Κωνικές τομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Κωνικές τομές Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr 3 / / 0 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 3 57 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Τα πάντα για τις κωνικές τομές Κύκλος Είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από σταθερό σημείο (κέντρο) σταθερή απόσταση ρ (ακτίνα) Μορφή κύκλου με κέντρο K,, ακτίνα : o o o o Εφαπτομένη πάρε τη μορφή της ευθείας και o o χρησιμοποίησε την ιδιότητα ότι το κέντρο απέχει από εφαπτομένη απόσταση ρ δηλ. d K, (το νου σου η εφαπτομένη είναι κάθετη σε ακτίνα στο σημείο επαφής και υπάρχει πιθανότητα η εφαπτόμενη να είναι κατακόρυφη της μορφής : o ) Κωνικές τομές Παραβολή Το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από σταθερή ευθεία (διευθετούσα) και σταθερό σημείο (εστία) Μορφές παραβολής : p p p, E,0, p p p, E 0,, Μορφές εφαπτομένης : p : p p p : p p www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Υπερβολή Έλλειψη Το σύνολο των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεών τους από δύο σταθερά σημεία (εστίες) είναι σταθερό και ίσο με α Μορφές έλλειψης : a, με εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) όπου Κορυφές τα σημεία Α(α,0),Α(-α,0), Β(0,β),Β (0,-β), εστιακή απόσταση γ, μεγάλος άξονας α, μικρός άξονας β, εκκεντρότητα, εφαπτομένη a ή, με εστίες Ε(0,γ) και Ε (0,-γ) όπου Κορυφές τα σημεία Α(0,α),Α(0,-α), Β(β,0),Β (-β,0), εστιακή απόσταση γ, μεγάλος άξονας α, μικρός άξονας β, εκκεντρότητα, εφαπτομένη Κύκλος Το σύνολο των σημείων των οποίων το απόλυτο της διαφοράς των αποστάσεών τους από δύο σταθερά σημεία (εστίες) είναι σταθερό και ίσο με γ Μορφές υπερβολής : a, με εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) όπου Κορυφές τα σημεία Α(α,0),Α(-α,0), εστιακή απόσταση γ, εκκεντρότητα, ασύμπτωτες, εφαπτομένη a a ή, με εστίες Ε(0,γ) και Ε (0,-γ) όπου Κορυφές τα σημεία Α(0,α),Α(0,-α), εστιακή απόσταση γ, εκκεντρότητα, ασύμπτωτες, εφαπτομένη a ίύέπουέό ίύάί www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 ίύέπουά 5. άάύί 5. άάύί ίύάί ίύέά 55. άάύί 56. άάύί 57. έίάύ έύ 58. Έύίό έό ίέύό 59. ί ίέώ άύί 60. έύώ 6. ήέύ άίά 6. ύέό ία άία 63. ίύάία άξ 64. ίύίό ί ήήύ Έύ ίύίόόδιέ όίέύίάί έύ ίί 68. έέέύ 69. έίάύ έύ 70. Έύίό έό ίέύό 3 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 7. ίύ ίέτώ άύί 7. αέύώ 73. ήέύ άίά 74. ύέόίάί 75. ίύάίά 76. ίύίό ί ήήύ, Έύ ίύίόόέ όίέύίάί έύ ίί έέέύ Παραβολή 8. ίύώ 3 0 8. ήέίέόί 83. ίήίύ 84. ήήάέόύώ έ 85. ή ίέάύί όόίί 86. ή ύ έάίί όύύί 87. Έή ίί ο ο όό ίήίέόί 4 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 88. άίώ ύέ άάί 89. άίή ί όώί ήήίέίήί ίή ίήό 9. Έή ύάεά 93. ίήίύ ήή 94. ήήάί ήέόί ήέί ήέχύί 95. ίήέήί 96. έή ίί ή ύ ύή ύίιέή άί έίύ ήέήήό,άά ί 99. έή ίέόί 00. ίή ίέίέ ίύ 0. ήέώ 0. ή ίί ο ο ό ίύά 03. ήή έέί 5 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Έλλειψη 04. άέ 05. ίέάά 06. έέόί 07. ίέέόίέά άάόό 08. ίέ πέό 6 μάάόά 09. όώάέά ί 0. ίέ 4 5. ήέ 9 4 ίί ίέέί. όόίέίόά όίίίί 3. όόί άέ άέά 6. ίόά ίά 7. ήόίόέ 8. έυήόά 9. έίό 0. έάάάύέόί. ίέ 6 9 ίέίώώό 6 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88. όώίέ 9 6 3. έέ 9 4 ίπαράλληληστην 4. έ ίέόί 5. αέέ ίίά έίό 6. ήέ έί 7. όόπίώόάόί ίίί 4 5 Υπερβολή ίήέέή ό ίήέόίο ί ίόέλ 8 3 ή 3 έίί ήήήόύ ήόίώέ 3. ήέύέό) 33. ήήέίίέ 5 6 34. όάίή a όύί 35. έή ίέόή όό 4 36. ήάύ 37. ίύή 7 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Συνδυασμός : Παραβολής, Ελλειψης, Υπερβολής 38. Να βρεις εστία και διευθετούσα και να κάνεις σχήμα : 4, 8 0, 5 0,3 0 39. Να κατασκευάσεις ελλείψεις : 5 9 4 9,, 3 40. Να βρεις κορυφές,εστίες, ασύμπτωτες,σχήμα των υπερβολών :,3 3 6 9 4. Να βρεις την παραβολή με κορυφή (0,0), άξονα και διέρχεται από Α(-,3) 4. Να βρεις έλλειψη με Ε(4,0) και μικρό άξονα 0 43. Να βρεις υπερβολή με εστίες στον, εστιακή απόσταση 0 και απόσταση κορυφών 44. Ν.δ.ο. η παραβολή a και ευθεία τέμνονται σε δύο σημεία 45. Να βρεις την έλλειψη που διέρχεται από Μ(,) και ο μικρός άξονας είναι το 3 του μεγάλου 46. Ν.δ.ο. η συνάρτηση f 47. Να βρεις την εφαπτομένη της είναι ημιυπερβολή. Να γίνει σχήμα 3 () 9 6 0 που είναι // στην ευθεία 3 0 48. Να βρεις τις κορυφές τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε έλλειψη 49. Να βρεις την οξεία γωνία των ασυμπτώτων της υπερβολής : 6 50. Να βρεις την εφαπτομένη της 4 που είναι a (, ) 5. Να βρεις τα κοινά σημεία των : 64 36,, τι σχήμα δημιουργούν; 9 6 6 9 5. Να βρεις την υπερβολή με ε= και ίδιες εστίες με 5 9 45 53. Να βρεις την γωνία των εφαπτόμενων της που διέρχεται από το Α(-,) 54. Να βρεις τα σημεία Μ της έλλειψης 7 3 8 όπου Ε ΜΕ=90 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 55. Να βρεις την εξίσωση της υπερβολής που διέρχεται από Α(8,6) και Ε ΑΕ=90 56. Να βρεις την εφαπτομένη της παραβολής γωνία 3 4 57. Να βρεις τη γωνία των εφαπτόμενων της που σχηματίζει με την 3 6 0 που διέρχονται από το M 5 4, 58. Αν η απόσταση του Μ από Α(5,0) είναι τα 5 3 της απόστασης του Μ από την 9 :, ποιος ο γ.τ. ; 5 59. Ποια η κοινή εφαπτομένη των 60. Να βρεις τις εφαπτόμενες της 6. Να βρεις τις εφαπτόμενες της 6. Να βρεις τις κοινές εφαπτόμενες των, που ορίζουν ισομήκη τμήματα στους άξονες. 4 9 που είναι // στην 0 4 9 4, 0 8 63. Να βρεις την έλλειψη με εστία Ε(,0) που εφάπτεται στην 3 9 0 64. Να βρεις τις εφαπτόμενες της 65. Να βρεις τη χορδή της που απέχουν από αρχή αξόνων απόσταση 4 3 με μέσο το A 5, 4 66. Να βρεις τις ελλείψεις με εστίες στον που εφάπτονται στην ευθεία 0 67. Να βρεις εφαπτόμενες της 4 που σχηματίζουν με ημιάξονες O,O τρίγωνο με εμβαδό E 4 3 3 68. Ν.δ.ο. 4,( 4) 3 έχουν 4 κοινά σημεία. Να βρεις το εμβαδό του τετραπλεύρου που δημιουργείται 69. Να βρεις τη χορδή της έλλειψης 3 5 5 με μέσο το M, 70. Ν.δ.ο. το εμβαδό του τριγώνου που δημιουργείται από ασύμπτωτες της a με οποιαδήποτε εφαπτομένη της είναι σταθερό. 9 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 7. Αν η εφαπτομένη της p στο Μ τέμνει τη διευθετούσα στο Ν, ν.δ.ο. ΜΕΝ=90 7. Να βρεις τα σημεία Μ όπου η απόστασή τους από το Α(,0) να είναι τα της απόστασής τους από 3 την ευθεία : 9 0 73. Να βρεις τη χορδή της υπερβολής 4 που έχει μέσο το Μ(3,-) Να βρεις το σχήμα και να σχεδιάσεις : 74. 75. 76. 77. 78. 79. 4 4 9 4 6 9 6 9 0 0 4 9 3 3 6 0 80. 3 8 8. 8. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 4 36 4 36 4 0 4 0 9 4 4 4 0 89. Να βρεις την εφαπτομένη της 90. Να βρεις την εφαπτομένη της που είναι παράλληλη στην 6 6 4 0 που είναι παράλληλη στην 0 9. Να βρεις τις εφαπτόμενες της 6 44 που διέρχονται από το σημείο Α(3,0) 0 www.kglkos.gr

τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 9. Να βρεις την εφαπτομένη της 6 44 που είναι κάθετη στη διχοτόμο πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου Να βρεις τις εφαπτόμενες των κωνικών στα σημεία : 93. 94. 95. 96. 97.,(3,6) A B 4,( 3,) G 4,(,0) 4 9 36,(3,0) D E 4,(,3) Να βρεις τι παριστάνουν οι εξισώσεις : 98. 99. 300. 30. 30. 303. 4 0 4 4 4 8 9 4 8 6 6 36 3 36 37 4 3 www.kglkos.gr