6. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ, ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ

6. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ, ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΟΡΕΣ Σύνοψη Στο Κεφάλαιο 6 «Δισδιάστατες Ροές, Πεπερασμένες Διαφορές» παρατίθενται προγράμματα δισδιάστατης ροής με τη χρήση της τεχνικής των πεπερασμένων διαφορών όπως διάχυσης-μεταφοράς και ροής εντός πορωδών μέσων. H παράθεση έχει ως εξής:. dmost: Δυο διαστάσεων ακόρεστη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών,. laplace: Δυναμική ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών, 3. gwflow: Κορεσμένη ροή, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών, 4. advdf: Μεταφορά-διάχυση, ρητή τεχνική πεπερασμένων διαφορών. Προαπαιτούμενη γνώση Μαθηματική ανάλυση, Αριθμητική ανάλυση, Γραμμική άλγεβρα, Μηχανική Ρευστών, Υδραυλική Μηχανική, Ροή ελεύθερης επιφάνειας, Ροή σε πορώδη μέσα, Μετραφορά-διάχυση 6. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΟΡΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ (ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ) 6.. Χώρος ροής Η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, προκειμένου να επιλυθούν προβλήματα σταθερής ή ασταθούς ροής, είναι παρόμοια με την έννοια ότι η ολοκλήρωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) στον χώρο υπολογισμών καταλήγει στο να επιλυθούν συστήματα αριθμητικών εξισώσεων και μόνο (Brebba & Ferrate, 983). Είναι προφανές ότι προκύπτουν τα ανωτέρω συστήματα, ανεξάρτητα του εάν οι ΜΔΕ που ελέγχουν τη ροή είναι ελλειπτικές, παραβολικές ή υπερβολικές (Hoffma & Chag, 993; Σούλης, 986). Στο Σχήμα 6. παρουσιάζεται ο χώρος ελλειπτικών προβλημάτων σε δύο διαστάσεις. Ο κόμβος P, βρίσκεται μέσα στον υπολογιστικό χώρο R, ο οποίος περικλείεται από την καμπύλη, το όριο δηλαδή C. Oι δύο δείκτες και αντιστοιχούν στις x και y διευθύνσεις. Ο κόμβος P, δέχεται πληροφορίες από τους πλησιέστερους κόμβους, οι οποίοι κείνται σ όλες τις διευθύνσεις: πάνω, κάτω, αριστερά και δεξιά αυτού. Τέλος, στη περίπτωση των υπερβολικών προβλημάτων ο κόμβος P, δεν μπορεί να παράσχει πληροφορίες σ όλους τους κοντινούς με αυτόν κόμβους. Αυτοί οι οποίοι δέχονται πληροφορίες, βρίσκονται προς τα κατάντη και απ αυτούς μόνο όσοι βρίσκονται μέσα στον χώρο επιρροής. Ο σχηματισμός των συστήματος εξισώσεων που προκύπτει είναι ιδιάζων. Στη περίπτωση ελλειπτικών εξισώσεων, όπως είναι η εξίσωση της σταθερής, δυναμικής ροής Laplace: x y 0 (6.) όπου το δυναμικό και x, y οι Καρτεσιανές συντεταγμένες, όλες οι εξισώσεις που προκύπτουν λύνονται ως ένα σύστημα εξισώσεων. 0

Σχήμα 6. Χώρος ελλειπτικών προβλημάτων. 6.. Προσέγγιση εξισώσεων ροής με πεπερασμένες διαφορές Για καλύτερη κατανόηση των αριθμητικών μεθόδων στη επίλυση της μόνιμης ροής γίνεται εφαρμογή της σε ροή του χώρου των δύο διαστάσεων. Η περιοχή ολοκλήρωσης R ενός ελλειπτικού προβλήματος δείχνεται στο Σχήμα 6.. Η περιοχή αυτή περικλείεται από μια καμπύλη C. Στη πραγματικότητα είναι δυνατό να υπάρξουν μέσα στην υπό ολοκλήρωση περιοχή R και διάφοροι άλλοι γεωμετρικοί σχεδιασμοί, όπως τυχαία γεωμετρία αποτελούμενη από κλειστές καμπύλες ή γεωμετρία που ορίζεται από κύκλους ή τετράγωνα ή τρίγωνα κ.λπ. Στα όρια των καμπύλων αυτών: η τιμή της άγνωστης συνάρτησης, η οποία είναι δυνατό να είναι οποιαδήποτε από τις φυσικές ποσότητες ροής, όπως η ταχύτητα, το δυναμικό της ροής, η ροϊκή συνάρτηση, η στατική πίεση, η θερμοκρασία κ.ά. ή η τιμή της παραγώγου αυτής προς την κάθετη στην καμπύλη διεύθυνση σε κάθε σημείο της καμπύλης C ή ο συνδυασμός των ανωτέρω, πρέπει να δίνεται από την εκφώνηση ή να συνυπολογίζεται από τα αναφερόμενα και να παραμένει σταθερή στη διάρκεια των υπολογισμών μέχρι και την τελική επίτευξη της λύσης. Ως παράδειγμα εφαρμογής ας θεωρηθεί η εξίσωση κίνησης της ροής σε πορώδη ομογενή και ισότροπα μέσα και στο πεδίο ισχύος του νόμου Darcy. Στην περίπτωση αυτή η προς επίλυση εξίσωση η οποία διέπει τη ροή είναι η Εξ. 6.. Στην προκείμενη περίπτωση: Κh (6.) όπου Κ ο συντελεστής της σχετικής διαπερατότητας ή ο συντελεστής της υδραυλικής αγωγιμότητας, ο οποίος θεωρείται ότι είναι ανεξάρτητος του δυναμικού ταχύτητας και h το υδραυλικό φορτίο. Ισχύει δε ότι: h p ρg z (6.3)

όπου p η στατική πίεση του ρευστού, ρ η πυκνότητα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και z η υψομετρική απόσταση από το επίπεδο αναφοράς. Έστω, λοιπόν, ότι το ανωτέρω πρόβλημα πρέπει να επιλυθεί μέσα στον χώρο ροής, ο οποίος είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (Σχήμα 6.) (Holt, 977). Σχήμα 6. Διακριτοποίηση του υπολογιστικού χώρου. O χώρος ροής, δηλαδή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, καλύπτεται πλήρως με ένα ορθογωνικό και πάλι δίκτυο το οποίο έχει m σημεία κατά τη x-διεύθυνση και σημεία κατά την y-διεύθυνση. Ο συνολικός αριθμός των κόμβων του δικτύου αυτού είναι m x σημεία. Τα βήματα δx και δy στις x και y διευθύνσεις δίνονται: δx δ y X M Y N (6.4) (6.5) όπου Χ, Υ τα συνολικά μήκη στις x, y διευθύνσεις των πλευρών του ορθογώνιου, αντίστοιχα. Προσεγγίζεται η Εξ. 6. σε κάθε κόμβο μέσα στον χώρο R αντικαθιστώντας κάθε μία μερική παράγωγο της εξίσωσης με την αντίστοιχη ισοδύναμη προσέγγιση των πεπερασμένων διαφορών. Για τον κόμβο, εφαρμόζεται η δεύτερης τάξης εξίσωση για κάθε μερική παράγωγο της Εξ. 6., οπότε:, δx,,, δ y,, 0 (6.6) Η ανωτέρω εξίσωση μπορεί να γραφεί:

δx δx δx,,,,, 0 δ y δ y δ y (6.7) Στην περίπτωση στην οποία χρησιμοποιηθούν ίσα βήματα μήκους (δx=δy), η ανωτέρω εξίσωση γράφεται:,, 4,,, 0 (6.8) Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή και ως «σχέση των πέντε κόμβων». Συνήθως εκφράζεται ως ένα «μόριο» της μορφής: 4 0 (6.9) 6..3 Αναπαράσταση οριακών συνθηκών με πεπερασμένες διαφορές O σχηματισμός των πεπερασμένων διαφορών για τους κόμβους, οι οποίοι βρίσκονται μέσα στον χώρο υπολογισμών R, ήταν το αντικείμενο μελέτης της προηγούμενης παραγράφου. Βέβαια, ο χώρος των υπολογισμών περικλείνεται από την καμπύλη C, η οποία και αποτελεί το όριο του προβλήματος στο οποίο απαιτείται να βρεθεί μία τιμή για κάθε κόμβο που βρίσκεται στην καμπύλη αυτή. Διακρίνονται διάφορες περιπτώσεις. Σταθερή τιμή της άγνωστης συνάρτησης στα όρια. Εάν η τιμή της άγνωστης συνάρτησης είναι γνωστή για κάθε κόμβο της καμπύλης C, τότε το πρόβλημα είναι σχετικά απλό. Η τιμή της άγνωστης συνάρτησης, έστω του δυναμικού ταχυτήτων, τίθεται απευθείας στην Εξ.6.8. Με τον τρόπο αυτό, για κάθε εξίσωση και σ οποιονδήποτε κόμβο που βρίσκεται στο όριο, θα υπάρξει ένας μη μηδενικός όρος στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Έτσι, περιλαμβάνονται όλες οι οριακές τιμές της συνάρτησης στο σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει. Οριακές συνθήκες με ύπαρξη παράγωγου. Σ ένα κλασικό πρόβλημα ροής με ύπαρξη δυναμικού πεδίου ταχυτήτων, η ταχύτητα κοντά στα στερεά όρια βαίνει παράλληλα προς αυτά. Συνεπεία αυτού, η κάθετη ροή προς τα τοιχώματα είναι μηδενική. Επομένως, η μαθηματική έκφραση με χρήση μερικής παράγωγου, στη γενική περίπτωση, απαιτεί όπως: a β (6.0) Η μερική παράγωγος δηλώνει παραγώγιση προς κατεύθυνση κάθετη και προς τα έξω στο όριο C. Από τη φυσική θεώρηση είναι δυνατόν να προκύψουν διάφοροι συντελεστές α και β. Αυτοί δεν είναι υποχρεωτικό να είναι σταθεροί. Πιθανόν να είναι συναρτήσεις της άγνωστης μεταβλητής, οπότε τα πράγματα είναι λίγο πιο περίπλοκα. Ας γίνει, λοιπόν, εφαρμογή της Εξ. 6.0 στην πλευρά, η οποία εκφράζεται με την εξίσωση x=0 (Σχήμα 6.3). Η μερική παράγωγος πρέπει να εκφραστεί πρώτα ως προς την εμπρός πεπερασμένη διαφορά θεωρώντας τον κόμβο,., δx, a, β (6.) 3

Σχήμα 6.3 Προσέγγιση παράγωγου στα όρια. Εμπρός διαφορά. Εάν η μερική παράγωγος στην Εξ. 6.0 εκφραστεί ως κεντρική πεπερασμένη διαφορά θεωρώντας τον κόμβο, (Σχήμα 6.4), είναι:, δx, a, β (6.) Σχήμα 6.4 Προσέγγιση παράγωγου στα όρια. Κεντρική διαφορά. Το -, είναι ένας «φανταστικός» κόμβος που βρίσκεται πέραν του χώρου υπολογισμών. Η τιμή της -, υπολογίζεται από την Εξ. 6. και αντικαθίσταται στην Εξ. 6.7, οπότε: δx δy, δx δx a δy, δx δy,, δx β (6.3) 4

Η ανωτέρω εξίσωση αποτελεί δεύτερης τάξης προσέγγιση 0(δx ) και προφανώς ισχύει στα όρια και μόνο όπου έχει εφαρμογή η Εξ. 6.0. 6. OΡΙΖΟΝΤΙΑ/ΚΑΤΑΚΟΡΥΗ ΡΟΗ ΥΓΡΑΣΙΑΣ, ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΟΡΩΝ, dmost 6.. Θεωρητικό υπόβαθρο και αριθμητική τεχνική dmost ( dmesoal mosture) Το υπόγειο νερό μπορεί να χωριστεί σε δύο περιοχές κατά την έννοια μιας κατακόρυφης ευθείας, μιας περιοχής που καλείται «ζώνη κορεσμού» και μέσα στην οποία όλοι οι πόροι του εδάφους είναι γεμάτοι με νερό. Το άνω όριο αυτής της ζώνης καλείται «φρεατική στάθμη» και η πίεση σε όλα τα σημεία της στάθμης αυτής είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Το κάτω όριο περιορίζεται συνήθως από ένα αδιαπέραστο όριο, μια περιοχή που καλείται «ζώνη αερισμού» και που εκτείνεται από τη φρεατική στάθμη μέχρι την επιφάνεια του εδάφους. Οι πόροι μέσα στη ζώνη αερισμού είναι γεμάτη με αέρα και υδρατμούς. Η ροή μέσα στη ζώνη αερισμού καλείται «ακόρεστη» και αποτελεί μια ειδική περίπτωση ταυτόχρονης ροής αέρα και νερού, όπου όμως η αέρια φάση θεωρείται ότι δεν συμμετέχει στην κίνηση. Η επίλυση ακόρεστης ροής μπορεί να λύσει προβλήματα μόλυνσης υπόγειου εδάφους από βιομηχανικά απόβλητα, προβλήματα επαναφόρτισης υδροφόρων υπόγειων στρωμάτων, εγγειοβελτιωτικά έργα κ.ά. Τα προβλήματα της μη μόνιμης ροής του χώρου των δύο διαστάσεων, από υπολογιστικής άποψης, είναι τρισδιάστατα, διότι συμμετέχουν οι δύο διαστάσεις του χώρου και η μία διάσταση του χρόνου. Ας θεωρηθεί η εξίσωση του χώρου των δύο διαστάσεων x, y όπου y είναι τώρα η κατακόρυφη διάσταση (Kotake & Hkata, 993; Smth, 969): C t D x x C D x y y C K y y (6.4) η οποία εφαρμόζεται στην ορθογωνική διατομή που περικλείεται από 0 x X και 0 y Y, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.5 και η οποία δηλώνει τη μετάδοση υγρασίας με συντελεστή διάχυσης D(C), ενώ Κ(C) είναι η υδραυλική αγωγιμότητα. Στην ανωτέρω εξίσωση ο συντελεστής διάχυσης D=D x=d y υπολογίζεται από πειραματική συνάρτηση και η οποία για δοθέν έδαφος δύναται να πάρει τη μορφή: -5.0 9.34C D 3.33 x0 e (m /m) (6.5) 5

Σχήμα 6.5 Υπολογιστικός χώρος για την επίλυση προβλήματος μη μόνιμης ροής του χώρου των δύο διαστάσεων. Η υδραυλική αγωγιμότητα δίνεται: -3.0 54.C K 3.33 x0 e (m/m) (6.6) Η αρχική τιμή της υγρασίας C, δηλαδή οι αρχικές συνθήκες ροής, στον χρόνο t=0 πρέπει να υπολογιστούν σ όλους τους κόμβους του ορθογώνιου ΟXY (Σχήμα 6.5). Ακριβώς όπως και στην περίπτωση της μονοδιάστατης ροής, η λύση της ανωτέρω εξίσωσης μπορεί να μεταδοθεί προς τα εμπρός είτε με ρητή είτε με πεπλεγμένη τεχνική. Oι δείκτες και να θεωρηθεί ότι μεταβάλλονται στις x, y διευθύνσεις του χώρου αντιστοίχως και ότι ο συντελεστής k μεταβάλλεται στον χρόνο t. Για ένα πρόβλημα, στο οποίο οι οριακές τιμές της υγρασίας είναι πλήρως καθορισμένες για t>0, το όριο της σταθερότητας της λύσης είναι D δt. Στη γενική δx δ y περίπτωση, στο ρητό αριθμητικό σχήμα Mac-Cormack με το οποίο θα γίνει η διακριτοποίηση της Εξ. 6.4, η αναπαράσταση της χρονικής μεταβολής της γενικής μορφής εξίσωσης: u t f u,v gu,v x γίνεται με τη χρήση δύο βημάτων, πρόβλεψης-διόρθωσης, ενώ η χωρική μεταβολή στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί προς τα εμπρός διαφορά, ενώ στο δεύτερο κεντρική. Έτσι: Πρώτο βήμα, y (6.7) 6

k k k k f ( u,v ), -f ( u,v ) k k, g( u,v ), -g( u,v ), u, u, - δt δx δ y (6.8) Δεύτερο βήμα, k k k k k f ( u,v ), -f ( u,v ) k k -, g( u,v ), -g( u,v ), - u, u, u, - δt δx δ y (6.9) ~ k k όπου f ( u,v ), και g~ ( u,v ), είναι οι τιμές των συναρτήσεων f(u,v) και g(u,v) κάνοντας χρήση των k ενδιάμεσων τιμών u ~ k,, v ~, κ.ο.κ για τις υπόλοιπες άγνωστες μεταβλητές. Οι συναρτήσεις f(u,v) και g(u,v) στην προκειμένη περίπτωση της μετάδοσης του βαθμωτού μεγέθους, της υγρασίας δηλαδή της παρούσας παραγράφου, δίνονται ως: f(u,v) θ D x (6.0) g(u, v) θ D K y (6.) Για οριζόντια ροή ο όρος Κ στην Εξ. 6.4 τίθεται ίσος με μηδέν. 6.. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος dmost Nα υπολογιστεί η μετάδοση της υγρασίας ή αναλόγως και οποιουδήποτε βαθμωτού μεγέθους C (=TH(Ι,J)) σε (m 3 /m 3 ), συναρτήσει του χρόνου t (=T) σε (s) εντός εδάφους συνολικού μήκους L=38.0 (m) και βάθους 38.0 (m), του οποίου ο συντελεστής διάχυσης D (m /m) είναι ομοιογενής και ισότροπος και δίνεται από την Εξ. 6.5, ενώ η υδραυλική αγωγιμότητα Κ (m/m) δίνεται από την Εξ. 6.6. H εξίσωση που ελέγχει τη ροή είναι η Εξ. 6.4. Το πορώδες υλικό μέσα στο οποίο μεταδίδεται η υγρασία έχει αρχική συγκέντρωση C (=ΤΗΑRX) ίση με 0. (m 3 /m 3 ) παντού. Σ όλες τις χρονικές στιγμές εφαρμόζεται συγκέντρωση C (=ΤΗΟRΙΟΝ) με τιμή 0.4 (m 3 /m 3 ), όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.6, η οποία διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της διήθησης. Οι χωρικές αποστάσεις Δx (=DX) και Δy (=DY) να ληφθούν ίσες προς.0 (m) και να γίνει χρήση της ρητής αριθμητικής τεχνικής Mac-Cormack. 7

Σχήμα 6.6 Υπολογιστικό δίκτυο και χώρος εφαρμογής της συγκέντρωσης της υγρασίας C=0.4 (m3/m3) για όλους τους χρόνους. Παντού αλλού η συγκέντρωση C είναι 0. (m 3 /m 3 ). O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I μεταβάλλεται κατά την y διεύθυνση (εγκάρσια). 6..3 Δεδομένα του προγράμματος dmost Στην αρχή του προγράμματος dmost.f90 υπό τη μορφή Commet ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο dmost.dat και έχουν ως κατωτέρω: η Γραμμή. Ο αριθμός 38 (=JΜΑΧ στο πρόγραμμα dmost.f90) δείχνει τον αριθμό των Δx υποδιαιρέσεων. Ο δεύτερος αριθμός 38 (=IMAX) δίνει τον αριθμό των Δy υποδιαιρέσεων. O αριθμός 8 (=JP) στην τρίτη θέση δίνει τον δείκτη, μέχρι τον οποίο εισάγεται η συγκέντρωση C της υγρασίας (συνήθως μέχρι JP). (=IP) είναι ο αριθμός του IMAX στην θέση του οποίου εισάγεται η υγρασία. 0000 (=NMAX) είναι ο μέγιστος αριθμός των χρονικών επαυξήσεων Δt. η Γραμμή. (=DX) είναι το χωρικό βήμα Δx κατά τη x διεύθυνση. Στη δεύτερη θέση (=DΥ) είναι το χωρικό βήμα Δy κατά την y διεύθυνση. Στην τρίτη θέση 0. (=DT) είναι το χρονικό βήμα Δt. 3 η Γραμμή. 0.4 (=THORION) είναι η τιμή του βαθμωτού μεγέθους C στο όριο που εφαρμόζεται. 0. (=THΑRΧ) είναι η αρχική τιμή του βαθμωτού μεγέθους C στο πεδίο ροής. 4 η Γραμμή. 50, 500, 000, (=(IPRINT(I)) για Ι= μέχρι 0 είναι ο αριθμός του χρόνου, στον οποίο ζητούνται αναλυτικά οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων ροής. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος dmost.dat: IΜΑΧ=38, JMAX=38, ΙP=8, JP=,NMAX=000 DX=, DΥ=, DT=0. THORION=0.4, THΑRΧ=0. IPRINT(I) (I=,0) 50, 00, 000 Η παράθεση των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο dmost.dat και έχει ως εξής: 38 38 8 0000.0.0 0. 8

0.4 0. 50 500 000 000 5000 0000 0000 0000 0000 0000 6..4 Παράθεση του προγράμματος dmost Το πρόγραμμα dmost.f90 έχει ως ακολούθως. 6..5 Αποτελέσματα του προγράμματος dmost Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο dmost.out. 38 38 8 0000.000000.000000.000000E-0 4.000000E-0.000000E-0 50 500 000 000 5000 0000 0000 0000 0000 0000 Mosture (cm3/cm3) at tme (m) = 50.000 No of tme steps = 500 J=.40000.40000.40000.40000.40000.40000.40000.40000.86.0563.048.0095.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089.0089 J=.3598.3598.3587.3553.3454.376.3406.934.767.0489. 0077.004.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008.008 3 J=.538.538.537.5344.557.50.4396.3066.0889.057.003.0005.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003.0003 Mosture (cm3/cm3) at tme (m) = 500.0 No of tme steps = 5000 J=.40000.40000.40000.40000.40000.40000.40000.40000.594.4450.33939.9088.593.3976.9.378.30.0.975.957.950.947.947.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946.946 J=.37398.37398.37380.37345.37303.3785.3739.37966.4063.36.3550.7690.4884.309.086.577.338.33.89.7.64.6.6.6.6.60 9

.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60 3 J=.3488.3488.34778.34699.34587.34454.3439.3437.33979.3690.8660.583.3634.03.393.0983.0790.0705.0670.0656.0650.0648.0648.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647.0647 Στο Σχήμα 6.7 φαίνεται η κατανομή της συγκέντρωσης της υγρασίας C (m 3 /m 3 ) στις θέσεις x=5.0 (m) και x= 5.0 (m) μετά από διήθηση t=500.0 (m). Στο Σχήμα 6.8 δείχνεται η κατανομή της συγκέντρωσης της υγρασίας C (m 3 /m 3 ) στις θέσεις y=.0 (m), y=.0(m) και y= 3.0 (m) μετά από διήθηση t=500.0 (m). Σχήμα 6.7 Συγκέντρωση υγρασίας C (m 3 /m 3 ) στις θέσεις x=5.0 (m) και x=5.0 (m) (Σχήμα 6.) μετά από διήθηση t=500.0 (m). 30

Σχήμα 6.8 Συγκέντρωση υγρασίας C (m 3 /m 3 ) στις θέσεις y=.0 (m), y=.0 (m) και y=3.0 (m) (Σχήμα 6.) μετά από διήθηση t=500.0 (m). 6.3 ΕΠΙΛΥΣH ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ LAPLACE, laplace 6.3. Θεωρητικό υπόβαθρο και αριθμητική τεχνική laplace (Laplace) Στο παρακάτω πρόβλημα ροής της Υδραυλικής το πεδίο των πιέσεων ικανοποιεί την εξίσωση Laplace (Κουτίτας, 98; Σούλης, 986): x y 0 (6.) Ισχύει δε ότι: U, x V y (6.3) Η εξίσωση των κεντρικών διαφορών της εξίσωσης Laplace γράφεται:,,, 4,, (6.4) Πλησίον των ορίων η ανωτέρω εξίσωση μορφώνεται ανάλογα. Για συνθήκη απλής ροής τίθεται η τιμή της συνάρτησης δυναμικού, ώστε να εκφράσει τις ταχύτητες που επικρατούν στην είσοδο ή/και στην έξοδο. Επί των στερεών ορίων η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας προς το τοίχωμα τίθεται ίση με μηδέν και η τιμή της δυναμικής συνάρτησης λαμβάνεται με μια διαφορά προς τα εμπρός ή προς τα πίσω κατά το δοκούν σε σχέση με το προς επίλυση πρόβλημα. Είναι δηλαδή: 3

q s 0 στερεά όρια (6.5) όπου q η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας και s η χωρική απόσταση που είναι κάθετη προς την στερεή επιφάνεια του χώρου εφαρμογής. Η ανωτέρω εξίσωση με χρήση πεπερασμένων, επί παραδείγματι, προς τα εμπρός διαφορών κατά την Ι κοντά στο τοίχωμα δίνει: στερεά όρια (6.6) Με προς τα εμπρός πεπερασμένες διαφορές οι ταχύτητες U, V γράφονται: U,, Δx,, V,, Δy, (6.7) όπου + η τρέχουσα ανακύκλωση. 6.3. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος laplace Το δυναμικό (=F(I,J)) στην επιφάνεια ΑΒ (Σχήμα 6.9) ισούται με 0.0 (m /s). Στην επιφάνεια ΔΕ ισούται με 0.0 (m /s), ενώ στις επιφάνειες ΒΓ, ΓΔ, ΕΖ και ΖΗ τα τοιχώματα είναι αδιαπέραστα. Ο χώρος έχει διακριτοποιηθεί με Δx (=DX) ίσο με.0 (m) και Δy (=DY) ίσο με.0 (m). To μήκος L, δηλαδή η ΑΖ, είναι 50.0 (m) και το πλάτος W, δηλαδή η απόσταση AB, είναι επίσης 50.0 (m). Το άνοιγμα ΔΕ στην έξοδο είναι 0.0 (m). Ζητείται να υπολογιστούν οι ταχύτητες ροής U (m/s), V (m/s) στις x, y διευθύνσεις, αντίστοιχα. Σχήμα 6.9 Γεωμετρία για την εφαρμογή της εξίσωσης Laplace. H ροή ενεργοποιείται λόγω διαφοράς δυναμικού =0.0 (m /s) μεταξύ εισόδου και εξόδου εκ του χώρου ροής. Mε x=4.0 (m), 44.0 (m) και 48.0 (m) σημειώνονται οι θέσεις, όπου 3

γίνονται οι γραφικές παραστάσεις των ταχυτήτων U, V. O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια) ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (εγκάρσια). Το σημείο Δ έχει συντεταγμένες (IUPPER,JM) και το σημείο Ε (ILOWER,JM). Οι οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι: στην ΑΒ: = 0.0 (m /s), στην ΒΓ: 0. 0 (m/s), y στην ΓΔ: 0. 0 (m/s), x στην ΕΖ: 0. 0 (m/s), x στην ΖΑ: 0. 0 (m/s), y στην ΔΕ: = 0.0 (m /s) (6.8) 6.3.3 Δεδομένα του προγράμματος laplace Στην αρχή του προγράμματος laplace.f90 υπό τη μορφή Commet ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (εγκάρσια). Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο laplace.dat και έχουν ως κατωτέρω: η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=JM, στο πρόγραμμα laplace.f90) δείχνει τον μέγιστο αριθμό των Δx, ενώ ο δεύτερος αριθμός 50 (=ΙM) δείχνει τον μέγιστο αριθμό των Δy. Ο αριθμός 0 (=ILOWER) δείχνει τη μικρότερη τιμή του δείκτη Ι (κατά την y διεύθυνση) στην έξοδο από τον χώρο ροής, ενώ ο αριθμός 30 (=IUPPER) δείχνει τη μεγαλύτερη τιμή του δείκτη Ι στην έξοδο από τον χώρο ροής. η Γραμμή (συνέχεια). Ο αριθμός 0.0 (=F) δίνει την κατανομή του δυναμικού στην είσοδο του χώρου ροής (50 δεδομένα, IM). 3 η Γραμμή. Ο αριθμός 0.0 (=F) δίνει την κατανομή του δυναμικού στην έξοδο του χώρου ροής (0 δεδομένα, ΙUPPER-ILOWER). Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος laplace.dat: JM=50,IM=50,ILOWER=0,IUPPER=30 F=0.0 F=0.0 Η παράθεση των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο laplace.dat και έχει ως εξής: 50 50 0 30 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6.3.4 Παράθεση του προγράμματος laplace 33

Το πρόγραμμα laplace.f90 δίνεται στο αρχείο λογισμικών. 6.3.5 Αποτελέσματα του προγράμματος laplace Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο laplace.out. 50 50 0 30 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00 0.000E+00 **No OF TIME STEPS = 0****MAXIMUM DIFFERENCE IN PHI=0.000000** **VELOCITY U(m/s)** U(m/s) =0.3968 0.3968 0.3966 0.396 0.3958 0.395 0.3944 0.3934 0.393 0.3909 0.3894 0.3875 0.3853 0.388 0.3799 0.3765 0.377 0.368 0.363 0.3573 0.3505 0.349 0.334 0.34 0.37 0.997 0.850 0.683 0.493 0.79 0.038 0.766 0.46 0.9 0.0738 0.035 0.09846 0.0939 0.0876 0.084 0.07469 0.06745 0.05969 0.0545 0.0477 0.03370 0.043 0.0468 0.0049 0.00000 U(m/s) =0.3968 0.3968 0.3966 0.396 0.3958 0.395 0.3944 0.3934 0.393 0.3909 0.3894 0.3875 0.3853 0.388 0.3799 0.3765 0.377 0.368 0.363 0.3573 0.3505 0.349 0.334 0.34 0.37 0.997 0.850 0.683 0.493 0.79 0.038 0.766 0.46 0.9 0.0738 0.035 0.09846 0.0939 0.0876 0.084 0.07469 0.06745 0.05969 0.0545 0.0477 0.03370 0.043 0.0468 0.0049 0.00000 U(m/s) =0.3969 0.3969 0.3967 0.3964 0.3959 0.3953 0.3945 0.3936 0.395 0.39 0.3896 0.3878 0.3857 0.383 0.3803 0.3770 0.373 0.3689 0.3639 0.358 0.355 0.3440 0.3353 0.355 0.343 0.305 0.870 0.705 0.58 0.307 0.068 0.799 0.497 0.59 0.078 0.0360 0.09894 0.09379 0.0883 0.0894 0.075 0.06796 0.0607 0.0589 0.0436 0.0340 0.0455 0.0483 0.00496 0.00000 34

U(m/s) =0.383 0.38 0.389 0.384 0.3807 0.3799 0.3788 0.3774 0.3759 0.3740 0.378 0.3694 0.3665 0.363 0.3595 0.355 0.3504 0.3449 0.3387 0.338 0.338 0.349 0.3049 0.935 0.808 0.664 0.503 0.3 0.9 0.893 0.639 0.357 0.043 0.0695 0.0309 0.09884 0.0947 0.08906 0.08349 0.07745 0.07094 0.06396 0.0565 0.04865 0.04040 0.0380 0.09 0.0384 0.00463 0.00000 U(m/s) =0.38 0.380 0.387 0.38 0.3805 0.3796 0.3785 0.377 0.3756 0.3737 0.375 0.3690 0.366 0.367 0.3589 0.3546 0.3497 0.344 0.3379 0.3308 0.38 0.338 0.3036 0.9 0.79 0.646 0.483 0.300 0.095 0.866 0.60 0.35 0.009 0.0658 0.070 0.09843 0.09374 0.0886 0.08303 0.07699 0.07048 0.0635 0.0560 0.0487 0.04007 0.0353 0.07 0.037 0.00459 0.00000 U(m/s) =0.38 0.380 0.387 0.38 0.3805 0.3796 0.3785 0.377 0.3756 0.3737 0.375 0.3690 0.366 0.367 0.3589 0.3546 0.3497 0.344 0.3379 0.3308 0.38 0.338 0.3036 0.9 0.79 0.646 0.483 0.300 0.095 0.866 0.60 0.35 0.009 0.0658 0.070 0.09843 0.09374 0.0886 0.08303 0.07699 0.07048 0.0635 0.0560 0.0487 0.04007 0.0353 0.07 0.037 0.00459 0.00000 **VELOCITY V(m/s)** V(m/s) =0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 V(m/s) =0.00000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00003 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 0.00007 0.00009 0.0000 0.000 0.0003 0.0006 0.0008 0.000 0.0004 0.0007 0.0003 0.00036 0.0004 0.00047 0.00053 0.0006 0.00069 0.00078 0.00089 0.0000 0.004 0.008 0.0044 0.006 0.0080 0.000 0.003 0.0046 0.007 0.0097 0.0033 0.00349 0.00375 0.00400 0.0044 0.00445 0.0046 0.00476 0.00486 0.0049 0.0049 V(m/s) =0.00000 0.0000 0.00004 0.00006 0.00008 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.000 0.0005 0.00030 0.00035 0.00040 0.00046 0.00054 0.0006 0.0007 0.0008 0.00093 0.0007 0.00 0.0039 0.0059 0.008 0.0006 0.0034 0.0065 0.00300 0.00339 0.0038 0.00430 0.0048 0.00539 0.0060 0.00667 0.00738 0.008 0.00889 0.00968 0.0048 0.07 0.003 0.073 0.0337 0.039 0.0434 0.0463 35

0.0478 0.0478 V(m/s) =0.00000-0.00003-0.00006-0.00009-0.000-0.0005-0.0008-0.000-0.0006-0.00030-0.00035-0.00040-0.00046-0.00053-0.00060-0.00068-0.00078-0.00088-0.00099-0.00-0.007-0.0043-0.006-0.008-0.0004-0.0030-0.0058-0.0089-0.0033-0.0036-0.00403-0.00449-0.00498-0.0055-0.00609-0.00670-0.00735-0.0080-0.0087-0.0094-0.00-0.0080-0.046-0.006-0.06-0.0306-0.034-0.0367 0.0380-0.0380 V(m/s) =0.0000-0.0000-0.0000-0.00003-0.00004-0.00005-0.00006-0.00007-0.00009-0.0000-0.000-0.0003-0.0005-0.0008-0.0000-0.0003-0.0006-0.0000-0.00033-0.00038-0.0004-0.00048-0.00054-0.0006-0.00068-0.00077-0.00086-0.00097-0.0008-0.00-0.0035-0.0050-0.006-0.0084-0.000-0.004-0.0045-0.0067-0.0090-0.0034-0.00330-0.00360-0.0038-0.0040-0.0049-0.00434-0.00446-0.00454-0.00459-0.00459 V(m/s) =0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 **VELOCITY POTENTIAL PHI (m/s) PHI(m/s)= 0.00000 9.8603 9.7065 9.580 9.4440 9.3086 9.637 9.098 8.88369 8.7445 8.60550 8.46665 8.3800 8.8958 8.0544 7.936 7.7763 7.63907 7.5049 7.36645 7.304 7.09634 6.9647 6.895 6.69765 6.56698 6.43770 6.30999 6.8405 6.060 5.93846 5.8936 5.7034 5.5905 5.48075 5.37538 5.7446 5.7846 5.08789 5.0034 4.9506 4.85386 4.7906 4.73448 4.6876 4.64894 4.6987 4.6003 4.59050 4.59050 PHI(m/s)= 0.00000 9.8603 9.7065 9.580 9.4440 9.3086 9.637 9.098 8.88369 8.7445 8.60550 8.46665 8.3800 8.8958 8.0544 7.936 7.7763 7.63907 7.5049 7.36645 7.304 7.09634 6.9647 6.895 6.69765 6.56698 6.43770 6.30999 6.8405 6.060 5.93846 5.8936 5.7034 5.5905 5.48075 5.37538 5.7446 5.7846 5.08789 5.0034 4.9506 4.85386 4.7906 4.73448 4.6876 4.64894 4.6987 4.6003 4.59050 4.59050 PHI(m/s)= 0.0000 9.8603 9.706 9.58097 9.4435 9.3079 9.69 9.088 8.88357 8.74438 8.60533 8.46645 8.3777 8.893 8.053 7.935 7.7757 7.63860 7.5095 7.36583 7.303 7.09553 6.9653 6.8846 6.69643 6.56560 6.4363 6.308 6.804 6.05785 5.93590 5.8649 5.6999 5.58654 5.47674 5.3709 5.6953 5.7304 5.0896 36

4.99679 4.9807 4.84635 4.786 4.7600 4.67837 4.63969 4.6034 4.59060 4.58068 4.58068 PHI(m/s)= 0.000 9.8677 9.7357 9.58540 9.4479 9.3095 9.73 9.03350 8.89583 8.75833 8.603 8.48396 8.3476 8.066 8.0745 7.93877 7.80347 7.66869 7.53448 7.40094 7.683 7.367 7.0055 6.8759 6.74644 6.6904 6.4936 6.36898 6.467 6.660 6.00887 5.8938 5.7873 5.6795 5.56783 5.46676 5.3704 5.784 5.90 5.43 5.037 4.96955 4.9090 4.8565 4.890 4.7757 4.74830 4.7988 4.706 4.706 PHI(m/s)= 0.00000 9.8679 9.736 9.58546 9.44736 9.30935 9.744 9.03365 8.89600 8.75853 8.66 8.4843 8.34747 8.0 8.0749 7.939 7.80399 7.6698 7.5355 7.4069 7.6898 7.373 7.0063 6.8764 6.7478 6.6058 6.49488 6.3709 6.4888 6.90 6.056 5.8968 5.78506 5.67663 5.5790 5.474 5.37505 5.8376 5.9783 5.770 5.04385 4.97675 4.9683 4.86454 4.808 4.7844 4.757 4.73896 4.7979 4.7979 PHI(m/s)= 0.00000 9.8679 9.736 9.58546 9.44736 9.30935 9.744 9.03365 8.89600 8.75853 8.66 8.4843 8.34747 8.0 8.0749 7.939 7.80399 7.6698 7.5355 7.4069 7.6898 7.373 7.0063 6.8764 6.7478 6.6058 6.49488 6.3709 6.4888 6.90 6.056 5.8968 5.78506 5.67663 5.5790 5.474 5.37505 5.8376 5.9783 5.770 5.04385 4.97675 4.9683 4.86454 4.808 4.7844 4.757 4.73896 4.7979 4.7979 Στο Σχήμα 6.0 φαίνεται η κατανομή της διαμήκους, δηλαδή της αξονικής ταχύτητας U (m/s) κατά πλάτος του αγωγού στις θέσεις α) 4.0 (m), β) 44.0 (m) και γ) 48.0 (m) από την είσοδο, αντίστοιχα. Το συνολικό πλάτος των 7.5 (m) αναφέρεται σε σμμετρική απόσταση γύρω από την κεντρική ροϊκή γραμμή. Παράλληλα, στο Σχήμα 6. δείχνεται η κατανομή της εγκάρσιας ταχύτητας V (m/s) κατά πλάτος του αγωγού στις θέσεις α) 4.0 (m), β) 44.0 (m) και γ) 48.0 (m) από την είσοδο, αντίστοιχα. 37

Σχήμα 6.0 Κατανομή της διαμήκους (αξονικής) ταχύτητας U (m/s) κατά πλάτος του αγωγού στις θέσεις,a) 4.0 (m), β) 44.0 (m) και γ) 48.0 (m) από την είσοδο. Το συνολικό πλάτος των 7.5 (m) αναφέρεται στη συμμετρική πέριξ της κεντρικής ροϊκής γραμμής εγκάρσια απόσταση. 38

Σχήμα 6. Κατανομή της εγκάρσιας ταχύτητας V (m/s) κατά πλάτος του αγωγού στις θέσεις a) 4.0 (m), β) 44.0 (m) και γ) 48.0 (m) από την είσοδο (Σχήμα 6.6). Το συνολικό πλάτος των 7.5 (m) αναφέρεται στη συμμετρικά πέριξ της κεντρικής ροϊκής γραμμής εγκάρσια απόσταση. 39

40 6.4 ΡΟΗ ΕΝΤΟΣ ΠΟΡΩΔΩΝ ΜΕΣΩΝ, gwflow 6.4. Θεωρητικό υπόβαθρο και αριθμητική τεχνική gwflow (Groud water flow) Στο παρακάτω πρόβλημα κορεσμένης ροής της Υπόγειας Υδραυλικής το πεδίο των πιέσεων ικανοποιεί την εξίσωση Laplace (Κουτίτας, 98; Σούλης, 986; Holt, 977): 0 y x (6.9) y K,V x K U (6.30) όπου Κ συντελεστής διαπερατότητας του πορώδους υλικού και (=p/ρg +z) το υδραυλικό φορτίο. Η αριθμητική εξίσωση των κεντρικών διαφορών της Εξ. 6.9 γράφεται: 4,,,,, (6.3) Για συνθήκη απλής ροής τίθεται η τιμή της συνάρτησης δυναμικού, ώστε να εκφράσει τις ταχύτητες που επικρατούν στην είσοδο ή/και στην έξοδο. Επί των στερεών ορίων η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας q προς το τοίχωμα τίθεται ίση με μηδέν και η τιμή του φορτίου λαμβάνεται με μια διαφορά προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, κατά το δοκούν, σε σχέση με το προς επίλυση πρόβλημα. Επομένως, επί παραδείγματι οι τιμές της στην ΙΚ (Σχήμα 6.) είναι ίδιες με τις τιμές της στη ΛΜ. Με πεπερασμένες διαφορές οι ταχύτητες U, V γράφονται: Δy K V, Δx K U,,,,,, (6.3)

Σχήμα 6. Υπολογιστικό δίκτυο του πορώδους χώρου ροής για τον υπολογισμό της διαφεύγουσας παροχής κάτωθι του φράγματος. O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (κατακόρυφα). 6.4. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος gwflow Το φορτίο (=F(Ι,J)) σε (m) στην επιφάνεια ΑΒ (Σχήμα 6.) ισούται με 30.0 (m) και η διαφορά φορτίου μεταξύ των επιφανειών ΑΒ και ΓΔ είναι 0.0 (m). Στα όρια ΑΗ και ΔΘ η τιμή του φορτίου είναι 30.0 (m) και 0.0 (m) λόγω υδροστατικής κατανομής, αντίστοιχα. Ο χώρος έχει διακριτοποιηθεί με Δx (=DX) ίσο με 0.0 (m) και Δy (=DY) ίσο με 0.0 (m). O συντελεστής διαπερατότητας του πορώδους υλικού Κ (=K) είναι.0 (mm/s). Ζητείται να υπολογιστεί η διαφεύγουσα παροχή κάτωθι του φράγματος. Η διακριτοποίηση του χώρου ροής δείχνεται επίσης στο Σχήμα 6.3. 4

Σχήμα 6.3 Υπολογιστικό δίκτυο του πορώδους χώρου ροής με τις οριακές συνθήκες και τον τρόπο υπολογισμού της παροχής διήθησης (m 3 /s/m). Οι οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι: στην ΑΒ: =30.0 (m), στη ΓΔ: =0.0 (m), στην ΑΗ: =30.0 (m), στη ΔΘ: =0.0 (m), στην ΗΘ, η οποία είναι αδιαπέραστο όριο, ισχύει Κ 0, επομένως οι τιμές της στην y ΙΚ (Σχήμα 6.) είναι ίδιες με τις τιμές της στη ΛΜ, στη ΒΕ, η οποία είναι αδιαπέραστο όριο, ισχύει Κ 0, επομένως η τιμή της στη Ν x είναι ίδια με την τιμή της στο Ο, στην ΕΖ, η οποία είναι αδιαπέραστο όριο, ισχύει Κ 0, επομένως η τιμή της στο Ξ y είναι ίδια με την τιμή της στο Π. Αναλυτική παρουσίαση των οριακών συνθηκών παρατίθεται στο Σχήμα 6.3. Για να επιλυθεί το πρόβλημα γίνεται μια αρχική εκτίμηση των τιμών της στο πεδίο ροής. Η εκτίμηση αυτή αποτελεί την πρώτη ανακύκλωση. 6.4.3 Δεδομένα του προγράμματος gwflow Στην αρχή του προγράμματος gwflow.f90 υπό τη μορφή Commet ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (κατακόρυφα). Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο gwflow.dat και έχουν ως κατωτέρω: 4

η Γραμμή. Ο αριθμός 6 (=IMUP στο πρόγραμμα gwflow.f90) δείχνει τον μέγιστο αριθμό των Δy, ενώ ο δεύτερος αριθμός 4 (=ΙMDΑΜ) δείχνει τον αριθμό των Δy, όπου βρίσκεται η βάση του φράγματος. Ο αριθμός 5 (=IMDOWN) δείχνει τον αριθμό των Δy, όπου βρίσκεται η στέψη του φράγματος. η Γραμμή. Ο αριθμός 8 (=JM) δίνει τον μέγιστο αριθμό των Δx, ενώ ο δεύτερος αριθμός 4 (=JUP) δείχνει τον αριθμό των Δx, όπου βρίσκεται η αρχή της βάσης του φράγματος. Ο αριθμός 6 (=JDOWN) δείχνει τον αριθμό των Δx, όπου βρίσκεται το τέλος του φράγματος. 3 η Γραμμή. Οι αριθμοί 70.0, 70.0, 70.0, 70.0, 70.0, 70.0 (=IMUP) δίνουν τις τιμές του φορτίου στο αριστερό τμήμα του φράγματος (Σχήμα 6.9), γραμμή ΑΗ. 4 η Γραμμή. Οι αριθμοί 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 (=IMDOWN) δίνουν τις τιμές του φορτίου στο δεξιό τμήμα του φράγματος (Σχήμα 6.9), γραμμή ΔΘ. 5 η Γραμμή. Οι αριθμοί 70.0, 70.0, 70.0, 70.0 (=JUP) δίνουν τις τιμές του φορτίου στο πάνω αριστερό τμήμα του φράγματος (Σχήμα 6.9), γραμμή AB. 6 η Γραμμή. Οι αριθμοί 0.0, 0.0, 0.0 (=JDOWN) δίνουν τις τιμές του φορτίου στο πάνω δεξιά τμήμα του φράγματος (Σχήμα 6.0), γραμμή ΓΔ. 7 η Γραμμή. 0.0000 (=K) είναι ο συντελεστής διαπερατότητας του πορώδους μέσου, 0.0 (=DΧ), είναι το μήκος του χωρικού βήματος Δx, 0.0 (=DY) είναι το μήκος του χωρικού βήματος Δy. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος gwflow.dat: IMUP=6, ΙMDΑΜ=4, IDOWN=5 JM=8, JUP=4, JDOWN=6 F(I,) (I=,IMUP)= 70.0, 70.0, 70.0, 70.0, 70.0, 70.0 F(I,JM) (I=,IMDOWN)= 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0 F(IMUP,J) (J=,JUP)=70.0, 70.0, 70.0, 70.0 F(IMDOWN,J) (J=JDOWN,JM)= 0.0, 0.0, 0.0 K=0.0000, DX=0.0, DY=0.0 Η παράθεση των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο gwflow.dat και έχει ως εξής: 6 4 5 8 4 6 70.0 70.0 70.0 70.0 70.0 70.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 70.0 70.0 70.0 70.0 0.0 0.0 0.0 0.0000 0.0 0.0 6.4.4 Παράθεση του προγράμματος gwflow Το πρόγραμμα gwflow.f90 δίνεται στο αρχείο λογισμικών. 6.4.5 Αποτελέσματα του προγράμματος gwflow Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο gwflow.out. 6 4 5 8 4 6 70.00000 70.00000 70.00000 70.00000 70.00000 70.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 43

70.00000 70.00000 70.00000 70.00000 0.00000 0.00000 0.00000.9999999E-05 0.00000 0.00000 No of teratos = Maxmum dffereces F = 40.74875000 5.78500000.94065000 No of teratos = Maxmum dffereces F = 4.5605468750.3037094 4.8653438 No of teratos = 3 Maxmum dffereces F = 0.98770460.34664970 6.734890 No of teratos = 04 Maxmum dffereces F = 0.0000000000 0.0000000000 0.000003847 No of teratos = 05 Maxmum dffereces F = 0.0000000000 0.0000000000 0.000003847 No of teratos = 06 Maxmum dffereces F = 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 Posto I =, Velocty u (m/s) (udereath dam) = 0.0000 Posto I =, Velocty u (m/s) (udereath dam) = 0.0000 Posto I = 3, Velocty u (m/s) (udereath dam) = 0.00003 Posto I = 4, Velocty u (m/s) (udereath dam) 0.00005 Dscharge q (m3/day/m) = 8.8500 Ο υπολογισμός της παροχής κάτωθι του φράγματος γίνεται ως εξής. Λαμβάνεται μια διατομή, έστω η zz (Σχήμα 6.3) και υπολογίζονται οι παροχές Q, Q, Q 3 και Q 4 των επιμέρους τμημάτων. Η ταχύτητα U 3 9 υπολογίζεται από την Εξ. 6.3 και η παροχή π.χ. Q =U Δy όπου Δy=0.0 (m) και U = 0.0000. Η 0.0 ταχύτητα V θεωρείται μηδενική σχετικά με την U και παραλείπεται από τους υπολογισμούς. Η ολική παροχή θα είναι, Q=Q +Q +Q 3+Q 4= 8.85 (m 3 /day/m). Να σημειωθούν οι τιμές των Δy=5.0 (m), πλησίον των στερεών ορίων και επίσης Δy=0.0 (m), ενδιάμεσα κατά τον υπολογισμό της παροχής ανά μονάδα πλάτους του φράγματος στην περιοχή κάτω από αυτό. 6.5 ΜΕΤΑΟΡΑ KAI ΔΙΑΧΥΣH, advdf 6.5. Θεωρητικό υπόβαθρο και αριθμητική τεχνική advdf (Advecto-dffuso) Διάχυση είναι η τάση των μορίων μιας ουσίας να διασπείρονται από περιοχές υψηλότερης συγκέντρωσης προς τις περιοχές μικρότερης συγκέντρωσης. Η τάση αυτή εκδηλώνεται με αντίστοιχη μετακίνηση των μορίων. 44

Τούτο σημαίνει πως η μετακίνηση των μορίων γίνεται και προς τις τρεις κατευθύνσεις με μεγαλύτερο ρυθμό από την περιοχή της υψηλότερης συγκέντρωσης. H εξίσωση που ελέγχει τη μεταφορά και διάχυση έχει τη μορφή (Κουτίτας, 98; )Κουτίτας, Χ.Γ, Gha et al.,994; Ferzger & Perc, 999): C t UC VC x y C E x x C E y y (6.33) Στην εξίσωση αυτή C είναι η συγκέντρωση του ρύπου και Ε ο συντελεστής διάχυσης. Εάν ο συντελεστής διάχυσης Ε είναι σταθερός και ανεξάρτητος του βαθμωτού μεγέθους C (ρύπου), τότε: C t UC VC x y C E x C y (6.34) Για την επίλυση του προβλήματος θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών κάνοντας χρήση της ρητής τεχνικής Mac-Cormack. Στο ρητό αυτό αριθμητικό σχήμα η αναπαράσταση της χρονικής μεταβολής, η οποία χρησιμοποιείται ως ψευδοχρονική επαύξηση, γίνεται με τη χρήση δύο βημάτων, πρόβλεψης- διόρθωσης, ενώ η χωρική μεταβολή στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί προς τα εμπρός διαφορά, ενώ στο δεύτερο κεντρική ως κατωτέρω: Πρώτο βήμα, C ~ k C k C E k k f ( C ) - f ( C ) - δx, - C δx, C -, g( C ) δt - C, k - C δ y - g( C ) δ y, C k, - δt δt (6.35) Δεύτερο βήμα, C k ( C ~ C ~ E k ~ k ~ k k k f ( C ) - f ( C ) g~ - ( C ) - g~ ( C ) C ) - δt - δx δ y - C ~, C ~ -, C ~, - C ~, C ~, - δx δx, k - δt (6.36) ~ k όπου f ( C ) + είναι η προκύπτουσα τιμή της συνάρτησης f(u)=uc κάνοντας χρήση της ενδιάμεσης τιμής k C ~ + και k g~ ( C )+ είναι η προκύπτουσα τιμή της συνάρτησης g(u)=vc κάνοντας χρήση της ενδιάμεσης τιμής k C ~ + κ.ο.κ. To αριθμητικό αυτό σχήμα είναι δεύτερης τάξης ακριβείας. 6.5. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος advdf Nα υπολογισεί η μετάδοση του ρύπου C (=C(Ι,J)) σε (cm 3 /cm 3 ) συναρτήσει του χρόνου t (=T) σε (s) εντός χώρου διαστάσεων 40.0 x 40.0 (m)x(m) (Σχήμα 6.4). Ο συντελεστής διάχυσης Κ (=ΚΧ=ΚΥ) είναι σταθερός 45

κατά τις x, y διευθύνσεις και ίσος με 0. (m /s). O χώρος στον οποίο εφαρμόζεται ο ρύπος έχει συγκέντρωση C (=CORION), ενώ είναι ίσος προς.0 (cm 3 /cm 3 ) και βρίσκεται στη θέση (I,J)=(0.0, 0.0), ενώ παραμένει σταθερός σε όλες τις χρονικές στιγμές. Σ όλο τον υπόλοιπο χώρο οι αρχικές συνθήκες απαιτούν συγκέντρωση C (=CARX) ίση με 0.0 (cm 3 /cm 3 ), H ταχύτητα U (=U) μεταφοράς του ρύπου είναι 0. (m/s) και η ταχύτητα V (=V) είναι 0. (m/s). Σχήμα 6.4 Υπολογιστικός χώρος για την επίλυση του προβλήματος διάχυσης-μεταφοράς της συγκέντρωσης C ρύπου που εφαρμόζεται στη θέση (IP,JP)=(0,0). O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (εγκάρσια). 6.5.3 Δεδομένα του προγράμματος advdf Στην αρχή του προγράμματος advdf.f90 υπό τη μορφή Commet ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. O δείκτης J μεταβάλλεται κατά τη x διεύθυνση (οριζόντια), ενώ ο δείκτης I κατά την y διεύθυνση (εγκάρσια). Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο advdf.dat και έχουν ως κατωτέρω: η Γραμμή. 40 (=ΙΜ στο πρόγραμμα advdf.f90) είναι ο αριθμός των Δy υποδιαιρέσεων, 40 (=JΜ) είναι ο αριθμός των Δx υποδιαιρέσεων, 0 (=IP) είναι ο δείκτης για την Ι θέση του ρύπου, 0 (=JP) είναι ο δείκτης για την J θέση του ρύπου, 0000 (=NMAX) είναι ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων. η Γραμμή. (=DX) είναι το χωρικό βήμα Δx κατά την x διεύθυνση. Στη δεύτερη θέση (=DΥ) είναι το χωρικό βήμα Δy=.0 (m) κατά την y διεύθυνση. Στην τρίτη θέση 0. (=DT) είναι το χρονικό βήμα Δt, 0. (=U) είναι η ταχύτητα U κατά την x διεύθυνση. 0. (=V) είναι η ταχύτητα V κατά την y διεύθυνση. 3 η Γραμμή. 0. (=ΚΧ) είναι η τιμή του συντελεστή διάχυσης Kx=0. κατά την x διεύθυνση, 0. (=ΚΥ) είναι η τιμή του συντελεστή διάχυσης Ky=0. κατά την y διεύθυνση,.0 (=CORION) είναι η τιμή του βαθμωτού μεγέθους C=.0 στο όριο που εφαρμόζεται. 0.0 (=CΑRΧ) είναι η αρχική τιμή του βαθμωτού μεγέθους C στο πεδίο ροής πλην του ορίου. 4 η Γραμμή. 0, 30, 40 (=(IPRINT(I)) για Ι= μέχρι 0 είναι ο αριθμός του χρόνου, στον οποίο ζητούνται αναλυτικά οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων ροής. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος advdf.dat: IM=40, JM=40, IP=0, JP=0, NMAX=0000 46

DX=.0,DY=.0, DT=0., U=0., V=0. KX=0., KY=0., CORION=.0, CARX=0.0 (IPRINT(I) (I=,0) 0, 30, 40, 50, 60, 70,80,000,500, 3000 Η παράθεση των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο advdf.dat και έχει ως εξής: 40 40 0 0 0000.0.0 0. 0. 0. 0. 0..0 0.0 0 30 40 50 60 70 80 000 500 3000 6.5.4 Παράθεση του προγράμματος advdf Το πρόγραμμα advdf.f90 δίνεται στο αρχείο λογισμικών. 6.5.5 Αποτελέσματα του προγράμματος advdf Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο advdf.out. 40 40 0 0 0000.000000.0000.00000E-0.00000E-0.00000E-0.0000E-0.00000E-0.000000 0.000E+00 0 30 40 50 60 70 80 000 500 3000 /Cocetrato C (m3/m3)at tme(s)=99.999 / No of tme steps = 000 9 J=.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 -.00006 -.0040.00757.00433.007.00093.0003.00004 -.00006 -.00008 -.00007 -.00005 -.00004 -.0000 -.0000 -.0000 -.0000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 0 J=.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 -.0000 -.00.00757.00000.49806.50.569.06308.0360.0579.00786.00389.009.00094.00045.000.0000.00005.0000.0000.00000.00000.00000.00000 J=.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000 -.0000 -.00.00433.49806.4978.37390.4980.5648.09408.05496.034.0766.00979.00536.009.0056.00083.00044.0003.000.00006.00003.0000.00000 47

Στο Σχήμα 6.5 φαίνεται η κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου C (cm 3 /cm 3 ) κατά μήκος της y διεύθυνσης στη θέση x=0.0 (m) μετά από διήθηση t=500.0 (s). Στο Σχήμα 6.6 δείχνεται η κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου C (cm 3 /cm 3 ) κατά μήκος της x διεύθυνσης στη θέση y=0.0 (m) μετά από t=500.0 (s). Σχήμα 6.5 Κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου C (cm 3 /cm 3 ) κατά μήκος της y διεύθυνσης στη θέση x=0.0 (m) μετά από χρόνο t=500.0 (s). Σχήμα 6.6 Κατανομή της συγκέντρωσης του ρύπου C (cm 3 /cm 3 ) κατά μήκος της x διεύθυνσης στη θέση y=0.0 (m) μετά από χρόνο t=500.0 (s). 48

Βιβλιογραφία/Αναφορές Abbot, M. Computatoal Hydraulcs, Ptma, 979. Brebba, C.A., Ferrate, A.J. Computatoal Hydraulcs, Butterworths ad Co (Publshers), 983. Chow, C.Y. A Itroducto to Computatoal Flud Dyamcs, Joh Wley ad Sos, 979. Ferzger, J.H., Perc, M. Computatoal Methods for Flud Dyamcs, Sprger-Verlag, 999. Fletcher, C.A.J. Computatoal Techques for Flud Dyamcs Volume II, Fudametal ad Geeral Techques d Ed., Sprger Seres Computatoal Physcs, Sprger-Verlag, 990.. Gha, K.N., Ga, U., Goldste, D. (Eds.). Advaces Computatoal Methods Flud Dyamcs, Fed- Vol.96, ASME, 994. Ηoffma, Κ.Α., Chag, S.Τ. Computatoal Flud Dyamcs for Egeers, Volumes I ad II, Egeerg Educato System, Wchta, Kasas, 993. Ηolt, M. Numercal Methods Flud Dyamcs, Sprger Seres Computatoal Physcs, Sprger- Verlag, 977. Kotake, S., Hkata, K. Numercal Smulatos of Heat Trasfer ad Flud Flow o a Persoal Computer, Trasport Processes Egeerg 3, Elsever Scece Publshers B.V., 993. Κουτίτας, Χ.Γ. Μαθηματικά Ομοιώματα στην Παράκτια Μηχανική, Πολυτεχνική Σχολή, Δ.Π.Θ., 985. Κουτίτας, Χ.Γ. Υπολογιστική Υδραυλική, Πολυτεχνική Σχολή, Δ.Π.Θ., 98. Smth, P.D. Θεωρία και Προγράμματα Υδραυλικής Basc, Εκδόσεις Κλειδάριθμος, 98. Σούλης, Ι.Β. Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών, Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αϊβάζη, 986. Vreudehl, C.B. Computatoal Hydraulcs, Spger-Verlag, 989. Welya, T. Shallow Water Hydrodyamcs, Elsever Oceaography Seres, 55, 99. 49