Η Έννοια της Περιοδικότητας στα Σχολικά Βιβλία και οι Αντιλήψεις των Σπουδαστών ΤΕΙ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ο ρόλος των Μαθηματικών στις Θετικές Επιστήμες, την Τεχνολογία και την Οικονομία. Τριανταφύλλου Χρυσαυγή Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Παράρτημα Πάτρας, akallio@otenet.gr Σπηλιωτοπούλου Βασιλική, Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Παράρτημα Πάτρας, spiliot@otenet.gr Σιδερής Ευστάθιος Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. esideris@aspete.gr Κεχράκος Δημήτριος Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε., dkehrakos@aspete.gr ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ο ρόλος των Μαθηματικών στις Θετικές Επιστήμες, την Τεχνολογία και την Οικονομία. Περίληψη στα Ελληνικά Στην παρούσα εργασία διερευνήσαμε με τη μορφή ερωτήσεων ανοικτού τύπου τις αντιλήψεις των σπουδαστών σε τμήματα εφαρμοσμένης μηχανικής όσον αφορά την έννοια της περιοδικότητας. Η ανάλυση των απαντήσεων των σπουδαστών έδειξε ότι ένας στους πέντε σπουδαστές συνδέει τη φθίνουσα ταλάντωση με την έννοια της περιοδικότητας. Για να ερμηνεύσουμε αυτή την αντίληψη των σπουδαστών αναλύσαμε το περιεχόμενο (αναπαραστάσεις, παραδείγματα και την επιχειρηματολογία που αναπτύσσεται) των σχολικών βιβλίων Μαθηματικών και Φυσικής σε επιλεγμένες ενότητες. Καταλήξαμε ότι το περιεχόμενο τους δεν βοηθά ιδιαίτερα στη διαμόρφωση ολοκληρωμένης αντίληψης της έννοιας. Η παρούσα έρευνα αποτελεί μέρος της ερευνητικής πρότασης που υλοποιείται στο πλαίσιο της Δράσης «Ενίσχυση Μεταδιδακτόρων Ερευνητών/τριών» του ΕΠΕΔΒΜ με Δικαιούχο την Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας και συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Ταμείο (ΕΚΤ) και από Εθνικούς Πόρους.
Περίληψη στα Αγγλικά In this paper we studied the attitudes of students of different departments of applied mechanics concerning the notion of periodicity through open-ended questions. The results of students answers indicated that 1 out of 5 students related the motion of a decreasing oscillator with periodicity. In order to interpret the students attitudes we analysed the content (representations, examples and the produced argumentation) of the Mathematics and Physics school book in selected units. We concluded that their content appears not to be particularly helpful in the formation of an integrated conception of the notion. Εισαγωγή Η έννοια της περιοδικότητας είναι μια από τις βασικές έννοιες στο σχολικό πρόγραμμα διδασκαλίας των Μαθηματικών και των Φυσικών Επιστημών. Οι μαθητές είναι δυνατόν να συναντήσουν την έννοια της περιοδικότητας στην διάρκεια της σχολικής τους εκπαίδευσης στις ταλαντώσεις και στα κύματα στο μάθημα της φυσικής, στην τριγωνομετρία και στην ανάλυση στο μάθημα των μαθηματικών αλλά και σε διαφορετικές εφαρμογές σε μαθήματα της Τεχνικής και Επαγγελματικής εκπαίδευσης. Παρότι η έννοια της περιοδικότητας αποτελεί το αντικείμενο πολλαπλών διδακτικών δραστηριοτήτων στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών μόνο ένας μικρός αριθμός ερευνών εστιάζει στον τρόπο με τον οποίον οι μαθητές κατανοούν αυτήν την έννοια. Αυτές οι έρευνες καταλήγουν ότι οι περισσότεροι μαθητές αντιλαμβάνονται διαισθητικά την έννοια ως τη συμπεριφορά χρονικά μεταβαλλόμενων μεγεθών (Shama, 1998). Επιπλέον οι μαθητές δυσκολεύονται να συνδέσουν τον αναλυτικό ορισμό της περιοδικής συνάρτησης με τις εφαρμογές της σε μη μαθηματικά πλαίσια (Kynigos & Gavrilis, 2006). Τέλος και ο ίδιος ο ορισμός της περιοδικής συνάρτησης όπως συναντάται σε πολλά μαθηματικά εγχειρίδια εγείρει επιστημολογικής φύσης ζητήματα (Van Dormolen & Zaslavsky, 2003). Τέτοιου είδους ζητήματα αυξάνουν τη δυσκολία των μαθητών να κατανοήσουν και να συνδέσουν στοιχεία της μαθηματικής έννοιας με τις εφαρμογές της (Buendia & Cordero, 2005). Η παρούσα εργασία αποτελεί μέρος μιας ευρύτερης έρευνας η οποία έχει στόχο τη διαμόρφωση μιας ευρείας άποψης για τον τρόπο με τον οποίον η έννοια της περιοδικότητας διδάσκεται και χρησιμοποιείται στη σχολική τάξη. Συγκεκριμένα, στοχεύει (α) να διερευνήσει τις αντιλήψεις των πρωτοετών σπουδαστών ενός Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος όταν χρειάζεται να συνδέσουν στοιχεία ενός περιοδικού φαινομένου με τις
περιοδικές συναρτήσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά του και (β) να ερμηνεύσει τις αντιλήψεις των σπουδαστών αναλύοντας τα σχολικά εγχειρίδια. Θεωρητικό πλαίσιο Στις σύγχρονες επιστημολογικές, ψυχολογικές και κοινωνιολογικές θεωρίες η μάθηση θεωρείται προϊόν συλλογικής δράσης και διαδικασία κοινωνικής και πολιτισμικής αλληλεπίδρασης. Η κοινωνικο-πολιτισμική προσέγγιση έχει πολλές ιαμεσολαβητικά μέσα (εργαλεία) Υποκείμενο Αντικείμενο Αποτέλεσμα Κανόνες Κοινότητα Καταμερισμός εργασίας Σχήμα 1. Τα συστατικά στοιχεία ενός συστήματος δραστηριότητας από τις ρίζες της σε ιδέες που αναπτύχθηκαν από τον Ρώσο ψυχολόγο και παιδαγωγό Vygotsky (1978). Η παραπάνω θεωρία επηρέασε τη μαθηματική εκπαίδευση η οποία όχι μόνον αναγνωρίζει κοινωνικοπολιτισμικές διαστάσεις στη μαθηματική γνώση αλλά μεταφέρει το ενδιαφέρον της από το άτομο στο κοινωνικο-πολιτισμικό πλαίσιο μέσα στο οποίο αναπτύσσεται η μάθηση (Κολέζα, 2000). Το κομβικό σημείο της κοινωνικο-πολιτισμικής προσέγγισης αποτελεί η έννοια της Δραστηριότητας (Activity) όπως αυτή προσδιορίζεται μέσα από τη Θεωρία Δραστηριότητας των Engeström και Cole (1997) και η οποία αποτελεί τη θεωρητική αφετηρία της παρούσας έρευνας. Οι Engeström και Cole (1997) αντιλαμβάνονται τη δραστηριότητα ως ένα σύστημα το οποίο ενσωματώνει εκτός των διαφόρων εργαλείων διαµεσολάβησης μεταξύ του υποκειµένου και του αντικειµένου και τις δράσεις της κοινότητας στην οποία το υποκείμενο ανήκει, τους κανόνες που διέπουν αυτήν την κοινότητα και τον καταµερισµό εργασίας του υποκειμένου σε σχέση με τα υπόλοιπα μέλη της. Ως κοινότητα θεωρείται μια ομάδα ανθρώπων που μοιράζονται κοινούς στόχους και χρησιμοποιούν κοινά εργαλεία για την επίτευξή τους. Αυτό το συλλογικό σύστημα διαμορφώνει το ελάχιστο πλαίσιο μελέτης μέσω του οποίου μπορεί να γίνει κατανοητή η κάθε ανθρώπινη πράξη. Στην παρούσα εργασία θεωρούμε ότι ο κάθε μαθητής, ως υποκείμενο, συμμετέχει, μεταξύ άλλων, σε δυο διαφορετικά είδη δραστηριότητας στη διάρκεια των σχολικών του σπουδών, τη μαθηματική
δραστηριότητα και αυτή των φυσικών επιστημών. Σε αυτές τις δραστηριότητες ο μαθητής χρησιμοποιεί ως εργαλεία τα σχολικά εγχειρίδια του κάθε μαθήματος και διδάσκεται από τα μέλη των διαφορετικών επιστημονικών κοινοτήτων (τους καθηγητές των μαθηματικών και της φυσικής επιστήμης). Στα μαθηματικά ο στόχος (το αντικείμενο) είναι η μελέτη των περιοδικών συναρτήσεων ενώ στη φυσική η μελέτη των περιοδικών φαινομένων. Το αναμενόμενο αποτέλεσμα είναι η πληρέστερη κατανόηση της έννοιας της περιοδικότητας. Είναι όμως αυτό ένα εφικτό αποτέλεσμα; Αυτό θα προσπαθήσουμε να διερευνήσουμε στην έρευνά μας. Μεθοδολογία της έρευνας Η έννοια της περιοδικότητας στα σχολικά βιβλία: Στα Μαθηματικά οι μαθητές συναντούν την έννοια της περιοδικότητας μέσα από την έννοια της περιοδικής συνάρτησης στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Β Λυκείου Γενικής Παιδείας. Ο ορισμός της περιοδικής συνάρτησης (Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει:i) x + T A, x - T A και ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x). Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f) [1] έρχεται ως γενίκευση δύο παραδειγμάτων περιοδικών συναρτήσεων μη ημιτονοειδούς μορφής των οποίων δεν δίνεται ο μαθηματικός τύπος. Πέρα από επιστημολογικής φύσης προβλήματα που εγείρονται στον παραπάνω ορισμό (αν για παράδειγμα μια συνάρτηση που ορίζεται στο διάστημα [ 0, ) είναι περιοδική) η έμφαση στα μαθηματικά δίνεται στην αντίληψη της έννοιας ως ιδιότητα σημείων της περιοδικής συνάρτησης. Στη συνέχεια, στο σχολικό βιβλίο μελετώνται οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, επιλύονται βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις ενώ αναφέρεται ως σχόλιο ότι η συνάρτηση f(t) =ρημ(ωt) είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π/ω. Τέλος, αναφέρεται ως γενίκευση παραδείγματος ότι η συνάρτηση f(x)= αημx+βσυνx με α, β 0 είναι περιοδική συνάρτηση. Στη Φυσική οι μαθητές συναντούν την έννοια της περιοδικότητας μέσα από την μελέτη περιοδικών φαινομένων που ορίζονται ως εξής: «Περιοδικά φαινόμενα είναι τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα» [2]. Οι μαθητές όμως από τη Γ Γυμνασίου έχουν αναφερθεί σε περιοδικές κινήσεις, ενώ στις Λυκειακές τάξεις οι ημιτονοειδείς συναρτήσεις αποτελούν κεντρικό εργαλείο μελέτης των περιοδικών φαινομένων και ειδικότερα της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Για παράδειγμα η απομάκρυνση ενός σώματος από τη θέση ισορροπίας που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται από τη σχέση x(t)= Aημ(ωt) όπου το Α
εκφράζει το πλάτος της ταλάντωσης και ω τη γωνιακή συχνότητα του σώματος (δηλ. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας) [2]. Τέλος, και οι μαθητές της Τεχνικής Επαγγελματικής Εκπαίδευσης (ΕΠΑΛ) συναντούν την έννοια της περιοδικότητας σε μια πληθώρα γνωστικών αντικειμένων και ειδικά στη μελέτη του εναλλασσόμενου ρεύματος [3]. Σκοπός της έρευνας: Με στόχο να αναδείξουμε τις δυσκολίες των μαθητών αλλά και να διερευνήσουμε αν και με ποιο τρόπο αυτές συσχετίζονται με το περιεχόμενο των σχολικών βιβλίων, σχεδιάσαμε μια μικρή έρευνα σε πρωτοετείς σπουδαστές ενός Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος. Το ερωτηματολόγιο που αναπτύξαμε είχε στόχο να διερευνήσει αν οι μαθητές μπορούν να συνδέσουν στοιχεία ενός περιοδικού φαινομένου με τις περιοδικές συναρτήσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά του. Για να απαντήσουν οι μαθητές θα έπρεπε να ανακαλέσουν και να συνδέσουν τις σχολικές τους γνώσεις από τα μαθήματα των μαθηματικών και της φυσικής. Ο σκοπός μας δεν ήταν απλά να καταγράψουμε κάποια στατιστικά στοιχεία για την επίδοση των μαθητών αλλά να αναδείξουμε πιθανές γνωστικές ανακολουθίες των μαθητών, τις οποίες θα διερευνήσουμε σε μεγαλύτερο βάθος σε επόμενη ερευνητική μας φάση. Οι συμμετέχοντες: 91 προπτυχιακοί σπουδαστές των τμημάτων Μηχανολογίας, Δομικών Έργων και Πολιτικών Έργων Υποδομής ενός Τριτοβάθμιου Τεχνολογικού Ιδρύματος. Η έρευνα διεξήχθη στις αρχές του Β εξαμήνου σπουδών. Συμμετείχαν 55 αγόρια και 36 κορίτσια, οι 69 ήταν απόφοιτοι Ενιαίου Λυκείου ενώ οι 22 απόφοιτοι ΕΠΑΛ ή ΤΕΕ. Ερευνητικά εργαλεία: Το βασικό ερευνητικό μας εργαλείο ήταν ένα ερωτηματολόγιο με 8 ερωτήσεις ανοικτού τύπου. Το κεντρικό σημείο της έρευνας ήταν η αναπαράσταση ενός περιοδικού φαινομένου (Εικόνα 1) την οποία συναντήσαμε στο σχολικό βιβλίο της Φυσικής της Γ Λυκείου Θετικής και Εικόνα 1 Τεχνολογικής Κατεύθυνσης [2]. Συγκεκριμένα στο σχολικό βιβλίο η Εικόνα 1 συνοδεύεται από την εξής λεζάντα: «Η κίνηση ενός εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση. Στη φωτογραφία απεικονίζονται διαδοχικά στιγμιότυπα της κίνησης στη διάρκεια μισής περιόδου». Με βάση αυτήν την αναπαράσταση ζητήθηκε από τους σπουδαστές να αναφέρουν το περιοδικό φαινόμενο που απεικονίζεται (ερώτηση 1) και να περιγράψουν με δικά τους λόγια την έννοια της περιοδικότητας στην
περίπτωση αυτή (ερώτηση 2). Στη συνέχεια τους δόθηκε η συνάρτηση f(t)=ασυν(ωt+φ) που εκφράζει την απομάκρυνση του σώματος της Εικόνας 1 από τη θέση ισορροπίας του και τους ζητήθηκε να αναγνωρίσουν το τι ακριβώς αντιπροσωπεύουν τα σύμβολα Α, ω και φ (ερώτηση 3) και να δικαιολογήσουν ποιο/α από αυτά θεωρούν ότι επηρεάζουν την περίοδο του περιοδικού φαινομένου (ερώτηση 4). Στο ερώτημα 5 τους δόθηκε το γράφημα της συνάρτησης f(t)=ασυν(ωt+φ) (Σχήμα 2) f(t) N και τους ζητήθηκε να υποδείξουν ποιο τμήμα της K L M Σχήμα 2 t γραφικής παράστασης περιγράφει την εξέλιξη του φαινομένου στη διάρκεια μιας περιόδου ενώ στο ερώτημα 6 τους ζητήθηκε να αντιστοιχίσουν τα σημεία K, L, M και N της γραφικής παράστασης του Σχήματος 1 με τις (πιθανές) θέσεις του σώματος της Εικόνας 1 δικαιολογώντας την άποψή τους. Τέλος, αφού τους δόθηκε ο αναλυτικός ορισμός της περιοδικής συνάρτησης ως εξής: «Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει: i) x + T A και ii) f(x + T) = f(x). Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f)», τους ζητήθηκε να δικαιολογήσουν ότι η συνάρτηση f(t)=ασυν(ωt+φ) είναι περιοδική συνάρτηση (ερώτημα 7) και να δώσουν ένα άλλο παράδειγμα μεγέθους που μεταβάλλεται με περιοδικό τρόπο δηλ. είναι δυνατόν να εκφραστεί με τη μορφή περιοδικής συνάρτησης, χωρίς απαραίτητα να δώσουν την μαθηματική του έκφραση (ερώτημα 8). Ανάλυση των αποτελεσμάτων: Δεδομένου ότι οι ερωτήσεις ήταν ανοικτού τύπου κωδικοποιήσαμε τις απαντήσεις των σπουδαστών ανά ερώτηση και στη συνέχεια αναλύσαμε στατιστικά την κάθε ερώτηση. Στο τέλος με τη βοήθεια της Θεωρίας της Δραστηριότητας προσπαθήσαμε να ερμηνεύσουμε τα ερευνητικά μας ευρήματα. Αποτελέσματα Με μεγάλη ευκολία οι σπουδαστές ανταποκρίθηκαν στην ερώτηση 1 που αφορούσε την αναγνώριση του περιοδικού φαινομένου της Εικόνας 1. Μόνο 1 στους 10 σπουδαστές (9,8%) δεν έδωσε κάποια απάντηση.
Επισημαίνεται ότι οι 6 στους 10 σπουδαστές περιέγραψαν το φαινόμενο χαρακτηρίζοντας το ως ταλάντωση ή ως την κίνηση ενός εκκρεμούς ή ως απλή αρμονική ταλάντωση. Ως σημαντικό εύρημα στις απαντήσεις των σπουδαστών θεωρούμε ότι περίπου 2 στους 10 σπουδαστές (18%) χαρακτήρισαν το περιοδικό φαινόμενο της Εικόνας 1 ως φθίνουσα ταλάντωση. Όταν λοιπόν τους ζητήθηκε να περιγράψουν την έννοια της περιοδικότητας στην περίπτωση του περιοδικού φαινομένου της Εικόνας 1 οι 4 στους 10 (37%) συσχέτισαν την έννοια της περιοδικότητας με φαινόμενα που επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ορισμένο χρονικό διάστημα, ενώ ένα πολύ μικρότερο ποσοστό (8,8%) συσχέτισε την έννοια της περιοδικότητας με φαινόμενα που απλά επαναλαμβάνονται. Είναι ενδιαφέρον ότι οι 2 από τους 3 σπουδαστές που είχαν περιγράψει το περιοδικό φαινόμενο ως φθίνουσα ταλάντωση «ταύτισαν» την Εικόνα 2. Οι απαντήσεις ενός σπουδαστή στις ερωτήσεις 1 και 2 έννοια της περιοδικότητας με κίνηση σε μορφή φθίνουσας ταλάντωσης όπως φαίνεται σε μια ενδεικτική απάντηση ενός σπουδαστή (Εικόνα 2). Συγκεκριμένα ο σπουδαστής απαντά ότι «στη διπλανή εικόνα παρουσιάζεται μια φθίνουσα ταλάντωση» και περιγράφει την έννοια της περιοδικότητα ως: «την κίνηση σώματος που πραγματοποιεί φθίνουσα ταλάντωση έως ότου βρεθεί και πάλι σε κατάσταση ηρεμίας». Στην ερώτηση 3 που αφορούσε την αναγνώριση των συμβόλων Α, ω, φ του μαθηματικού τύπου f(t)=ασυν(ωt+φ) οι συμμετέχοντες αναγνώρισαν με μεγάλη ευκολία (75%) το Α ως το πλάτος ή την μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, ακόμα και οι σπουδαστές που αντιλαμβάνονταν το περιοδικό φαινόμενο ως φθίνουσα ταλάντωση. Επίσης το 54% αναγνώρισε το ω ως τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος που
ταλαντώνεται. Μικρό ποσοστό (8,5%) σπουδαστών χαρακτήρισε το ω ως γωνία ίσως συνδέοντας το σύμβολο με μαθηματικές εφαρμογές αγνοώντας τη σημασία του στο συγκεκριμένο πλαίσιο. Τέλος, ένας στους δύο περίπου σπουδαστές χαρακτήρισαν το φ ως την αρχική φάση ή τη φάση ή τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0, ενώ οι 3 στους 10 αναφέρουν ότι το φ εκφράζει γωνία χωρίς όμως να διευκρινίζουν σε ποια γωνία ακριβώς αναφέρονται. Το θέμα του ερωτήματος 4 ήταν η συσχέτιση των παραπάνω μεγεθών με την περίοδο τους σώματος της Εικόνας 1 και ένα μεγάλο ποσοστό (63%) αναφέρθηκε στον τύπο Τ=2π/ω για να δικαιολογήσει τη σχέση ω και Τ. Το θέμα της ερώτησης 5 ήταν η σύνδεση στοιχείων του φαινόμενου της Εικόνας 1 και της περιοδικής συνάρτησης που περιγράφει κάποιο στοιχείο της εξέλιξής του. Περίπου ένας στο δύο σπουδαστές (52%) υποδεικνύει στο γράφημα την εξέλιξη του φαινομένου στη διάρκεια μιας περιόδου ενώ το 13% υποδεικνύει λάθος αναφέροντας συνήθως το τμήμα ΚΝ. Το 59% ή περίπου 6 στους 10 σπουδαστές συσχετίζουν τα σημεία του Εικόνα 3: Οι απαντήσεις ενός σπουδαστή στις ερωτήσεις 5 και 6 γραφήματος με την εξέλιξη του φαινομένου. Είναι αξιοπερίεργο ότι τους δυσκόλεψε περισσότερο η ερώτηση 5 από την 6 μιας και μόνο το 18% δεν απάντησαν στην ερώτηση 6 σε σχέση με το 35% που δεν απάντησαν στην ερώτηση 5. Ο σπουδαστής στην Εικόνα 3 υποδεικνύει στο γράφημα το χρονικό διάστημα στο οποίο εξελίσσεται το περιοδικό φαινόμενο στη διάρκεια μιας περιόδου και αναφέρει τις θέσεις Μ και Ν ως ακραίες θέσεις του σώματος και το σημείο L ως τη θέση ισορροπίας του σώματος κατανοώντας ότι στο σημείο αυτό η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι ίση με το μηδέν ή f(t)=0. Αξιοσημείωτη είναι η παρέμβαση κάποιου σπουδαστή στην έρευνα ο οποίος διερωτάται αν είναι σωστό η συνάρτηση f(t)=ασυν(ωt+φ) να
εκφράζει την απόσταση x(t) του σώματος από τη θέση ισορροπίας και όχι η συνάρτηση f(t)=αημ(ωt+φ) μη κατανοώντας την ποιοτική σχέση των δύο τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφέρουμε ότι στα σχολικά βιβλία της Φυσικής συνήθως η απομάκρυνση ενός σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη συνάρτηση f(t)=αημ(ωt). Από την άλλη πλευρά στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών συναντάμε τη σχέση των τριγωνομετρικών αριθμών ημιτόνου και συνημιτόνου συμπληρωματικών γωνιών χωρίς όμως να υπάρχει ιδιαίτερη αναφορά στη συσχέτιση των δύο βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι σπουδαστές αν και ανταποκρίθηκαν με ευκολία στις προηγούμενες ερωτήσεις συνάντησαν αρκετές δυσκολίες στο μαθηματικό μέρος του ερωτηματολογίου στην ερώτηση 7 (δηλ. να δικαιολογήσουν ότι η συνάρτηση f(t)=ασυν(ωt+φ) είναι περιοδική). Μόνο το 40%, προσπάθησαν να απαντήσουν σε αυτό το ερώτημα. Οι εξηγήσεις των σπουδαστών διαφοροποιηθήκαν ως εξής: (α) περίπου το 9% αναφέρθηκε στο είδος της συνάρτησης («το συνημίτονο είναι μια περιοδικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση»), (β) περίπου το 8% αναφέρθηκαν στο φυσικό φαινόμενο δηλ. αφού αυτή η συνάρτηση συνδέεται με την εξέλιξη ενός περιοδικού φαινομένου είναι φυσικό να είναι περιοδική, (γ) περίπου το 19% προσπάθησαν να δώσουν μια αλγεβρική απόδειξη (δηλ. Εικόνα 4: Η απάντηση σπουδαστή στην ερώτηση 7 αντικαθιστώντας στο μαθηματικό τύπο της συνάρτησης όπου x το t και όπου x+t to t+t) βασιζόμενοι στον μαθηματικό ορισμό της περιοδικής συνάρτησης όπως παρατηρούμε στην Εικόνα 4. Χωρίς η απάντηση να είναι απόλυτα σωστή δείχνει την προσπάθεια του σπουδαστή να χρησιμοποιήσει στοιχεία του αναλυτικού ορισμού για να δικαιολογήσει με μαθηματικό τρόπο την περιοδικότητα της συνάρτησης. Θα πρέπει να αναφέρουμε ότι οι σπουδαστές δεν ήταν ιδιαίτερα εξοικειωμένοι στην εφαρμογή του αναλυτικού ορισμού μιας και στα σχολικά βιβλία των Μαθηματικών απουσιάζουν τέτοιου είδους δραστηριότητες.
(δ) Ένα πολύ μικρό ποσοστό (4,5%) των σπουδαστών επικαλέστηκαν την ανάγκη δημιουργίας του γραφήματος αν και αυτό τους είχε ήδη δοθεί σε προηγούμενο ερώτημα. Στην τελευταία ερώτηση όπου τους ζητείται στην περίπτωση του ίδιου περιοδικού φαινομένου να δώσουν ένα άλλο παράδειγμα μεγέθους που είναι δυνατόν να εκφραστεί με τη μορφή περιοδικής συνάρτησης κάποιοι από τούς σπουδαστές (21%) δεν κατανόησαν το ερώτημα και έδωσαν άλλα παραδείγματα περιοδικών φαινομένων. Από τους υπόλοιπους μόνο το 10% αναφερθήκαν στην ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος ενώ ένα μικρό ποσοστό σπουδαστών (6,5%) αναφέρθηκε σε μη περιοδικά μεταβαλλόμενα μεγέθη όπως η συχνότητα και η περίοδος ταλάντωσης. Συζήτηση Στην παρούσα εργασία διερευνήσαμε με τη μορφή ερωτήσεων ανοικτού τύπου τις αντιλήψεις των σπουδαστών σε τμήματα εφαρμοσμένης μηχανικής όσον αφορά την έννοια της περιοδικότητας. Θα πρέπει να υπογραμμίσουμε ότι οι δραστηριότητες στις οποίες κλήθηκαν να συμμετέχουν οι πρωτοετείς σπουδαστές, σε μεγάλο βαθμό, δεν αντανακλούσαν συνηθισμένες δράσεις τους ούτε στο μάθημα των μαθηματικών αλλά ούτε και στο μάθημα της φυσικής. Συνεπώς για να ανταποκριθούν έπρεπε να συνθέσουν απόψεις της έννοιας και από τα δύο γνωστικά αντικείμενα. Γενικά οι σπουδαστές δεν δυσκολευτήκαν ιδιαίτερα να περιγράψουν το περιοδικό φαινόμενο και να υποστηρίξουν την έννοια της περιοδικότητας με τη βοήθειά του. Ταυτόχρονα, σε αντίθεση με άλλες έρευνες που αναφέρονται στις δυσκολίες που έχουν ακόμα και επιστήμονες στην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων που δεν ανήκουν στο επιστημονικό τους χώρο (Roth, Pozzer-Ardenghi, & Han, 2005), οι σπουδαστές δεν δυσκολευτήκαν ιδιαίτερα να συσχετίσουν στοιχεία της εξέλιξης του περιοδικού φαινομένου με το γράφημα της περιοδικής συνάρτησης που μοντελοποιεί με κάποιο τρόπο αυτήν την εξέλιξη. Ίσως η περιοδική συμπεριφορά του γραφήματος να υποστηρίζει τέτοιου είδους δραστηριότητες. Παρόλα αυτά οι σπουδαστές δυσκολεύτηκαν αρκετά να δικαιολογήσουν την περιοδικότητα της συνάρτησης f(t)=ασυν(ωt+φ) είτε με τη βοήθεια του αναλυτικού ορισμού είτε με τη βοήθεια της γραφικής παράστασής της. Επίσης τους φάνηκε αρκετά δύσκολο να δώσουν άλλα παραδείγματα μεγεθών που μεταβάλλονται με περιοδικό τρόπο καθώς εξελίσσεται ένα περιοδικό φαινόμενο. Τέτοια παραδείγματα θα μπορούσαν
να είναι η γωνία εκτροπής του σώματος από τη θέση ισορροπίας, η απόσταση του σώματος είτε από το έδαφος είτε από οποιοδήποτε σημείο αναφοράς εκτός του σημείου ανάρτησης κ.ά. Ένα ενδιαφέρον σημείο στις απαντήσεις των σπουδαστών αποτελεί η σύνδεση της έννοιας με τη φθίνουσα ταλάντωση. Θεωρώντας ότι κάθε περιοδικό φαινόμενο στην καθημερινότητα λόγω της απόσβεσης θα εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση (μια επαναλαμβανόμενη κίνηση όπου το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο) οδηγούνται σε λανθασμένες γενικεύσεις αναγνωρίζοντας ως περιοδικό φαινόμενο κάθε είδους κίνησης που επαναλαμβάνεται με οποιοδήποτε τρόπο. Φαίνεται να μην έχουν μια ξεκάθαρη άποψη για την ποιοτική διαφορά των συναρτήσεων x(t)= Aημ(ωt), και x(t)= Ae -λt ημ(ωt) όπου Α, ω και λ σταθερές, και τις συνέπειες αυτής της διαφοράς. Θα πρέπει όμως να προσθέσουμε ότι η 2 η συνάρτηση δεν έχει ιδιαίτερα μελετηθεί στα μαθηματικά Εικόνα 5: Απόσπασμα από το σχολικό βιβλίο Φυσικής [2] της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ενώ η αναλυτική της μορφή δεν συναντάται ούτε στη Φυσική, αν και η γραφική της απεικόνιση υπάρχει στο βιβλίο της Φυσικής της Γ Λυκείου [2]. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο των μηχανικών ταλαντώσεων και στην ενότητα της φθίνουσας ταλάντωσης ο μαθητής καλείται να μελετήσει τέσσερεις γραφικές παραστάσεις (Εικόνα 5): (α) το γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης το οποίο όπως διαβάζουμε εκφράζει την «αμείωτη ταλάντωση», (β) το γράφημα της «φθίνουσας ταλάντωσης όπου η περίοδος είναι σταθερή και ανεξάρτητη του πλάτους», (γ) το γράφημα ταλάντωσης με μεγάλο συντελεστή απόσβεσης και (δ) το γράφημα που αναπαριστά «απεριοδική κίνηση». Από το απόσπασμα του σχολικού βιβλίου εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι το γράφημα (α) αναφέρεται σε περιοδική συνάρτηση και το (δ) σε απεριοδική. Δεν είναι όμως απόλυτα σαφές το τι εκφράζουν τα γραφήματα (β) και (γ) σε σχέση με την έννοια της περιοδικότητας όπως
αυτή ορίζεται στο σχολικό βιβλίο (δηλ. ως κίνησης που εξελίσσεται και επαναλαμβάνεται αναλλοίωτη σε σταθερά χρονικά διαστήματα). Από τη πλευρά των μαθηματικών στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας ο ορισμός της περιοδικής συνάρτησης έρχεται ως γενίκευση του παρακάτω παραδείγματος: «Στο σχήμα [βλ. Εικόνα 6] φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t. Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + 2 sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t - 2 sec. Λέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο 2 sec». Όλοι γνωρίζουμε ότι είναι αδύνατον η κούνια να συνεχίσει να εκτελεί την ίδια ταλάντωση με το πέρασμα του χρόνου συνεπώς στην πραγματικότητα οι Εικόνα 6: Απόσπασμα από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας [2] προϋποθέσεις του ορισμού της περιοδικής συνάρτησης δεν είναι δυνατόν να τηρηθούν. Επιπλέον, σπάνια συναντά ο μαθητής γραφικές παραστάσεις στις οποίες να καταγράφονται αρνητικές τιμές της μεταβλητής. Τέλος, το συγκεκριμένο παράδειγμα δίνεται με αυτόν τον τρόπο για να υπηρετήσει στοιχεία του αναλυτικού ορισμού που θα ακολουθήσει. Οι σπουδαστές θα μπορούσαν να απαντήσουν στο ερώτημα 7 δικαιολογώντας με έναν ανάλογο τρόπο την περιοδικότητα της συνάρτησης αλλά ίσως να σκέφτηκαν ότι μια τέτοια δικαιολόγηση δεν είναι μαθηματικά αποδεκτή. Ταυτόχρονα δεν συναντήσαμε στο σχολικό βιβλίο των μαθηματικών ούτε ένα παράδειγμα συνάρτησης η οποία να Εικόνα 7: Απόσπασμα από το σχολικό βιβλίο της Ηλεκτροτεχνίας [3] παρουσιάζει μια επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά χωρίς να είναι η ίδια περιοδική συνάρτηση. Σε αντίθεση, στο σχολικό βιβλίο της Ηλεκτροτεχνίας συναντήσαμε μια αναπαράσταση η οποία
συγκρίνει το γράφημα ενός περιοδικού και ενός απεριοδικού ρεύματος (Εικόνα 7). Τέτοιου είδους συγκρίσεις βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν σημαντικά χαρακτηριστικά της έννοιας δημιουργώντας πλούσιες εννοιολογικά απεικονίσεις της. Παρόμοιου είδους εκφράσεις όπως η αναπαράσταση (β) της εικόνας 7 ορίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία ως μη-παραδείγματα (non-examples) (Bills, Dreyfus, Mason. Tsamir, Watson & Zaslavsky, 2006) και αναδεικνύεται η σημασία τους στη διδακτική πράξη. Τέλος, δεν γνωρίζουμε μέσα από αυτήν την έρευνα αν οι μαθητές κατανοούν και σε ποιο βαθμό τα στοιχεία του αναλυτικού ορισμού της περιοδικής συνάρτησης αλλά αντιλαμβανόμαστε τη δυσκολία να χειριστούν τέτοιου είδους δραστηριότητες. Για να μπορέσουμε να ερμηνεύσουμε την αντίληψη των σπουδαστών ότι κάθε επαναλαμβανόμενη κίνηση είναι περιοδική θα χρησιμοποιήσουμε το θεωρητικό μας πλαίσιο. Όπως προαναφέραμε θεωρούμε ότι ο κάθε μαθητής, ως υποκείμενο, συμμετέχει σε δυο διαφορετικά είδη δραστηριοτήτων στη διάρκεια των σχολικών του σπουδών, τη μαθηματική και των φυσικών επιστημών (Εικόνα 8). Σε αυτές τις δραστηριότητες ο μαθητής αποτελεί άτυπο μέλος των δύο διαφορετικών κοινότητων. Αυτές οι δύο κοινότητες έχουν διαφορετικούς στόχους και χρησιμοποιούν διαφορετικά εργαλεία για να τους επιτύχουν. Ένα βασικό εργαλείο της κάθε δραστηριότητας είναι τα σχολικά εγχειρίδια. Αναλύοντας το περιεχόμενό τους (π.χ. αναπαραστάσεις, Εργαλεία: Σχολικά βιβλία των μαθηματικών (αναπαραστάσεις, παραδείγματα, ασκήσεις κλπ.) Εργαλεία: Σχολικά βιβλία της φυσικής (αναπαραστάσεις, παραδείγματα, ασκήσεις κλπ.) Ο μαθητής Η μελέτη των περιοδικών συναρτήσεω Η έννοια της περιοδικότητας Η μελέτη των περιοδικών φαινομένων Ο μαθητής Κανόνες (συμβάσεις όπως η μελέτη αφηρημένης μορφής αντικειμένων Η μαθηματική κοινότητα (καθηγητές, επιστημονική κοινότητα κλπ.) Οι σχολικές ευθύνες του μαθητή (π.χ. επίλυση ασκήσεων, διαγωνίσματα) Οι σχολικές ευθύνες του μαθητή (π.χ. επίλυση ασκήσεων, διαγωνίσματα) Η κοινότητα (καθηγητές, επιστημονική κοινότητα κλπ.) των φυσικών επιστημών Κανόνες (συμβάσεις όπως η μελέτη αντικειμένων πολύ κοντά στη πραγματικότητα) Εικόνα 8: Είδη δραστηριοτήτων σε δύο διαφορετικές επιστημονικές περιοχές του Αναλυτικού Προγράμματος. παραδείγματα κλπ.) και την επιχειρηματολογία που αναπτύσσεται
παρατηρούμε ότι: Από τη μια πλευρά στο σχολικό βιβλίο της Φυσικής αντιμετωπίζεται η περιοδικότητα ως μια επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά ενός φαινομένου χωρίς να είναι απόλυτα σαφές ότι αυτή η συμπεριφορά δεν αφορά κάποιες περιπτώσεις όπως η φθίνουσα ταλάντωση. Από την άλλη πλευρά στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών τα παραδείγματα αφορούν ιδεατές καταστάσεις οι οποίες χρησιμοποιούνται απλά για να υπηρετήσουν τη μαθηματική δραστηριότητα, ενώ ταυτόχρονα απουσιάζουν τα λεγόμενα «μη-παραδείγματα» (δηλ. παραδείγματα συναρτήσεων τα οποία να παρουσιάζουν μια επαναλαμβανόμενη μη περιοδική συμπεριφορά). Συνεπώς, οι διαφορετικοί κανόνες, οι συμβάσεις και τα εργαλεία που χρησιμοποιεί η κάθε κοινότητα δεν βοηθούν στην διαμόρφωση μιας ολοκληρωμένης αντίληψης σχετικά με την έννοια της περιοδικότητας που είναι πολύ σημαντική για κάθε προπτυχιακό φοιτητή. Βιβλιογραφία Bills, L. Dreyfus, T. Mason, J. Tsamir, P. Watson, A. & Zaslavsky, O. (2006). Exemplification in mathematics education, in: J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. Stehliková (Eds) Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, 126-154. Prague, Czech Republic Buendia G. & Cordero F. (2005). Prediction and the periodical aspect as generators of knowledge in a social practice framework. Educational Studies in Mathematics, 58, 299 333. Dreyfus T. and Eisenberg T. (1980). On teaching periodicity. International Journal in Mathematics Education, Science & Technology, 11(4), 507-509. Engeström, Y. & Cole, M. (1997). Situated cognition in search of an agenda. In J. A. Whitson, & D. Kirshner, (Eds.), Situated Cognition. Social, semiotic, and psychological perspectives. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Kynigos C., & Gavrilis, K. (2006). Constructing A Sinusoidal Periodic Covariation. In Novotná, J., Moraová, H., Krátká, M. & Stehlíková, N. (Eds.). Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 9-16. Prague: PME. Roth, W.-M., Pozzer-Ardenghi, L., & Han, J. (2005). Critical graphicacy: understanding visual representation practices in school science. Dordrecht: Springer-Kluwer.
Shama G., (1998). Understanding Periodicity as a Process with A Gestalt Structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255 281. Van Dormolen, J. & Zaslavsky, O. (2003). The many facets of a definition: the case of periodicity. Journal of Mathematical Behavior, 22(1), 1-106. Strauss, A. & Corbin, J. (1998). Basics of Qualitative Research: Techniques and Procedures for Developing Grounded Theory. Thousand Oaks: Sage. Vygotsky, L. (1978). Mind in Society: the Development of Higher Psychological Processes, M. Cole, V. John-Steiner, S. Scribner and E. Soubermann (eds and trans.) Cambridge, MA: Harvard University Press. Κολέζα, Ε. (2000). Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών. Αθήνα: Leader Bocks. Σχολικά βιβλία [1] Άλγεβρα Β Τάξη Γενικού Λυκείου. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. ΟΕΔΒ. Αθήνα. (2010). [2] Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Τάξη Γενικού Λυκείου. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. ΟΕΔΒ. Αθήνα. (2008). [3] Ηλεκτροτεχνία, Α Τάξη 1 ου Κύκλου. Τεχνικά Επαγγελματικά Εκπαιδευτήρια. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. ΟΕΔΒ. Αθήνα. (2009).