ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Νόμος Παγκόσμιας Έλξης Η βαρυτική δύναμη είναι μια από τις θεμελιώδεις δυνάμεις στη φύση και είναι αρκετά ασθενής, εκτός αν τα αντικείμενα είναι μεγάλα, όπως πλανήτες ή αστέρια. ια παράδειγμα η ηλεκτρική δύναμη μεταξύ δυο πρωτονίων είναι πολύ ισχυρότερη από τη βαρυτική δύναμη αυτών. Ο Newton απόδειξε ότι η βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο σωματίων είναι μια ελκτική κεντρική δύναμη ανάλογη προς τις μάζες των σωματίων F F και αντιστρόφως ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης που χωρίζει τα δύο σωμάτια. Δηλαδή: Σχήμα 0. F() G ˆ (0-) όπου το μοναδιαίο διάνυσμα της απόστασης των δυο μαζών και - G 6,67 0 N / kg είναι μια σταθερά αναλογίας (σταθερά παγκόσμιας έλξης). Η σχέση (0-) αποτελεί το νόμο της παγκόσμιας έλξης. ˆ Σύμφωνα με τον ο νόμο του Newton, οι δυνάμεις παγκόσμιας έλξεως ανάμεσα σε δυο σωμάτια είναι ένα ζευγάρι δράσεως αντιδράσεως. Όπως διατυπώθηκε ο νόμος της παγκόσμιας έλξης με τη (0-), ισχύει μόνο για σημειακές μάζες. ια τον υπολογισμό της ελκτικής δύναμης μεταξύ ενός εκτεταμένου σώματος μάζας Μ και μιας σημειακής μάζας, εκλέγεται μια στοιχειώδης μάζα dm που απέχει κατά από τη μάζα. Τότε η στοιχειώδης δύναμη μεταξύ των δυο αυτών μαζών είναι: M dm Σχήμα 0. df dm df -G ˆ κι ολοκληρώνοντας σε όλη τη μάζα του εκτεταμένου σώματος, τελικά προκύπτει: F df -G dm ˆ (0-) όπου dm = ρdv ( ρ η πυκνότητα του εκτεταμένου σώματος). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια Επειδή η βαρυτική δύναμη είναι κεντρική και εξαρτάται μόνο από την απόσταση είναι συντηρητική δύναμη και κατά συνέπεια θα απορρέει από βαρυτική δυναμική ενέργεια σύμφωνα με τη σχέση: V() dv F() d V 0 dv (0-) F()d V() G d V() G (0-) Κατά ανάλογο τρόπο με τη (0-) προκύπτει ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια μιας σημειακής μάζας και ενός εκτεταμένου σώματος Μ δίνεται από τη σχέση: Εφαρμογή dm V dv -G (0-4) Στην περίπτωση της ης με μάζα M και ακτίνα μια σημειακή μάζα που βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της ης δέχεται δύναμη: και έχει δυναμική ενέργεια : M F -G ˆ (0-5) V G (0-6) Έστω ότι ένα σώμα μάζας εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από την επιφάνεια της ης με αρχική ταχύτητα υο. Η ολική ενέργειά του στην επιφάνεια της ης είναι: ο υ ο M G ενώ σε μια τυχαία θέση > η αντίστοιχη ενέργεια είναι: υ M G ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας προκύπτει: ο υ M G υ ο M G υ υ ο GM Η διαφυγή του σώματος από το βαρυτικό πεδίο αντιστοιχεί σε σχέση δίνει:, οπότε η παραπάνω Αλλά πρέπει: GM υ 0 υο GM υ υο Άρα η ελάχιστη αρχική ταχύτητα (ταχύτητα διαφυγής) είναι: GM υδ (0-7) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Βαρυτικό Πεδίο Μια μάζα Μ παράγει στο γύρω της χώρο, μια φυσική κατάσταση που ονομάζεται βαρυτικό πεδίο, το οποίο αναγνωρίζεται εξαιτίας της δύναμης την οποία ασκεί η μάζα Μ πάνω σε μια άλλη μάζα (υπόθεμα), όταν τη φέρουμε σε αυτή την περιοχή. Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης η δύναμη αυτή είναι της μορφής της (0-). ια την ποσοτική περιγραφή του βαρυτικού πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου ορίζεται η ένταση του βαρυτικού πεδίου προς τη μάζα αυτή. Δηλαδή: F() g() g ως η δύναμη που ασκείται πάνω στη μάζα υπόθεμα M G ˆ (0-8) Η έκφραση (0-8) περιγράφει το βαρυτικό πεδίο σε απόσταση από σώμα μάζας Μ. Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε για κάθε σημείο στο χώρο γύρω από τη μάζα Μ ένα διάνυσμα που το δίνει η εξίσωση (0-8) και το διάνυσμα αυτό είναι τέτοιο ώστε η βαρυτική δύναμη, που ασκείται σε οποιαδήποτε μάζα που τοποθετείται σε αυτό το χώρο, να ισούται με το γινόμενο της μάζας επί την ένταση του βαρυτικού πεδίου. g g Παρατηρήσεις: ) Η ένταση του βαρυτικού πεδίου έχει πάντοτε κατεύθυνση προς τη μάζα που το παράγει, αφού έχει την κατεύθυνση της βαρυτικής δύναμης, σύμφωνα με τη (0-8). ) Από τη σχέση (0-8) φαίνεται ότι η ένταση του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδα μέτρης - στο S.I. Ν kg ή /sec, δηλαδή έχει τις διαστάσεις της επιταχύνσεως. ) Συγκρίνοντας την εξίσωση (0-8) με τη γνωστή δύναμη του βάρους B g, παρατηρείται ότι η βαρυτική επιτάχυνση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια της γης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Εφαρμογή Να υπολογιστεί η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g (h), σε ύψος h από την επιφάνεια της γης, θεωρώντας την ακτίνα της γης, την επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης και h<. g ο Η βαρυτική επιτάχυνση στην επιφάνεια της γης είναι: g o M G όπου Μ η μάζα της γης, ενώ σε ύψος h< από την επιφάνεια της γης ˆ είναι: () M g(h) G ( h) ˆ () g(h) g o h Δηλαδή η βαρυτική επιτάχυνση ελαττώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια της γης. Εφαρμογή Το βάρος ενός αστροναύτη στη η είναι 500 Nt. Να υπολογιστεί πόσο ζυγίζει σε έναν πλανήτη που έχει μάζα ίση με 80 Μ και ακτίνα ίση με 6 (όπου Μ, η μάζα και η ακτίνα της ης). Σύμφωνα με τη (0-8) το μέτρο της βαρυτικής επιτάχυνσης του πλανήτη είναι: όπου g M 80M M g G G 5G g 5g () 6 η βαρυτική επιτάχυνση της ης. Επομένως το βάρος του αστροναύτη στον πλανήτη είναι: g () 5g 5 5500t B Π 500t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co Άσκηση Να υπολογισθεί η απόσταση από τη η, σε σχέση με την απόσταση ης Σελήνης d, που πρέπει να τοποθετηθεί ένας δορυφόρος έτσι ώστε να μην ασκείται σ αυτόν συνιστάμενη βαρυτική δύναμη από τη η και τη Σελήνη. Η μάζα της Σελήνης είναι ΜΣ = 0,0 Μ. ια να είναι η συνιστάμενη βαρυτική δύναμη στο δορυφόρο μηδέν πρέπει: x x) (d x) (d x G 0 F Σ Μ G x d x x d 0,0 d / d x x d x d x 0,9d

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση Μια μάζα διαχωρίζεται σε δυο μέρη, x και (-x). Υπολογίστε την τιμή του x για την οποία η βαρυτική δύναμη των δυο κομματιών γίνεται μέγιστη. Η βαρυτική δύναμη των δυο κομματιών, σύμφωνα με την (0-) έχει μέτρο: x( x) F G () όπου η απόσταση των δυο κομματιών. Αλλά: df dx () G d 0 ( x)x 0 x 0 x dx d F G κι επειδή dx 0 παρατηρείται ότι η βαρυτική δύναμη των δυο κομματιών είναι μέγιστη όταν x =, δηλαδή όταν η μάζα διαιρεθεί σε δυο ίσα μέρη. / ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση Τρεις ίδιες σημειακές μάζες τοποθετούνται στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α και κινούνται σε κυκλική τροχιά. ια κάθε σημειακή μάζα η απαιτούμενη κεντρομόλος δύναμη παρέχεται από την βαρυτική δύναμη που οφείλεται στις άλλες δυο μάζες. Υπολογίστε την περίοδο του συστήματος των τριών αυτών σημειακών μαζών. Η βαρυτική δύναμη μιας μάζας από κάθε άλλη έχει μέτρο: F 0 o F F G () α O α Η συνισταμένη δύναμη σε κάθε μάζα είναι: ο F Fcos0 και παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, οπότε: () υ ο υ F Fcos0 G α υ G υ () α Συνεπώς: υ ω ω () υ G α λλά : cos0 ο α/ α οπότε : ω G α Άρα η περίοδος του συστήματος των τριών μαζών είναι: π π ω α G 4π α G ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 4 Δυο δορυφόροι ίδιας μάζας περιστρέφονται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη γη σε απόσταση και > από την επιφάνεια της γης αντίστοιχα. Ποιος από τους δυο δορυφόρους έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια; Η βαρυτική ελκτική δύναμη της γης αποτελεί την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη της κυκλικής τροχιάς του κάθε δορυφόρου. Επομένως: F κ α κ υ G υ G () ( ) Η σχέση () παρέχει την ταχύτητα του κάθε δορυφόρου κι όπως παρατηρείται αυτή μειώνεται καθώς αυξάνεται η απόστασή του από την επιφάνεια της γης. Επομένως ο δορυφόρος που βρίσκεται σε απόσταση από την επιφάνεια της γης έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, άρα και κινητική ενέργεια(αφού Κ = /υ ), από αυτόν που βρίσκεται σε απόσταση > από την επιφάνεια της γης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 5 Δορυφόρος κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από έναν πλανήτη C με ακτίνες και. ράψτε τις σχέσεις που συνδέουν τις ακτίνες και με τις αντίστοιχες ταχύτητες υ και υ του δορυφόρου στις θέσεις αυτές. Δίνεται η μάζα του πλανήτη ΜC. B υ C υ A Ο δορυφόρος κινείται κατά μήκος της ελλειπτικής τροχιάς του σχήματος υπό την επίδραση της ελκτικής βαρυτικής δύναμης από τον πλανήτη C : F G Μ C ˆ Eπειδή η δύναμη F είναι κεντρική είναι και συντηρητική οπότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β προκύπτει: V V υ C G υ C G υ υ GM C () Επίσης επειδή η δύναμη είναι κεντρική η ροπή της ως προς το C είναι μηδέν, οπότε η στροφορμή του δορυφόρου ως προς το C διατηρείται. Επομένως: L L υ υ υ υ () Οι σχέσεις () και () συνδέουν τις ακτίνες και με τις ταχύτητες υ και υ στις θέσεις Α και Β του δορυφόρου. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 6 Να βρεθεί μια έκφραση για την ελκτική δύναμη και τη δυναμική ενέργεια σημειακής μάζας, που απέχει απόσταση (<) από το κέντρο της ης. F () V() μιας O Όταν η σημειακή μάζα βρίσκεται στο εσωτερικό της ης δέχεται δύναμη μόνο από το τμήμα της μάζας της ης, που βρίσκεται μέσα στη σφαίρα ακτίνας <. Αν θεωρηθεί η πυκνότητα της ης σταθερή τότε είναι: 4 () 4 όπου Μ η μάζα ολόκληρης της ης. Επομένως η ελκτική δύναμη της σημειακής μάζας στο εσωτερικό της ης είναι: () Μ F() G ˆ G Η δυναμική της ενέργεια είναι: / M ˆ F() G ˆ () F dv - d () Μ dv F()d G d V() G c () Αλλά στην επιφάνεια της ης για =, λόγω συνέχειας η () πρέπει να έχει την ίδια τιμή με την (0-6) που ισχύει για >. Δηλαδή: G G c c GM Οπότε η () γίνεται: GM V() G ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 7 Ένας ομογενής σφαιρικός φλοιός μάζας M και ακτίνας περιβάλλει μια ομογενή σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας <. Να υπολογιστούν: α) Η δύναμη που ασκείται σε σημειακή μάζα σε τυχαίο σημείο του χώρου. β) Η δυναμική ενέργεια της μάζας σε τυχαία θέση λαμβάνοντας ως θέση αναφοράς το άπειρο. Μ Μ O α) Η βαρυτική δύναμη που ασκείται σε μια σημειακή μάζα οφείλεται μόνο από τη μάζα που βρίσκεται στο εσωτερικό σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας ίσης με την απόσταση της μάζας από το κέντρο Ο. Επομένως η δύναμη στη σημειακή μάζα είναι: ( Μ ια > : G ) F ˆ ια < <: F G Μ ˆ ια < (σύμφωνα με την άσκηση 6): F G ˆ () () () β) Η δυναμική ενέργεια σε κάθε θέση είναι: ( ) () c i) ια > : V() Fd G( ) G d Επειδή για είναι V() 0 προκύπτει ότι c =0. Άρα: ( ) V() G για (4) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ii) ια < < : V () () d Fd GM G c ια = λόγω συνέχειας η τιμή της (4) πρέπει να επαληθεύει την παραπάνω. Δηλαδή: (Μ G - ) G c c G Άρα: V() G G για (5) iii) ια <: () Μ V() Fd G d G c ια = η τιμή της (5) πρέπει να επαληθεύει την παραπάνω λόγω συνέχειας, οπότε: G G G c c GM G Άρα: GM V() G G για ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 8 Σε μια μολυβένια σφαίρα ακτίνας ανοίγεται μια σφαιρική κοιλότητα έτσι ώστε η επιφάνειά της να αγγίζει την εξωτερική επιφάνεια της μολυβένιας σφαίρας και να περνάει από το κέντρο της. Η μάζα της σφαίρας πριν γίνει η κοιλότητα ήταν Μ. Με ποια δύναμη σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, θα έλκει η μολυβένια σφαίρα μια σημειακή μάζα που βρίσκεται σε απόσταση d από το κέντρο της μολυβένιας σφαίρας πάνω στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα της σφαίρας και της κοιλότητας; d Το μέτρο της ζητούμενης δύναμης σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας είναι: O / F F F () ο όπου Fο G () d είναι η δύναμη οφειλόμενη στη σφαίρα ακτίνας, ενώ F G () (d / ) είναι η δύναμη οφειλόμενη στη σφαιρική κοιλότητα ακτίνας /. Αλλά λόγω της σταθερής πυκνότητας της σφαίρας είναι: ρ 4 8 (4) 4 π π( / ) 8 Επομένως η () λόγω των (), () και (4) δίνει: G G d 8(d / ) GM d 8(d / ) F ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 9 Έστω ότι μια σήραγγα σκάβεται στο εσωτερικό της γης κατά μήκος μιας χορδής και όχι κατά μήκος μιας διαμέτρου σε απόσταση d από το κέντρο της. Η η θεωρείται ομογενής με μάζα M και ακτίνα. Μια σημειακή μάζα αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα μέσα στη σήραγγα. α) Δείξτε ότι η κίνηση της μάζας θα είναι απλή αρμονική. β) Βρείτε τη θέση και την ταχύτητα της μάζας συναρτήσει του χρόνου. γ) Υπολογίστε την περίοδο της κινήσεως. x θ x F x F O d Κ α) Έστω ότι η σημειακή μάζα βρίσκεται στην τυχαία θέση σε απόσταση από το κέντρο της γης. Σύμφωνα με την άσκηση 6, αυτή δέχεται δύναμη μόνο από το τμήμα της γης που περικλείεται στο εσωτερικό σφαίρας ακτίνας και είναι: Μ F G ˆ Κατά τη διεύθυνση της κίνησης της μάζας ασκείται πάνω της η οριζόντια συνιστώσα της βαρυτικής δύναμης: F x G cos xˆ Αλλά: x cos θ οπότε: Fx G xxˆ Επομένως ο ος νόμος του Newton στον άξονα x της κίνησης δίνει: Μ F α G x x x G x 0 () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άρα επειδή η () αποτελεί διαφορική εξίσωση απλής αρμονικής κίνησης, η σημειακή μάζα θα εκτελεί απλή αρμονική κίνηση περί το O. β) Η γενική λύση της () είναι: x(t) cosωt, όπου G, από την επιφάνεια της γης. και dx υ( t) ωsinωt. dt d και φ = 0 επειδή η μάζα αφήνεται γ) Η περίοδος της κίνησης είναι: GM ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση 0 Να υπολογιστεί η δύναμη βαρύτητας που ασκείται σε μια σημειακή μάζα από μια υλική ευθεία απείρου μήκους και γραμμικής πυκνότητας λ, όταν η μάζα απέχει απόσταση από την ευθεία. O y F θ df dx dm Επιλέγοντας μια στοιχειώδη μάζα dm, πλάτους dx της υλικής ευθείας σε απόσταση από τη σημειακή μάζα, θα την έλκει με δύναμη μέτρου: dm df G () Αλλά: dm = λdx και dx = dθ δηλαδή dm = λdθ οπότε η () γίνεται: Επίσης: λ λ df G dθ G dθ () cos θ οπότε η () γράφεται: cos θ Άρα η ολική δύναμη έχει μέτρο: λ df G cosθdθ F λ π / λ λ df G cosθdθ G (sin π / sin π / ) G ( ) π / Τα όρια της γωνίας θ είναι για λ F G () x : θ π / και για x : θ π/. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Σε διανυσματική μορφή η () γράφεται: λ F G ŷ γιατί όπως παρατηρείται σε δυο τυχαία αντιδιαμετρικά στοιχειώδη τμήματα dm, οι οριζόντιες συνιστώσες αλληλοαναιρούνται και τελικά η συνισταμένη δύναμη είναι κατακόρυφη. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση α) Μια σημειακή μάζα βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα ενός ομογενούς κυκλικού δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας, σε απόσταση α από το κέντρο του δακτυλίου. Υπολογίστε την ελκτική δύναμη που ασκείται στη μάζα από το δακτύλιο. β) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) υπολογίστε την ελκτική δύναμη που ασκεί ομογενής κυκλικός δίσκος επιφανειακής πυκνότητας σ και ακτίνας σε σημειακή μάζα που απέχει απόσταση α κατακόρυφα από το κέντρο του δίσκου. df z φ α df df α) Η δύναμη με την οποία έλκει μια στοιχειώδης μάζα dm του δακτυλίου τη σημειακή μάζα είναι: dm df G ˆ () O dμ Αν ληφθεί υπόψη και η αντιδιαμετρική στοιχειώδη μάζα παρατηρείται ότι οι οριζόντιες συνιστώσες αλληλοαναιρούνται. Οπότε συνεισφέρουν μόνο οι κάθετες συνιστώσες, οι οποίες είναι: dfcosφ z () dm F ˆ G cos φzˆ d () Αλλά: cos φ α/ και α οπότε η () γίνεται: dm α F G ( α ) d / Η ολική δύναμη προκύπτει με ολοκλήρωση πάνω σε όλο το δακτύλιο, οπότε: ẑ () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 () df G ( α Mα dm F -G ( α ) F ẑ ẑ / / α ) (4) df α O z β) Η δύναμη που οφείλεται σε ένα στοιχειώδη κυκλικό δακτύλιο του δίσκου μάζας dm, ακτίνας και πλάτους d είναι σύμφωνα με την (4): dm α F G ( α ) d / Αλλά: dm = σds = σπd οπότε: ẑ ασ π d F G ẑ / ( α ) d d Άρα η ολική δύναμη είναι: F d df Gαπσ zˆ F πgσ - / ( ) 0 α α α ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Άσκηση Έστω σφαιρικός φλοιός ακτίνας α και σταθερής επιφανειακής πυκνότητας σ. Να υπολογιστεί η βαρυτική δυναμική ενέργεια του φλοιού και μιας σημειακής μάζας αν: α) Η μάζα απέχει απόσταση >α από το κέντρο του σφαιρικού φλοιού. β) Η μάζα απέχει απόσταση < α από το κέντρο του σφαιρικού φλοιού. dθ O ds α θ ρ α) Η δυναμική ενέργεια της σημειακής μάζας και μιας στοιχειώδους κυκλικής ζώνης του φλοιού, που αντιστοιχεί στις γωνίες θ και θ+dθ, μάζας dm είναι: dm dv G () όπου dm =σds= σπρds, και ρ=αsinθ είναι η ακτίνα της στοιχειώδους κυκλικής ζώνης και ds=αdθ το πλάτος αυτής οπότε: dm ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 dm = σπα sinθdθ () Έτσι η () λόγω της () γίνεται: πgσα sin θdθ dv () Αλλά η απόσταση της κυκλικής ζώνης από τη σημειακή μάζα είναι σύμφωνα με το νόμο των συνημίτονων: α α cosθ και παραγωγίζοντάς την προκύπτει: d d αsinθdθ sinθdθ (4) α Επομένως η () λόγω της (4) παίρνει τελικά τη μορφή: πgσα dv d (5) Άρα η δυναμική ενέργεια που οφείλεται σε ολόκληρο το σφαιρικό φλοιό, ολοκληρώνοντας την παραπάνω είναι: α πgσα 4πGσα V () dv d (6) -α ή V() M G,όπου Μ = 4πα σ η μάζα του σφαιρικού φλοιού. Συμπέρασμα: Ομογενές σφαιρικός φλοιός συμπεριφέρεται για τα εξωτερικά σημεία ως υλικό σημείο μάζας Μ, που βρίσκεται στο κέντρο του σφαιρικού φλοιού. β) Στην περίπτωση που η σημειακή μάζα βρίσκεται στο εσωτερικό του σφαιρικού φλοιού, δηλαδή όταν <α, για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας ακολουθείται η ίδια διαδικασία με αυτή του ερωτήματος (α) μέχρι την απόδειξη της σχέσεως (5). Στη συνέχεια όμως η ολοκλήρωση λαμβάνει χώρα με όρια α και α +. Δηλαδή: V() πg σ α dv α α d V() 4πGσα (7) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 Συμπέρασμα: Η δυναμική ενέργεια σε εσωτερικό σημείο του σφαιρικού φλοιού είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του σημείου αυτού. Παρατήρηση: Μέσω της σχέσης F() dv d ˆ και των (6), (7) μπορεί να υπολογιστεί η βαρυτική δύναμη του σφαιρικού φλοιού και της σημειακής μάζας για >α και <α αντίστοιχα. Συγκεκριμένα: 4πGσα () F ˆ M G ˆ για >α και F () 0 για <α. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co