Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Αναπληρωτής Καθηγητής
ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων πολυβάθμιων συστημάτων Ελεύθερες ταλαντώσεις πολυβάθμιων συστημάτων Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις πολυβάθμιων συστημάτων Προσεγγιστικές μέθοδοι προσδιορισμού ιδιοτιμών και ιδιομορφών Ταλαντώσεις συνεχών μέσων Έλεγχος ταλαντώσεων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 2
ΔΙΕΞΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κατά την διάρκεια του εξαμήνου θα δίνονται ασκήσεις οι οποίες θα επιστρέφονται λυμένες σε προκαθορισμένες ημερομηνίες Η επίλυση των ασκήσεων γίνεται ατομικά Η επίλυση των ασκήσεων είναι υποχρεωτική Ο τελικός βαθμός του μαθήματος προκύπτει ως εξής: (Τελικός βαθμός)=0.4x(βεβ. μ.ο. βαθμών ασκήσεων)+0.6x(βαθμός γραπτού) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 3
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ F.C. Tse, I.E. Morse, R.T. Hinkle, Mechanical Vibrations Theory and Applications, Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1978 Α. Δημαρόγκωνας, Ταλαντώσεις, Πάτρα, 1982 A.C. Walshaw, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood, Chichester, 1984 J.M. Prentis, Dynamics of Mechanical Systems, Ellis Horwood, Chichester, 1986 A.A. Shabana, Theory of Vibration, Vol. I: An Introduction, Springer-Verlag, New York, 1991 A.A. Shabana, Theory of Vibration, Vol. II: Discrete and Continuous Systems, Springer- Verlag, New York, 1991 W.T. Thomson, Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall, New Jersey, 1993 Α. Κανάραχος, Ι. Αντωνιάδης, Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων, Παπασωτηρίου, Αθήνα, 1998 S.G. Kelly, Fundamentals of Mechanical Vibrations, McGraw Hill, London, 2000 Α. Δέντσορας, Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων ΙΙ, Πανεπιστημιακές Παραδόσεις, Πάτρα, 2000 E.I. Rivin, Passive Vibration Isolation, ASME Press, New York, 2003 Σ. Παϊπέτης, Δ. Πολύζος, Ταλαντώσεις και Κύματα, Εκδόσεις Ίων, 2003 H. Benaroya, Mechanical Vibration Analysis, Uncertainties and Control, Marcel Decker, New York, 2004 A.J. Mansfield, Human Response to Vibration, CRC Press, Florida, 2005 Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 4
θ y ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ταλαντωτική κίνηση είναι κίνηση που επαναλαμβάνεται στον χρόνο x Ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα σύστημα που ένας αριθμός μερών του ή όλα του τα μέρη βρίσκονται σε ταλαντωτική κίνηση Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 5
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ένα ταλαντούμενο σύστημα: Αποθηκεύει δυναμική και κινητική ενέργεια λόγω της ελαστικότητας των μερών του και της ύπαρξης αδρανειακών μαζών Χάνει ενέργεια προς το περιβάλλον λόγω μηχανισμών απόσβεσης Κινητική ενέργεια Ενέργεια απόσβεσης Δυναμική ενέργεια Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 6
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βαθμοί Ελευθερίας (Β.Ε.) ενός ταλαντούμενου συστήματος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών για τον καθορισμό των θέσεων των ταλαντούμενων μερών του σε κάθε χρονική στιγμή F(t) x θ y θ L x θ 1 θ 2 θ 3 T (t) 1 T (t) 2 T (t) 3 Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 7
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα διακριτά συστήματα έχουν πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας Στα συνεχή συστήματα ο αριθμός των Β.Ε. είναι άπειρος F(t) θ 1 θ 2 x L T (t) 1 T (t) 2 Συνήθως τα συνεχή συστήματα προσεγγίζονται με διακριτά Όσο αυξάνονται οι Β.Ε. κατά την μοντελοποίηση ενός συστήματος, τόσο η λύση του ταλαντωτικού προβλήματος κερδίζει σε ακρίβεια. Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 8
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ελεύθερη ταλάντωση συμβαίνει όταν, μετά τη σύντομη δράση κάποιας εξωτερικής διέγερσης, το σύστημα αφεθεί να ταλαντωθεί ελεύθερα Εξαναγκασμένη ταλάντωση συμβαίνει όταν η εξωτερική διέγερση δρα συνεχώς καθορίζοντας την διάρκεια και την ένταση του ταλαντωτικού φαινομένου Περιοδικές ταλαντώσεις προκαλούνται όταν η εξωτερική διέγερση είναι περιοδική Οι ταλαντώσεις ονομάζονται μεταβατικές όταν οι εξωτερικές διεγέρσεις είναι μη περιοδικές Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 9
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Προβλήματα ταλαντώσεων κατά τη λειτουργία των μηχανών Αζυγοσταθμία Μη συμμετρική διάταξη της μάζας περιστρεφόμενων μερών Προκαλεί προβλήματα στα έδρανα των μηχανών, στα γρανάζια των μειωτήρων, στους άξονες και στις φέρουσες κατασκευές Κόπωση Προοδευτική θραύση των μελών μιας μηχανής λόγω χρονικά μεταβαλλόμενων τάσεων που προκαλούνται από ταλαντώσεις Συντονισμός Μία από τις φυσικές συχνότητες ταλάντωσης ταυτίζεται με τη συχνότητα της εξωτερικής διέγερσης Μπορεί να οδηγήσει σε υπερβολικές παραμορφώσεις και τελικά σε αστοχία Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 10
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Επίδραση στον άνθρωπο Επηρεάζουν την αποδοτικότητα της εργασίας του Μπορούν να προκαλέσουν παροδικές ή μόνιμες βλάβες στον οργανισμό του Ευεργετική δράση των ταλαντώσεων Αρκετές μηχανές και διατάξεις βασίζουν τη λειτουργία τους στις ταλαντώσεις Παραδείγματα εφαρμογών: Ταλαντωτικοί μεταφορείς, τροφοδότες, τους συμπιεστές και λειαντές επιφανείας (ρεκτιφιέ), ταλαντωτικά ηλεκτρονικά φίλτρα χύτευση μετάλλων, συγκόλληση κλπ. Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 11
Παραδοχές ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Οι φυσικές ιδιότητες είναι συνεχείς συναρτήσεις χωρικών μεταβλητών Η βαρύτητα είναι το μόνο εξωτερικό πεδίο δυνάμεων Όλα τα υλικά είναι γραμμικά, ισότροπα και ομογενή Το ταλαντούμενο σύστημα δεν υπόκειται σε κανενός είδους, χημικές, πυρηνικές, θερμικές και άλλες επιδράσεις Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 12
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Αναγνώριση του προβλήματος Το φυσικό μοντέλο Αναγνώριση των στοιχείων του συστήματος: Μάζες, αδράνειες, ελαστικά στοιχεία, στοιχεία απόσβεσης) Καταγραφή των σχέσεων μεταξύ των στοιχείων του συστήματος Καθορισμός των ορίων συστήματος περιβάλλοντος Καταγραφή των αλληλεπιδράσεων συστήματος περιβάλλοντος Διαμόρφωση του φυσικού μοντέλου Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 13
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Διαμόρφωση και επίλυση του μαθηματικού μοντέλου Κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης με βάση τις αρχές της Δυναμικής: 2ος Νόμος του Newton Αρχή του D'Alembert Ενεργειακή μέθοδος (π.χ. εξισώσεις Lagrange) Επιλογή του συνόλου των μεταβλητών που θα περιγράφουν την συμπεριφορά του συστήματος: Ανεξάρτητες μεταβλητές (χρόνος και οι μεταβλητές του χώρου) Εξαρτώμενες μεταβλητές (μετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 14
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Καθορισμός του πλήθους των Β.Ε.: Είναι ίσο προς το πλήθος των κινηματικά ανεξάρτητων μεταβλητών (γενικευμένων συντεταγμένων) που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή της ταλαντωτικής κίνησης Οι κινηματικά ανεξάρτητες συντεταγμένες είναι όλες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής που είναι ο χρόνος Επίλυση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης με τις παρακάτω τεχνικές: Κλασικές μέθοδοι Μετασχηματισμοί Laplace Μέθοδοι πινάκων Αριθμητικές μέθοδοι Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 15
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ερμηνεία και χρήση των αποτελεσμάτων για: Επέμβαση και επίλυση του προβλήματος ταλαντώσεων σε μηχανή ή σύστημα που ήδη λειτουργεί Σχεδιασμό της μηχανής έτσι ώστε αυτή να λειτουργεί με τις ελάχιστες δυνατές ή με τις επιθυμητές ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 16
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Στις ταλαντούμενες μηχανές και συστήματα υπάρχουν αδρανειακά, ελαστικά και αποσβεστικά στοιχεία που βρίσκονται σε στενή κινηματική και ενεργειακή αλληλεξάρτηση Αδρανειακά στοιχεία: θ 1 T (t) 1 L θ 2 T (t) 2 F(t) x Τα αδρανειακά στοιχεία είναι μάζες που είτε εκτελούν μεταφορική είτε περιστροφική ταλαντωτική κίνηση είτε συνδυασμό των δύο Στα διακριτά συστήματα η μελέτη της ταλαντωτικής τους συμπεριφοράς ισοδυναμεί με την μελέτη των κινήσεων χαρακτηριστικών σημείων των μαζών τους Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 17
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Ένα αδρανειακό στοιχείο αποθηκεύει κινηματική ενέργεια 1 T ( t) k[ x( t)] 2 2 (Nm) 1 T ( t) [ ( )] 2 k θt 2 t (Nm) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 18
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Δύναμη F (N) προκαλεί μετατόπιση x (m) Σταθερά ελατηρίου (N/m) F kx Ροπή M (Nm) προκαλεί γωνιακή μετατόπιση θ (rad) (N) Στρεπτική σταθερά ελατηρίου (Nm/rad) M kθ t (Nm) Ελαστικά στοιχεία: Κάθε ελαστικός σύνδεσμος μεταξύ δύο μαζών αποτελεί ελαστικό στοιχείο Η μάζα του ελαστικού στοιχείου συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη Τα ελαστικά στοιχεία είναι από την φύση τους μη γραμμικά αλλά θεωρούνται ως γραμμικά για μικρές μετατοπίσεις Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 19
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Ένα ελαστικό στοιχείο αποθηκεύει δυναμική ενέργεια 1 V ( t) k[ x( t)] 2 2 (Nm) 1 V ( t) [ ( )] 2 k θt 2 t (Nm) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 20
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ D r k 4 GD 64Nr 3 (N/m) Συνήθεις τύποι ελαστικών στοιχείων (μεμονωμένα ή σε συνδυασμό): Μεταλλικά ελατήρια (διαφόρων τύπων και μορφών) k t GJ L (Nm/rad) Μεταλλικοί ή μη δοκοί ή ράβδοι Συνθετικά φύλλα σε μονές ή πολλαπλές στρώσεις Κυλινδρικά σώματα απλής ή σύνθετης μορφής L,G, J J s Κάθε τύπος ελαστικού στοιχείου μπορεί να εκφρασθεί μέσω μιας ισοδύναμης σταθεράς ελατηρίου Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 21
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ k1, k2, k3,..., kn k 1 k 2 x m (N/m) k eq n k i 1 i Πολλές φορές τα ελαστικά στοιχεία παρουσιάζονται σε συνδυασμό είτε εν σειρά είτε εν παραλλήλω (N/m) k n k 1 k 2 k n x m k eq n i 1 1 1 k i (N/m) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 22
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Τα αποσβεστικά στοιχεία διαχέουν την ενέργεια προς το περιβάλλον Εάν δεν προσδίδεται συνεχώς επαρκής εξωτερική ενέργεια, η ταλάντωση ενός συστήματος με αποσβεστικά στοιχεία φθίνει και τελικώς σταματά Τύποι μηχανισμών απόσβεσης: Ιξώδης απόσβεση Τύπου Coulomb Υστερητική απόσβεση Άλλοι τύποι απόσβεσης Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 23
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ, ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Δύναμη F c (N) λόγω ιξώδους απόσβεσης Σταθερά απόσβεσης (Nsec/m) F ( ) ( ) c t cx t x m c (N) Ροπή M c (Nm) λόγω ιξώδους απόσβεσης Στρεπτική σταθερά απόσβεσης (Nmsec/rad) c t J Ο ιξώδης αποσβεστήρας λειτουργεί βάσει της ιξώδους τριβής που αναπτύσσεται κατά την επαφή ενός στερεού σώματος και ενός ρευστού Η δύναμη λόγω ιξώδους απόσβεσης είναι πάντα ανάλογη της ταχύτητας H σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το δυναμικό ιξώδες του ρευστού και την γεωμετρία του αποσβεστήρα M ( t) c θt ( ) c t (Nm) Ταλαντώσεις Μηχανολογικών Συστημάτων 24