Κεφάλαιο 6 ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ

Κεφάλαιο 6 ΕΛΕΥΘΕΡΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ Προαπαιτούμενη γνώση Πρότυπο Drude πρότυπο ελευθέρων ηλεκτρονίων ηλεκτρική αγωγιμότητα εξίσωση Schrödinger αέριο φερμιονίων ενέργεια ermi κατανομή ermi-dirac πυκνότητα καταστάσεων ανάπτυγμα Sommerfeld παραμαγνητισμός Pauli Πρόβλημα 1 Στο κλασικό πρότυπο Drude ενός αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων σε ένα στερεό οι μόνες παράμετροι που καθορίζουν τις ιδιότητές του είναι η συγκέντρωση n καθώς και ο χρόνος εφησυχασμού τ (μέσος χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές συγκρούσεις ενός ηλεκτρονίου με τα ιόντα του πλέγματος) Δείξτε ότι στο πρότυπο αυτό η ηλεκτρική αγωγιμότητα δίνεται από την έκφραση ne τ σ = m Εκτιμήστε το χρόνο εφησυχασμού τ για ένα ηλεκτρόνιο στο χαλκό Δίνεται ότι η ειδική 6 αντίσταση του χαλκού είναι 17 1 ohm cm και η πυκνότητα 85 1 άτομα/cm Λύση Για ένα κβαντικό σωμάτιο η ορμή και το κυματάνυσμα de roglie συνδέονται με τη σχέση = Προσεγγίζοντας το πρόβλημα κλασικά η εξίσωση κίνησης ενός ηλεκτρονίου υπό την επίδραση δύναμης δίνεται από το ο νόμο του Νεύτωνα d d = = dt dt Γνωρίζουμε ότι υπό την επίδραση μίας μόνο δύναμης το σωμάτιο επιταχύνεται και το κυματάνυσμα αυξάνεται παράλληλα με την εφαρμοζόμενη δύναμη Λόγω όμως των συγκρούσεων του ηλεκτρονίου με τα ιόντα του πλέγματος επέρχεται μια κατάσταση ισορροπίας όπου τα ηλεκτρόνια «επανέρχονται» στην αρχική κατάστασή τους μέσω αυτών των συγκρούσεων μετά από χρόνο τ ο οποίος είναι και ο χρόνος εφησυχασμού των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας του μετάλλου Έτσι λοιπόν η μεταβολή του κυματανύσματος δ λόγω της δύναμης θα λαμβάνει χώρα στο χρόνο τ μεταξύ δύο διαδοχικών συγκρούσεων Η μεταβολή στην ταχύτητα γράφεται δ = τ 19

δ τ δv = = δ = m m m Έστω Ε η ένταση του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου Τότε η δύναμη που ασκείται σε κάθε ηλεκτρόνιο = e Η πυκνότητα ρεύματος η οποία αντιστοιχεί στη ροή ηλεκτρονίων λόγω του πεδίου Ε είναι ne τ j= neδ v = m Από το νόμο του Ohm j= σ Συγκρίνοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε τελικώς ότι η αγωγιμότητα σ δίνεται από την ne τ σ = n Αν κάθε άτομο χαλκού συνεισφέρει από ένα ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας η συγκέντρωση των 8 - ηλεκτρονίων είναι n = 85 1 m Έτσι ο χρόνος εφησυχασμού γράφεται ms m τ = = ne ne ρ 1 911 1 = = 8 19 8 85 1 (16 1 ) 17 1 14 5 1 sec 1 όπου χρησιμοποιήσαμε ότι σ = ρ Πρόβλημα Θεωρήστε το αλουμίνιο ως ένα Δ αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων Υπολογίστε το σθένος του αλουμινίου αν έχετε ως δεδομένα την ενέργεια ermi = 116eV την πυκνότητά του ρ = 7g/cm και το ατομικό βάρος (ΑΒ=7) Επίσης θεωρήστε γνωστά τη μάζα m e και το φορτίο e του ηλεκτρονίου καθώς και τον αριθμό του Avogadro N A Λύση Η ενέργεια ermi δίνεται ως συνάρτηση της πυκνότητας των ηλεκτρονίων από τη σχέση / h n = me 8π Λύνοντας ως προς n υπολογίζουμε τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας του αλουμινίου 11

n / 8π m e = h 1 19 / 8π 911 1 116 16 1 = 4 (665 1 ) 9 18 1 ηλεκτρόνια/m = Η συγκέντρωση n των ατόμων αλουμινίου (άτομα ανά m ) μπορεί να υπολογιστεί από την πυκνότητα ρ τον αριθμό του Avogadro N A και την ατομική μάζα Μ n = = ρ N A M 7 6 1 7 = 6 άτομα/m Το σθένος του αλουμινίου θα είναι 9 n 18 1 v = = = 8 n 6 1 Πρόβλημα Υπολογίστε την πυκνότητα καταστάσεων D ( ) για ένα ιδανικό αέριο μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων στη μία (1Δ) στις δύο (Δ) διαστάσεις και στις τρεις (Δ) διαστάσεις Σχεδιάστε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις Λύση Η πυκνότητα καταστάσεων στο χώρο των (χώρος loch) είναι D( ) = ( π ) d όπου d = 1 η διάσταση του χώρου Η πυκνότητα καταστάσεων D ( ) ορίζεται ως D( ) = D( ) d( ) d = d( ) d ( π ) d Χρησιμοποιώντας σφαιροπολικές συντεταγμένες σε κάθε διάσταση d έχουμε d d = 1 d = π d d = 4 π d d = όπου = Ο παράγοντας που εμφανίζεται στη μονοδιάστατη περίπτωση ( d = 1) οφείλεται στο γεγονός ότι πρέπει να λάβουμε υπόψη και τις δυο κατευθύνσεις (θετική και αρνητική) στον άξονα ενώ εξ ορισμού Επίσης γνωρίζουμε ότι 111

m = = = 1/ m m d = d Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε τελικά 1/ m m 1/ d( ) d d( ) d 1 d π = π = = π 1/ m m m D( ) = d( ) d = d( ) π d = d = ( π) ( π) π 1/ m m m 1/ ( ) ( )4 d d = d π d = d = π ( π) ( π) D() 1Δ D() Δ D() Δ Στα παραπάνω σχήματα απεικονίζονται οι παραπάνω πυκνότητες καταστάσεων για κάθε διάσταση Πρόβλημα 4 Το μεταλλικό νάτριο κρυσταλλώνεται σε δομή bcc όπου το μήκος του κύβου είναι 45 1 8 cm Βρείτε τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας Θεωρώντας ότι τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας περιγράφονται από το πρότυπο των ελευθέρων ηλεκτρονίων βρείτε την ενέργεια ermi στους Κ και δείξτε ότι εξαρτάται μόνο από τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και όχι από τη μάζα του κρυστάλλου 11

Λύση Το πλέγμα bcc περιέχει αγωγιμότητας είναι /a άτομα ανά μονάδα όγκου Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων n = = 6 1 cm 8 (45 1 ) Σύμφωνα με το πρότυπο των ελευθέρων ηλεκτρονίων ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε όγκο V που έχουν ενέργεια από Ε ως Ε+d είναι 1/ dn VD( ) f ( ) d VC f ( ) d = = όπου D( ) 1/ = C η πυκνότητα καταστάσεων με και f( ) η κατανομή ermi-dirac Για m C = π T = Κ η f( ) δίνεται από την m η μάζα του ηλεκτρονίου 1 για f( ) = για > όπου η ενέργεια ermi στους T = Κ Ο ολικός αριθμός των ηλεκτρονίων σε όγκο V γράφεται λοιπόν N = V C d = VC 1/ / Δεδομένου ότι η πυκνότητα n = N / V η ενέργεια ermi στους T = Κ δίνεται από την = / ( π n) m Για το μεταλλικό νάτριο έχουμε ότι 7 1 / (15 1 ) (π 6 1 ) = = 81eV 8 1 91 1 16 1 Από την παραπάνω έκφραση για την ενέργεια ermi συμπεραίνουμε ότι η τελευταία εξαρτάται μόνο από τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και όχι από τη συνολική μάζα του κρυστάλλου Πρόβλημα 5 Υπολογίστε την πίεση σε ένα ιδανικό αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις τρεις διαστάσεις (Δ) σε θερμοκρασία T = Κ Λύση Ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων που βρίσκεται εντός όγκου V ο αριθμός των ηλεκτρονίων N καθώς και η εσωτερική ενέργεια U δίνονται αντίστοιχα από τις 11

N = V D( ) f ( ) d U = V D( ) f ( ) d όπου f( ) η κατανομή ermi-dirac 1 f( ) = ex[ β ( )] + 1 (όπου 1 β = ) η οποία στους T = Κ γίνεται T είναι η ενέργεια ermi 1 για f( ) = για > = m = π n 1/ ( ) D ( ) είναι η πυκνότητα καταστάσεων των ελευθέρων ηλεκτρονίων η οποία για ένα αέριο στις Δ γράφεται D( ) = C m C = π Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις για τις f( ) D ( ) στην έκφραση για τον αριθμό των ηλεκτρονίων (αρχική σχέση) έχουμε 1/ / N ( T = ) = V C = VC n C = / ενώ αντικαθιστώντας τις f( ) D ( ) στην έκφραση για την εσωτερική ενέργεια επίσης στους T = Κ έχουμε / 5/ U( T = ) = V C = VC 5 U( T = ) = N 5 114

n όπου στην τελευταία σχέση αντικαταστήσαμε την C = που βρήκαμε παραπάνω Η / πίεση P υπολογίζεται από τη θερμοδυναμική σχέση UT ( = ) UT ( = ) P = = = n V V 5 Αξίζει να σημειωθεί ότι σε ένα ιδανικό αέριο κλασικών σωματίων η πίεση στο απόλυτο μηδέν ( T = Κ ) είναι μηδέν Αντίθετα όπως δείξαμε παραπάνω σε ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων τα οποία είναι κβαντικά σωματίδια η πίεση ακόμα και στο απόλυτο μηδέν είναι διάφορη του μηδενός αφού όλα τα κβαντικά σωμάτια είτε φερμιόνια όπως τα ηλεκτρόνια είτε μποζόνια όπως τα φωνόνια έχουν μη μηδενική ενέργεια στο απόλυτο μηδέν Πρόβλημα 6 Ως Δ αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων μπορεί να θεωρηθεί ένα σύστημα ηλεκτρονίων που περιορίζεται σε ένα λεπτό υμένιο ενός τρανζίστορ βασισμένο στον ημιαγωγό GaAs Αποδείξτε ότι το κυματάνυσμα ermi συνδέεται με την επιφανειακή πυκνότητα των ηλεκτρονίων σύμφωνα με τη σχέση = π n Λύση Στους T = Κ ο αριθμός των ηλεκτρονίων N δίνεται από την N = V D( ) d Στις Δ η πυκνότητα καταστάσεων D ( ) ενός αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων είναι ανεξάρτητη της ενέργειας (βλέπε προηγούμενο πρόβλημα) m D ( ) = π Από τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε ότι m V N n = = π V V π n = m Επίσης γνωρίζουμε ότι η σχέση διασποράς των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται = m Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις έχουμε 115

m π n = m = π n Πρόβλημα 7 6 Θεωρήστε ένα λεπτό υμένιο αργύρου μήκους 1 Å στις διευθύνσεις x και y ενώ κατά μήκος της διεύθυνσης z έχει μήκος 41 Å (το οποίο είναι και το πάχος του υμενίου) Προσεγγίστε το σύστημα ως ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις Δ και για T = Κ όπου η αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται έξω από τα όρια του υμενίου στη διεύθυνση z (α) Υπολογίστε τη διαφορά ανάμεσα στη χαμηλότερη και στην υψηλότερη κατειλημμένη μονοηλεκτρονιακή κατάσταση Συγκρίνετε τη διαφορά αυτή με την ενέργεια ermi ενός μακροσκοπικού κρυστάλλου αργύρου (πχ όταν το μήκος στη διεύθυνση z δεν είναι λεπτό είναι κι αυτό πχ 1 6 Å) (β) Επαναλάβετε τους υπολογισμούς σας θεωρώντας ότι το πάχος (μήκους του υμενίου στη διεύθυνση z) είναι διπλάσιο δηλαδή 84 Å Δίνεται η συγκέντρωση του αργύρου n = 586 1 cm = 586 Å - Λύση Έστω L L L 6 x = y = = 1 Å το μήκος του υμενίου κατά μήκος των διευθύνσεων x και y ενώ Lz = d το μήκος του υμενίου κατά μήκος της διεύθυνσης z (πάχος του υμενίου) Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων είναι ίση με την πυκνότητα των ατόμων εφόσον το σθένος στον άργυρο είναι +1 (ένα ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας ανά άτομο) δηλαδή n = 586 1 cm = 586 Å - Η κυματοσυνάρτηση των ηλεκτρονίων μηδενίζεται στα όρια z = και z = d Μια μορφή κυματοσυνάρτησης η οποία ικανοποιεί τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες είναι η y ( x y z) ex[ i( xx + yy)]sin( qz) q = και =1 d Από τη μορφή της κυματοσυνάρτησης καταλαβαίνουμε ότι τα ηλεκτρόνια είναι ελεύθερα στις διευθύνσεις x και y ενώ στη διεύθυνση z υφίστανται περιορισμό λόγω του περιορισμένου πάχους του υμενίου Έτσι η κυματοσυνάρτηση γράφεται ως γινόμενο ενός επιπέδου κύματος ex[ ix ( x + y y )] στο επίπεδο xy και ενός στάσιμου κύματος sin( qz ) στη διεύθυνση z Οι μονοηλεκτρονιακές καταστάσεις χαρακτηρίζονται από ένα Δ κυματάνυσμα = ( x y) και ένα δείκτη ο οποίος περιγράφει την κβάντωση της ενέργειας λόγω περιορισμού της κυματοσυνάρτησης στη διεύθυνση z (παρόμοια με την κβάντωση της ενέργειας σε ένα 1Δ κβαντικό πηγάδι δυναμικού) Συνεπώς οι ιδιοενέργειες του συστήματος θα γράφονται ( q) = + = + q m m m ( ) όπου = x + y Από την παραπάνω εξίσωση είναι φανερό ότι το ελάχιστο της ενέργειας για κάθε ζώνη αντιστοιχεί σε = ( ) = () και είναι x y q = = m md Προφανώς το ολικό ελάχιστο της ενέργειας είναι το 116

q π m md 1 = = Για θερμοκρασία T = Κ τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν καταστάσεις με ενέργειες χαμηλότερες από την ενέργεια ermi Αν το ελάχιστο της ενέργειας για μια ζώνη είναι > τότε η ζώνη είναι μη κατειλημμένη Στην αντίθετη περίπτωση η ζώνη καταλαμβάνεται μερικώς ή ολικώς από ηλεκτρόνια των οποίων το πλήθος είναι 1 1 N = L D( ) d = L d = L d = L ( ) ( ) όπου ο παράγοντας της πυκνότητας καταστάσεων προκύπτει από τις δύο ισοδύναμες κατευθύνσεις του σπιν Με συμβολίζουμε το κυματάνυσμα ermi της -οστής ζώνης δηλαδή τη μέγιστη τιμή του της υψηλότερα κατειλημμένης κατάστασης της -οστής ζώνης π (α) Για d = 41 Å q = = 7664 Å -1 και d = ( ) + q = m m = q = q 1 7 8 q (15457 1 7664 1 ) = = ev = 69eV m 91989 1 16177 1 1 8 1 Αν υποθέσουμε ότι η ενέργεια ermi είναι μικρότερη από την ελάχιστη ενέργεια της δεύτερης (=) ζώνης δηλαδή < = 41 τότε μόνο καταστάσεις στην πρώτη ζώνη είναι κατειλημμένες Τότε ο αριθμός των κατειλημμένων καταστάσεων N 1 της πρώτης ζώνης θα πρέπει να ταυτίζεται με τον ολικό αριθμό των ηλεκτρονίων N N 1 = L dn = N L 1 = π 1 = π dn = 1866 Å -1 Από την παραπάνω σχέση ( + q) = προκύπτει ότι η ενέργεια ermi καθώς και m το εύρος των κατειλημμένων καταστάσεων είναι 1 = ( 1 + q ) = 1 + 1 = 799eV m q W = 1 = 575eV τα οποία είναι σε συμφωνία με την υπόθεση που κάναμε βάσει της οποίας μόνο η πρώτη ζώνη είναι κατειλημμένη δηλαδή ότι < = 8948eV 117

Τα παραπάνω αποτελέσματα είναι προς σύγκριση με τα αντίστοιχα μεγέθη για έναν άπειρο κρύσταλλο αργύρου / = W = ( n) 55eV m π = Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι δύο πρώτες ενεργειακές ζώνες και η στάθμη ermi για d = 41 Å 1 = Ε (ev) 8 6 4 =1 4 6 8 1 /q π (β) Για d = 8 Å q = = 81 Å -1 και d 7 8 q (15457 1 81 1 ) = = ev = 559eV m 91989 1 16177 1 1 8 1 Δηλαδή για διπλάσιο πάχος υμενίου έχουμε υποτετραπλάσιο ελάχιστο της πρώτης (=1) ενεργειακής ζώνης Για να υπολογίσουμε τη στάθμη ermi σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να υποθέσουμε ότι καταλαμβάνονται και υψηλότερες ζώνες από την πρώτη (=1) Αποδεικνύεται ότι τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν καταστάσεις και στην τρίτη (=) ζώνη οπότε N = N1+ N + N dn q π = 1 + + 1 1 1 Επιλύοντας την παραπάνω εξίσωση ως προς το πηλίκο βρίσκουμε 1 115 = 1 118

το οποίο είναι μεγαλύτερο από και μικρότερο από 4 δηλαδή η ενέργεια ermi θα τέμνει την τρίτη ζώνη και επομένως τα ηλεκτρόνια θα καταλαμβάνουν καταστάσεις και στις τρεις πρώτες ζώνες όπως υποθέσαμε αρχικώς Τα αποτελέσματα στην περίπτωση αυτή θα είναι και = 644eV W = 1 = 589eV Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται οι τρεις πρώτες ενεργειακές ζώνες και η στάθμη ermi για d = 8 Å 6 = Ε (ev) 4 = =1 4 6 8 1 /q Πρόβλημα 8 Θεωρήστε ένα Δ αέριο N ελευθέρων ηλεκτρονίων που περιέχεται σε όγκο V Η πυκνότητα καταστάσεων των ηλεκτρονίων στις Δ είναι σταθερή και ίση με D για Ε> (για Ε< είναι μηδέν) (α) Να υπολογίσετε την ενέργεια ermi του συστήματος (β) Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων καθώς και την ειδική θερμότητα στο όριο των χαμηλών θερμοκρασιών Λύση (α) Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων n δίνεται από όπου f( ) η κατανομή ermi-dirac N n = = f ( ) D( ) d V 1 f( ) = ex[ β ( )] + 1 (1) 119

1 (όπου β = ) η οποία στους T = Κ γίνεται T και 1 για f( ) = για > είναι η ενέργεια ermi Για T = Κ η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων γράφεται n = D( ) d = D d = D n N = = D VD (β) Για χαμηλές θερμοκρασίες (αλλά πάνω από τους Κ) η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων γράφεται n = f ( ) D( ) d = D f ( ) d όπου η f( ) δίνεται από την Εξ(1) Από το ανάπτυγμα Sommerfeld µ π dh H ( ) f ( ) d = H ( ) d + ( T ) + () 6 d = µ για H( ) = D( ) = D θα έχουμε ότι η συγκέντρωση θα γράφεται µ ( T ) π n = D d + ( T )+ Dµ ( T ) 6 N µ ( T) = VD δηλαδή σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες το χημικό δυναμικό μ είναι πρακτικώς ίσο με την ενέργεια ermi στους Κ και επομένως ανεξάρτητο της θερμοκρασίας Η ολική ενέργεια του συστήματος των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται U = V f ( ) D( ) d = VD f ( ) d Εφαρμόζοντας και πάλι το ανάπτυγμα Sommerfeld Εξ () αυτή τη φορά για dh ( ) H( ) = = 1 λαμβάνουμε d 1

µ ( T ) π U = VDf ( ) d = VD d + ( T ) + 6 π U VDµ ( T ) + VD( T ) η οποία αποδείχθηκε για χαμηλές θερμοκρασίες δηλαδή για T µ Η ειδική θερμότητα για την ίδια περιοχή θερμοκρασιών δίνεται από την U π µ c VD T VD T VD T VD T v = = µ ( ) + ( ) = µ ( ) + π T V T T V V Δείξαμε όμως παραπάνω ότι για χαμηλές θερμοκρασίες µ ( Τ) = σταθερό οπότε η cv γράφεται τελικά π cv = π VDT = N T απ όπου φαίνεται ότι στις χαμηλές θερμοκρασίες η ειδική θερμότητα μεταβάλλεται γραμμικά με τη θερμοκρασία Πρόβλημα 9 Για ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στους T = Κ και στις τρεις διαστάσεις υπολογίστε: (α) τη μέση τιμή της ταχύτητας v (β) τη ρίζα του μέσου τετραγώνου (rms) της ταχύτητας (γ) τη μέση τιμή του αντιστρόφου της ταχύτητας 1 v v Εκφράστε τα αποτελέσματά σας ως συνάρτηση της ταχύτητας ermi Λύση (α) Η μέση τιμή της ταχύτητας γράφεται v = m 1/ + 1 v = vdn N v = dn = f ( ) D( ) d N + v( ) f ( ) D( ) d όπου f( ) η κατανομή ermi-dirac και D ( ) η πυκνότητα καταστάσεων Στους T = Κ η f( ) γράφεται 1 για f( ) = για > Η πυκνότητα καταστάσεων για ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις Δ γράφεται 11

m π 1/ ( ) = D ενώ v ( ) = Σύμφωνα με τα παραπάνω η v θα γράφεται m v V m V m = d = N π N π (1) Είναι 1 = mv = m mv = () Αντικαθιστώντας την πρώτη από τις παραπάνω εξισώσεις στην Εξ(1) έχουμε v V = N m 4π 4 v () Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι 1/ N = ( π n) n = = V π Αντικαθιστώντας τη δεύτερη από τις Εξ() στην παραπάνω εξίσωση έχουμε N mv n = = V π Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην Εξ() λαμβάνουμε τελικά v = v 4 (β) Είναι / / 1 V m 1/ 1 V m 1/ = ( ) N = N m v v d d ( π) ( π) / / / 5/ d nm π V 4 m 1 4 m = = Nm( π) ( ) 5 / 5/ π 4 m m 5 v v mv m( π ) 5 5 = = v = v 5 1

(γ) Έχουμε / / 1/ V m 1/ V m m 1/ 1/ ( ) 1 1 1 1 = d = d v N v N ( π) ( π) ( π) N ( π) ( π ) / 1/ / 1/ V m m V m m = d = N / 1/ V m m 1 = mv N 1 = v v όπου στην παραπάνω χρησιμοποιήσαμε ότι 1 V π = = n N mv Πρόβλημα 1 Η διηλεκτρική συνάρτηση ενός στερεού περιγράφεται από τον τύπο Drude Lorentz ω εω ( ) = 1 + ( ω ω ) ωτ 1 i όπου ω είναι η συχνότητα πλάσματος ω το ενεργειακό χάσμα των ενδοζωνικών μεταβάσεων και τ ο χρόνος εφησυχασμού των ηλεκτρονίων (α) Σε θερμοκρασία δωματίου μια λογική τιμή για το χρόνο εφησυχασμού των ηλεκτρονίων 14 αγωγιμότητας του χαλκού είναι τ = 1 sec Δώστε μια εκτίμηση για τις τιμές των ω και ω για το χαλκό Για τον προσδιορισμό του ω μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χαρακτηριστικό χρώμα του χαλκού Σχεδιάστε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της διηλεκτρικής συνάρτησης εω ( ) ως συνάρτηση του ω (σε ev) (β) Επίσης σε θερμοκρασία δωματίου υπολογίστε την αγωγιμότητα σ ως συνάρτηση της συχνότητας ω (γ) Ποια είναι η μορφή της συνάρτησης της αγωγιμότητας σ(ω) για καθαρό χαλκό χωρίς προσμίξεις και για T = Κ ; Δίνεται ότι η συγκέντρωση των ατόμων χαλκού είναι 8 84 1 άτομα/m Λύση (α) Υποθέτουμε ότι το σθένος του χαλκού είναι μονάδα Αυτό σημαίνει ότι κάθε άτομο χαλκού συνεισφέρει από ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο και επομένως η συγκέντρωση των ελευθέρων ηλεκτρονίων n θα είναι ίση με την ατομική συγκέντρωση του χαλκού n 84 1 m 8 = Η συχνότητα πλάσματος ω για το χαλκό δίνεται από την εξίσωση 8 19 ne 84 1 (16 1 ) ω = = = 16 1 s 1 1 e m 8854 1 911 1 e 16 1 1

όπου me e η μάζα και το φορτίο του ηλεκτρονίου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού 1 ( ε = 8854 1 /m στο SI) Σε μονάδες ev η συχνότητα πλάσματος 16 16 ω = 66 1 16 1 = 15eV 1eV Επίσης το αντίστροφο του χρόνου εφησυχασμού σε μονάδες ev γράφεται 1 16 14 τ = 66 1 1 = 66 1 ev 1eV Ο χαλκός έχει ένα χαρακτηριστικό κοκκινωπό χρώμα Επομένως το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στη συχνότητα ω θα είναι λ 6nm το οποίο αντιστοιχεί στο κόκκινο χρώμα Άρα 4 8 πc 66 1 π 1 ω = = ev 7 λ 6 1 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές των ω διηλεκτρική συνάρτηση Drude-Lorentz έχουμε τ 1 και ω στην έκφραση για τη ω ( ω ω ) 1 (4 ω ) Re eω ( ) = 1+ 1 + ( ω ω ) ω τ (4 ω ) ω 1 + + ω ωτ Im eω ( ) = ( ω ω ) ω τ (4 ω ) ω 1 1 + + Οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων απεικονίζονται στο σχήμα που ακολουθεί 4 Re Im ε(ω) 1-1 - (β) Εφαρμόζοντας το νόμο του 1 4 ω (ev) J = σ καθώς και την παρακάτω έκφραση για την πυκνότητα ρεύματος πόλωσης J = P = iωp 14

[όπου στην παραπάνω θεωρήσαμε αρμονική εξάρτηση της πόλωσης με το χρόνο P = P ex( iωt) ] εύκολα δείχνει κανείς ότι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα χ η οποία ορίζεται από την P= χωε ( ) δίδεται από την έκφραση iσ χω ( ) = εω Από τον ορισμό της ηλεκτρικής μετατόπισης βρίσκουμε ότι D ε= ε + P iσ εω ( ) = 1 + χω ( ) = 1+ εω ( ) ω 1 ( ) i iσω = ε ω ω ω ωτ ( ) ( ) 1 ε ωω ωτ i ω ω σω ( ) = ω ω + ωτ (γ) Για καθαρό χαλκό (χωρίς προσμίξεις) και σε θερμοκρασία απόλυτου μηδενός αντιλαμβανόμαστε ότι τα ηλεκτρόνια δεν υφίστανται σκέδαση και επομένως ο χρόνος εφησυχασμού τ Λαμβάνοντας το όριο στην παραπάνω σχέση έχουμε τελικώς iε ωω σω ( ) = ω ω Πρόβλημα 11 Θεωρήστε ένα αέριο ελευθέρων ηλεκτρονίων σε θερμοκρασία T = Κ υπό την επίδραση ενός ασθενούς μαγνητικού πεδίου Β Η πυκνότητα των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω N + και των ηλεκτρονίων με σπιν κάτω N μπορούν να παραμετροποιηθούν ως εξής 1 1 N+ = N(1 + x) N = N(1 x) όπου Ν η ολική συγκέντρωση των ηλεκτρονίων (α) Υπολογίστε την ολική ενέργεια του αερίου καθώς και την ολική μαγνήτιση του συστήματος (β) Μπορούμε να προσεγγίσουμε την επίδραση της αλληλεπίδρασης ανταλλαγής μεταξύ των ηλεκτρονίων αν υποθέσουμε ότι ηλεκτρόνια με παράλληλα σπιν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με ενέργεια V όπου V > Πώς αλλάζει τη συνολική μαγνήτιση η αλληλεπίδραση αυτή; 15

Λύση (α) Η ενέργεια των ελευθέρων ηλεκτρονίων υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου Β γράφεται ε = ± m m όπου = η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου και μ η μαγνητική ροπή του Τα σύμβολα m + αναφέρονται σε σπιν παράλληλα και αντιπαράλληλα με το μαγνητικό πεδίο Β αντίστοιχα Η πυκνότητα καταστάσεων των ελευθέρων ηλεκτρονίων γράφεται συνοπτικά D ( ) = C m όπου C = Οι ηλεκτρονικές πυκνότητες με μαγνητικές ροπές προσανατολισμένες π παράλληλα και αντιπαράλληλα με το μαγνητικό πεδίο είναι αντίστοιχα + N = C D( ) d N = C D( ) d + Για T = Κ όλες οι καταστάσεις κάτω από μια ενέργεια ε συμπληρώνονται με ηλεκτρόνια και των δύο καταστάσεων σπιν Δηλαδή ε = + µ = + µ για καθεμία από τις υποζώνες σπιν του αερίου ελευθέρων ηλεκτρονίων Από τις παραπάνω έχουμε Έστω = ε + µ = ε µ + ε + µ 1 / + (1 + ) = ( ε µ ) = + / / N N x C d C ε + µ = N+ = N(1 + x) C 4C ε µ 1 / N N (1 x) = C ( ) d = C ε µ / / ε µ = N = N(1 x) C 4C η στάθμη ermi εν απουσία εξωτερικού μαγνητικού πεδίου Τότε 4 / N = C d = C από όπου βρίσκουμε μια άλλη έκφραση για τη σταθερά λαμβάνουμε τελικά / C = N Από τις παραπάνω 4 16

/ ε + µ = (1 + x) ε µ = x / (1 ) Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη και προσεγγίζοντας το ανάπτυγμα Taylor για x 1 (ασθενή μαγνητικά πεδία) (1 ± x) 1 ± x λαμβάνουμε τελικά / µ x Η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω ε + µ + = C ( µ ) d tot 5/ ε + µ / ε + µ = C [ ] µ [ ] 5 = C( ε + µ ) µ ( ε + µ ) 5 5/ = C ( ε + µ ) µ N + 5 /5 5/ 1 = C (1 + x) µ N (1 + x) 5 5/ 1 = N(1 + x) µ N(1 + x) 1 5/ / Αντίστοιχα για τα ηλεκτρόνια με σπιν κάτω βρίσκει κανείς ε µ = C ( + µ ) d tot 5/ = C ( ε µ ) + µ N 5 1 = N x + µ N x 1 5/ (1 ) (1 ) Η ολική ενέργεια του αερίου των ελευθέρων ηλεκτρονίων (το άθροισμα των ενεργειών και των δύο πληθυσμών σπιν) γράφεται 1 5/ 5/ tot = N (1 + x) + (1 x) µ Nx Για ασθενή μαγνητικά πεδία ( µ ) οι πληθυσμοί δεν διαφέρουν πολύ δηλαδή x 1 και προσεγγίζουμε (1 ± x) 1 ± x Έτσι η ολική ενέργεια γράφεται 5/ 5 17

tot N µ Nx 5 µ N 5 N όπου στην τελευταία αντικαταστήσαμε όπου µ x Καθώς η μαγνητική ροπή οφείλεται στο σπιν των ηλεκτρονίων µ = µ η μαγνητόνη του ohr Η ολική μαγνητική ροπή vm όπου Μ η μαγνήτιση και v ο όγκος του αερίου των ηλεκτρονίων γράφεται vm = ( N N ) µ = Nxµ + nµ M = nxµ = όπου n = N / vο αριθμός των ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου (β) Υπάρχουν N + ηλεκτρόνια με σπιν πάνω ( + ) τα οποία αντιστοιχούν σε 1 1 N+ ( N+ 1) N+ ζεύγη καθένα από τα οποία συνεισφέρει στην ενέργεια αλληλεπίδρασης V Λαμβάνοντας λοιπόν υπόψη την ενέργεια αλληλεπίδρασης η ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων με σπιν πάνω γράφεται + 5/ 1 1 tot = N(1 + x) µ N(1 + x) + N+ ( V) 1 1 1 = N + x µ N + x VN + x 1 8 Αντίστοιχα για τα ηλεκτρόνια με σπιν κάτω 5/ (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 = N x + N x VN x 1 8 5/ tot (1 ) µ (1 ) (1 ) Η ολική ενέργεια του αερίου των ελευθέρων ηλεκτρονίων (και οι δύο πληθυσμοί σπιν) V N x x Nx N x x 1 8 + 5/ 5/ tot = tot + tot = (1 + ) + (1 ) µ (1 + ) + (1 ) Η κατάσταση ισορροπίας καθορίζεται από το ελάχιστο της ολικής ενέργειας x tot = 1 V x x µ N[ x x ] + + = 4 / / (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) Γραμμικοποιώντας την παραπάνω εξίσωση στο όριο του ασθενούς μαγνητικού πεδίου x 1 δηλαδή (1 ± x) 1 ± x λαμβάνουμε / 18

Η ολική μαγνήτιση δίνεται από την NV 6µ x x µ x 4 VN M 6nµ = nxµ = 4 VN Σημειώνουμε ότι για V = το αποτέλεσμα γίνεται M 6nµ = 4 που αντιστοιχεί στην περίπτωση των μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων 19

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [1] H Ibach και H Lüth Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Εκδόσεις Ζήτη Θεσσαλονίκη 1) [] C Kittel Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Εκδόσεις Γ Πνευματικού 1979) [] N W Ashcroft και N D Mermin Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Εκδόσεις Γ Πνευματικού 1) [4] R Levy Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως (Εκδόσεις Γ Πνευματικού 1968) [5] Ε Ν Οικονόμου Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι) (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Ηράκλειο 1997) [6] Ε Ν Οικονόμου Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ) (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης Ηράκλειο ) [7] Α Μοδινός Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης (Εκδόσεις Παπασωτηρίου Αθήνα 1994) [8] Σ Η Παπαδόπουλος Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι) (Εκδόσεις ΕΜΠ Αθήνα 4) [9] Π Βαρώτσος και Κ Αλεξόπουλος Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Εκδόσεις Σαββάλα Αθήνα 1995) [1] Κ Παρασκευαΐδης Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης» (ΕΜΠ Αθήνα 1) Ξενόγλωσσα: [1] M P Marder Condensed Matter Physics (Wiley New Jersey 1) [] H Hall Solid State Physics (Wiley ristol 1974) [] J M Ziman Princiles of the Theory of Solids (Cambridge Cambridge 1964) [4] H J Goldsmid (ed) Problems in Solid State Physics (Pion Limited London 1968) [5] V M Agranovich and A A Maradudin (eds) Modern Problems in Condensed Matter Sciences (lsevier Amsterdam 1989) [6] A L Ivanov and S G Tihodeev (eds) Problems of Condensed Matter Physics (Oxford Oxford 8) Λέξεις-κλειδιά ος νόμος του Νεύτωνα αέριο φερμιονίων ανάπτυγμα Sommerfeld αριθμός του Avogadro ενέργεια ermi εξίσωση Schrödinger ηλεκτρική αγωγιμότητα κατανομή ermi-dirac κυματάνυσμα de roglie κυματάνυσμα ermi μαγνητόνη του ohr μποζόνια νόμος του Ohm παραμαγνητισμός Pauli πρότυπο Drude πρότυπο ελευθέρων ηλεκτρονίων πυκνότητα καταστάσεων σκέδαση τύπος Drude Lorentz φερμιόνια φωνόνια χώρος loch 1