ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ανάλυση χρονοσειρών Εισαγωγή Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συµβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συµπεριφοράς µιας µεταβλητής και επιτρέπουν την πρόβλεψη µελλοντικών τιµών της. Αντικείµενο του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση του τρόπου ανάλυσης χρονοσειρών στο περιβάλλον του Excel. Η ανάγκη πρόβλεψης εµφανίζεται σε πολλά προβλήµατα λήψης αποφάσεων. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα είναι τα ακόλουθα: Ο προγραµµατισµός των παραγγελιών µιας εταιρείας που εµπορεύεται ένα προϊόν στηρίζεται σε προβλέψεις της ζήτησης του προϊόντος. Ο προγραµµατισµός των δροµολογίων µιας αεροπορικής εταιρείας και του καταµερισµού του προσωπικού της στηρίζεται σε προβλέψεις της ζήτησης θέσεων σε συγκεκριµένες πτήσεις. Ο σχεδιασµός των µονάδων παραγωγής και του δικτύου διανοµής µιας επιχείρησης παραγωγής ενέργειας στηρίζεται σε προβλέψεις της ζήτησης ενέργειας. Η επένδυση σε µία ή περισσότερες µετοχές ενός ιδιώτη ή µιας επιχείρησης στηρίζεται σε προβλέψεις των µελλοντικών τιµών των αξιών των µετοχών και των επιτοκίων. Η πρόβλεψη µελλοντικών συµπεριφορών στηρίζεται στην ανάλυση παρατηρήσεων που αναφέρονται στο παρελθόν (ιστορικά δεδοµένα). Αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο πρόβληµα, για δύο κυρίως λόγους. Ο πρώτος έχει να κάνει µε τη δυσκολία αναγνώρισης των χαρακτηριστικών και των σχέσεων που διέπουν τα ιστορικά δεδοµένα. Σε πολλές περιπτώσεις
176 Κεφάλαιο 8 είναι σχεδόν αδύνατος ο διαχωρισµός των χαρακτηριστικών αυτών από τις τυχαίες διακυµάνσεις της µεταβλητής (οι οποίες αναφέρονται µε το γενικό όρο «θόρυβος»). Η µοντελοποίηση του θορύβου µπορεί να οδηγήσει σε εντελώς λανθασµένες προβλέψεις. Το δεύτερο πρόβληµα οφείλεται στην αβεβαιότητα συνέχισης στο µέλλον των χαρακτηριστικών της µεταβλητής. Κάποιο γεγονός (π.χ. µια πολιτική απόφαση ή η εµφάνιση µιας τεχνολογικής καινοτοµίας) µπορεί να προκαλέσει απρόβλεπτες µελλοντικές εξελίξεις. Οι λόγοι αυτοί δικαιολογούν την προτίµηση που δείχνουν οι περισσότεροι ερευνητές στα απλά µοντέλα πρόβλεψης. Θεωρητικές έννοιες Μια χρονοσειρά είναι µια αλληλουχία ποσοτικών παρατηρήσεων µιας µεταβλητής, οι οποίες λαµβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήµατα (µέρα, εβδοµάδα, µήνας, έτος κλπ). Οι ποσοτικές µέθοδοι πρόβλεψης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: στις αιτιοκρατικές (causal) ή οικονοµετρικές (econometric) µεθόδους και στις µέθοδοι προεκβολής (extrapolation) ή µεθόδους χρονοσειρών. Οι αιτιοκρατικές µέθοδοι επιχειρούν να εξηγήσουν τη συµπεριφορά µιας µεταβλητής συσχετίζοντάς την µε άλλες. Για παράδειγµα, µια εταιρεία µπορεί να χρησιµοποιήσει ένα αιτιοκρατικό µοντέλο προκειµένου να εκτιµήσει τη σχέση µεταξύ της ζήτησης (εξαρτηµένη µεταβλητή) και του ύψος των εξόδων διαφήµισης της ίδιας και των ανταγωνιστών της και τη γενικότερη κατάσταση της αγοράς (ανεξάρτητες µεταβλητές). Με βάση το µοντέλο αυτό, είναι σε θέση να προβλέψει µελλοντικές τιµές της ζήτησης, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν προβλέψεις για τις ανεξάρτητες µεταβλητές. Η ανεύρεση της ζητούµενης σχέσης στηρίζεται σε τεχνικές παλινδρόµησης. Επειδή η ανάλυση παλινδρόµησης παρουσιάστηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, το παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθεί στις µεθόδους χρονοσειρών. Στις µεθόδους χρονοσειρών η πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών µιας µεταβλητής στηρίζεται αποκλειστικά σε ιστορικές τιµές της ίδιας µεταβλητής. Η ιδέα βασίζεται στην πεποίθηση ότι είναι δυνατή η προεκβολή των ιστορικών τιµών, ακολουθώντας τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Τα χαρακτηριστικά αυτά µπορεί να είναι συγκεκριµένες τάσεις (ανοδικές ή καθοδικές), εποχικότητα ή άλλα. Το πρώτο βήµα για την ανάλυση µιας χρονοσειράς είναι η απεικόνιση των δεδοµένων σε ένα διάγραµµα χρονοσειράς. Με τον τρόπο αυτό τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς εµφανίζονται ως γραφικά µοτίβα. Η
Ανάλυση χρονοσειρών 177 αναγνώριση των µοτίβων αυτών καθορίζει και το είδος της ανάλυσης που θα ακολουθηθεί. Συµβολισµοί και σχέσεις Η µεταβλητή που εξετάζεται συµβολίζεται µε Y, ενώ η τιµή της τη χρονική στιγµή t συµβολίζεται µε Yt. Η προβλεπόµενη τιµή της µεταβλητής τη χρονική στιγµή t συµβολίζεται µε F t, ενώ το σφάλµα (υπόλοιπο) της πρόβλεψης ορίζεται ως: Et Yt F t = (8.1) Τα µέτρα ακρίβειας που χρησιµοποιούνται συχνότερα για την αξιολόγηση µιας µεθόδου πρόβλεψης είναι τα ακόλουθα (µε N συµβολίζεται ο συνολικός αριθµός των τιµών): Μέσο απόλυτο σφάλµα (mean absolute error): N 1 MAE = E (8.2) N t = 1 Ρίζα του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (root mean square error): t RMSE = N t= 1 N E 2 t (8.3) Μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλµα (mean absolute percentage error): E MAPE 100% N Y N 1 t = (8.4) t= 1 t Τυχαίες χρονοσειρές Το τυχαίο µοντέλο είναι το πιο απλό µοντέλο χρονοσειρών. Μια χρονοσειρά ακολουθεί το τυχαίο µοντέλο όταν οι παρατηρήσεις µεταβάλλονται γύρω από µια σταθερή µέση τιµή, παρουσιάζουν σταθερή διασπορά και είναι πιθανολογικά ανεξάρτητες µεταξύ τους. Γραφικά, οι τυχαίες χρονοσειρές δεν εµφανίζουν κάποιο συγκεκριµένο µοτίβο. Ο καλύτερος τρόπος κατανόησης του τυχαίο µοντέλου είναι η εξέταση
178 Κεφάλαιο 8 µερικών µη-τυχαίων χρονοσειρών. Τα διαγράµµατα που ακολουθούν, καθώς και οι αντίστοιχες χρονοσειρές, βρίσκονται στο αρχείο SERIES.XLS. Σχήµα 8.1 Χρονοσειρά µε ανοδική τάση. Η χρονοσειρά του σχήµατος 8.1 εµφανίζει µια ανοδική τάση. Αν και µερικές παρατηρήσεις παρουσιάζουν µικρότερη τιµή από τις αµέσως προηγούµενές τους, στο σύνολό τους τείνουν να αυξάνονται.
Ανάλυση χρονοσειρών 179 Σχήµα 8.2 Χρονοσειρά µε εποχιακές διακυµάνσεις. Σχήµα 8.3 Χρονοσειρά µε ελικοειδή συµπεριφορά. Στο σχήµα 8.2 παρουσιάζεται µια χρονοσειρά µε εποχιακές διακυµάνσεις. Οι µέγιστες και οι ελάχιστες τιµές επαναλαµβάνονται κάθε 12 παρατηρήσεις. Τυπικό παράδειγµα τέτοιας συµπεριφοράς αποτελούν οι µηνιαίες πωλήσεις ενός καταστήµατος, όπου υψηλές τιµές εµφανίζονται σε συγκεκριµένους µήνες κάθε έτους (π.χ. περίοδοι εορτών ή καλοκαιρινοί µήνες). Ένα διαφορετικό µοτίβο είναι αυτό που παρατηρείται στη χρονοσειρά του σχήµατος 8.3. Υψηλές τιµές (µεγαλύτερες της µέσης) τείνουν να ακολουθούνται από νέες υψηλές τιµές και χαµηλές τιµές τείνουν να ακολουθούνται από νέες χαµηλές τιµές. Παράδειγµα τέτοιας ελεικοειδούς συµπεριφοράς µπορεί να παρατηρηθεί στην πορεία της αξίας µια µετοχής. Κάποιο γεγονός προκαλεί ανοδική πορεία, µέχρι τη στιγµή που κάποιο άλλο γεγονός αντιστρέφει την τάση αυτή. Στο σχήµα 8.4 παρουσιάζεται η αντίθετη περίπτωση. Οι τιµές της χρονοσειράς ταλαντώνονται µε µεγάλη συχνότητα. Υψηλές τιµές τείνουν να ακολουθούνται από χαµηλές τιµές και αντίθετα. Για παράδειγµα, οι µετρήσεις µπορεί να αντιστοιχούν στις πωλήσεις ενός προϊόντος κατά την περίοδο του καλοκαιριού και του χειµώνα αντίστοιχα.
180 Κεφάλαιο 8 Η χρονοσειρά του σχήµατος 8.5 εµφανίζει µια αύξηση της διασποράς των παρατηρήσεων από τη µέση τιµή. Τυπικό παράδειγµα αποτελεί η ηµερήσια µεταβολή της αξίας µιας µετοχής, η οποία παρουσιάζει ανοδική τάση. Σχήµα 8.4 Χρονοσειρά µε ταλαντώσεις. Σχήµα 8.5 Χρονοσειρά µε αυξητική διασπορά.
Ανάλυση χρονοσειρών 181 Τέλος, η χρονοσειρά του σχήµατος 8.6 δεν εµφανίζει κανένα από τα παραπάνω µοτίβα και µπορεί να θεωρηθεί τυχαία. Σχήµα 8.6 Τυχαία χρονοσειρά. Μια χρονοσειρά που ακολουθεί το τυχαίο µοντέλο µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή: Y t = µ + ε t (8.5) όπου µ είναι η σταθερή µέση τιµή, γύρω από την οποία κυµαίνονται οι τιµές και ε t είναι οι διαφορές των παρατηρήσεων από τη µέση τιµή. Οι διαφορές αυτές (θόρυβος) έχουν µέση τιµή 0 και σταθερή τυπική απόκλιση ίση µε σ. Σύµφωνα µε το τυχαίο µοντέλο, η προβλεπόµενη τιµή της µεταβλητής σε κάθε παρατήρηση είναι ίση µε τη µέση τιµή της: F t = µ (8.6) και η ποσότητα ε t αντιστοιχεί στο σφάλµα της πρόβλεψης. Η µέση τιµή (µ) συνήθως προσεγγίζεται από τη µέση τιµή των ιστορικών παρατηρήσεων Y. ( ) Χρονοσειρές που ακολουθούν το τυχαίο µοντέλο εµφανίζονται κατά τη δειγµατοληψία µιας τυχαίας µεταβλητής. Για παράδειγµα, η χρονική µεταβολή της διαµέτρου ενός εξαρτήµατος που παράγεται από µια µηχανή συνήθως ακολουθεί το τυχαίο µοντέλο.
182 Κεφάλαιο 8 Σχήµα 8.7 Μέσες µηνιαίες τιµές του δείκτη Dow Jones. Είναι όµως δυνατό, ξεκινώντας από µια µη-τυχαία χρονοσειρά και εφαρµόζοντας κατάλληλους µετασχηµατισµούς, να προκύψει µια νέα τυχαία χρονοσειρά. Οι µετασχηµατισµοί στοχεύουν στην αποµάκρυνση των µοτίβων και στην αποµόνωση του θορύβου, που είναι αδύνατο να µοντελοποιηθεί. Οι τεχνικές αυτές ονοµάζονται µέθοδοι διάσπασης (decomposition methods) και αναλύονται στη συνέχεια µέσα από ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα. Παράδειγµα διάσπασης χρονοσειράς Στο αρχείο DOW.XLS παρουσιάζονται οι µέσες µηνιαίες τιµές κλεισίµατος του δείκτη Dow Jones για τα έτη 1982 έως 1990. Η χρονοσειρά µε τις τιµές του δείκτη Dow Jones παρουσιάζεται στο σχήµα 8.7. Παρατηρείται µια ανοδική τάση του δείκτη, αν και είναι εµφανείς ορισµένες περίοδοι πτώσης (π.χ. η µεγάλη πτώση τον Οκτώβριο του 1987). Ένας τρόπος αποµάκρυνσης της τάσης αυτής είναι η χρήση διαφορών µεταξύ διαδοχικών τιµών. Η νέα µεταβλητή αντιπροσωπεύει τη µηνιαία µεταβολή του δείκτη και υπολογίζεται στη στήλη C: Στο κελί C5 εισάγεται ο τύπος: =B5-B4 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί C123
Ανάλυση χρονοσειρών 183 Σχήµα 8.8 Μηνιαίες µεταβολές του δείκτη Dow Jones. Είναι προφανές ότι η διαφορά δεν µπορεί να υπολογιστεί για τον πρώτο µήνα. Η νέα χρονοσειρά έχει τη µορφή του σχήµατος 8.8 και συγκρίνοντάς τη µε το σχήµα 8.7 παρατηρείται ότι η ανοδική τάση αποµακρύνθηκε. Οι µεταβολές κυµαίνονται γύρω από µια σταθερή µέση τιµή. Η διασπορά, όµως, γύρω από τη µέση τιµή συνεχώς αυξάνεται. Η συµπεριφορά αυτή δικαιολογείται από το γεγονός ότι στις υψηλότερες τιµές του δείκτη οι απόλυτες µεταβολές µπορούν να κυµαίνονται σε µεγαλύτερο εύρος. Η παραπάνω παρατήρηση οδηγεί στην απόφαση εξέτασης της ποσοστιαίας µεταβολής του δείκτη. Η ποσότητα αυτή αντιπροσωπεύει τη µηνιαία απόδοση και υπολογίζεται στη στήλη D: Στο κελί D5 εισάγεται ο τύπος: =100*C5/B4 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί D123. Η νέα χρονοσειρά έχει τη µορφή του σχήµατος 8.9. Η χρονοσειρά αυτή µπορεί να θεωρηθεί τυχαία και να χρησιµοποιηθεί για την πρόβλεψη του δείκτη Dow Jones. Σύµφωνα µε το τυχαίο µοντέλο, η προβλεπόµενη απόδοση είναι ίση µε τη µέση τιµή των αποδόσεων (στο συγκεκριµένο παράδειγµα ίση µε 0,98%), για κάθε µήνα. Για τον έλεγχο της ακρίβειας της πρόβλεψης πραγµατοποιούνται τα ακόλουθα βήµατα:
184 Κεφάλαιο 8 Σχήµα 8.9 Μηνιαίες αποδόσεις του δείκτη Dow Jones. Στο κελί Ε5 εισάγεται ο τύπος: =AVERAGE(D5:D123) και στα κελιά Ε6:Ε123 ο τύπος: =$E$5. Στη συνέχεια, στη στήλη F, υπολογίζονται οι προβλεπόµενες τιµές του δείκτη µε τον αντίστροφο µε πριν µετασχηµατισµό. Στο κελί F5 εισάγεται ο τύπος: =B4*(1+E5/100) και αντιγράφεται µέχρι το κελί F123. Τέλος, στη στήλη G υπολογίζονται τα σφάλµατα της πρόβλεψης. Στο κελί G5 εισάγεται ο τύπος: =B5-F5 και αντιγράφεται µέχρι το κελί G123. Στο σχήµα 8.10 παρουσιάζονται συγκριτικά οι χρονοσειρές των τιµών του δείκτη και των αντίστοιχων προβλέψεων ενώ στο σχήµα 8.11 παρουσιάζεται η τελική µορφή του φύλλου εργασίας.
Ανάλυση χρονοσειρών 185 Σχήµα 8.10 Πρόβλεψη των τιµών του δείκτη Dow Jones. Σχήµα 8.11 Τελική µορφή του φύλλου εργασίας.
186 Κεφάλαιο 8 Σχήµα 8.12 Η χρονοσειρά των πωλήσεων. Μέθοδος αυτοπαλινδρόµησης Ένα από τα χαρακτηριστικά των τυχαίων χρονοσειρών είναι ότι οι παρατηρήσεις είναι πιθανολογικά ανεξάρτητες. Πολλές χρονοσειρές δεν ικανοποιούν το κριτήριο αυτό καθώς κάθε παρατήρηση εξαρτάται από τις προηγούµενές της. Η ιδιότητα αυτή ονοµάζεται αυτοσυσχέτιση. Για παράδειγµα, στη συχνότερη περίπτωση αυτοσυσχέτισης, τη θετική αυτοσυσχέτιση, µεγάλες τιµές τείνουν να ακολουθούνται από µεγάλες τιµές και το αντίστροφο. Για την ανάλυση αυτοσυσχετιζόµενων χρονοσειρών χρησιµοποιούνται οι τιµές υστέρησης (lag values), οι οποίες προκύπτουν µε µετατόπιση των τιµών της χρονοσειράς κατά ένα αριθµό θέσεων προς τα εµπρός. Ένα µέτρο της αυτοσυσχέτισης είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης, ο οποίος για περίοδο υστέρησης k και για µια χρονοσειρά µε παρατηρήσεις από t = 1 έως t = T ορίζεται ως: r = ( Yk+ 1 Y) ( Y1 Y ) +... + ( YT Y) ( YT k Y ) ( Y1 Y) + ( Y2 Y ) +... + ( YT Y) k 2 2 2 (8.7)
Ανάλυση χρονοσειρών 187 Παράδειγµα Στο αρχείο SALES.XLS παρουσιάζονται οι εβδοµαδιαίες πωλήσεις ενός προϊόντος τις τελευταίες 42 εβδοµάδες. Το διάγραµµα της χρονοσειράς των πωλήσεων φαίνεται στο σχήµα 8.12. Αρχικά, στις στήλες C και D υπολογίζονται οι τιµές υστέρησης µιας και δύο εβδοµάδων αντίστοιχα. Στο κελί C5 εισάγεται ο τύπος: =B4 και αντιγράφεται µέχρι το κελί C45. Στο κελί D6 εισάγεται ο τύπος: =B4 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D45. Είναι προφανές ότι από την αρχή των δύο νέων χρονοσειρών απουσιάζουν µία και δύο τιµές αντίστοιχα. Για τον υπολογισµό του συντελεστή αυτοσυσχέτισης µε βάση τη σχέση (8.7), υπολογίζονται οι διαφορές Yt Y, στη στήλη Ε και τα τετράγωνα των διαφορών στη στήλη F: Στο κελί Ε4 εισάγεται ο τύπος: =B4-AVERAGE($B$4:$B$45) και αντιγράφεται µέχρι το κελί Ε45. Στο κελί F4 εισάγεται ο τύπος: =E4*E4 και αντιγράφεται µέχρι το κελί F45. Στη συνέχεια, οι συντελεστές αυτοσυσχέτησης για περιόδους υστέρησης από 1 έως 5 υπολογίζονται στα κελιά J5 έως J9, ως εξής: =SUMPRODUCT(E5:E45;E4:E44)/SUM(F4:F45) =SUMPRODUCT(E6:E45;E4:E43)/SUM(F4:F45) =SUMPRODUCT(E7:E45;E4:E42)/SUM(F4:F45) =SUMPRODUCT(E8:E45;E4:E41)/SUM(F4:F45) =SUMPRODUCT(E8:E45;E4:E41)/SUM(F4:F45) Τέλος, στο κελί K5 υπολογίζεται το τυπικό σφάλµα του συντελεστή αυτοσυσχέτισης που είναι ίσο µε 1 T, εισάγοντας τον τύπο: =1/SQRT(COUNT(B4:B45)).
188 Κεφάλαιο 8 Ένας πρακτικός κανόνας είναι να θεωρείται ένας συντελεστής αυτοσυσχέτισης σηµαντικός όταν η απόλυτη τιµή του είναι τουλάχιστον διπλάσια από το τυπικό σφάλµα. Σχήµα 8.13 Προβλέψεις πωλήσεων. Στις περιπτώσεις που κάποιος (ή κάποιοι) συντελεστής αυτοσυσχέτισης είναι σηµαντικός µπορεί να χρησιµοποιηθεί ένα µοντέλο αυτοπαλινδρόµησης. Τα µοντέλα αυτά στηρίζονται σε µια εξίσωση παλινδρόµησης µε ανεξάρτητες µεταβλητές τις τιµές υστέρησης. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα θα εξεταστεί ένα γραµµικό µοντέλο αυτοπαλινδρόµησης µε βάση τις πρώτες τιµές υστέρησης: Ft a by t 1 = + (8.8) Με τη βοήθεια του εργαλείου Regression του Analysis ToolPak προκύπτει ότι a = 13,763 και b = 0,793. Με βάση τις τιµές αυτές είναι εύκολο να υπολογισθούν οι προβλέψεις των πωλήσεων (στήλη G). Για την πρόβλεψη µελλοντικών τιµών των πωλήσεων µετά την 42 η εβδοµάδα, στο δεξί σκέλος της (8.8) χρησιµοποιούνται είτε οι γνωστές είτε οι προβλεπόµενες τιµές των πωλήσεων. Έτσι, το προβλεπόµενο ύψος των πωλήσεων την 43η εβδοµάδα υπολογίζεται µε βάση τη γνωστή τιµή στην 42η εβδοµάδα (κελί G46) ενώ για τις εβδοµάδες 44 και 45 χρησιµοποιούνται οι προβλέψεις των εβδοµάδων 43 και 44 αντίστοιχα (κελιά G47 και G48).
Ανάλυση χρονοσειρών 189 Τα συγκριτικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 8.13 ενώ η τελική µορφή του φύλλου εργασίας στο σχήµα 8.14. Σχήµα 8.14 Τελική µορφή του φύλλου εργασίας ανάλυσης των πωλήσεων. Μέθοδος κινητού µέσου όρου Μια από τις απλούστερες µεθόδους πρόβλεψης είναι αυτή του κινητού µέσου όρου (moving average). Η προβλεπόµενη τιµή στη χρονική περίοδο t προκύπτει ως ο µέσος όρος των k προηγούµενων µετρήσεων. Y + Y + + Y Ft = k t 1 t 2 t k (8.9)
190 Κεφάλαιο 8 όπου η σταθερά k αποτελεί την παράµετρο του µοντέλου. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται συχνά ως βοηθητική µέθοδος για να εξοµαλύνει τις τυχαίες διακυµάνσεις (θόρυβος) και να αποκαλύψει τις τάσεις. Το Excel παρέχει αυτόµατα τη δυνατότητα εισαγωγής της χρονοσειράς κινητού µέσου στα διαγράµµατα, µέσω της επιλογής TrendLine. Για την εφαρµογή της µεθόδου στη χρονοσειρά των τιµών του δείκτη Dow Jones, επιλέγεται το διάγραµµα της χρονοσειράς και ακολουθούνται τα παρακάτω βήµατα: Από το µενού Chart επιλέγεται η εντολή Add Trendline. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται εισάγονται οι πληροφορίες που φαίνονται στο σχήµα 8.15. Σχήµα 8.15 Το πλαίσιο διαλόγου Add Trendline. Στο σχήµα 8.16 παρουσιάζεται η τελική µορφή του διαγράµµατος, στο οποίο εµφανίζεται και η καµπύλη του κινητού µέσου όρου των 10 µηνών. Πειραµατιζόµενοι µε το µέγεθος της σταθεράς k παρατηρείται ότι όσο αυτό αυξάνει τόσο µεγαλύτερη εξοµάλυνση επιτυγχάνεται. Οι προβλεπόµενες τιµές του δείκτη µπορούν να υπολογιστούν εύκολα ως εξής: Στο κελί Η13 εισάγεται ο τύπος:
Ανάλυση χρονοσειρών 191 =AVERAGE(B4:B13) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Η123. Σχήµα 8.16 Η καµπύλη του κινητού µέσου των 10 µηνών. Εύκολα επίσης υπολογίζονται τα σφάλµατα της πρόβλεψης στη στήλη I. Στο κελί Ι14 εισάγεται ο τύπος: =B13-H13 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Ι123. Μέθοδος εκθετικής εξοµάλυνσης Ένα από τα σηµαντικότερα µειονεκτήµατα της µεθόδου του κινητού µέσου όρου είναι ότι προσδίδει το ίδιο βάρος σε όλες τις k προηγούµενες παρατηρήσεις. Είναι όµως λογικό η τρέχουσα παρατήρηση να επηρεάζεται σε µεγαλύτερο βαθµό από τις πιο πρόσφατες παρατηρήσεις. Η µέθοδος της εκθετικής εξοµάλυνσης (exponential smoothing) λαµβάνει υπόψη το γεγονός αυτό και προσδίδει µεγαλύτερο βάρος στις πρόσφατες ιστορικές παρατηρήσεις. Έστω ότι οι ιστορικές παρατηρήσεις εκτείνονται µέχρι τη χρονική περίοδο t και στόχος είναι η πρόβλεψη των επόµενων περιόδων. Η εκθετική εξοµάλυνση προσδίδει στην παρατήρηση t βάρος ίσο µε w, στη επόµενη (t
192 Κεφάλαιο 8 1) βάρος ίσο µε w (1 w), στην επόµενη (t 2) βάρος ίσο µε w (1 w) 2 και γενικά στην t k παρατήρηση προσδίδει βάρος ίσο µε w (1 w) k. Καθώς η τιµή του συντελεστή εξοµάλυνσης (w) κυµαίνεται από 0 έως 1, η ακολουθία των βαρών συνεχώς φθίνει. Έτσι, κάθε χρονική στιγµή t υπολογίζεται ο όρος L t, ο οποίος ονοµάζεται επίπεδο (level) της χρονοσειράς ως: ( ) ( ) ( ) 2 3 t t t 1 t 2 t 3 L = wy + w 1 w Y + w 1 w Y + w 1 w Y +... (8.10) Εναλλακτικά, µπορεί να χρησιµοποιηθεί η ακόλουθη αναδροµική σχέση: ( ) Lt wyt 1 w Lt 1 = + (8.11) Σύµφωνα µε τη µέθοδο εκθετικής εξοµάλυνσης, το επίπεδο L t αποτελεί την πρόβλεψη για όλες τις χρονικές στιγµές µετά την t. F = L k = 1, 2 (8.12) t+ k t, Παράδειγµα Εφαρµόζεται η µέθοδος εκθετικής εξοµάλυνσης στα δεδοµένα πωλήσεων του αρχείου SALES.XLS. Στη στήλη C του φύλλου εργασίας ExpData υπολογίζονται τα επίπεδα της χρονοσειράς. Στο κελί C4 εισάγεται ο τύπος: =B4 Στο κελί C5 εισάγεται ο τύπος: =$H$3*B5+(1-$H$3)*C4 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί C45. Στη στήλη D υπολογίζονται οι προβλέψεις µε βάση το µοντέλο εκθετικής εξοµάλυνσης. Στο κελί D5 εισάγεται ο τύπος: =C4 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί D48. Στη στήλη Ε υπολογίζονται τα σφάλµατα των προβλέψεων. Στο κελί Ε5 εισάγεται ο τύπος: =B5-D5
Ανάλυση χρονοσειρών 193 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Ε45. Τέλος στο κελί Η4 υπολογίζεται η ρίζα του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος (RMSE) µε τον τύπο: Σχήµα 8.17 Προβλέψεις των πωλήσεων µε τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης. =SQRT(SUMSQ(E5:E45)/COUNT(E5:E45)). Στο φύλλο εργασίας ExpSmooth παρουσιάζεται το συγκριτικό διάγραµµα των παρατηρήσεων και των προβλέψεων. Για τιµή του συντελεστή εξοµάλυνσης w = 0,2, το διάγραµµα έχει τη µορφή του σχήµατος 8.17. Με τη βοήθεια του εργαλείου Solver, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η τιµή του συντελεστή εξοµάλυνσης που παρέχει το ελάχιστο RMSE. Στο πλαίσιο διαλόγου του εργαλείου Solver εισάγονται τα στοιχεία του σχήµατος 8.18. Η βέλτιστη τιµή του w είναι ίση µε 0,795, ενώ το συγκριτικό διάγραµµα παίρνει τη µορφή του σχήµατος 8.19. Σ ΗΜΕΙΩΣΗ Το εργαλείο Solver και ο τρόπος χρήσης του περιγράφονται αναλυτικά στο κεφάλαιο 9.
194 Κεφάλαιο 8 Σχήµα 8.18 Χρήση του εργαλείου Solver για την εύρεση της βέλτιστης τιµής του συντελεστή εξοµάλυνσης. Σχήµα 8.19 Προβλέψεις των πωλήσεων µε τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης για τη βέλτιστη τιµή του συντελεστή εξοµάλυνσης. Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA.
Ανάλυση χρονοσειρών 195 Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Berk, K.N., and Carey, P. (1998) Data Analysis with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Hamburg, M. (1983) Statistical Analysis for Decision Making, Harcourt Brace Jovanovitch, USA. Levine, D.M., Berenson, M.L., and Stephan, D. (1999) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Prentice-Hall, NJ.