Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Μαθηματική Εκπαίδευση στην Προσχολική και Πρώτη Σχολική Ηλικία Προμαθηματικές Έννοιες και η διδακτική τους Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
προµαθηµατικές? τι είναι; γιατί χρειάζεται να εστιάσουμε σε αυτές; από ποια θεωρία προκύπτει η υπάρξή τους; είναι έννοιες; είναι διαδικασίες; είναι δραστηριότητες;
προµαθηµατικές? γιατί: προ- σχολικά μαθηματικά; όπως πριν τα σχολικά; προ- ετοιμάζουν για τις μαθηματικές έννοιες δηλαδή οι προαθηματικές έννοιες δεν είναι αυτόνομες μαθηματικές έννοιες; προ- ωθούν την ανάπτυξη; προ- καλούν μάθηση, στάσεις απέναντι στα μαθηματικά, ενδιαφέρον, κτλ προ- μηθεύουν κατάλληλα εργαλεία για μετέπειτα κατανόηση των μαθηματικών εννοιών προ- μηνύουν μελλοντικές επιδόσεις στα μαθηματικά
η σηµασία της προσχολικής ηλικίας διαφορές σε επιδόσεις σε έργα ανάμεσα σε παιδιά του νηπιαγωγείου ή και μικρότερα συσχετίζονται και συχνά προβλέπουν την μαθηματική επίδοση σε μεγάλες ηλικίες π.χ., η αυτόματη εστίαση στον αριθμό (SFON) (Ηannula & Leh_nen, 2005) η ενασχόληση των παιδιών με μαθηματικές δραστηριότητες όπως επιτραπέζια παιχνίδια (Ramani & Siegler, 2008; Siegler, 2009) Στην προσχολική ηλικία μπαίνουν οι βάσεις της ανάπτυξης οι ατομικές διαφορές και οι κοινωνικές ανισότητες είναι ήδη παρούσες και επηρεάζουν την γνωστική ανάπτυξη των εννοιών μάλιστα οξύνονται με τον χρόνο
Τα παλιά µαθηµατικά Πριν το 1960 διδασκαλία των διαδικασιών ως τέτοιες π.χ., αντιστοίχιση, κάθετες πράξεις, κτλ απομνημόνευση αθροιστικών και πολλαπλασιαστικών πινάκων εξάσκηση στις διαδικασίες επανάληψη των προηγούμενων
Τα παλιά µαθηµατικά Συμπεριφοριστικής προσέγγισης Δοκιμή & λάθος Ενίσχυση / Τιμωρία Μίμηση προτύπου Στόχοι κοινοί για όλους / αξιολόγηση Ο μαθητής παθητικός δέκτης της γνώσης που μεταδίδει ο δάσκαλος
Τα νέα Μαθηµατικά Μετά το 60 Επηρεασμένα από τον Κονστρουκτιβισμό και τη θεωρία του Piaget Ο μαθητής ως ενεργός κατασκευαστής της γνώσης που χτίζεται πάνω στην προϋπάρχουσα γνώση και εμπειρία χρήση της θεωρίας συνόλων ως μεταφορά για την κατανόηση της έννοιας του αριθμού
ένα καλό παράδειγµα το παράδειγμα του αριθμού θεμελιώδης έννοια στα μαθηματικά αναπτύσσεται? διδάσκεται? πως και πότε με ποιες διαδικασίες να παρέμβουμε στη διδασκαλία του;
Βασικές αρχές μάθησης/διδασκαλίας Σύμφωνα με τον Piaget: Η φυσική γνώση αποκτάται με την επαφή του ατόμου με τα φυσικά αντικείμενα και φαινόμενα του περιβάλλοντός του και επαληθεύεται εμπειρικά. Η έννοια του αριθμού προϋποθέτει την κατάκτηση από την πλευρά του παιδιού βασικών λογικών διεργασιών, όπως της διατήρησης, του εγκλεισμού των τάξεων και της σειροθέτησης. Αν τα παιδιά δεν είναι σε θέση να διατηρήσουν τον αριθμό δεν έχει νόημα να τους εισάγουμε σε αυτόν.
άλλη θεωρία τα παιδιά µπορούν να κάνουν περισσότερα απ ότι νόµιζε ο Piaget η έννοια του αριθµού αποκτάται µε την ανάπτυξη ποσοτικών δεξιοτήτων σηµασία τριών βασικών δεξιοτήτων για την ανάπτυξη της έννοιας του αριθµού από το παιδί α) της άµεσης εκτίµησης β) της απαρίθµησης γ) της αποτίµησης. βλ. Gelman & Gallistel Κωνσταντίνος Π. Χήστου
βασικές δεξιότητες Άμεση εκτίμηση (Subsidizing): η αυθόρμητη αναγνώριση του πληθαρίθμου ενός συνόλου, η οποία συνοδεύεται πάντα από μια πραγματική ή εικονική αναπαράσταση. Μέχρι τρία ή το πολύ τέσσερα αντικείμενα γίνονται αντιληπτά ως ένας πληθάριθμος, άμεσα, αυτόματα, χωρίς να χρειάζονται καταμέτρηση Απαρίθμηση: προϋποθέτει από τη μια μεριά την προφορική αρίθμηση και από την άλλη την αντιστοίχιση και τη διατήρηση Αποτίμηση (εκτίμηση): προκύπτει ως αποτέλεσμα των εμπειριών τις οποίες αποκτά το άτομο με βάση τις δύο άλλες δεξιότητες.
αριθμητικές σχέσεις σχέσεις ισότητας και ανισότητας μεταξύ δύο συλλογών αντικειμένων. Οι σχέσεις αυτές αποδίδονται με τις λέξεις περισσότερο, λιγότερο ή ίσο ή και τόσα όσα. Παιδιά δύο ετών μπορούν να αναγνωρίσουν: αν δύο μικρές συλλογές αντικειμένων έχουν ή όχι το ίδιο πλήθος στοιχείων. ότι αν προσθέσεις ή αφαιρέσεις αντικείμενα σε μια συλλογή, το πλήθος των στοιχείων της αυξάνεται ή μειώνεται. Ωστόσο όταν οι συλλογές είναι μεγάλες (περιέχουν δηλαδή πάνω από πέντε στοιχεία), η κρίση των παιδιών στηρίζεται κυρίως στα εξωτερικά χαρακτηριστικά των συλλογών, π.χ., μήκος, Αργότερα οι μαθητές, προκειμένου να απαντήσουν σε τέτοιου είδους προβλήματα, χρησιμοποιούν την ένα προς ένα αντιστοίχιση ή την απαρίθμηση
το κοινό που έχουν αυτές οι προσεγγίσεις οι έννοιες αναπτύσσονται κατασκευάζονται στη βάση προηγούμενων εμπειριών/ γνώσεων/ δεξιοτήτων ποιες είναι αυτές οι προ- μαθηματικές δραστηριότητες πάνω στις οποίες θα δομηθεί η μαθηματική έννοια πως μπορούμε να επενδύσουμε σε αυτές για να υποστηρίξουμε την ανάπτυξη; Οι θεωρίες και τα ερευνητικά δεδομένα μπορούν να μας δείξουν τρόπους και δρόμους - αυτά θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε στο μάθημα
παρόλα αυτά Ο όρος προμαθηματικές είναι της θεωρίας Piaget καθώς θεωρείται ότι οι μαθητές δεν είναι ακόμα αναπτυξιακά έτοιμοι για τα μαθηματικά που αποτελούν αφηρημένες έννοιες κι ότι δεν μπορούν ακόμα να κατανοήσουν τον μαθηματικό συμβολισμό. Είναι όμως έτσι; Δεν μπορούμε να μιλάμε για μαθηματικά στην προσχολική ηλικία ; Ίσως ο όρος προμαθηματικές να είναι ξεπερασμένος... καταργείται ο διαχωρισμός μεταξύ προαριθμητικών και αριθμητικών εννοιών. Η εισαγωγή στους αριθμούς αλλά και στις πράξεις γίνεται με βάση τις άτυπες και προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Δίνονται δραστηριότητες στους μαθητές από την καθημερινή ζωή όπου έχουν νόημα και εφαρμόζονται οι αριθμοί και με αυτόν τον τρόπο προσπαθούμε να κατασκευάσουν, οι μαθητές, τη σημασία των αριθμών (Χ. Λεμονίδης 1998 α).
οι σύχρονες προσεγγίσεις H εισαγωγή στους αριθµούς γίνεται µέσα από διδακτικές καταστάσεις και δραστηριότητες, οι οποίες επιτρέπουν την συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας και της σηµασίας των αριθµών. Για την εισαγωγή των αριθµητικών εννοιών, επιλέγουµε ως αφετηριακές τις καταστάσεις εκείνες οι οποίες περιέχουν έννοιες οικείες στους µαθητές: άµεση εκτίµηση µικρών ποσοτήτων, γλωσσική χρήση των αριθµών (αριθµοί-λέξεις, προφορική αρίθµηση), αναπαράσταση των αριθµών µε δάκτυλα, απαρίθµηση ή καταµέτρηση ποσοτήτων, ανάγνωση ψηφίων κτλ. Στα πλαίσια τέτοιων καταστάσεων εισάγουµε τους µικρούς αριθµούς, την ποσοποίηση και τη γραφή τους, την ανάλυσή τους σε επιµέρους αθροίσµατα και τη σύνδεση των διάφορων συµβολικών αναπαραστάσεων µε τις αντίστοιχες ποσότητες. Πραγµατοποιούµε τη σύνδεση και τη µετάβαση από διαφορετικές αναπαραστάσεις των αριθµών, ανάλογα µε τις ικανότητες των µαθητών: α) πραγµατικά αντικείµενα (αντικείµενα, δίχρωµο αριθµητήριο, δάκτυλα, ζάρια, κτλ.), β) εικονικές αναπαραστάσεις αντικειµένων, δακτύλων, κτλ. γ) συµβολικές αναπαραστάσεις σε οργανωµένη µορφή (ζάρι) ή όχι (σκόρπιες κουκίδες, γραµµούλες) οι οποίες παρέχουν τη δυνατότητα καταµέτρησης, δ) συµβολικές αναπαραστάσεις οι οποίες δεν παρέχουν τη δυνατότητα καταµέτρησης (αριθµοί-λέξεις και ψηφία) Από: Μαθηµατικά της Φύσης και της Ζωής
πρώιμες μαθηματικές έννοιες ή έννοιες των μαθηματικών στην προσχολική αγωγή: η έννοια του αριθμού, πλήθος, ποσότητα, μέγεθος, πράξεις, σύμβολα και αναπαραστάσεις, λέξεις και αριθμητικές καταστάσεις, αίσθηση του αριθμού, αριθμητικά συστήματα και συστήματα μέτρησης χωρικές σχέσεις και σχήματα εισαγωγή σε γεωμετρικές έννοιες χρονικές σχέσεις μοτίβα και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό
οι πέντε άξονες σύμφωνα με το νέο Α.Π. για το Νηπιαγωγείο 17
πρώριµες αριθµητικές δεξιότητες από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο
αξιοποίηση πληροφορίας - Ταξινόµηση από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο Κωνσταντίνος Π. Χήστου
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άλλες πρώιµες µαθηµατικές διαδικασίες για άλλες μαθηματικές έννοιες/ δεξιότητες;
Κατανόηση σχημάτων Μαντέψτε τη σειρά & εξέλιξη γεωμετρικών σχημάτων και μοτίβων Αναγνώριση των σχημάτων των αντικειμένων στο περιβάλλον Τα πράγματα μπορούν να αλλάξουν σχήμα; Σχήμα και προσανατολισμός του Γωνίες και πλευρές
Κατανόηση σχημάτων & μοτίβων Αναγνώριση γραφικού μοτίβου Ανάπτυξη μοτίβου Αναγνώριση της δομής που επαναλαμβάνεται Αναγνώριση μουσικού μοτίβου;
Κατανόηση σχηµάτων & µοτίβων από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο
Κατανόηση μεγέθους Σύγκριση / διάταξη Μεγάλο / μικρό Μεγαλύτερο/μικρότερο Μεγάλο σε σχέση / μικρό σε σχέση Πόσο ακόμα Σύμβολα Εισαγωγή στη μέτρηση Μονάδες μέτρησης, αλλαγή μονάδων
να αναπτύξουν μαθηματικό λεξιλόγιο από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο Κωνσταντίνος Π. Χήστου
Ταξινόμηση Ταξινόμηση ανά ομάδα/είδος Κατηγοριοποίηση Ορισμός νέας κατηγορίας Σύγκριση κατηγοριών Αναγκαία και ικανά χαρακτηριστικά Τα παιδιά σε αυτήν την ηλικία ίσως μπορούν να το κάνουν μόνο ως προς ένα χαρακτηριστικό (μέγεθος, χρώμα, σχήμα ή άλλη κατηγορία)
λύση προβλήματος συλλογή, εκτίμηση, αξιολόγηση πληροφοριών κατανόηση των δεδομένων και των ζητούμενων σχέδιο λύσης επαλήθευση αξιοποίηση των λύσεων σε νέα προβλήματα
λύση µαθηµατικού προβλήµατος από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο
Χωρικές σχέσεις Διδασκαλία λέξεων: κάτω, πάνω, πίσω, μπροστά, δίπλα, μέσα, έξω, μακριά, κοντά, ανάμεσα, Οδηγίες Κατεύθυνση: ευθεία, δεξιά, αριστερά Προσανατολισμός στο χώρο
Χρονικές Σχέσεις Ώρες, λεπτά, ημέρες, εβδομάδες, μήνες, χρόνια, σήμερα, χθες, αύριο, πρωί, μεσημέρι, βράδυ, νωρίς, αργά, σύντομα Τα παιδιά αρχίζουν να αναφέρονται σε αυτές τις έννοιες σε σχέση με τις εκδηλώσεις (γενέθλια, σχολικές δραστηριότητες, διακοπές κ.λπ.) Θυμηθείτε ότι η κατανόηση αυτών των εννοιών είναι ακόμα δύσκολη σε αυτές τις ηλικίες
από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο
µε ποιους στόχους/τρόπους; από το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών για το Νηπιαγωγείο
ένα απλό πρόβλημα Η οικογένεια Γκριν έχει να οδηγήσει 261 μίλια για να φτάσει από το Λονδίνο στο Λιντσ. Αφού οδήγησαν 87 μίλια, σταματούν για φαγητό. Πώς θα υπολογίσετε πόσο έχουν να οδηγήσουν ακόμα; 87x3 261+87 87:261 261-87 261x87 261:87 87-661 87+174 μόλις 60% των δωδεκάχρονων επέλεξε τη σωστή πράξη Hughes (2000) 33
πιθανές αιτίες τα μαθηματικά προκαλούν πολύ δυσάρεστα συναισθήματα στα παιδιά, σε πολλούς ενήλικες (και στις φοιτήτριες των παιδαγωγικών τμημάτων) φοβίες, άρνηση προσπάθειας, τάση να τα αποφεύγουμε, να δίνουμε τυχαίες απαντήσεις υπάρχουν πολλά στερεότυπα για τα μαθηματικά: τα αγόρια είναι καλά, τα κορίτσια δεν χρειάζεται να τα πάνε καλά στα μαθηματικά, είναι για τους έξυπνους, δεν χρησιμοποιούνται πουθενά, μπορούμε να ζήσουμε και χωρίς αυτά, είναι θέμα κλίσης, ταλέντου, η λύση βρίσκεται στα πρώτα δευτερόλεπτα και χωρίς μεγάλη προσπάθεια, κτλ. 34
πιθανές αιτίες 2 τα παιδιά όμως του δείγματος μπορούσαν να κάνουν τις πράξεις αλλά όχι να πούνε ποια είναι η σωστή πράξη που πρέπει να γίνει υπάρχει υπερεπένδυση σε μαθηματικούς αλγόριθμους και κάθετες πράξεις αλλά όχι η εφαρμογή τους σε πραγματικές καταστάσεις δεν υπάρχει κατανόηση σε βάθος των μαθηματικών εννοιών και των διαδικασιών - γίνεται γνώση διαδικασιών χωρίς νόημα δεν υπάρχει κριτική γνώση που θα μπορούσε να κάνει τους μαθητές να αναστοχαστούν για το νόημα του αποτελέσματος που βρήκαν 35
άλλο παράδειγμα Ένα στρατιωτικό λεωφορείο χωρά 36 στρατιώτες. Πόσα λεωφορεία χρειάζονται για να μεταφερθούν 1128 στρατιώτες στο χώρο εκπαίδευσής τους; περίπου 70% δεκατριάχρονων εκτέλεσε σωστά την πράξη της διαίρεσης 31,33 και το ένα τρίτο των μαθητών έδωσε αυτό σαν απάντηση είναι ξεκάθαρο ότι οι μαθητές αυτοί κάνουν σωστά πράξεις αλλά δεν καταλαβαίνουν το νόημα αυτού που κάνουν και τη σχέση του με την πραγματικότητα του προβλήματος σε αυτό το θέμα τα κομπιουτεράκια δε μπορούν να δώσουν λύση 36
κι άλλο ένα παράδειγμα ζητήθηκε από 13χρονα: εκτιμήστε το αποτέλεσμα της πράξης 12/13 + 7/8: 1, 2, 19, 21, δεν ξέρω μόνο το 24% έδωσε τη σωστή απάντηση 28% απάντησε 19 27% απάντησε το 21 37
προοδευτικά μαθηματικά Μετά το 60 στις δυτικές χώρες έγινε μια μεταρρύθμιση στη μαθηματική εκπαίδευση εστίαση στην κατανόηση με νόημα κι όχι στην απομνημόνευση και στη διεξαγωγή απλών πράξεων μόνο με τη σωστή χρήση του αλγορίθμου μάθηση με ανακάλυψη παρά μάθηση με μίμηση και επανάληψη κατά προσέγγιση υπολογισμοί κι όχι μόνο ακριβείς πράξεις βιωματική μάθηση μέσα από λύση προβλήματος σε αυθεντικές ρεαλιστικές καταστάσεις. 38
παρόλα αυτά δεν λειτούργησε οι δάσκαλοι δεν το ακολουθούν γιατί δεν το εμπιστεύονται θέλει πολύ χρόνο δυσκολία διαχείρισης σε μεγάλη τάξη πρέπει να ακολουθήσουν το αναλυτικό πρόγραμμα Υπάρχει η πεποίθηση ότι αν ξέρεις να κάνεις σωστά τις πράξεις μπορείς και να το εφαρμόσεις στα μαθηματικά προβλήματα οι γονείς δυσκολεύονται να το καταλάβουν και ζητούν τα παραδοσιακά μαθηματικά - δεν μπορούν να βοηθήσουν λείπει μια συνολική αλλαγή στο σύνολο του εκπαιδευτικού συστήματος για να υποστηρίξει βασίζεται σε βασικές αρχές της θεωρίας του Piaget που έχουν δεχθεί έντονη κριτική και πρέπει να αναθεωρηθούν. 39
γενικές αρχές για τη διδασκαλία... των μαθηματικών εννοιών Καθώς οι μαθητές μαθαίνουν πιο περίπλοκες έννοιες χρειάζονται και περισσότερη ενθάρρυνση να χρησιμοποιούν τις δικές τους στρατηγικές σκέψης Είναι σημαντικό να κατανοήσουν ότι τα μαθηματικά έχουν νόημα κι είναι ικανοί/ες να κατακτήσουν αυτό το νόημα μέσα από τη λύση προβλήματος και τους υπολογισμούς τυπικούς ή άτυπους, γραπτούς ή νοερούς, ακριβείς ή κατά προσέγγιση 40
γενικές αρχές για τη διδασκαλία 2... των μαθηματικών εννοιών οι μαθητές πρέπει να μιλάνε για τις μαθηματικές έννοιες, να αναπαράγουν το μαθηματικό λεξιλόγιο, να αναπτύσσουν μαθηματικούς διάλογους μεταξύ τους ή/και με τη δασκάλα η χρήση αναπαραστάσεων για τις έννοιες υποστηρίζει την κατανόηση και την επικοινωνία με μαθηματικές έννοιες Οι αναπαραστάσεις έχουν διάφορες μορφές Εικόνες, διαγράμματα, σύμβολα, χειροπιαστά αντικείμενα η χρήση και επίσης η αναπαραγωγή ορθών αναπαραστάσεων δηλώνει καλή κατανόηση των εννοιών η διδασκαλία με τη χρήση χειροπιαστών αντικειμένων βελτιώνει και τις στάσεις των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά (Sowell, 1989; Thomson & Lambdin, 1994). Η χρήση των αναπαραστάσεων πρέπει να γίνεται με καθοδήγηση ώστε να γίνει σωστά η σύνδεση έννοιας με σύμβολο, εικόνα κτλ. 41
γενικές αρχές για τη διδασκαλία 3... των μαθηματικών εννοιών Η λύση προβλήματος μπορεί να αποτελέσει τη βάση για όλη τη διδασκαλία/μάθηση των μαθηματικών εννοιών Η λύση προβλήματος δημιουργεί ένα ενδιαφέρον πλαίσιο για τη μάθηση των μαθηματικών εννοιών και την κατανόηση της σημασίας τους (στον πολιτισμό και την καθημερινή ζωή) Δημιουργεί ένα περιβάλλον να επιτευχθεί μάθηση με κατανόηση κι όχι απομνημόνευση χωρίς κατανόηση 42
γενικές αρχές για τη διδασκαλία 4... των μαθηματικών εννοιών Οι μαθητές χρειάζονται διαρκώς νέες εμπειρίες από διαφορετικές πηγές και σε διαφορετικές στρατηγικές μάθησης π.χ. αριθμογραμμή, άβακα, κάρτες με αριθμούς, ζάρια, αριθμομηχανές, τραγούδια, παιχνίδια, ιστορίες, βιωματικές δραστηριότητες, κοκ κάποιες στρατηγικές (π.χ. τραγούδι, χειρονομίες) δεν υποστηρίζουν τη λύση προβλήματος αλλά είναι σημαντικές γιατί αναδεικνύουν τις διαφορετικές στρατηγικές μάθησης ανάμεσα στα παιδιά και δίνουν νέες δυνατότητες εμπλοκής σε παιδιά με διαφορετικές στρατηγικές μάθησης από τις κυρίαρχες και τις πιο διαδεδομένες 43
το ζήτημα της μεταφοράς γνώσης η μάθηση μέσα στη σχολική τάξη πρέπει να συνδέεται με την εφαρμογή της έξω από αυτή, στην καθημερινότητα του παιδιού έτσι τα μαθηματικά αποκτούν νόημα πρέπει να υπάρχει καλύτερη μεταφορά της γνώσης που αποκτήθηκε στη σχολική τάξη, στις καθημερινές πρακτικές της ζωής η αντίστροφη σχέση είναι πιο διαδεδομένη έτσι κι αλλιώς: υπάρχει μεταφορά των καθημερινών άτυπων μαθηματικών γνώσεων, που έχουν αποκτηθεί από τη ζωή μέσα στην κοινότητα στη μαθηματική τάξη με άλλα λόγια τα παιδιά έρχονται στην τάξη όχι ως ένα λευκό χαρτί αλλά με προϋπάρχουσες γνώσεις αλλά και αντιλήψεις για τα μαθηματικά. θα πρέπει να βρεθεί τρόπος να χτίσουμε πάνω σε αυτές τις νέες μαθηματικές γνώσεις κι επίσης οι νέες γνώσεις να βρίσκουν αναφορά στην καθημερινή πρακτική. 44
γενικές αρχές για τη διδασκαλία... των μαθηματικών εννοιών Πρέπει να ενθαρρύνονται να χρησιμοποιούν στρατηγικές συλλογισμού όπως να ψάχνουν για μοτίβα/πρότυπα και να κάνουν εκτιμήσεις κανονικότητες (μοτίβα/πρότυπα) π.χ., να δουν ότι οι αριθμολέξεις στο δεκαδικό σύστημα ακολουθούν μία κανονικότητα και επίσης οι βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς εκτιμήσεις οι εκτιμήσεις βοηθούν τα παιδιά να αξιολογήσουν την ορθότητα κάποια απάντησης χρήσιμο σε αυτού του είδους το συλλογισμό είναι η χρήση σημείων αναφοράς και μέτρων σύγκρισης π.χ., αυτό είναι 1μ κι αυτό 5μ, πόσο υπολογίζεις να είναι το μήκος του πίνακα; 45