 1 διάσταση με σταθερή Επιτάχυνση Τι μορφή έχει; a. a x x 0 0 at ( ) 0 1 x x t at 0 0 0 x x t 0 Φυσική 6
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Κίνηση με σταθερή Επιτάχυνση Παράδειγμα: Κίνηση μέσα στο βαρυτικό πεδίο a g m s gt 9.81 / 0 1 x x t gt 0 0 Μετάθεση και Ταχύτητα από ολοκλήρωση Δx = a Δt x x dt 0 t 0 adt t 0 0 Φυσική 63
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Σχετική Ταχύτητα Σύστημα αναφοράς x P/A = x P/B + x B/A P/A = P/B + B/A Φυσική 64
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις Διάνυσμα θέσης r x i y j z k r ( x, y, z ) y Δr r = lim Δr dr t 0 t dt dx dy dz i j k dt dt dt Δr Δr dr Δr Φυσική 65 x
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος a Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις = lim Δ d t 0 t dt y t 0 a a r Δ d d x d y d z a i j k dt dt dt 1 x Φυσική 66
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Μετάθεση Ταχύτητα - Επιτάχυνση στις 3 διαστάσεις r a r a r a Φυσική 67
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Ομαλή κυκλική κίνηση R fr T R 4 a 4 f R R rad R Φυσική 68
ΣΥΝΟΨΗ ου Μαθήματος Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης Ακτινική & Εφαπτομενική a a a a a a rad 4 R Η κάθετη (ακτινική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας R a a tan a Φυσική 69 d dt Η παράλληλη (εφαπτομενική) επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το μέτρο της ταχύτητας
Προτεινόμενες Ασκήσεις ου Μαθήματος Η Γή έχει μέση ακτίνα περιστροφής 1.49*10 11 m. Αν θεωρήσουμε ότι η τροχιά είναι κυκλική, πόση είναι η ταχύτητα περιστροφής και πόση είναι η ακτινική επιτάχυνση σε σχέση με τον Ήλιο. Φυσική 70
Προτεινόμενες Ασκήσεις ου Μαθήματος Άσκηση 3-33 Ένα πουλί πετάει στο επίπεδο xy με διάνυσμα ταχύτητας: = (a-bt ) i + ct j όπου a=.1m/s, b=3.6m/s 3 και c=5m/s και η θετική κατεύθυνση του άξονα y είναι κατακόρυφα προς τα πάνω. Αν το πουλί είναι στην αρχή των αξόνων για t=0 να βρεθούν τα διανύσματα θέσης και επιτάχυνσης σαν συνάρτηση του χρόνου Φυσική 71