ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει να κατανοήσει τις αρχές που διέπουν γενικότερα την Θεωρία Σφαλμάτων. Θεωρητικό Υπόβαθρο Χάραξη Καμπύλης Συχνά τα αποτελέσματα των μετρήσεών μας τα δίνουμε με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων, είτε γιατί αυτές μας βοηθούν για τον υπολογισμό κάποιων μεγεθών, είτε για να τα δείξουμε καλύτερα και να βγάλουμε συγκεκριμένα φυσικά συμπεράσματα. Συνήθως όμως τα πειραματικά μας αποτελέσματα δεν πέφτουν "ομαλά" στο διάγραμμά μας. Θα ήταν λάθος να τα ενώσουμε τότε μεταξύ τους όπως με τις διακεκομμένες γραμμές του σχ..1, γιατί αυτό θα σήμαινε ότι στα σημεία αυτά το μετρούμενο μέγεθος αλλάζει αλματωδώς κάποιες ιδιότητές του, πράγμα που δεν φαίνεται πιθανό. Έτσι το λογικό θα ήταν να φέρουμε μια ομαλή καμπύλη όπως στο σχ..1. y Σχήμα.1 x Εξάλλου φέροντας τα σημεία στο σχήμα μας δεν αναφερθήκαμε καθόλου στα σφάλματα, που, όπως είπαμε, συνοδεύουν κάθε μέτρηση και κάθε πειραματικό αποτέλεσμα. Τα σφάλματα πρέπει πάντα γα χαράσσονται στο διάγραμμα για κάθε σημείο όπως φαίνεται στο σχ., όπου τα δx και δy είναι τα σφάλματα (ανάγνωσης, μέσης τιμής ή σύνθετα), ενώ το μέγεθος των γραμμών ανταποκρίνεται στο μέγεθος των σφαλμάτων σύμφωνα με τις χρησιμοποιούμενες

για τα x και y κλίμακες. Έτσι λοιπόν οι καμπύλες χαράσσονται όπως φαίνονται στα σχ. 3(α) και 3(β). Σχήμα. Σχήμα 3 Παράδειγμα Με βάση τις τιμές της Ασκησης του πειραματικού μέρους της Εργαστηριακής Άσκησης 4 (Σημαντικά Ψηφία - Διάδοση Σφαλμάτων) χαράσσουμε την καμπύλη του σχήματος 4.

Σχήμα 4 Παρατήρηση. Στις γραφικές παραστάσεις δεν έχουμε το δικαίωμα να προεκτείνουμε την πειραματική καμπύλη δεξιά ή αριστερά των ακραίων σημείων, ακόμη κι αν ξέρουμε από τη θεωρία πως αυτή περίπου πρέπει να πηγαίνει, γιατί κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει πως στη συγκεκριμένη πειραματική συσκευή αυτό ισχύει. Μπορούμε όμως, αν (και όταν) απαιτείται από την άσκηση, να κάνουμε κάποιες προεκτάσεις, κατά κανόνα ευθύγραμμες. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όμως, που για την χάραξη της καμπύλης δεν χρειάζεται να προσπαθήσουμε να το κάνουμε με το μάτι επιδιώκοντας να περάσουμε κοντά στα σημεία και μέσα από τα σφάλματα, αλλά μπορούμε να χαράξουμε την καλύτερη δυνατή καμπύλη χρησιμοποιώντας μαθηματικές μεθόδους *. Αυτό συμβαίνει όταν η αναμενόμενη καμπύλη είναι γνωστής μορφής (π.χ. ευθεία, υπερβολή, ημιτονοειδής, εκθετική κ.λ.π.). Η μέθοδος που περιγράφουμε λέγεται μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, γιατί κύρια απαίτηση για την καμπύλη που χαράσσουμε είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των πειραματικών μας σημείων από την καμπύλη να είναι ελάχιστο. * Σήμερα υπάρχουν βέβαια ειδικά προγράμματα υπολογιστούν που μπορούν να βρουν την καμπύλη που προσεγγίζει καλύτερα ένα σύνολο πειραματικών σημείων. Τέτοια προγράμματα είναι απλά στην περίπτωση απλών καμπυλών (ευθεία, εκθετική, παραβολή κ.τ.λ.) και γίνονται πολύπλοκα για άλλες πιο σύνθετες καμπύλες.

Θα περιγράψουμε τη μέθοδο για την περίπτωση της ευθείας. Έστω ότι έχουμε σειρά Ν μετρήσεων με αποτελέσματα x και y και μάλιστα ξέρουμε ότι αν δx και δy είναι τα σφάλματα των x και y αντίστοιχα και ότι για όλα τα x και y ισχύει δx/x < <δy/y και ότι το δy είναι το ίδιο για όλα τα y *. Τότε η αναμενόμενη ευθεία της μορφής y=a+bx (3.1) μπορεί να προσδιορισθεί από τους συντελεστές Α και Β που δίνονται από τις σχέσεις: A 1 1 1 1 B x y x x y D x y x y 1 1 1 D Όπου D x x 1 1 (3.) (3.3) (3.4) και τα σφάλματα στα Α και Β: δα=σ y x (3.5) 1 D όπου 1 σy ( y δb=σ y A Bx ) D (3.6) (3.7) Προφανώς το Β είναι η κλίση της ευθείας ενώ το Α το σημείο στον άξονα των y από το οποίο περνάει η ευθεία μας.

Παράδειγμα Για αέριο σταθερού όγκου μεταβάλλουμε την πίεση και μετρούμε τη θερμοκρασία. Παίρνουμε τα εξής αποτελέσματα: p (mm Hg) 65 75 85 95 105 t ( o C) -0 17 4 94 17 Οι μετρήσεις μας είναι τέτοιες ώστε δp 0 ενώ δt= o C. Θέλουμε να χαράξουμε σε διάγραμμα την t=t(p). Από τους νόμους των ιδανικών αερίων ξέρουμε ότι t=a+bp, όπου για p=0 Α=73.15 o C. Θα ελέγξουμε λοιπόν το αποτέλεσμά μας και ταυτόχρονα θα υπολογίσουμε το Β. Έχουμε: 5 Ν=5, t 60, p t 5810, p 45, p 3715, D 5000. 1 5 1 5 1 Από τους τύπους (9.) (9.7) παίρνουμε: Άρα τελικά: 5 1 Α=63.35, Β=3.71, σ t=6.77, δα=18, δβ=0.. A ( 6318) C, B ( 371. 0. ) C/ mmhg. Όπως βλέπουμε το πειραματικό Α βρίσκεται σε καλή συμφωνία με το αναμενόμενο θεωρητικό. Τώρα πια μπορούμε να χαράξουμε την ευθεία. Αφού βάλουμε στο μιλλιμετρέ χαρτί τα σημεία φέρνουμε την ευθεία με βάση το Α και την κλίση Β ( σχ. 5).

Σχήμα 5 3.1 Πειραματικό Μέρος Κατά τη μέτρηση της αγωγιμότητας προηγμένων κεραμικών υλικών με συνδεσμολογία 4 ακροδεκτών ( για την μέτρηση της τάσης και για την παροχή ηλεκτρικού ρεύματος) και βάσει των διαστάσεων του δοκιμίου προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα όσον αφορά την αγωγιμότητα συναρτήσει της θερμοκρασίας: Θερμοκρασία T ( o C) Αγωγιμότητα σ (Semens/m) 500 1,4 10-3 550 1,56 10-3 600 1,84 10-3 650 1,97 10-3 700,04 10-3 750,45 10-3 800,87 10-3 Θεωρώντας ότι η αγωγιμότητα σ συνδέεται με τη θερμοκρασία με των εξής τύπο: όπου EA 1 ln ln 0 k T B E A : k B : 0 : ενέργεια ενεργοποίησης η σταθερά boltzmann ίση με 1,38 J/K προεκθετικός παράγοντας Υπολογίστε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων την ενέργεια ενεργοποίησης το σφάλμα της EA. E A με

3. Αποτελέσματα και επεξεργασία Παρουσιάστε τα αποτελέσματά σας σε πινακοποιημένη μορφή (όπως παρακάτω) Τ (oc) σ(s/m) σ T (S/Κ m) 1/T (1/K) ln (σ T) 500 1,4 10-3 550 1,56 10-3 600 1,84 10-3 650 1,97 10-3 700,04 10-3 750,45 10-3 800,87 10-3 Και θεωρείστε ότι προσαρμόζετε τα παραπάνω δεδομένα σε μία ευθεία της μορφής y=a+bx με y = ln x = 1 A = ln 0 B = E A k B Βιβλιογραφία [1] An ntroducton to error analyss by J.R.Taylor. A seres of Books n Physcs Eugene D.Commns, Edtor Unversty Scence Books, Mll Valley, Calforna. [] Practcal Physcs by G.L.Squres. Mc Graw -Hll. London. [3] Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Τόμος Ι, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 1999

Παράρτημα Μερικές φορές όταν μετρούμε επανειλημμένα την ίδια ποσότητα, κάποιο από τα αποτελέσματά μας διαφέρει απ όλα τα άλλα. Όταν αυτό συμβαίνει ο πειραματικός πρέπει να αποφασίσει αν αυτό είναι συνέπεια κάποιων λαθών στη διαδικασία της μέτρησης, οπότε πρέπει να αγνοηθεί, ή είναι νομοτελειακό αποτέλεσμα που πρέπει να εξεταστεί μαζί μ όλα τα άλλα. Για παράδειγμα κάνουμε 6 μετρήσεις της περιόδου ενός εκκρεμούς και βρίσκουμε (σε δευτερόλεπτα): 3.8 3.5 3.9 3.9 3.4 1.8 Σ αυτό το παράδειγμα το 1.8 διαφέρει σημαντικά από τα υπόλοιπα αποτελέσματα και πρέπει να αποφασίσουμε τι θα το κάνουμε. Θέλουμε να υπογραμμίσουμε εδώ ότι στη θεωρία των σφαλμάτων και των μετρήσεων αποδείχνεται ότι ένα τέτοιο αποτέλεσμα (αν υποθέσουμε ότι δεν έχουμε κάνει λάθη στην πειραματική διαδικασία) είναι πιθανό *, παρ όλο που αυτή η πιθανότητα είναι μικρή. Αφού λοιπόν πεισθούμε για την ορθότητα της πειραματικής μας διαδικασίας πρέπει να πάρουμε την τελική απόφαση, η οποία δεν μπορεί να είναι αυθαίρετη, γιατί θα επιδράσει σημαντικά στο αποτέλεσμά μας. Για παράδειγμα αν δεν αγνοήσουμε την 6η μέτρηση στα παραπάνω αποτελέσματα θα έχουμε: ενώ αν την αγνοήσουμε: T ( 34. 03. ) s, T ( 370. 010. ) s. Ένας τρόπος για να απαντήσουμε σ αυτό το ερώτημα είναι να χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο κριτήριο Chauvenet. Ακολουθούμε λοιπόν τα εξής βήματα: Χρησιμοποιώντας όλες τις τιμές (και την «ύποπτη» x j) x 1, x,..., x υπολογίζουμε τη μέση τιμή x. Βρίσκουμε την τυπική απόκλιση ** σ από τον τύπο: σ ( x x ). 1 1 (11.1) 3. Βρίσκουμε το λόγο της απόλυτης τιμής της διαφοράς της μέσης τιμής από την «ύποπτη» τιμή προς την τυπική απόκλιση μ: * Όπως είδαμε στο κεφάλαιο η κανονική κατανομή δίνει πεπερασμένη (αν και μικρή) πιθανότητα να έχουμε αποτελέσματα πολύ μακριά από την πραγματική τιμή. ** Βλ. κεφάλαιο.

μ= x x j. (11.) σ 4. Από τον πίνακα του παραρτήματος (σελίδα 33) βρίσκουμε την πιθανότητα P(<μσ) να έχουμε μέτρηση που απέχει από τη μέση τιμή λιγότερο από την «ύποπτη» που εξετάζουμε. 5. Βρίσκουμε την πιθανότητα P(μσ) να έχουμε τιμή που να απέχει από τη μέση περισσότερο ή όσο η «ύποπτη» από τη σχέση: P(μσ) = 1 P(<μσ) (11.3) 6. Πολλαπλασιάζουμε το P(μσ) με τον αριθμό των μετρήσεων Ν και βρίσκουμε το αποτέλεσμα u. Τότε: α) Αν u<0.5 απορρίπτουμε την «ύποπτη» τιμή, βρίσκουμε νέα μέση τιμή (από Ν1 μετρήσεις) και το σφάλμα της. β) Αν u0.5 κρατάμε την ύποπτη τιμή και συνεχίζουμε με όλες τις μετρήσεις υπολογίζοντας το σφάλμα για τη μέση τιμή που ήδη έχουμε υπολογίσει. Στο παράδειγμα λοιπόν που είχαμε στην αρχή του κεφαλαίου υποθέτουμε κατ αρχήν ότι όλες οι τιμές μας είναι λογικές. Υπολογίζουμε λοιπόν τη μέση τιμή και βρίσκουμε T 3383. s. Για την τυπική απόκλιση έχουμε: σ T 0. 7 s. Τώρα βλέπουμε ότι η τιμή 1.8 s, για την οποία αμφιβάλλουμε, διαφέρει από τη μέση τιμή κατά 1.58 δηλαδή μ=.3. Μπορούμε τώρα να βρούμε τι πιθανότητα έχει ένα αποτέλεσμά μας να απέχει από τη μέση τιμή περισσότερο από τυπικές αποκλίσεις: Από το πίνακα του Παραρτήματος βρίσκουμε την Ρ(<.3σ Τ)0.98. Άρα: P(.3σ Τ)=10.98=0.0 Αυτό σημαίνει ότι αν κάναμε 100 μετρήσεις της περιόδου οι τουλάχιστον θα ήταν το ίδιο "άσχημες" όπως το 1.8 s και δεν θα έπρεπε να τις απορρίψουμε. Εμείς όμως κάναμε 6. Άρα "άσχημες" θα πρέπει να είναι: 0.06=0.1 Το κριτήριο του Chauvenet μας λέει ότι αν αυτός ο τελευταίος αριθμός είναι μικρότερος του 0.5 τότε πρέπει να απορρίψουμε την τιμή. Αν απορρίψουμε την τιμή πρέπει να προσδιορίσουμε ξανά την T και την δτ. Έτσι για το παράδειγμά μας βρίσκουμε: T ( 370. 010. ) s Αν τώρα έχουμε και κάποια άλλη ύποπτη τιμή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δεύτερη φορά στην ίδια σειρά μετρήσεων το κριτήριο του Chauvenet. Παράδειγμα. Φοιτητής μετράει δέκα φορές την ίδια ταχύτητα υ και βρίσκει (σε m/s)

46, 48, 44, 38, 45, 47, 58, 44, 45, 43. Βλέπει τότε ότι το 58 φαίνεται υπερβολικά μεγάλο. Ελέγχει τη μεθοδολογία του πειράματος του αλλά δεν βρίσκει κάποιο προφανές λάθος. Τότε χρησιμοποιεί το κριτήριο του Chauvenet. Συνυπολογίζοντας προσωρινά και τις 10 μετρήσεις βρίσκει: Ύποπτη θεωρείται η τιμή x 7=58. Τότε βρίσκει: x 458. και σ x=5.1. x7 x 58458.. 4, P(.4σ x)=1p(<.4σ x). σ x 51. Από τον πίνακα του Παραρτήματος βρίσκει P(<.4σ x)=0.984. Άρα P(.4σ x)=10.984=0.016. Οπότε για 10 μετρήσεις παίρνει: Άρα απορρίπτει την τιμή 58 και βρίσκει: Άρα τελικά: 0.01610=0.16<0.5 x 44. 4 mm και δx=0.96 mm. x ( 44. 410. ) mm