3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩN ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
|
|
- Διογένης Αναστασιάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΩN ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σύνοψη Στο Κεφάλαιο 3 «Επίλυση Παραβολικών Εξισώσεων» παρατίθενται αριθμητικές τεχνικές επίλυσης παραβολικών εξισώσεων. Αναφέρονται μερικές ρητές αριθμητικές τεχνικές και μία πεπλεγμένη. H παράθεση έχει ως εξής: 1. euler: Τεχνική Euler για επίλυση παραβολικών εξισώσεων,. expl: Τεχνική explicit για επίλυση παραβολικών εξισώσεων, 3. lax: Τεχνική Lax για επίλυση παραβολικών εξισώσεων, 4. frog: Tεχνική Leap-frog για επίλυση παραβολικών εξισώσεων, 5. crank: Πεπλεγμένη τεχνική Crank-Nickolson για επίλυση παραβολικών εξισώσεων. Προαπαιτούμενη γνώση Μαθηματική ανάλυση, Γραμμική άλγεβρα, Αναλυτική γεωμετρία 3.1 ΡΗΤΗ ΤΕΧΝΙΚΗ EULER, euler Τεχνικές επίλυσης παραβολικών εξισώσεων Ορισμένα προβλήματα της Υδραυλικής Μηχανικής, στα οποία υπεισέρχεται ο χρόνος t, οδηγούν στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων παραβολικής μορφής. Παραδείγματα τέτοιων ροών είναι η διάχυση ενός βαθμωτού μεγέθους, όπως η υγρασία ή η θερμοκρασία, και η κίνηση συνεκτικού ρευστού μεταξύ επιφανειών κ.ά. (Σούλης, 1986; Κουτίτας, 198). Η πλέον απλουστευμένη παραβολική εξίσωση είναι η εξίσωση Fourier. Για τη μελέτη π.χ. μίας χωρικής διάστασης, αυτή γράφεται: u t v u y (3.1) όπου u η ταχύτητα ροής, ν το κινηματικό ιξώδες της ροής και y η θέση. «Ρητή» τεχνική (Εxplicit) είναι εκείνη η τεχνική, στην οποία η τιμή της άγνωστης μεταβλητής, στον κόμβο που μελετάται, εκφράζεται σε όρους γνωστών μεταβλητών, οι οποίες έχουν υπολογιστεί σε προηγούμενα χρονικά βήματα. Αντίθετα, εάν η μαθηματική έκφραση περιλαμβάνει τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής σε περισσότερους του ενός κόμβους, η τεχνική της επίλυσης ονομάζεται «πεπλεγμένη» (Ιmplicit). Τα περισσότερα αριθμητικά σχήματα που αναφέρονται στις επόμενες παραγράφους δύναται να χρησιμοποιηθούν και στην επίλυση υπερβολικών εξισώσεων Αριθμητική τεχνική euler (Euler) Απευθείας προσέγγιση της παραβολικής Εξ. 3.1 γίνεται με το να χρησιμοποιηθεί το παρακάτω αριθμητικό σχήμα ρητής τεχνικής του Euler (το σχήμα είναι ασταθές) (Hoffmann & Chiang, 1993): δt u u ν u -u -u u.0 δy i, j1 i, j i1, j i, j i -1, j i -, j (3.) 48
2 Αυτή, λοιπόν, η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τιμών της ταχύτητας κατά μήκος της πρώτης χρονοσειράς (Σχήμα 3.1) αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες κατά μήκος της t=0 στο δεξιό μέρος της Εξ. 3.. Κατόπιν, πραγματοποιείται ο υπολογισμός της δεύτερης χρονοσειράς χρησιμοποιώντας τις τιμές της πρώτης κ.ο.κ., μέχρις ότου ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις του προς επίλυση προβλήματος. H αριθμητική λύση είναι ευσταθής, εάν και μόνο εάν ικανοποιείται το κριτήριο ευστάθειας t 1 y. Το χρονικό βήμα δt υπόκειται από την ανωτέρω συνθήκη σε περιορισμούς. Εάν ο συντελεστής διάχυσης είναι πολύ μεγάλος, τότε το χρονικό βήμα περιορίζεται αισθητά. Σχήμα 3.1 Υπολογιστικό δίκτυο για την επίλυση της παραβολικής Εξ Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος euler Ας θεωρηθεί η περίπτωση της ροής ρευστού μεταξύ πλακών (Σχήμα 3.) μία από τις οποίες σε δοθείσα χρονική στιγμή αρχίζει να κινείται με ταχύτητα U (=U(IMAX)) ίση προς 0.1 (m/s). Σχήμα 3. Συνεκτική ροή μεταξύ δύο παράλληλων πλακών η μία από τις οποίες σε δοθείσα χρονική στιγμή κινείται με ταχύτητα U=0.1 (m/s). 49
3 To πρόβλημα είναι να υπολογιστεί χρονικά και χωρικά η ταχύτητα U (=U(I)) του ρευστού στον χώρο ροής. Η μεταξύ των πλακών απόσταση είναι ίση προς L=0.05 (m), επομένως το πεδίο ροής περιορίζεται μεταξύ των ορίων, τα οποία προσδιορίζουν τον χώρο αυτό με Δy (=DY) ίση με (m), τη χωρική υποδιαίρεση της απόστασης L και ν (=ΝΕΕ) ίσο με (m /s) τον συντελεστή του κινηματικού ιξώδους. Στην περίπτωση μη μόνιμης ροής, πρέπει να ικανοποιηθούν οι αρχικές και οι οριακές συνθήκες ροής. Οι οριακές συνθήκες απαιτούν, όπως όλοι οι υπολογιστικοί κόμβοι της ακίνητης πλάκας, να έχουν ταχύτητα U ίση με μηδέν, δηλαδή U(y,t)=U(0,t)=0.0 (m/s) σε κάθε χρονική στιγμή. Οι οριακές συνθήκες της κινούμενης πλάκας έχουν ταχύτητα ίση με U=0.1 (m/s). Δηλαδή, U(y,t)=U(L,t)=0.1 (m/s) για κάθε χρονική στιγμή. Οι αρχικές συνθήκες περιγράφουν την κατάσταση της μεταβολής της ταχύτητας U(y,t) στον χρόνο t=0. Δηλαδή, η τιμή της U(y,0) είναι γνωστή σ όλους τους κόμβους τη στιγμή έναρξης των υπολογισμών. Στην επίλυση προβλημάτων μη μόνιμης ροής, η λύση μεταδίδεται από τον αρχικό χρόνο t=0, με χρονική επαύξηση Δt (βήμα προς βήμα) προς τον τελικό χρόνο Τ, στον οποίο ζητείται η λύση Δεδομένα του προγράμματος euler Στην αρχή του προγράμματος euler.for υπό τη μορφή Comment ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο euler.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=ΙΜΑΧ στο πρόγραμμα euler.for) δείχνει το σύνολο των χωρικών βημάτων Δy που χρειάζεται να εφαρμοστούν από την ακίνητη πλάκα μέχρι την κινητή, ενώ ο μέγιστος αριθμός των χρονικών βημάτων (=ΝΜΑΧ), δηλαδή ο Δt, εκφράζεται με τον δεύτερο αριθμό στην ίδια γραμμή. η Γραμμή. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής είναι (=DY), η τιμή δηλαδή της Δy, (=DT), είναι η τιμή της Δt, 0.1 (=U(IMAX)) η τιμή της ταχύτητας U στην άνω πλάκα και (=NEE) ο συντελεστής του κινηματικού ιξώδους ν. Η επιλογή των τιμών Δy και Δt πρέπει να ικανοποιεί το κριτήριο ευστάθειας της αριθμητικής λύσης: ν δt δ y 1 (3.3) 3 η Γραμμή. Η τελευταία γραμμή δείχνει την εκτυπωτική σειρά στον αριθμό επαναλήψεων που έχουν γίνει για έλεγχο και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος euler.dat: IMAX=50, NMAX=10000 DY=0.001, DT=0.001, U(IMAX)=0.1, NEE= IPRINT(I) (I=1,10) 100, 00, 400, 600, 800, 1000,1500, 000, 4000, Η πλήρης σειρά των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο euler.dat και έχει ως εξής: Παράθεση του προγράμματος euler Το πρόγραμμα euler.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών. 50
4 3.1.6 Αποτελέσματα του προγράμματος euler Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο euler.out. Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) έχουν ως εξής: E E E **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s) = 1.000** **No OF TIME STEPS=1000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s)=10.000** **No OF TIME STEPS=10000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y=
5 4 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) οι κατανομές των ταχυτήτων παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3 Κατανομή ταχύτητας U (m/s) μεταξύ των πλακών με ρητή τεχνική Euler μετά από t=1.0 (s) και t=10.0 (s). 3. ΡΗΤΗ ΤΕΧΝΙΚΗ, expl 3..1 Αριθμητική τεχνική expl (Explicit) Η παραβολική εξίσωση που πρέπει να λυθεί είναι η εξίσωση Fourier, για την οποία έγινε αναφορά και στην προηγούμενη παράγραφο. Για τη μελέτη, π.χ. μίας χωρικής διάστασης, αυτή γράφεται: u u v t y (3.4) 5
6 όπου u η ταχύτητα ροής, ν το κινηματικό ιξώδες της ροής και y η θέση. Απευθείας προσέγγιση της Εξ. 3.4 u γίνεται με το να χρησιμοποιηθούν προς τα εμπρός πεπερασμένες διαφορές για την έκφραση και κεντρικές t u διαφορές για την έκφραση, (ρητή τεχνική παραβολικών εξισώσεων). Έτσι: y ui, j1 - ui, j ui1, j - ui, j ui-1, j ν δt δ y (3.5) οπότε: δt u u ν u -u u δy i, j1 i, j i1, j i, j i -1, j (3.6) Αυτή, λοιπόν, η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τιμών της ταχύτητας κατά μήκος της πρώτης χρονοσειράς (Σχήμα 3.1) αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες κατά μήκος της t=0 στο δεξιό μέρος της Εξ Κατόπιν, πραγματοποιείται ο υπολογισμός της δεύτερης χρονοσειράς χρησιμοποιώντας τις τιμές της πρώτης κ.ο.κ., μέχρις ότου ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις του προς επίλυση προβλήματος. Το κριτήριο ευστάθειας (Εξ. 3.3) πρέπει πάντα να ικανοποιείται. 3.. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος expl Το πρόβλημα που πρέπει να λυθεί είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στην Παράγραφο Αφορά δηλαδή την κίνηση του ρευστού μεταξύ δύο πλακών, όταν η μία κινείται σχετικά με την άλλη Δεδομένα του προγράμματος expl Τα δεδομένα του προγράμματος είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά της Παραγράφου και επαναλαμβάνονται εδώ για διευκόλυνση του αναγνώστη. Στην αρχή του προγράμματος expl.for υπό τη μορφή Comment ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο expl.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=ΙΜΑΧ στο πρόγραμμα euler.for) δείχνει το σύνολο των χωρικών βημάτων Δy που χρειάζεται να εφαρμοστούν από την ακίνητη πλάκα μέχρι την κινητή, ενώ ο μέγιστος αριθμός των χρονικών βημάτων είναι (=ΝΜΑΧ), δηλαδή ο Δt, και εκφράζεται με τον δεύτερο αριθμό στην ίδια γραμμή. η Γραμμή. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής είναι (=DY), η τιμή της Δy, (=DT) η τιμή της Δt, 0.1 (=U(IMAX)) η τιμή της ταχύτητας U στην άνω πλάκα, (=NEE) ο συντελεστής του κινηματικού ιξώδους ν. 3 η Γραμμή. Η τελευταία γραμμή δείχνει την εκτυπωτική σειρά για έλεγχο και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος expl.dat: IMAX=50, NMAX=10000 DY=0.001, DT=0.001, U(IMAX)=0.1, NEE= IPRINT(I) (I=1,10) 100, 00, 400, 600, 800, 1000, 1500, 000, 4000, Η πλήρης σειρά των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο expl.dat και έχει ως εξής: 53
7 Παράθεση του προγράμματος expl Το πρόγραμμα expl.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών Αποτελέσματα του προγράμματος expl Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο expl.out. Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) έχουν ως εξής: E E E **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s) =1.000** **No OF TIME STEPS =1000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s)= ** **No OF TIMESTEPS=10000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y=
8 7 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) οι κατανομές των ταχυτήτων παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.4. Σχήμα 3.4 Κατανομή της ταχύτητaς U (m/s) μεταξύ των πλακών με ρητή τεχνική μετά από t=1.0 (s) και t=10.0 (s). 3.3 ΡΗΤΗ ΤΕΧΝΙΚΗ LAX, lax Αριθμητική τεχνική lax (Lax) Απευθείας προσέγγιση της Εξ. 3.1 γίνεται με το να χρησιμοποιηθεί το παρακάτω αριθμητικό σχήμα ρητής τεχνικής του Lax: ui, 1 j ui -1, j δt i, j1 i1, j i, j i -1, j i -, j u ν u -u -u u.0.0 δy 55
9 Αυτή, λοιπόν, η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τιμών της ταχύτητας κατά μήκος της πρώτης χρονοσειράς (Σχήμα 3.1) αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες κατά μήκος της t=0 στο δεξιό μέρος της Εξ Κατόπιν πραγματοποιείται ο υπολογισμός της δεύτερης χρονοσειράς χρησιμοποιώντας τις τιμές της πρώτης κ.ο.κ., μέχρις ότου ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις του προς επίλυση προβλήματος. (3.7) 3.3. Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος lax Το πρόβλημα που πρέπει να λυθεί είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στην Παράγραφο Αφορά δηλαδή την κίνηση του ρευστού μεταξύ δύο πλακών, όταν η μία κινείται σχετικά με την άλλη Δεδομένα του προγράμματος lax Τα δεδομένα του προγράμματος είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά της Παραγράφου και επαναλαμβάνονται εδώ για διευκόλυνση του αναγνώστη. Στην αρχή του προγράμματος lax.for υπό τη μορφή Comment ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο lax.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=ΙΜΑΧ, στο πρόγραμμα lax.for) δείχνει το σύνολο των χωρικών βημάτων Δy που χρειάζεται να εφαρμοστούν από την ακίνητη πλάκα μέχρι την κινητή, ενώ ο μέγιστος αριθμός των χρονικών βημάτων είναι (=ΝΜΑΧ), δηλαδή ο Δt, και εκφράζεται με τον δεύτερο αριθμό στην ίδια γραμμή. η Γραμμή. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής είναι 0.001(=DY), η τιμή της Δy, (=DT) η τιμή της Δt, 0.1 (=U(IMAX)) η μέγιστη τιμή της ταχύτητας U στην άνω πλάκα, (=NEE) ο συντελεστής του κινηματικού ιξώδους ν. 3 η Γραμμή. Η τελευταία γραμμή δείχνει την εκτυπωτική σειρά για έλεγχο και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Πιο αναλυτικά, από την παράθεση του προγράμματος lax.dat: IMAX=50, NMAX=10000 DY=0.001, DT=0.001, U(IMAX)=0.1, NEE= IPRINT(I) (I=1,10) 100, 00, 400, 600, 800, 1000,1500, 000, 4000, Η πλήρης σειρά των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο lax.dat και έχει ως εξής: Παράθεση του προγράμματος lax Το πρόγραμμα lax.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών Αποτελέσματα του προγράμματος lax Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο lax.out. Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) έχουν ως εξής: E E E-05 56
10 **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s) = 1.000** **No OF TIME STEPS 1000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s)= ** **No OF TIME STEPS=10000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y=
11 50 Y= Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) οι κατανομές των ταχυτήτων παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.5. Σχήμα 3.5 Κατανομή της ταχύτητaς U (m/s) μεταξύ των πλακών με ρητή τεχνική Lax, μετά από t=1.0 (s) και t=10.0 (s). 3.4 ΡΗΤΗ ΤΕΧΝΙΚΗ LΕΑP-FROG, frog Αριθμητική τεχνική frog (Leap-frog) Απευθείας προσέγγιση της Εξ. 3.1 γίνεται με το να χρησιμοποιηθεί το παρακάτω αριθμητικό σχήμα ρητής τεχνικής Leap-Frog, δt u u ν u -u -u u.0 δy i, j1 i, j-1 i1, j i, j i -1, j i -, j (3.8) Αυτή η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τιμών της ταχύτητας κατά μήκος της πρώτης χρονοσειράς (Σχήμα 3.1) αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες κατά μήκος της t=0 στο δεξιό μέρος της Εξ Κατόπιν, πραγματοποιείται ο υπολογισμός της δεύτερης χρονοσειράς χρησιμοποιώντας τις τιμές της πρώτης κ.ο.κ., μέχρις ότου ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις του προς επίλυση προβλήματος Πρόβλημα για επίλυση μέσω του προγράμματος frog Το πρόβλημα που πρέπει να λυθεί είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στην Παράγραφο Αφορά δηλαδή την κίνηση του ρευστού μεταξύ δύο πλακών, όταν η μία κινείται σχετικά με την άλλη Δεδομένα του προγράμματος frog 58
12 Τα δεδομένα του προγράμματος είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά της Παραγράφου Στην αρχή του προγράμματος frog.for υπό τη μορφή Comment ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο frog.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=ΙΜΑΧ, στο πρόγραμμα frog.for) δείχνει το σύνολο των χωρικών βημάτων Δy που χρειάζεται να εφαρμοστούν από την ακίνητη πλάκα μέχρι την κινητή, ενώ ο μέγιστος αριθμός των χρονικών βημάτων είναι (=ΝΜΑΧ), δηλ. ο Δt, και εκφράζεται με τον δεύτερο αριθμό στην ίδια γραμμή. η Γραμμή. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής είναι 0.001(=DY) η τιμή της Δy, (=DT) η τιμή της Δt, 0.1 (=U(IMAX)) η μέγιστη τιμή της ταχύτητας U στην άνω πλάκα, (=NEE) ο συντελεστής του κινηματικού ιξώδους ν. 3 η Γραμμή. Η τελευταία γραμμή δείχνει την εκτυπωτική σειρά για έλεγχο και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο frog.dat και έχουν ως κατωτέρω: IMAX=50, NMAX=10000 DY=0.001, DT=0.001, U(IMAX)=0.1, NEE= IPRINT(I) (I=1,10) 100, 00, 400, 600, 800, 1000, 1500, 000, 4000, Η πλήρης σειρά των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο frog.dat και έχει ως εξής: Παράθεση του προγράμματος frog Το πρόγραμμα frog.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών Αποτελέσματα του προγράμματος frog Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο frog.out. Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) έχουν ως εξής: E E E **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s) = 1.000** **No OF TIME STEPS=1000** 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= **VELOCITY U (m/s) AT TIME (s)= ** **No OF TIME STEPS=10000** 59
13 1 Y= Y= Y= Y= Y= Y= Για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) οι κατανομές των ταχυτήτων φαίνονται στο Σχήμα 3.6. Σχήμα 3.6 Κατανομή της ταχύτητος U (m/s) μεταξύ των πλακών. 3.5 ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΤΕΧΝΙΚΗ CRANK-NICKOLSON, crank Αν και οι ρητές αριθμητικές τεχνικές είναι μαθηματικά εύκολο να καταστρωθούν και κατόπιν να εκτελεστούν οι σχετικοί υπολογισμοί, όπως αυτό έγινε στις προηγούμενες παραγράφους, εντούτοις έχουν ένα σημαντικό μειονέκτημα, αυτό του περιορισμού του εμπρόσθιου χρονικού βήματος δt. Πρέπει πάντα, για την περίπτωση της Εξ. 3.1, να ισχύει ότι δt 0.5 δy /v. Ο περιορισμός, όμως, αυτός γίνεται πλέον αισθητός, όταν μειωθεί η τιμή του χωρικού βήματος δy. Αυτό πραγματοποιείται οποτεδήποτε απαιτείται αύξηση της ακρίβειας των u υπολογισμών. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με το να εκφραστεί η μερική παράγωγος y σε όρους των τιμών της u στη j+1 χρονοσειρά αντί της j χρονοσειράς, όπως αυτό εφαρμόζεται στις ρητές u λύσεις. Η παράγωγος εκφράζεται με οπίσθιες πεπερασμένες διαφορές. Αυτή είναι, συνεπώς, μια t πεπλεγμένη μέθοδος, διότι σε κάθε χρονοσειρά πρέπει να επιλυθεί ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Στη u γενική περίπτωση εφαρμογής πεπλεγμένων τεχνικών η μερική παράγωγος εκφράζεται ως γραμμικός y 60
14 συνδυασμός των πεπερασμένων διαφορών στις χρονικές στιγμές j και j+1 (Σούλης, 1986; Ganzha & Vorozhtsov, 1996). H γενική προσεγγιστική μορφή της εξίσωσης: δύναται να γραφεί ως: u -u ν u t v u y θ u -u u i, j1 i, j i1, j1 i, j1 i -1, j1 δt δ y ( 1-θ ) ui 1, j -ui, j ui -1, j (3.9) (3.10) όπου ο συντελεστής θ παίρνει τιμές μεταξύ 0.0 και 1.0. Η ανωτέρω εξίσωση είναι η γενική περίπτωση. Ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία θ=0.0, η ανωτέρω εξίσωση δίνει τη ρητή μέθοδο, ενώ στην περίπτωση κατά την οποία θ=1.0, δίνει την πλήρως πεπλεγμένη μέθοδο. Η αριθμητική προσέγγιση θα συγκλίνει κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες, εφόσον 1/<θ<1.0. Στην περίπτωση όπου θ<1/, για να υπάρξει ευστάθεια, πρέπει: ν δt 1 δ y 1- θ (3.11) Θεωρητικό υπόβαθρο και αριθμητική τεχνική crank (Crank-Nickolson) Η πεπλεγμένη τεχνική επίλυσης της Εξ. 3.9, όπου ο συντελεστής θ παίρνει τιμή ίση προς 0.5, ονομάζεται μέθοδος Crank-Nicholson. Έτσι, εάν τεθεί ως α η έκφραση ν δt/δy, τότε για θ=1/ η Εξ γράφεται: a u a u a u a u a u a u i1, j1 i, j1 i1, j1 i1, j i, j i1, j (3.1) Τα προβλήματα μη μόνιμης ροής καταλήγουν σε επαναλαμβανόμενες λύσεις συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Οι μονοδιάστατες εξισώσεις της μη μόνιμης ροής καταλήγουν σε τριδιαγωνικούς πίνακες, των οποίων οι συντελεστές, εάν είναι γραμμικοί- προκύπτουν δηλαδή από γραμμικούς συντελεστές των μερικών διαφορικών εξισώσεων- είναι πολύ εύκολο να λυθούν με απευθείας απάλειψη. Οι τεχνικές των Gauss-Seidel και της μεθόδου των διαδοχικών υπερχαλαρώσεων των κόμβων μπορούν κάλλιστα να εφαρμοστούν, ιδίως όσον αφορά πολυδιάστατα προβλήματα μη μόνιμης ροής με μη γραμμικούς συντελεστές Πρόβλημα για την επίλυση μέσω του προγράμματος crank Aς θεωρηθεί το αριθμητικό παράδειγμα της Παραγράφου 3.1. της συνεκτικής ροής διά των πλακών. Ζητείται να εφαρμοστεί η πεπλεγμένη τεχνική κατά Crank-Nicholson για την επίλυση του προβλήματος αυτού Δεδομένα του προγράμματος crank Τα δεδομένα του προγράμματος είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά της Παραγράφου Στην αρχή του προγράμματος crank.for υπό τη μορφή Comment ή C δίνονται επεξηγήσεις για τη χρήση των σταθερών του προγράμματος. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάζονται στο αρχείο crank.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 η Γραμμή. Ο αριθμός 50 (=ΙΜΑΧ, στο πρόγραμμα crank.for) δείχνει το σύνολο των χωρικών βημάτων Δy, που χρειάζεται να εφαρμοστούν από την ακίνητη πλάκα μέχρι την κινητή, ενώ ο μέγιστος αριθμός 61
15 των χρονικών βημάτων είναι (=ΝΜΑΧ), δηλ. ο Δt, και εκφράζεται με τον δεύτερο αριθμό στην ίδια γραμμή. η Γραμμή. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής είναι 0.001(=DY) η τιμή. της Δy, (=DT) η τιμή της Δt, 0.1 (=U(IMAX)) η μέγιστη τιμή της ταχύτητας U στην άνω πλάκα, (=NEE) ο συντελεστής του κινηματικού ιξώδους ν. 3 η Γραμμή. Η τελευταία γραμμή δείχνει την εκτυπωτική σειρά για έλεγχο και παρουσίαση των αποτελεσμάτων. IMAX=50, NMAX=10000 DY=0.001, DT=0.001, U(IMAX)=0.1, NEE= IPRINT(I) (I=1,10) 100, 00, 400, 600, 800, 1000, 1500, 000, 4000, Το αρχείο των δεδομένων crank.dat έχει ως εξής: Παράθεση του προγράμματος crank Το πρόγραμμα crank.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών Αποτελέσματα του προγράμματος crank Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο crank.out και για τις χρονικές στιγμές t=1.0 (s) και t=10.0 (s) παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.7. Σχήμα 3.7 Κατανομή της ταχύτητας U (m/s) μεταξύ των πλακών με πεπλεγμένη τεχνική Crank-Nickolson, μετά από t=1.0 (s) και t=10.0 (s). 6
16 E E E E VELOCITY U (m/s) AT TIME (s) = No OF TIME STEPS = Y= Y= Y= Y= Y= Y= VELOCITY U (m/s) AT TIME (s)= No OF TIME STEPS Y= Y= Y= Y= Y= Y=
17 Βιβλιογραφία/Αναφορές Αποστολάτου, Ν.Θ. Αριθμητική Ανάλυσις, Πανεπιστήμιον Αθηνών, Atkinson, K.E. An Introduction to Numerical Analysis (nd ed.), New York: John Wiley & Sons, Burden, R.L., Faires, J.D. ".1 The Bisection Algorithm", Numerical Analysis (3rd ed.), PWS Publishers, Dormand, J.R. Numerical Methods for Differential Equations, CRC Press, Farlow, S.J. Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley and Sons, 198. Fletcher, C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics Volume II, Fundamental and General Techniques nd Ed., Spriger Series in Computational Physics, Springer-Verlag, Φραγκάκις, Χ. Μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης, Θεσσαλονίκη Ganzha, V.G., Vorozhtsov, E.V. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, Ηoffmann, Κ.Α., Chiang, S.Τ. Computational Fluid Dynamics for Engineers, Volumes I and II, Engineering Education System, Wichita, Kansas, Ηolt, M. Numerical Methods in Fluid Dynamics, Springer Series in Computational Physics, Springer- Verlag, Κουτίτας, Χ.Γ. Υπολογιστική Υδραυλική, Πολυτεχνική Σχολή, Δ.Π.Θ., 198. Leon, S.J.L. Linear Algebra With Applications, (7th ed.), Pearson Prentice Hall, 006. Mitchell, A.R. Computational Methods in Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, Mitchell, A, Griffiths, D. The Finite Differences Method for Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, Σιδηρόπουλος, Ε., Φωτιάδης, Χ. Αριθμητική Ανάλυση με χρήση Η/Υ, Θεσσαλονίκη: Α.Π.Θ. Τμήμα Εκδόσεων, 005. Smith, G. Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford, Σούλης, Ι.Β. Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών, Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αϊβάζη, Süli, E., Mayers, D. An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 013. Taylor, C, Gresho, P.M., (Eds.). Special Issue: Computing in Civil and Building Engineering, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol.15, No.9, 199. Thomas, J.W. Numerical Partial Differential Equations, Texts in Applied Mathematics, Springer,
4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σύνοψη Στο Κεφάλαιο 4 «Επίλυση Υπερβολικών Εξισώσεων» παρατίθενται αριθμητικές τεχνικές επίλυσης υπερβολικών προβλημάτων (Hoffmann & Chang, 993. Αναφέρονται ρητές υπολογιστικές
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας Περιεχομένων 7
Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 7: Εξίσωση μη-μόνιμης διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Κατωτέρω παρατίθενται ορισμένες παρατηρήσεις επί των υπολογιστικών προγραμμάτων. Οι παρατηρήσεις αυτές αποσκοπούν στην βαθύτερη κατανόηση και εφαρμογή των προγραμμάτων.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας
Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 8: Ανάλυση ευστάθειας & Συναγωγή και διάχυση Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ
ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Σύνοψη Aναπτύσσονται οι βασικές εξισώσεις της Μηχανικής Ρευστών και συνοπτικά οι βασικές θεωρήσεις και τα απαιτούμενα βήματα για την ανάπτυξη αριθμητικού αλγόριθμου.
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Εαρινό Εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Δρ. Βλαχομήτρου Μαρία ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Συνδυασμένη χρήση μοντέλων προσομοίωσης βελτιστοποίησης. Η μέθοδος του μητρώου μοναδιαίας απόκρισης Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:
ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα
Διαβάστε περισσότεραΦόρτος εργασίας. 4 ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Ώρες διδασκαλίας: 7 διδασκαλίας εβδομαδιαίως:
Γενικές π ληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Υπ ολογιστική μαθήματος: Υδραυλική με Εφαρμογές σε Υδραυλικά Έργα Πιστωτικές μονάδες: 5 Κωδικός μαθήματος: CE07_H05 Φόρτος εργασίας ( ώρες): Επίπ εδο μαθήματος: Προπτυχιακό
Διαβάστε περισσότερα2. Ανάλυση του βασικού κινηματικού μηχανισμού των εμβολοφόρων ΜΕΚ
2. Ανάλυση του βασικού κινηματικού μηχανισμού των εμβολοφόρων ΜΕΚ Προαπαιτούμενες γνώσεις: (α) Γνώσεις των τμημάτων κινηματικού μηχανισμού Μηχανής Εσωτερικής Καύσης (β) Αριθμητικός υπολογισμός παραγώγου
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραchatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa
ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλική των Υπόγειων Ροών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Αριθμητικά μοντέλα υπόγειων υδροορέων Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων
Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης
Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ.
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Στραγγίσεις (Θεωρία) Ενότητα 9 : Η ασταθής στράγγιση των εδαφών Ι Δρ Μενέλαος Θεοχάρης 61 Γενικά Η ροή του υπόγειου νερού ονομάζεται ασταθής,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11
Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΓεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία.
Γεώργιος Ακρίβης Προσωπικά στοιχεία Έτος γέννησης 1950 Τόπος γέννησης Χρυσοβίτσα Ιωαννίνων Εκπαίδευση 1968 1973,, Ιωάννινα. Μαθηματικά 1977 1983,, Μόναχο, Γερμανία. Μαθηματικά, Αριθμητική Ανάλυση Ακαδημαϊκές
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση
Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΕκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εκμετάλλευση και Προστασία των Υπόγειων Υδατικών Πόρων Ενότητα 8: Μοντέλα προσομοίωσης σε πορώδεις υδροορείς Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος
Διαβάστε περισσότεραΥποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.
Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 009-00, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ # ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5..00 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Να επιλυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Σταύρος Καραθανάσης
Δρ. Σταύρος Καραθανάσης Μέθοδοι Επίλυσης Συστημάτων Κανονικών Διαφορικών Εξισώσεων προσαρμοσμένες στα Προβλήματα Χημικής Κινητικής Για τον υπολογισμό των συγκεντρώσεων των χημικά δραστικών ενώσεων δημιουργείται
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας
Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε
Διαβάστε περισσότερα(συνθήκη συμμετρίας) (4) Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να περιγράψει τη μεταβατική πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε κυλινδρικό αγωγό.
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 00-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (αρχικών και οριακών τιμών) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος Ζητείται να επιλυθεί η εξίσωση t
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής
Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικές Μέθοδοι 2006-7
Υπολογιστικές Μέθοδοι 006-7 Άσκηση. (Επιμέλεια: Ιωάννης Λυχναρόπουλος) Θα επιλύσουμε την εξίσωση: urr ur u t, t t 0 και R i /Rout r r Έστω Ri 0.4 και Rout δηλαδή: Ri / Rout 0.4 με αρχική συνθήκη: ur (,0)
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΒιβλιογραφία-Αρθρογραφία
ΤΠΟΛΟΓΙΣΙΚΗ ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΡΕΤΣΩΝ 365 Βιβλιογραφία-Αρθρογραφία 1. AGARD ADVISORY REPORT NO 303, A Selection of Experimental Test Cases for the Validation of CFD Codes, Vols. I and II., NATO, 1994. 2. AGARD CONFERENCE
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότερα10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ)
10. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) Χειμερινό εξάμηνο 2018 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση εξισώσεων ΜΠΣ βάσει μετακινήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων
Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ Υ ΡΑΥΛΙΚΗΣ Άνοιξη 2007 Εισαγωγή Σκοπός της παρούσης ενότητας ασκήσεων είναι η αφοµοίωση των εισαγωγικών παραδόσεων του µαθήµατος «Υπόγεια Υδραυλική», της σύνδεσης της ύλης παραδόσεων
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότερα2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΥδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων
Υδραυλικός Υπολογισμός Βροχωτών Δικτύων Π. Σιδηρόπουλος Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. E-mail: psidirop@uth.gr Συνολικό δίκτυο ύδρευσης Α. Ζαφειράκου,
Διαβάστε περισσότερα2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σύνοψη Στο Κεφάλαιο «Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων» αναφέρονται βασικές αριθμητικές τεχνικές ολοκλήρωσης, επίλυσης εξισώσεων και επίλυσης συστημάτων εξισώσεων (Smith, 969).
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μηχανικής Ρευστών
Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Αργυρόπουλος Αθανάσιος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Β Ημ/νία εκτέλεσης Πειράματος: 26-11-1999 Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: 16-12-1999 1 Θεωρητική Εισαγωγή: 1. Εισαγωγικές έννοιες
Διαβάστε περισσότερακατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών
Ύλη που διδάχτηκε κατά το χειµερινό εξάµηνο του ακαδηµαϊκού έτους 2005-2006 στα πλαίσια του µαθήµατος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Ι ΕΜ-351 του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών της Σχολής Θετικών Επιστηµών
Διαβάστε περισσότεραΎπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ
Κεφάλαιο 3 Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε τις συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας ΠΑΤ μη γραμμικών ΔΕ. Στο εδάφιο 3.1, θα παρουσιάσουμε την προσεγγιστική μέθοδο
Διαβάστε περισσότεραΟι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2102201 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μαθηματικά ΙΙ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΡοη αέρα σε Επίπεδη Πλάκα
Ροη αέρα σε Επίπεδη Πλάκα Η ροή του αέρα γύρω από ένα σώμα επηρεάζεται από παράγοντες όπως το σχήμα του σώματος, το μέγεθός του, ο προσανατολισμός του, η ταχύτητά του όπως επίσης και οι ιδιότητες του ρευστού.
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης
Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΒΙΛΗ ΡΟΗ Μία ροή αποκαλείται αστρόβιλη, όταν ισχύει η σχέση ro όπου 3 3 3 3 3 e e e ro Η απόδειξη της παραπάνω σχέσης δεν αποτελεί αντικείμενο της εξέτασης Αποδείξαμε
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Ιουνίου 18 1 Οριακό στρώμα και χαρακτηριστικά μεγέθη Στις αρχές του ου αιώνα ο Prandtl θεμελίωσε τη θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων
5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραw 1, z = 2 και r = 1
ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 0..009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Δίδεται η διαφορική εξίσωση Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΓεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 1 / 7 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Σειρά VII 2
Περιεχόμενα 1. Κυματική Θεωρία Stokes ης τάξης. Κυματική Θεωρία Stokes 5 ης τάξης 3. Κυματική Θεωρία Συνάρτησης ροής (Fourier 18 ης τάξης) 4. Cnoial waves 5. Θεωρία μοναχικού κύματος (Solitary wave) 6.
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.
Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:
Διαβάστε περισσότεραL = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10
Διαβάστε περισσότεραECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ. (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά.
ECTS ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΜΟΝΑΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ (Α) Λίστα με τα στοιχεία των μαθημάτων στα ελληνικά Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Αλληλεπίδραση μαθήματος: εδάφουςκατασκευών
Διαβάστε περισσότεραΥπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής
Διαβάστε περισσότερα9. Προγραμματισμός Δυναμικής Ανάλυσης ΠΒΣ
ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 9. Προγραμματισμός Δυναμικής Ανάλυσης ΠΒΣ Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 325: Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική - Εργαστήριο
Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 1: Αριθμητικές μέθοδοι στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.
ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Είδαμε την διακριτοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότερα