ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού (πιθανότητας), συγκρίσεων δύο µέσων τιµών ή δύο ποσοστών, ανάλυση πινάκων συνάφειας, κλπ. Θα πρέπει: Να κατανοείτε την µεθοδολογία των στατιστικών ελέγχων Να γνωρίζετε την χρήση των στατιστικών πινάκων (z-, t-, χ 2 - πίνακες, κλπ.) Να είσθε σε θέση να επιλέγετε και να εκτελείτε στατιστικούς ελέγχους για συνήθη προβλήµατα επιστηµονικής έρευνας 1
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1) Έλεγχος υποθέσεως µέσης τιµής κανονικής κατανοµής (µε γνωστή τυπική απόκλιση) 2) Έλεγχος υποθέσεως µέσης τιµής κανονικής κατανοµής (µε άγνωστη τυπική απόκλιση) 3) Έλεγχος υπόθεσης για την διαφορά δύο µέσων τιµών: t- έλεγχος για ζευγαρωτά δείγµατα 4) Έλεγχος υπόθεσης για το ποσοστό επιτυχιών πληθυσµού 5) Έλεγχος υπόθεσης για την διαφορά δύο µέσων τιµών: z- και t-έλεγχος για δύο ανεξάρτητα δείγµατα α) z-έλεγχος σύγκρισης µέσων τιµών δύο ανεξάρτητων πληθυσµών µε γνωστές τυπικές αποκλίσεις β) t- έλεγχος σύγκρισης µέσων τιµών δύο ανεξάρτητων πληθυσµών µε άγνωστες, αλλά ίσες τυπικές αποκλίσεις 6) Έλεγχος υπόθεσης για την διαφορά δύο ποσοστών 7) χ 2 -έλεγχος για πίνακες συνάφειας 8) Έλεγχος χ 2 - βαθµού-προσαρµογής (χ 2 -goodness-of-fit test) 2
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ Οι διαδικασίες ελέγχου υποθέσεων χαρακτηρίζονται από τα παρακάτω βήµατα: 1) Βήµα 1ο. Καταγραφή της αρχικής (Ηο) και εναλλακτικής (Ηα) υπόθεσης (Πρέπει να προσεχθεί: το είδος των δεδοµένων, ο βαθµός σηµαντικότητας, εάν έχουµε µονόπλευρο ή δίπλευρο έλεγχο) 2) Βήµα 2ο. Υπολογισµός των χαρακτηριστικών του δείγµατος που πρέπει να ελέγξουµε. (Π.χ. υπολογισµός της µέσης τιµής, της τυπικής απόκλισης, του ποσοστού) 3) Βήµα 3ο. Εύρεση του κατάλληλου στατιστικού. (Ζ- ή t- κατανοµή, χ 2 -κατανοµή. Υπολογισµός της τιµής του. Πρέπει να προσεχθεί το επίπεδο σηµαντικότητας, οι βαθµοί ελευθερίας. 4) Βήµα 4ο. Εύρεση από πίνακες της τιµής του κατάλληλου στατιστικού και ορισµού της περιοχής απόρριψης. 5) Βήµα 5ο. Σύγκριση των τιµών των στατιστικών και αποδοχή της Ηο (απόρριψη της Ηα) ή απόρριψη της Ηο (αποδοχή της Ηα). 3
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ «ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ» Ηο αληθής Ηο ψευδής ΣΩΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ (Tύπου ΙΙ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ Ηο ψευδής Ηο αληθής ΣΦΑΛΜΑ (Tύπου Ι) ΣΩΣΤΟ Σε κάθε έλεγχο υπόθεσης υπάρχουν δύο τύπου σφαλµάτων. Τα σφάλµατα τύπου Ι και ΙΙ. Τύπου Ι απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης όταν αυτή είναι αληθής P(απόρριψη Ho Ho αληθής) Τύπου ΙΙ αποδοχή της µηδενικής υπόθεσης όταν αυτή είναι ψευδής P(Αποδοχή Ηο Ηο ψευδής) 4
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ Βέλτιστη απόφαση όταν και τα δύο σφάλµατα είναι µικρά. Επίπεδο σηµαντικότητας α=0,05 ή 0,01. Ανώτατο όριο σφάλµατος τύπου Ι Ισχύς (Power)=1 - P(Σφάλµα Τύπου ΙΙ) Γιατί βελτιστοποιούµε το σφάλµα Τύπου Ι; Ευαισθησία (sensitivity) και ειδικότητα (specificity) P(+ έχει τον παράγοντα) P(- δεν έχει τον παράγοντα) 5
Παράδειγµα 5.1. Μια πρόσφατη στατιστική επετηρίδα «Περιγεννητικών Σωµατοµετρικών Μετρήσεων» ανέφερε ότι το µέσο βάρος γέννησης νεογνών στην Ελλάδα ήταν 3,20 κιλά και η τυπική απόκλιση (τ.α.) ήταν 1,25 κιλά. 3,7 3,0 4,3 2,3 1,8 3,9 2,0 1,4 2,8 3,7 3,6 3,5 3,1 4,0 3,5 3,7 3,3 2,6 4,9 4,0 5,5 3,1 3,9 2,5 4,0 5,3 4,8 3,0 3,4 5,2 3,8 3,2 3,6 2,9 3,5 Η Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή N(µ, σ 2 ) µε µ=3,20 και σ=1,25 Kg. Σηµειώνουµε αν είναι µονόπλευρος ή δίπλευρος έλεγχος. Βήµα 1ο. Υποθέσεις H o : µ = µ ο εναντίον της H A : µ µ ο, Βήµα 2ο. Υπολογισµός της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης της, 3,509 και n = 35. σ= 1,25 και = 1,25/ 35 = 0,211. X Βήµα 3ο. Από ΚΟΘ-1 η ~N(µ, σ 2 /n). Χρησιµοποιούµε το x µ 0 z = στατιστικό σ n. Τιµή Ζ παραδείγµατος 1,464 Βήµα 4ο. Υπολογίζουµε την κρίσιµη περιοχή απόρριψης από στατιστικούς πίνακες Ζ-κατανοµής. Στο παράδ. Ζ>1,96 ή Ζ<-1,96. Βήµα 5ο. εχόµαστε ή απορρίπτουµε την Ηο. Στο παράδ. 1,464 <1,96 άρα η Ηο είναι αποδεκτή. 6
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1. (EXCEL) 7
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1. (EXCEL) ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ =AVERAGE(A2:A36) ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ =STDEV(A2: A36) ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ =COUNT(A2:A36) σ-γνωστό ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ =STANDARDIZE(E1;E2;E4) ΕΠΙΠΕ Ο ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ =NORMSDIST(E9) ΚΡΙΣΙΜΟ Ζ =NORMSINV(0.975) ή =NORMSINV(0.025) σ-άγνωστο ΕΠΙΠΕ Ο ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ =TDIST(E15; E6-1; 2) ΚΡΙΣΙΜΟ T =TINV(0.05;E6-1) 8
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1. (SPSS) T-Test One-Sample Statistics ΣΥΝΤΑΞΗ BAROS BAROS Std. Error N Mean Std. Deviation Mean 35 3,5086,94445,15964 One-Sample Test Test Value = 3.20 95% Confidence Interval of the Difference Mean Difference Lower Upper t df Sig. (2-tailed) 1,933 34,062,3086 -,0159,6330 T-TEST /TESTVAL=3.20 /MISSING=ANALYSIS /VARIABLES=baros /CRITERIA=CIN (.95). Επιλέγουµε ANALYZE-COMPARE MEANS- ONE SAMPLE T TEST 9
Παράδειγµα 5.2 Μια ιατρική οµάδα, ειδική στην θεραπεία των διαταραχών του ύπνου πιστεύει ότι ένα νέο φάρµακο µπορεί να είναι αποτελεσµατικό για την θεραπεία της αϋπνίας. Για να ελεγχθεί η αποτελεσµατικότητα του φάρµακου η οµάδα προχώρησε στο παρακάτω ερευνητικό πρόγραµµα: σε καθένα από τους επόµενους 16 διαδοχικούς ασθενείς καταγράφηκαν οι ώρες ύπνου/νύκτα κατά την διάρκεια µιας εβδοµάδας κατά την οποία οι ασθενείς ήταν υπό την καθιερωµένη (µη φαρµακευτική) θεραπεία (Κ), και µετά οι ώρες ύπνου/νύκτα κατά την διάρκεια µιας εβδοµάδας κατά την οποία οι ασθενείς έπαιρναν την νέα θεραπεία (Ν). Τα αποτελέσµατα δίνονται παρακάτω: Κ: 0,7 4,8 3,9 0,2 3,2 3,6 3,8 2,9 N: 3,7 4,3 2,9 1,2 5,7 4,3 2,8 5,4 d= Κ-N -3,0 0,5 1,0-1,0-2,5-0,7 1,0-2,5 Κ: 0,5 3,5 1,5 1,6 2,0 2,0 3,2 3,0 N: 3,0 5,9 5,5 2,0 1,0 3,8 3,2 1,7 d= Κ-N -2,5-2,4-4,0-0,4 1,0-1,8 0,0 1,3 10
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.2 Βήµα 1ο: H 0 : m d =0 εναντίον H A : m d 0, όπου m d είναι η µέση τιµή των διαφορών d. Βήµα 2ο. Υπολογισµός της µέσης τιµής και της τυπικής απόκλισης της, -1,0 s= 1,7 και SE= 1,7/ 16 = 0,425 Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής t d 0 1,0 = = = s n 0,425 Βήµα 4ο. Υπολογισµός της τιµή του t από τους πίνακες της t-κατανοµής για 16-1=15 β.ε. και επίπεδο σηµαντικότητας 5%. ίπλευρος έλεγχος. t 16., 0,05 =2,13. Κρίσιµη περιοχή >2,13 <-2,13 2,353 Βήµα 5ο. Η Ηο απορρίπτεται 11
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.2 (EXCEL) Από Εργαλεία-Ανάλυση δεδοµένων-έλεγχος t του µέσου δύο δειγµάτων συσχετισµένων ζευγών (ελληνική έκδοση) 12
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.2 (EXCEL) 13
Pair 1 OLD_DRUG - NEW_DRUG ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.2 (SPSS) T-TEST PAIRS= old_drug WITH new_drug (PAIRED) /CRITERIA=CIN(.95) /MISSING=ANALYSIS. Από ANALYSE COMPARE MEANS PAIRED SAMPLES T-TEST Paired Samples Test Paired Differences 95% Confidence Interval of the Std. Error Difference Mean Std. Deviation Mean Lower Upper t df Sig. (2-tailed) -1,0000 1,69980,42495-1,9058 -,0942-2,353 15,033 14
ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΟΥ Παράδειγµα 1.2. Αντιληπτική ικανότητα νηπίων. Βήµα 1ο: H 0 : p =0,05 εναντίον H A : p 0,05, Βήµα 2ο. Υπολογισµός του ποσοστού επιτυχιών και της τυπικής απόκλισης της, 0,14 και SE= p0(1 p0) 0, 05(1 0, 05) Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής z = = n 50 pˆ p 0,14 0, 05 0 = = = p 0,031 0(1 p0) n Βήµα 4ο. Υπολογισµός της τιµή του Ζ από τους πίνακες της Ζ-κατανοµής µε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. ίπλευρος έλεγχος. Κρίσιµη περιοχή >1,96 ή <-1,96 Βήµα 5ο. ΗΗ ο απορρίπτεται 0,031 2,903 15
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 1.2 (SPSS) NPAR TEST /BINOMIAL (0.05)= neogna (312) /STATISTICS DESCRIPTIVES /MISSING `. NPar Tests Descriptive Statistics NEOGNA N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 50 320,12 6,706 306 335 Binomial Test NEOGNA a. Group 1 Group 2 Total Based on Z Approximation. Observed Prop. Test Prop. Asymp. Sig. (1-tailed) Category N <= 312 7,14,05,012 a > 312 43,86 50 1,00 16
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 1.2 (EXCEL) 17
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 1.2 (EXCEL) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ 0 =COUNTIF($B$2:$B$51;0) ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ 1 =COUNTIF($B$2:$B$51;1) ΣΥΝΟΛΟ =SUM(E2:E3) ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ (ΙQ_rec) =GESTEP(A5;313) AΛΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ =SQRT(Ε8) ΑΠΟ ΟΧΗ =IF(E10>E12; "Ho Μη αποδεκτή"; "Ho αποδεκτή") 18
Πίνακας 5.1 Χρόνοι επιβίωσης, σε µέρες, µετά από χειρουργική επέµβαση ποντικών σε δύο οµάδες (θεραπεία και µάρτυρες). είχνονται επίσης οι µέσες τιµές, τυπικές αποκλίσεις, τυπικά σφάλµατα και µεγέθη των δύο δειγµάτων. Μέγεθος Μέση Τυπική Τυπικό Οµάδα εδοµένα δείγµατος τιµή απόκλιση σφάλµα Θεραπεία 94 197 16 38 99 141 23 7 86,857 66,767 25,236 Μάρτυρες: 52 104 146 10 50 31 40 27 46 9 56,222 42,417 14,134 ιαφορά 30,635 27,319* 19
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1 Βήµα 1ο: H 0 : µ 1 =µ 2 εναντίον H A : µ 1 µ 2, Βήµα 2ο. Υπολογισµός των µέσων τιµών και διασπορών: x1 = 86,857 & x2 = 56, 222 n1 = 7 S = 66,767 & S = 42, 417 n = 9 1 2 2 Ενώ το s 2 2 2 (7 1)66,767 + (9 1)42, 417 = = 7+ 9 2 2938,615 Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής του t για n 1 +n 2-2 βε και α=0,05 t x1 x2 30, 635 = = = 2 2 s s 27,319 + n n 1 2 Βήµα 4ο. Υπολογισµός της τιµή του t από τους πίνακες της t-κατανοµής µε επίπεδο σηµαντικότητας 5%. ίπλευρος έλεγχος. Κρίσιµη περιοχή >2,15 ή <-2,15 Βήµα 5ο. ΗΗοείναι αποδεκτή 1,121 20
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1. (EXCEL) 21
MERES ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.1. (SPSS) T-TEST GROUPS=therapy(0 1) /MISSING=ANALYSIS /VARIABLES=meres /CRITERIA=CIN(.95). Group Statistics MERES THERAPY Controls Therapy Std. Error N Mean Std. Deviation Mean 9 56,22 42,417 14,139 7 86,86 66,767 25,235 Independent Samples Test Equal variances assumed Equal variances not assumed Levene's Test for Equality of Variances F Sig. t df Sig. (2-tailed) t-test for Equality of Means Mean Difference 95% Confidence Interval of the Std. Error Difference Difference Lower Upper 1,959,183-1,121 14,281-30,63 27,319-89,228 27,958-1,059 9,645,315-30,63 28,926-95,410 34,140 22
Παράδειγµα 5.3 Σε µια κλινική έρευνα σύγκρισης 5-ετούς επιβίωσης µεταξύ δύο οµάδων µε διαφορετική φαρµακευτική θεραπεία (Α και Β) ελήφθησαν τα αποτελέσµατα Θεραπεία Επιβίωσαν Πέθαναν Σύνολο Α 21 (0.91) 2 (0.09) 23 Β 19 (0.59) 13 (0.41) 32 Σύνολο 40 (0.73) 15 (0.27) 55 Βήµα 1ο: H 0 : p 1 =p 2 εναντίον H A : p 1 p 2, Βήµα 2ο. Υπολογισµός των ποσοστών p 1, p 2 και p. p 1 =21/23=0,913 p 2 =19/32=0,594 & p=(21+19)/(23+32)=0,594 Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής του Z pˆ ˆ 1 p2 0,913 0,594 z = = = pˆ(1 pˆ) pˆ(1 pˆ) 0, 727(1 0, 727) 0, 727(1 0, 727) + + n n 23 32 1 2 2,615 Βήµα 4ο. Υπολογισµός από τους πίνακες της Z-κατανοµής α= 5%. ίπλευρος έλεγχος. Κρίσιµη περιοχή >1,96 ή <-1,96 Βήµα 5ο. Η Ηο απορρίπτεται 23
Παράδειγµα 5.4 Ο παρακάτω 3x2 πίνακας συνάφειας (3 γραµµές και 2 στήλες) δείχνει την διασταυρωτή ταξινόµηση 1861 ατόµων, που εξετάσθηκαν αν ήταν φορείς Ηπατίτιδας C (HCV), σύµφωνα µε το αποτέλεσµα (αρνητικό/θετικό) και τον χρόνο νοσηλείας σε νοσοκοµείο. Ο σκοπός της ανάλυσης αυτού του πίνακα είναι να εξετάσουµε κατά πόσον η HCV-µόλυνση και η είσοδος/παραµονή σε νοσοκοµείο σχετίζονται. Είσοδος και χρόνος νοσηλείας Αποτέλεσµα Αρνητικό Θετικό Σύνολο Καµιά 557 15 572 Ναι, 1-3 ηµέρες 1144 40 1184 Ναι, 4 ηµέρες ή περισσότερο 93 12 105 ΣΥΝΟΛΟ 1794 67 1861 24
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.4 Βήµα 1ο: H 0 : τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα εναντίον H A : τα γεγονότα είναι εξαρτηµένα Βήµα 2ο. Υπολογισµός των αναµενόµενων ποσοστών. Είσοδος και χρόνος νοσηλείας Αρνητικό Θετικό Σύνολο Καµιά 557 (551,4) 15 (20,6) 572 Ναι, 1-3 ηµέρες 1144 (1141,4) 40 (42,6) 1184 Ναι, 4 ηµέρες ή περισσότερο 93 (101,2) 12 (3,8) 105 Σύνολο 1794 67 1861 Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής του χ 2 2 2 2 2 2 ( Οι Ε ι) (557 551, 4) (1144 1141,4) (12 3,8) χ = = + +... + = 20,3 Ε 551, 4 1141,4 3,8 ι ι Βήµα 4ο. Υπολογισµός από τους πίνακες της χ 2 -κατανοµής α= 5% µε (r-1)(c-1) β.ε. ίπλευρος έλεγχος χ 2 2, 0,05. Κρίσιµη περιοχή>5,99 Βήµα 5ο. Η Ηο απορρίπτεται 25
EISODOS Total ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 5.4 (SPSS) CROSSTABS /TABLES=eisodos BY test /FORMAT= AVALUE TABLES /STATISTIC=CHISQ /CELLS= COUNT EXPECTED ROW. Επιλογή Descriptive Statistics Crosstabs Statistics Chi-square Επιλογή Counts-Observed-Expected Percentages-Row EISODOS * TEST Crosstabulation None 1-3 days >4 days Count Expected Count % within EISODO Count Expected Count % within EISODO Count Expected Count % within EISODO Count Expected Count % within EISODO TEST Negative Positive Total 557 15 572 551,4 20,6 572,0 97,4% 2,6% 100,0% 1144 40 1184 1141,4 42,6 1184,0 96,6% 3,4% 100,0% 93 12 105 101,2 3,8 105,0 88,6% 11,4% 100,0% 1794 67 1861 1794,0 67,0 1861,0 96,4% 3,6% 100,0% Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Linear-by-Linear Association N of Valid Cases a. Chi-Square Tests Asymp. Sig. Value df (2-sided) 20,284 a 2,000 13,877 2,001 9,815 1,002 1861 1 cells (16,7%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 3,78. 26
Παράδειγµα 3.4 Εξετάζουµε αν οι παρατηρούµενες τιµές παρουσιάζουν κατανοµή Poisson Αρ. εισαγωγών Poisson Πιθανότητα Παρατηρηθείσα συχνότητα Αναµενόµενη συχνότητα 0 0,031 15 13,863 1 0,107 49 48,244 2 0,187 81 83,945 3 0,216 93 97,377 4 0,188 86 84,718 5 0,131 63 58,963 6 0,076 35 34,199 7 0,038 19 17,002 8 0,016 7 7,396 9 0,006 2 2,860 10+ 0,003 0 1,434 27
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3.4 Βήµα 1ο: H 0 : Ακολουθεί κατανοµή Poisson H α : εν ακολουθεί κατανοµή Poisson Βήµα 2ο. Εκτίµηση του λ από τα δεδοµένα και συγχώνευση των κελιών µε παρατηρήσεις <5. (λ=3,48) Βήµα 3ο. Υπολογισµός της τιµής του χ 2 2 2 2 2 2 2 ( Οι Ε ι) (15 13,863) (49 48, 244) (19 17,002) (9 11,69) χ = = + +... + + = 1,574 Ε 13,863 48, 244 17, 002 11, 69 ι ι Βήµα 4ο. Υπολογισµός από τους πίνακες της χ 2 -κατανοµής α=5% µε 9-1-1=7 β.ε. ίπλευρος έλεγχος χ 2 7, 0,05. Κρίσιµη περιοχή >14,07 Βήµα 5ο. Η Ηο αποδεκτή 28
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3.4 (EXCEL) 29
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3.4 (EXCEL) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛA =SUM(B3:L3) =SUM(B6:J6) =SUM(B8:L8) =SUM(B14:J14) λ Poisson =M8/M3 Πιθανότητες κατά Poisson =POISSON(B5;$M$10;FALSE) Αναµενόµενη fi κατά Poisson =B12*$M$13 ιαφορές E i, O i =(B13-B6)^2/B13 χ 2 -critical =CHINV(0,05;7) ΑΠΟ ΟΧΗ =IF(G10>B12; "Ho Μη αποδεκτή"; "Ho αποδεκτή") 30
NPar Tests ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3.4 (SPSS) (Kolmogorov-Smirnov) Descriptive Statistics ACC2 N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 450 3,48 1,835 0 9 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test N Poisson Parameter a,b Mean Most Extreme Differences Absolute Positive Negative ACC2 450 3,48,012,006 -,012 Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data.,256 1,000 31
ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 3.4 (SPSS) (Kolmogorov-Smirnov) NPAR TESTS /K-S(POISSON)= acc2 /STATISTICS DESCRIPTIVES /MISSING ANALYSIS. 32
ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ χ 2 ν 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,0000393 0,000157 0,000982 0,00393 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,0201 0,0506 0,103 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 11,070 12,832 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,647 2,180 2,733 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,558 25 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,878 14,573 16,151 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,994 29 13,121 14,256 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,335 30 13,787 14,953 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,672 33