ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + = + + αβ βγ γα αβ βγ γα = + + + + 0 αβ βγ γα 0 αβ + βγ + γα = 0 Η ισότητα ισχύει όταν + + = 0 α β = 0 και β γ = 0 και γ α = 0 α = β και β = γ και γ = α α = β = γ

. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (β, γ, α) είναι πυθαγόρεια τριάδα όταν + =, δηλαδή όταν οι β, γ, α είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Αν (β, γ, α) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (κβ, κγ, κα) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα. Αν μ και ν θετικοί ακέραιοι με μ > ν, να δείξετε ότι η τριάδα, μν, μ είναι πυθαγόρεια τριάδα. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις πυθαγόρειες τριάδες που αντιστοιχούν στις τιμές των μ και ν που δίνονται στις δύο πρώτες στήλες. Αρκεί (κβ) + (κγ) = (κα) μ ν μ ν μν μ + ν 3 4 5 3 8 6 0 3 5 3 5 0 9 5 3 6 30 34 4 5 8 7 κ + κ = κ + = που ισχύει Είναι (μ ν ) + (μν) = μ 4 μ ν + ν 4 + 4 μ ν = (μ + ν ) άρα πυθαγόρεια τετράδα

3 3. A) Να αποδείξετε ότι αβ. Τι σημαίνει η ανισότητα αυτή για ένα ορθογώνιο με διαστάσεις α και β ; Πότε ισχύει η ισότητα ; Β) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας (ή και με άλλο τρόπο), να αποδείξετε ότι : Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο Ρ το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό Ε το τετράγωνο έχει τη μεγαλύτερη περίμετρο. A) αβ αβ 4 4αβ α + αβ + β 0 α αβ + β 0 (α β) που ισχύει Είναι φανερό ότι η ισότητα ισχύει όταν α = β δηλαδή όταν το ορθογώνιο είναι τετράγωνο Η ανισότητα σημαίνει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις α και β είναι μικρότερο ή το πολύ ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς Β) Έστω α, β οι διαστάσεις ορθογωνίου με περίμετρο α + β = Ρ () = 4 Έστω και Ε = αβ το εμβαδό του ορθογωνίου. Η σχέση αβ γίνεται Ε 4 Ε 6 Άρα η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι Ε = 6 αβ = () 6 Λύνοντας το σύστημα των (), () βρίσκουμε α = β = 4 Οπότε το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο εμβαδό είναι το τετράγωνο. Έστω α, β οι διαστάσεις ορθογωνίου με εμβαδό Ε = αβ (3) Έστω και Ρ = α + β η περίμετρος του ορθογωνίου.

4 Η σχέση αβ γίνεται Ε 4 4 4 Ρ Άρα η μικρότερη τιμή της περιμέτρου Ρ είναι Ρ = 4 α + β = 4 α + β = (4) Λύνοντας το σύστημα των (3), (4) βρίσκουμε α = β = 4. Δίνεται η εξίσωση 3( + ) α = 4, α Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του ; 3( + ) α = 4 3 + 3 α = 4 (3 α) = () Όταν 3 α 0 δηλαδή α 3, η () γίνεται = 3 Όταν 3 α = 0 δηλαδή α = 3, η () γίνεται 0 = αδύνατη Πρέπει > και α 3 3 > και α 3 3 > 0 3 3 > 0 3 > 0 (α )(3 α) > 0 < α < 3

5 5. Δίνεται η εξίσωση λ ( ) + 3λ = +, λ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα : (λ )(λ + ) = (λ )( (λ ) Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ i Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 4 λ ( ) + 3λ = + λ λ + 3λ = + λ = λ 3λ + (λ ) = (λ )( (λ ) (λ )(λ + ) = (λ )( (λ ) () ii Όταν (λ )(λ + ) 0 = = δηλαδή λ και λ, η () γίνεται μοναδική λύση Όταν λ =, η () γίνεται 0 = 0 Όταν λ =, η () γίνεται ( )( + ) = ( )( (- ) i Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 4 0 = ( )( 3) 0 = ( 6) αδύνατη (λ )(λ + ) = (λ )( (λ ) 4 (λ )(λ + ) = 4(λ )( (λ ) (λ )(λ + ) 4(λ )( (λ ) = 0 (λ )[(λ + ) 4( (λ )] = 0 (λ )(λ + 4λ + 8) = 0 (λ )(9 3λ) = 0 λ = ή λ = 3

6 6. Από τη φυσική γνωρίζουμε ότι στην κατακόρυφη βολή ενός σώματος με αρχική ταχύτητα v 0, το ύψος h του σώματος συναρτήσει του χρόνου t της κίνησής του δίνεται από τον τύπο h(t) = v0 t gt, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. A) Αν v 0 = 60 m/sec και g = 0 m/sec : Να βρείτε πότε το σώμα θα φθάσει σε ύψος h = 80 μέτρα. Να βρείτε πότε το σώμα θα βρεθεί σε ύψος h = 00 μέτρα. Ποια είναι η ερμηνεία των προηγούμενων απαντήσεων ; Β) Στη γενική περίπτωση όπου h(t) = v0 t gt, με τα v 0 και g σταθερά, να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ισχύει, ώστε το σώμα να φθάσει σε δεδομένο ύψος h 0. A) Ο τύπος γίνεται 80 = 60t 0t 8 = 6t t 36 = t t t t + 36 = 0 t = 6 Β) Ο τύπος γίνεται 00 = 60t 0t 0 = 6t t 0 = t t t t + 0 = 0 t = ή t = 0 Ερμηνεία : Στο (, το σώμα θα φθάσει στο μέγιστο ύψος σε χρόνο t = 6. Στο (, το σώμα θα φθάσει κατά την άνοδο στο ύψος 00 σε χρόνο t = 6 και κατά την κάθοδο σε χρόνο t = 0 Η συνάρτηση που εκφράζει το ύψος είναι h(t) = v0 t gt h(t) = gt + v0 t με Δ = β 4αγ = Το μέγιστο ύψος είναι h ma = 4 = v 0 = 4 g v Η συνθήκη : h 0 h ma h 0 0 g v 0 4 g 0 = v 0 g v 0

7 7. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() = και g() = και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. H C f προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της = κατά μονάδες κάτω. Επειδή g() = = [ ] = f(), η g είναι αντίθετη της f, άρα η είναι συμμετρική της C f ως προς τον άξονα. Οι C f, C g τέμνονται στα σημεία Α(, 0), Β(0, ), Γ(, 0), Δ(0, ). Εμβαδόν = 4(ΟΑΒ) Β = = - C g = 4 (ΟΑ) (ΟΒ) Γ O Α = 4 = 8 - Δ = -

8 8. A) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = 3 και με τη βοήθεια αυτών να βρείτε τις λύσεις της ανίσωσης < 3 Β) Στη συνέχεια να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα. A) H C f προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της = κατά μονάδα δεξιά. H C g προκύπτει από την οριζόντια μετατόπιση της = κατά 3 μονάδες δεξιά. Οι λύσεις της ανίσωσης < 3 είναι εκείνα τα για τα οποία η C είναι κάτω από τη C, δηλαδή τα < Β) < 3 < 3 g ( ) < ( 3) + < 6 + 9 4 < 8 < f O = Α 3 = - = - 3

9 9. A) Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f() =, g() = 3, και h() = 3 Β) Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος για τις διάφορες τιμές του α. A) H C g 3 προκύπτει από την κατακόρυφη μετατόπιση της f 3 όταν 3 Η h γράφεται h() = 3 όταν 3 h() = 3 όταν 3 ή 3 3 όταν 3 3 Ο πρώτος κλάδος της C συμπίπτει με τη για 3 ή 3. Ο δεύτερος κλάδος της για 3 < < 3 h C g C h είναι συμμετρικός της C g C κατά 3 μονάδες κάτω. ως προς τον άξονα C f C g C h C h C h C h O 5 - Β) 3 C h = α -5-3 O 3 5 Το πλήθος των λύσεων του συστήματος ισούται με το πλήθος των σημείων τομής της ευθείας = α με τη C. h

0 Όταν α < 0 τότε καμία λύση. Όταν α = 0 τότε λύσεις. Όταν 0 < α < 3 τότε 4 λύσεις. Όταν α = 3 τότε 3 λύσεις. Όταν α > 3 τότε λύσεις. 0. Σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Ο. Να δείξετε ότι η εξίσωση = 0 παριστάνει τις διχοτόμους δ και δ των γωνιών των αξόνων τις οποίες και να σχεδιάσετε. Ποια είναι η απόσταση ενός σημείου Μ(, ) του επιπέδου από το σημείο Κ(α, 0) του άξονα ; Να δείξετε ότι η εξίσωση ( α) + =, α παριστάνει στο επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα. i Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος 0 ( ) για τις διάφορες τιμές του α. = 0 ( )( + ) = 0 = 0 ή + = 0 = ή = που είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων Η απόσταση του Μ από το Κ είναι d(μ, K) = 0 = δ δ Ο - Μ(, ) τυχαίο σημείο του κύκλου (Κ, ) d(μ, K) = = ( α) + = i Το πλήθος των λύσεων του συστήματος ισούται με το πλήθος των σημείων τομής των διχοτόμων δ και δ με τον κύκλο (Κ, α) Φέρνουμε ΚΛ δ, Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΛΟΚ έχουμε ΛΟ + ΛΚ = ΟΚ ΛΚ = α d(κ, δ ) =

Όταν η ακτίνα του κύκλου είναι < d < > τότε ο κύκλος δεν τέμνει τις διχοτόμους, άρα το σύστημα είναι αδύνατο. Όταν η ακτίνα του κύκλου είναι = d = = τότε ο κύκλος εφάπτεται στις διχοτόμους, άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις. δ δ Λ Ο K δ δ Λ Ο K Όταν η ακτίνα του κύκλου είναι > d > > τότε ο κύκλος τέμνει κάθε διχοτόμο σε δύο σημεία, άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, εκτός της περίπτωσης κατά την οποία ο κύκλος διέρχεται από το Ο, δηλαδή είναι α =, οπότε το σύστημα έχει τρεις λύσεις δ δ Λ Ο K

. Στο διπλανό σχήμα τα C και C είναι ημικύκλια με κέντρα Κ και Λ και ακτίνες R = 6cm και R = 3cm αντιστοίχως, ενώ το Μ είναι ένα σημείο της διακέντρου ΚΛ και η ΜΔ είναι κάθετη στην ΚΛ. Να βρείτε το μήκος του τμήματος ΛΜ, αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Γ είναι μέσο του ΜΔ. Α Δ C Γ Λ M Κ C Β Φέρνουμε τις ακτίνες ΛΓ, ΚΔ. Τρίγωνο ΛΜΓ : ΜΓ = ΛΓ ΛΜ Δ C Γ C ΜΓ = ΜΓ = 3 9 Α Λ M Κ Β Τρίγωνο ΜΚΔ : ΜΔ = ΚΔ - ΜΚ ΜΔ = ΜΔ = ΜΔ = 6 (3 ) 36 9 6 7 6 Αλλά ΜΔ = ΜΓ 7 6 = 9 7 + 6 = 4(9 ) 7 + 6 = 36 4 3 + 6 9 = 0 + 3 = 0 =

3. Θεωρούμε έναν άξονα και παίρνουμε πάνω σ αυτόν τα σταθερά σημεία Α( ), Β() και ένα μεταβλητό σημείο Μ(). Θέτουμε f() = (MA) + (MB) και g() = (MA) (MB) Να αποδείξετε ότι : f() = + + και g() = + Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g. i Να βρείτε, με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή (εφόσον υπάρχουν) των συναρτήσεων f και g, καθώς και τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται f() = (MA) + (MB) = A M + B M = + = ( + ) + ( ) = + + g() = (MA) (MB) = A M B M = = ( + ) ( ) = + + + 0 + + - 0 +, όταν f() =, όταν, όταν, όταν, όταν g() =, όταν 0, όταν C g C f - 4 O i f min = στις θέσεις ϵ [, ] f ma δεν υπάρχει g min = 0 στη θέση = 0 g ma = στις θέσεις ϵ (, ] [, + )

4 3. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f 4 g h 4 4 = f() = g() = h() - O - - O - O Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων f, g, h, καθώς και τις θέσεις των ακρότατων αυτών. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα. f ma = στη θέση = 0 g min = στη θέση = g ma = στη θέση = h min = 0 στη θέση = 0 h ma = στις θέσεις = και = Αρκεί f() f(0) 0 + που ισχύει 4 Αρκεί g() g( ) 4 ( ) 4 + + 0 ( + ) 0 που ισχύει

5 4. A) Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Να αποδείξετε ότι αν το σημείο Μ(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, το σημείο Μ (β, α) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() =. i Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g και στη συνέχεια, με τη βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = είναι άρτια και στη συνέχεια να χαράξετε τη γραφική της παράσταση. Γ) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f() =. Μ Ν = Α Β Γ O A() B() Γ(3) Μ(ν) Ν(ν + ) Αν Α, Β, Γ,...,Μ, Ν είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης της f με τετμημένες,, 3,..., ν, ν + αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΑ Β, ΓΒ Γ,..., ΝΜ Ν είναι ισοσκελή. A) Πρέπει 0. Άρα Α f = [0, + ) Μ(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f β = β = α α = β το Μ (β, α) ανήκει στη γραφική παράσταση της g i Τα σημεία Μ(α, β), Μ (β, α) είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της ης γωνίας των αξόνων και επειδή ανήκουν στις C f, C g, αυτές θα είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο. g() = = f() = O Β) Επειδή 0, το πεδίο ορισμού της h είναι το. Για το τυχαίο, είναι και h( ) = Άρα η συνάρτηση h είναι άρτια. = = h().

6 Επομένως η C h είναι συμμετρική ως προς τον άξονα. Για 0, η h συμπίπτει με την f. Άρα η C h θα αποτελείτε από την C f και τη συμμετρική της C f ως προς τον άξονα. O = Γ) Είναι Μ (ν, ) και Ν (ν +, ) (ΝΜ ) = ( ) (0 ) = (ΝΝ ) = Άρα (ΝΜ ) =(ΝΝ )

7 5. Μια γέφυρα έχει ένα παραβολικό τόξο του οποίου το πλάτος είναι 8m και ύψος είναι 5,6m. Κάτω από τη γέφυρα θέλει να περάσει γεωργικό μηχάνημα του οποίου η καρότσα έχει πλάτος 6m και ύψος m. Μπορεί το μηχάνημα να περάσει; Θεωρούμε σύστημα αξόνων O με άξονα O τη χορδή του παραβολικού τόξου και άξονα O τη μεσοκάθετη της χορδής. Το παραβολικό τόξο τέμνει τον O στα σημεία Α ( 4, 0), Α(4, 0) αφού το πλάτος του είναι 8 και τον O στο σημείο Β(0, 5,6) αφού το ύψος του είναι 5,6. Δ 6 4 Β(0, 5,6) Α (-4, 0) Α(4, 0) -5 Γ (-3, 0) O Γ(3, 0) 5 Έστω C : = α + β + γ η εξίσωση του παραβολικού τόξου. Β(0, 5,6) ϵ C 5,6 = α. 0 + β. 0 + γ γ = 5,6 Α (-4, 0) ϵ C 0 = α. ( 4) + β. ( 4) + γ 0 = 6α 4β + 5,6 () Α(4, 0) ϵ C 0 = α. 4 + β. 4 + γ 0 = 6α + 4β + 5,6 () Λύνοντας το σύστημα των (), () βρίσκουμε α = 0,35 και β = 0. Άρα C : = 0,35 + 5,6 Επειδή η καρότσα έχει πλάτος 6m, θεωρούμε τα σημεία Γ ( 3, 0) και Γ(3, 0), τα οποία καθορίζουν το πλάτος του διαδρόμου της καρότσας, Φέρνουμε Γ Δ και ΓΔ κάθετες στον άξονα O. Για = 3 η C δίνει = 0,35 ( 3) + 5,6 = 0,35.9 + 5,6 = 3,5 + 5,6 =,45 > Άρα Δ ( 3,,45) και ομοίως Δ(3,,45) Επομένως το μηχάνημα θα περάσει κάτω από τη γέφυρα αφού,45 >. Δ

8 6. Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 0cm και το μέσο Ο της ΑΔ. Ένα κινητό σημείο Μ ξεκινά από το Α και, διαγράφοντας την πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔ, καταλήγει στο Δ. Γ Β Γ Μ Β Γ Β Μ Μ Δ Ο Α Δ Ο Α Δ Ο Α Αν με συμβολίσουμε το μήκος της διαδρομής που έκανε το κινητό Μ και με f() το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου, Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης f. Να παραστήσετε γραφικά την f. i Να βρείτε την τιμή του για την οποία ισχύει f() = 0 cm. To πεδίο ορισμού είναι το διάστημα [0, 60] Όταν 0 0 τότε f() = (ΟΑΜ) = 0. = 5 Όταν 0 < 40 τότε f() = (ΟΑΒΜ) = ( ) = 0 0 0 = ( 0)0 = 0 00 Όταν 40 < 60 τότε f() = (ΟΑΒΓΜ) = (ΑΒΓΔ) (ΔΟΜ) = 0 (ΔΟ). (ΔΜ) = 400 0. (60 ) = 400 300 + 5 = 5 + 00 Επομένως f() = 5, 0 0 0 00, 0 40 5 00, 40 60

9 400 300 00 A 00 Κ O 0 Λ 40 60 i Από το σημείο Α(0, 0) φέρνουμε ΑΚ // Ο και στη συνέχεια ΚΛ Ο. H ζητούμενη τιμή του είναι η τετμημένη του σημείου Κ το οποίο ανήκει στο δεύτερο κλάδο της f. Άρα 0 = 0 00 0 = 0 =

0 7. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς μ και το Μ είναι ένα σημείο της διαγωνίου ΑΓ με (ΑΡ) =. Συμβολίζουμε με f() το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ και με g() το εμβαδόν του τραπεζίου ΜΓΔΣ. Να αποδείξετε ότι f() = και g() = 0,5 +, 0 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα δύο εμβαδά είναι ίσα. i Να παραστήσετε γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις συναρτήσεις f και g και να βρείτε, με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, με προσέγγιση την τιμή του για την οποία τα δύο εμβαδά είναι ίσα. f() = (ΜΑΒ) = (ΑΒ)(ΜΡ) = =, αφού το τρίγωνο ΡΑΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. g() = (ΜΓΔΣ) = ( ) ( ) ( ) = f() = g() = 0,5 + 0,5 + = 0 = 5 ( ) = (4 ) = 0,5 + Δ Σ Α Μ Ρ Γ Β i =f(), =g() -

8. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι Β ορθογώνιο, το Μ είναι τυχαίο σημείο της ΟΑ και ΜΝ//ΟΒ. Αν (ΟΑ) = 4, (ΟΒ) = 3 Ν και (ΟΜ) =, και Ε() είναι το εμβαδόν 3 του τριγώνου ΒΜΝ, Να αποδείξετε ότι : Ο Μ 3(4 ) 4 (ΜΝ) = και Ε() = 3 + 3 4 8 Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν Ε() μεγιστοποιείται. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του Ε() ; ( ) ( ) τρ. ΑΜΝ τρ. ΑΟΒ = 3 4 Α ( ) 4 = 3 4 Ε() = (ΒΜΝ) = (ΜΝ). = 3(4 ) = 4 (ΜΝ) = 3 8 = 3(4 ) 4 3 + 3 8 To E() γίνεται μέγιστο όταν = E ma = Ε() = = 3 + 3 8 = 3 + 3 = 3 3 3 8 =

9. Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α(0, 4) και Β(, ), καθώς και το σημείο Μ(, 0) που κινείται κατά μήκος του άξονα. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ στο οποίο τέμνει η ευθεία ΑΒ τον άξονα. Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ συναρτήσει της τετμημένης του M(, 0) σημείου Μ και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση αυτή. Έστω = α + β η εξίσωση της ευθείας ΑΒ ΑϵΑΒ 4 = α. 0 + β β = 4 ΑϵΑΒ 4 = α. 0 + β β = 4 ΒϵΑΒ = α. + β = α + 4 α = Άρα ΑΒ: = + 4 Είναι Γ(, 0) Ο A(0, 4) ΓϵΑΒ 0 = + 4 = 4. Άρα Γ(4, 0) Περιορισμός : Για να ορίζεται το τρίγωνο MAB πρέπει να είναι Μ Γ δηλαδή 4 E() = (MAB) = (AMΓ) (ΒΜΓ) = (ΜΓ). 4 (ΜΓ). B(, ) Γ 4, 0 = (ΜΓ) = 4 = 4, 0 5 O 4 0

3 0. Σε ένα τμήμα ΑΒ = 0km μιας λεωφόρου πέφτει συνεχώς χιόνι και το ύψος του χιονιού αυξάνεται cm την ώρα. Όταν αρχίζει η χιονόπτωση ένα εκχιονιστικό μηχάνημα αρχίζει από το άκρο Α να καθαρίζει το χιόνι κινούμενο κατά μήκος του δρόμου με ταχύτητα 0km/h. Μόλις φθάσει στο σημείο Β γυρίζει και καθαρίζει το δρόμο αντιστρόφως από το Β προς το Α και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο. Να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για το ύψος του χιονιού στο Α, παραβλέποντας το χρόνο στροφής στα Α και Β. Να κάνετε το ίδιο για το ύψος του χιονιού στο μέσο Μ του ΑΒ. Έστω t ο χρόνος σε ώρες και υ(t) το ύψος του χιονιού σε cm. 4 υ(t) O 4 5 6 t 0 - υ(t) 0,5 O 0,5,5,5 3,5 t

4. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 0,,, 3,, 00}. Δίνονται και οι πιθανότητες ( ), κ =,, 3,, 00. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(0) Γνωρίζουμε ότι Ρ(0) + Ρ( ) + Ρ() +... + P(00) = Αλλά (), Ρ(), Ρ(3),..., Ρ(00) 3 00 Άρα Ρ(0) +... () 3 00 Η παράσταση... είναι το άθροισμα των 00 3 00 πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ, που 00 ( ) δίνεται από τον τύπο S 00 = () Ρ(0) + S 00 00 00 = Ρ(0) = = 00 00 = 00

5. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω. Υποθέτουμε ότι Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,7. Να αποδείξετε ότι ( ),0 ( ) και ΑΒ Ρ(Α ) 0,8 ( ) 0,8 ( ) 0,7 () Ρ(Β ) 0,7 ( ) 0,7 ( ) 0,9 () Αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ) + ( ),0 Από τον προσθετικό νόμο έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 Αν υποθέσουμε ότι Α, τότε Ρ( ) ( ) 0 ( 0,0 ( ) (),( ) 0,7 + 0,9 ( ),0 που είναι άτοπο, αφού η πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχομένου είναι, επομένως