Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού

Εφαρμογές Γραμμικού Προγραμματισμού Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής Τηλ. & Φαξ: 25210 60435 E-mail: vkazana@teikav.edu.gr Διαλέξεις Εργαστηρίου Δασικής Διαχειριστικής ΙI

Πως χρησιμοποιείται ο Γραμμικός Προγραμματισμός για το σχεδιασμό των καρπώσεων Δασικών Οικοσυστημάτων; Χρησιμοποιείται στην κλασική τους μορφή και με παραλλαγές ως βάση πολυκριτηριακών μεθόδων ανάλυσης Παράδειγμα σχεδιασμού καρπώσεων ξύλου είναι τα κλασικά μοντέλα των Curtis(1962) και Loucks(1964) που έχουν μόνο εκπαιδευτικό χαρακτήρα αφού απλοποιούν αρκετά τις πραγματικές παραδοχές διαχείρισης των δασικών οικοσυστημάτων

1ο Παράδειγμα Εφαρμογής Αναγωγή πρεμνοφυούς δάσους σε δάσος κωνοφόρων (Μοντέλο Curtis,, 1962)

Δεδομένα: Δάσος με 2 Τμήματα αειφύλλων πλατυφύλλων χαμηλής παραγωγικότητας Η έκταση του Τμήματος 1 είναι 120 Ha και του Τμήματος 2 180 Ha (το τμήμα 2 εκτιμάται ότι έχει καλύτερη παραγωγικότητα από Τμήμα 1) Η διαχείριση επιδιώκει να μετατραπεί όλη η έκταση σε δάσος κωνοφόρων μέσα σε 15 έτη. Στο τέλος της περιόδου το δάσος πρέπει να γίνει κανονικό με περίτροπο χρόνο 15 έτη (δηλαδή 1/3 του δάσους 0-5 έτη, 1/3 του δάσους 6-10 έτη και 1/3 του δάσους 11-15 έτη)

Στόχος της διαχείρισης Μεγιστοποίηση του παραγόμενου όγκου στη διάρκεια της περιόδου αναγωγής. Δεν πρέπει να κοπούν κωνοφόρα πριν γίνουν 15 ετών. Το μοντέλο διαχείρισης Η δομή του μοντέλου διαχείρισης με ΓΠ από τεχνικής άποψης περιλαμβάνει μεταβλητές απόφασης, περιορισμούς και την αντικειμενική συνάρτηση.

Μεταβλητές απόφασης Έστω Χij η επιφάνεια που υλοτομείται από το τμήμα i την περίοδο j (i,j ακέραιοι δείκτες) Στο παράδειγμα, i = 1 ή 2 (έχουμε μόνο 2 τμήματα) και j= = 1, 2 ή 3 (ανάλογα με το αν η υλοτομία γίνεται την 1η 5ετία, ή την 2η ή την 3η. Δηλαδή: για το Τμήμα 1 οι δυνατές μεταβλητές απόφασης είναι Χ 1,1, Χ 1,2, Χ 1,3 για το Τμήμα 2 Χ 2,1, Χ 2,2, Χ 2,3

Περιορισμοί 1ος τύπος περιορισμών: Ανεξάρτητα από το ποια μεταβλητή θα επιλεγεί, όλο το δάσος πρέπει να έχει υλοτομηθεί μία φορά στη διάρκεια του διαχειριστικού σχεδίου Έτσι : Τμήμα 1: Χ 1,1 + Χ 1,2 + Χ 1,3 = 120 ha Τμήμα 2: Χ 2,1 + Χ 2,2 + Χ 2,3 = 180 ha

2ος τύπος περιορισμών Το σχέδιο των καρπώσεων πρέπει να είναι τέτοιο που να οδηγεί στο κανονικό δάσος στο τέλος του 15ετούς σχεδίου διαχείρισης. Δηλαδή 1/3 του δάσους πρέπει να υλοτομείται κάθε 5 χρόνια και να φυτεύεται με κωνοφόρα. Για τις μεταβλητές απόφασης αυτό σημαίνει Χ 1,1 + Χ 2,1 = Αυτή η περιοχή υλοτομείται την 1η 5ετία και θα καλυφθεί με δένδρα 11-15 15 ετών στο τέλος της περιόδου αναγωγής. Όμοια, 180 + 120 3 = 100ha 2η 5ετία Χ 1,2 + Χ 2,2 = 3η 5ετία Χ 1,3 + Χ 2,3 = 100ha 100ha

Αντικειμενική συνάρτηση Η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να εκφράζει την ποσότητα που υλοτομείταιωςπροςτιςμεταβλητέςαπόφασηςχij Έστω ότι η δασική απογραφή έδωσε τα παρακάτω δεδομένα Τμήμα Τόννος / ha A/A Επιφάνεια(Ha) Περίοδος Ι Περίοδος ΙΙ Περίοδος ΙΙΙ 1 120 16 23 33 2 180 24 32 45

Η Αντικειμενική Συνάρτηση διαμορφώνεται ως εξής: Z= = 16Χ 1,1 + 23Χ 1,2 + 33Χ 1,3 + 24Χ 2,1 +32Χ 2,2 + 45Χ 2,3 τόννους όπου: 16 16Χ 1,1 1,1 + 23Χ 1,2 + 33Χ 1,3 τόννοι πρεμνοφυούς ξύλου που υλοτομείται από το 1ο Τμήμα 24Χ 2,1 +32Χ 2,2 + 45Χ 2,3 τόννοι πρεμνοφυούς ξύλου που υλοτομείται από το 2ο Τμήμα Συνολικά μαθηματικά το μοντέλο έχει ως εξής: max z= 16Χ 1,1 + 23Χ 1,2 + 33Χ 1,3 + 24Χ 2,1 έτσι ώστε +32Χ 2,2 + 45Χ 2,3 2,1 +32 Χ 1,1 + Χ 1,2 + Χ 1,3 =120 Χ 2,1 + Χ 2,2 + Χ 2,3 =180 Χ 1,1 +Χ 2,1 =100 Χ 1,Χ 2 >=0 Χ 1,2 +Χ 2,2 =100 Χ1,3 +Χ 2,3 =100

Συντελεστές μοντέλου ΓΠ αναγωγής πρεμνοφυούς δάσους σε κωνοφώρων Χ 1,1 Χ 1,2 Χ 1,3 Χ 2,1 Χ 2,2 Χ 2,3 Ζ 16 23 33 24 32 45 ΤΜ1 1 1 1 =120 ΤΜ2 1 1 1 =180 ΚΛΗ1 1 1 =100 ΚΛΗ2 1 1 =100 ΚΛΗ3 1 1 =100 (Τμ: Τμήμα, ΚΛΗ: Κλάση ηλικίας)

ΛΥΣΗ Σχέδιο καρπώσεων που μεγιστοποιεί την παραγωγή: στοιχεία επιφάνειας Ha / περίοδο Τμήμα 1 2 3 Συνολική επιφάνεια 1 100 20 0 120 2 0 80 100 180 ΣΥΝΟΛΟ 100 100 100 300 Σχέδιο καρπώσεων που μεγιστοποιεί την παραγωγή: στοιχεία όγκου Τόννοι/ περίοδο Τμήμα 1 2 3 Συνολικοί Τόννοι 1 1600 460 0 2060 2 0 2560 4500 7060 ΣΥΝΟΛΟ 1600 3020 4500 9120

Γενικευμένη διατύπωση μοντέλου Έστω m αριθμός αρχικών τμημάτων p αριθμός περιόδων xij επιφάνεια που υλοτομείται από το τμήμα i την περίοδο j Το πλήρες σύνολο μεταβλητών απόφασης mxn είναι: Χ11, Χ12, Χ1p,Χ21, Χ22, Χ2p, Χm2, Χmp (>=0) ai A cij έτσι ώστε: max η έκταση του τμήματος i η έκταση όλου του δάσους πόσο αυξάνεται η αντικειμενική συνάρτηση αν υλοτομηθεί 1 ha από το Τμήμα i στην περίοδο j(πχ Τόννοι ξύλου/ ha) m z = C X ij p i= 1 j= 1 ij p X ij = i =1 a i i= 1,,m Η επιφάνεια που υλοτομείται στη διάρκεια της περιόδου σχεδιασμού από κάθε τμήμα είναι ίση με την έκταση του τμήματος m X ij = i =1 y i j= 1,,p πόση επιφάνεια πρέπει να υλοτομείται σε κάθε περίοδο

Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Το απλό μοντέλο ΓΠ για ομήλικα δάση είναι χρήσιμο όταν πρέπει να αποφασιστεί εκ των προτέρων ποια επιφάνεια του δάσους θα υλοτομηθεί περιοδικά στην διάρκεια του σχεδίου που καταστρώνεται. Η άριστη λύση θα δώσει το χώρο και το χρόνο των υλοτομιών που οδηγούν στη μέγιστη παραγωγή.. (πχ( το μοντέλο είναι κατάλληλο αν ο στόχος του κανονικού δάσους που πρέπει να δημιουργηθεί στο τέλος του περίτροπου χρόνου είναι σημαντικός) Ένας άλλος περιορισμός του μοντέλου είναι ότι όταν υλοτομηθεί μια επιφάνεια τμήματος, η φυτεία που δημιουργείται δεν θα υπολογιστεί για υλοτομία σε όλη την διάρκεια του χρονικού ορίζοντα του σχεδίου. Αυτό είναι κατάλληλο όταν η περίοδος σχεδιασμού δεν είναι πολύ μεγάλη και σήμερα όχι μεγαλύτερη από τον επιθυμητό περίτροπο χρόνο του κανονικού δάσους.

Γραμμικός Προγραμματισμός για διαχείριση ξύλου με βάση την επιφάνεια και τον όγκο Θα χρησιμοποιήσουμε με κάποιες τροποποιήσεις το Μοντέλο Loucks (1964) Έχει επίσης εκπαιδευτικό χαρακτήρα ως προς την αρχική κατάσταση του δάσους, δηλαδή ίδιο με το μοντέλο Curtis (1962). Η αρχική κατάσταση του δάσους παριστάνεται με τον ίδιο τρόπο. Το δάσος διαιρείται σε τμήματα, οι μεταβλητές απόφασης είναι ίδιες, δηλαδή αφορούν την επιφάνεια που θα υλοτομηθεί από κάθε τμήμα σε διαφορετικές περιόδους του διαχειριστικού σχεδίου. Εκείνο που διαφοροποιείται είναι οι περιορισμοί κανονικότητας του δάσους. Στο μοντέλο του Curtis κάθε περίοδος αφορά ένα περιορισμένο τμήμα της δασικής επιφάνειας για υλοτομία. Ο Loucks αντίθετα με τους περιορισμούς κανονικότητας 1) Προσπαθεί να εξασφαλίσει ότι η ποσότητα του ξύλου που απομακρύνεται δεν ξεπερνά την μακροπρόθεσμα δυνατή παραγόμενη. Γι αυτό χρησιμοποιεί τις κλασικές διαχειριστικές έννοιες ελέγχου επιφάνειας και όγκου. 2) Μια άλλη διαφορά του μοντέλου αφορά την περιοδική παραγωγή του δάσους στη διάρκεια του διαχειριστικού σχεδίου. Δηλαδή σταθερές κατά το δυνατόν περιοδικές καρπώσεις.

Προκαταρτικοί ορισμοί Οι Μέθοδοι ελέγχου επιφάνειας και όγκου βασίζονται στην έννοια του κανονικού ομήλικου αειφορικού δάσους Ως Κανονικό ομήλικο αειφορικό δάσος ορίζεται το δάσος στο οποίο υπάρχει Κανονική αναλογία ηλικιών. Δηλαδή αν Α συμβολίσουμε την έκταση του δάσους, με r τις ίσης έκτασης επιφάνειες, τότε κάθε ηλικία καταλαμβάνει έκταση A/r Δηλαδή, Έκταση Κλάσεις ηλικίας Α/r 0-1 Α/r 1-2 Α/r 2-3 Κάθε έτος υλοτομείται η μεγαλύτερη κλάση ηλικίας r Α/r (r-1) -r Έστω Vr ο όγκος ξύλου μεγαλύτερης κλάσης ηλικίας / ha (m3/ 3/ha). Αυτή ονομάζεται περίτροπος χρόνος

Στο κανονικό δάσος η ετήσια παραγωγή θα είναι A Q = r r V r Όπου Q r μετράται ως m3/ έτος, A/r ha/έτος έτος, V r m3/ 3/ha Μ αυτό τον τύπο είναι εύκολο να προσδιορίσουμε τον άριστο περίτροπο χρόνο ή τον περίτροπο χρόνο που μεγιστοποιεί την ετήσια παραγωγή ξύλου, δηλαδή: r* είναι η τιμή του r για την οποία Vr/r γίνεται μέγιστος ή ο άριστος περίτροπος χρόνος είναι ίσος με την ηλικία της συστάδας όταν η μέση ετήσια προσαύξηση γίνεται μέγιστος.

2ο Παράδειγμα Εφαρμογής Αριστοποίηση λήμματος δάσους κωνοφόρων

Δεδομένα: Δάσος κωνοφόρων 500ha Το δάσος αποτελείται από 2 κλάσεις ηλικίας η μία 21-25 25 ετών με έκταση 200 ha και η άλλη 41-45 45 ετών με έκταση 300 ha. Ο σκοπός της διαχείρισης Η μεγιστοποίηση παραγόμενου όγκου στα επόμενα 15 έτη και το ποσοστό αύξησης ανά 5ετία είναι 10%. Από δασοκομικής άποψης είναι ομήλικο και διαχειρίζεται με αποψιλωτική υλοτομία και τεχνητή αναγέννηση. Να χρησιμοποιηθεί η Μέθοδος ελέγχου επιφάνειας και η Μέθοδος ελέγχου όγκου

Μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού Μεταβλητές απόφασης Οι μεταβλητές απόφασης που προσδιορίζουν το σχέδιο μελλοντικών καρπώσεων είναι οι επιφάνειες κάθε τμήματος που πρέπει να υλοτομούνται σε κάθε περίοδο του σχεδίου, δηλ. στην εφαρμογή Χ 11 Χ 12 Χ 13 Χ 21 Χ 22 Χ 23 Ο πρώτος δείκτης αφορά το τμήμα και ο δεύτερος αφορά την περίοδο Αντικειμενική Συνάρτηση Όγκος (m 3 /ha) Τμήμα Περίοδος Ι Περίοδος ΙΙ Περίοδος ΙΙΙ 1 1,2 2,3 2,5 2 3,1 3,2 3,5 Η αντικειμενική συνάρτηση είναι λοιπόν: max z= 1,2 Χ 11 + 2,3Χ 12 +2,5Χ 13 + 3,1Χ 21 + 3,2Χ 22 + 3,5Χ 23

Περιορισμοί διαθεσιμότητας έκτασης (land availability) Η επιφάνεια που θα υλοτομηθεί δεν μπορεί να ξεπερνά την έκταση του τμήματος Χ 11 + Χ 12 + Χ 13 <=200ha (1ο Τμήμα) Χ 21 + Χ 22 + Χ 23 <=300ha (2ο Τμήμα) Περιορισμοί διασφάλισης προσαύξησης (Timber flow) Το ποσό του ξύλου που παράγεται πρέπει να αυξάνεται κανονικά τουλάχιστο 10% κάθε 5 έτη. Έστω: V 1, V 2, V 3 ο όγκος που υλοτομείται στην 1η,, 2η2 και 3η 5ετία Τότε: V 2 = 1,1V 1 V 3 =1,1V 2 V1, V2, V3 ως συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης είναι: V 1 = 1,2 Χ 11 + 3,1 Χ 21 V 2 = 2,3 Χ 12 + 3,2 Χ 22 V 3 = 2,5 Χ 13 + 3,5 Χ 23

Συνολικά οι περιορισμοί προσαύξησης είναι: 2,3 Χ12 + 3,2 Χ22 = 1,1(1,2 Χ11 + 3,1 Χ21) 2,5 Χ13 + 3,5 Χ23 = 1,1(2,3 Χ12 + 3,2 Χ22) 2,3 Χ12 +3,2 Χ22-1,3Χ1111-3,4 Χ21=0 2,5 Χ13 + 3,5 Χ23-2,5 Χ12-3,5 Χ22=0

Περιορισμός ελέγχου επιφάνειας (Area control) Με την προσέγγιση ελέγχου επιφάνειας μόνο U/r από ολόκληρο το δάσος μπορεί να υλοτομηθεί στην διάρκεια του διαχειριστικού σχεδίου, όπου r περίτροπος χρόνος. Στην παραπάνω εφαρμογή U=15 έτη. Εφόσον θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τον όγκο που παράγεται, η καταλληλότερη ηλικία είναι εκείνη όπου μεγιστοποιείται η μέση ετήσια προσαύξηση, έστω εδώ 30 έτη επομένως το μέγιστο που μπορεί να υλοτομηθεί είναι: 500 Χ (15/30)= 250 ha Άρα, Χ 11 + Χ 12 + Χ 13 + Χ 21 + Χ 22 + Χ 23 <=250ha

Περιορισμός ελέγχου όγκου (Volume control) Αν χρησιμοποιήσουμε αντί για έλεγχο επιφάνειας, έλεγχο όγκου το πολύ 1/30 του ιστάμενου όγκου μπορεί να υλοτομηθεί στη διάρκεια κάθε έτος του σχεδίου, που είναι το μισό του όγκου σε 15 έτη. Ο Loucks προτείνει μια διόρθωση επειδή ο ιστάμενος όγκος θα αυξάνεται στη διάρκεια των 15 ετών (προοδευτικά ελαττούμενη αύξηση), δηλαδή χρησιμοποιεί τον μέσο αναμενόμενο όγκο σε κάθε 5ετία. Έτσι, [( 1.2 200+ 3.1 300) + ( 2.3 200+ 3.2 300) + ( 2.5 200+ 3.5 300) ] 3 = 1380m Ο μέγιστος όγκος που μπορεί να υλοτομηθεί στη διάρκεια των 15 ετών με τη μέθοδο ελέγχου όγκου είναι (15/30)1380= 690 m3 3

Ο περιορισμός παίρνει την εξής μορφή: 1,2 Χ 11 + 2,3Χ 12 +2,5Χ 13 + 3,1Χ 21 + 3,2Χ 22 + 3,5Χ 23 <=690 Γενικά το μοντέλο Γ.Π. της εφαρμογής είναι max z= 1,2 Χ 11 + 2,3Χ 12 +2,5Χ 13 + 3,1Χ 21 + 3,2Χ 22 + 3,5Χ 23 έτσι ώστε Χ 11 + Χ 12 + Χ 13 <=200 Χ 21 + Χ 22 + Χ 23 <=300 Περιορισμός διαθεσιμότητας δασικής έκτασης 2,3 Χ 12 +3,2 Χ 22-1,3Χ 11-3,4 Χ 21 =0 2,5 Χ 13 + 3,5 Χ 23-2,5 Χ 12-3,5 Χ 22 =0 Περιορισμός προσαύξησης Χ 11 + Χ 12 + Χ 13 + Χ 21 +Χ 22 + Χ 23 <=250 Περιορισμός ελέγχου επιφάνειας ή 1,2 Χ 11 + 2,3Χ 12 +2,5Χ 13 + 3,1Χ 21 + 3,2Χ 22 + 3,5Χ 23 <=690 Περιορισμός ελέγχου όγκου Χ11, Χ12, 12, Χ23 >=0

Λύσεις: Έλεγχος επιφάνειας (άριστο σχέδιο καρπώσεων) Περίοδος Τμήμα Ι ΙΙ ΙΙΙ Σύνολο 1.Υλοτόμιο (ha) 0 0 0 0 όγκος (m 3 ) 0 0 0 0 2.Υλοτόμιο (ha) 80 85 85 250 όγκος (m 3 ) 248 272 297 817 Έλεγχος όγκου (άριστο σχέδιο καρπώσεων) Περίοδος Τμήμα Ι ΙΙ ΙΙΙ Σύνολο 1.Υλοτόμιο (ha) 0 0 0 0 όγκος (m 3 ) 0 0 0 0 2.Υλοτόμιο (ha) 68 72 72 212 όγκος (m 3 ) 209 229 251 690

Οι λύσεις με τις δύο προσεγγίσεις είναι παρόμοιες - Με τον έλεγχο επιφάνειας το υλοτόμιο είναι 250ha και με τον έλεγχο όγκου το υλοτόμιο είναι 212 ha. - Η ποσότητα του ξύλου που υλοτομείται κάθε 5 έτη αυξάνεται κατά 10% -Δεν μπορούμε να πούμε πόσο καλές είναι οι προσεγγίσεις αυτές. Εξαρτάται από τους μακροπρόθεσμους στόχους της διαχείρισης και από την καταλληλότητα του δάσους που απομένει στο τέλος της περιόδου σχεδιασμού να ανταποκριθεί σ αυτούς τους στόχους. Πχ. Στον 2ο πίνακα εάν η διαχείριση κάνει έλεγχο στο τέλος της 15ετίας θα έχει 72 ha ηλικίας 0-5 72 ha ηλικίας 6-10 68ha ηλικίας 11-15 15 Επιπλέον 200ha από το Τμήμα 1 θα καλυφθούν με δένδρα 36-40 ετών και 300-212=88ha θα μείνουν από το Τμήμα 2 με δένδρα 56-60 60 ετών (δηλ. πολύ περισσότερο από τον περίτροπο χρόνο=30 έτη).

Περιορισμοί παραγωγικότητας Επειδή συνήθως δεν έχουμε ίδια παραγωγικότητα σε όλες τις συστάδες ενός δάσους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικούς περίτροπους χρόνους. Έστω στην εφαρμογή μας στο Τμήμα 1 40έτη και στο Τμήμα 2 30 έτη Το μοντέλο τροποποιείται ως εξής: Περιορισμός ελέγχου επιφάνειας 15 Τμήμα1 : X 11 + X 12 + X 13 200 = 75 40 15 Τμήμα2 : X 21 + X 22 + X 23 300 = 150 30 ha ha

Εάν εφαρμοστεί έλεγχος όγκου 1,2 X + 2,3 X 12 + 2,5 X 13 15 <= 40 ( 1.2 + 2.3 2.5) + 200 3 11 150 3,1 X + 3,2 X 22 + 3,5 X 23 <= 15 30 ( 3.1 + 3.2 3.5 ) + 300 3 21 490

Γενικευμένο μοντέλο m Τμήματα p Περίοδοι X ij i= 1,2, m j= 1,...p m x p μεταβλητές κάθε μία αφορά πόση επιφάνεια θα υλοτομηθεί από το Τμήμα i την περίοδο j max z = m i = 1 p l = 1 V ij X ij [Vij αναγόμενος όγκος / ha από το Τμήμα i την περίοδο j] έτσι ώστε p l = 1 X ij a ij i= 1, m [δεν μπορεί να υλοτομηθεί περισσότερο από την έκταση του τμήματος αi η έκταση του τμήματος m περιορισμός αυτού του τύπου

m i = 1 V ij X ij m ( + f i ) 1 V 1 X = 0 j= 2,..p (p περιορισμός αυτού του τύπου) l = 1 ij ij 1 Δηλώνει τη σχέση του όγκου που υλοτομείται σε μια περίοδο και αυτόν που υλοτομείται την επόμενη (δηλ. να μην υλοτομούμε περισσότερο από την αυξηση) Έστω f i το ποσοστό κατά το οποίο η υλοτομία την περίοδο j πρέπει να ξεπερνά αυτή την περίοδο j-1. m i = 1 p j = 1 X i j <= y A r (περιορισμός ελέγχου επιφάνειας) Η συνολική υλοτομούμενη επιφάνεια δεν μπορεί να ξεπερνά y=περίοδος σχεδιασμού Α= συνολική έκταση r= περίτροπος χρόνος y A r όπου:

m i = 1 p j = 1 V ij X ij <= y r s (περιορισμός ελέγχου όγκου) όπου S = 1 p p j = 1 s j αναμενόμενο ξυλαπόθεμα σε όλη την περίοδο σχεδιασμού S και j = m i = 1 V ij a i ο υλοτομούμενος όγκος δεν μπορεί να ξεπερνά το κλάσμα y/r του μέσου αναμενόμενου ιστάμενου ξυλαποθέματος. (Το αναμενόμενο ξυλαπόθεμα στην περίοδο j)