ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Χαράλαμπος Λεμονίδης, Αναστασία Μουράτογλου Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας xlemon@uowm.gr, nantiamouratoglou@hotmail.com Ο σκοπός αυτής της έρευνας είναι να διερευνηθούν οι γνώσεις των Ελλήνων εκπαιδευτικών σχετικά με τη υπολογιστική εκτίμηση. Ογδόντα εν ενεργεία εκπαιδευτικοί αξιολογούνται είτε με προσωπικές συνεντεύξεις, είτε με τη συμπλήρωση ερωτηματολογίων. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, οι εν ενεργεία εκπαιδευτικοί παρουσιάζουν μέτρια επίδοση στις υπολογιστικές εκτιμήσεις. Οι Έλληνες εκπαιδευτικοί δείχνουν ότι δεν γνωρίζουν τις διάφορες στρατηγικές της υπολογιστικής εκτίμησης, όπως τη στρατηγική του εμπρόσθιου άκρου και τη στρατηγική των συμβατών αριθμών. Σύμφωνα με τα ευρήματα, φαίνεται αναγκαία η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών πάνω στο θέμα της υπολογιστικής εκτίμηση. Λέξεις κλειδιά: υπολογιστική εκτίμηση, χρήση στρατηγικών, εν ενεργεία εκπαιδευτικοί.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εκτίμηση είναι μια πολύ σημαντική διαδικασία στη ζωή τόσο των παιδιών, όσο και των ενηλίκων. Χωρίς τη δυνατότητα της εύλογης και ακριβούς εκτίμησης, η ζωή θα ήταν πολύ πιο δύσκολη (Star, Rittle Johnson, Lynch, & Perova, 009). Δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις που καθημερινά απαιτούνται γρήγοροι υπολογισμοί ή κρίσεις αριθμητικών μεγεθών χωρίς τη βοήθεια του υπολογιστή ή του χαρτιού και μολυβιού. Ο όρος «εκτίμηση» λοιπόν χρησιμοποιείται για μια ποικιλία διεργασιών. Μπορεί να αναφέρεται σε μια προσέγγιση αρίθμησης ή μέτρου ή ακόμα και σε μια υποθετική απάντηση που δίνεται κατά την επίλυση ενός προβλήματος (Rubenstein, 983). Πιο συγκεκριμένα όμως, η υπολογιστική εκτίμηση είναι το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο είδος εκτίμησης και είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με την αίσθηση του αριθμού (Tsao, & Pan, 004). Σύμφωνα με την Rubenstein (983) η υπολογιστική εκτίμηση ορίζεται, ως η «εύρεση μιας κατά προσέγγισης απάντησης σε ένα προφορικό ή γραπτό αριθμητικό πρόβλημα, χωρίς τη χρήση αριθμομηχανής ή άλλων υποστηρικτικών εργαλείων, χρησιμοποιώντας νοερούς υπολογισμούς που εφαρμόζονται γρήγορα, για να βρεθεί μία επαρκής απάντηση για τη λήψη αποφάσεων.» Η εκτίμηση είναι ένα σημαντικό μαθηματικό περιεχόμενο και επισημαίνεται στα προγράμματα σπουδών πολλών χωρών όπως η Αγγλία, οι Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής, η Ιαπωνία, κ.ά. Στα Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 000) των Ηνωμένων Πολιτειών αναγνωρίζεται η σημασία στο να

αναπτυχθεί η ικανότητα των μαθητών στην εκτίμηση. Στην Ελλάδα η εκτίμηση εμφανίστηκε το 003 στα προγράμματα σπουδών των Δ.Ε.Π.Π.Σ. (Δ.Ε.Π.Π.Σ., 003) και το 006 εφαρμόστηκε στις σχολικές τάξεις με τα καινούργια σχολικά εγχειρίδια. Παρά τη σημασία της εκτίμησης, τόσο στην τάξη, όσο και στην καθημερινή ζωή, πολύ λίγα πράγματα είναι γνωστά για την ανάπτυξή της, σε σχέση με την ανάπτυξη άλλων βασικών ποσοτικών ικανοτήτων, όπως η καταμέτρηση και η πρόσθεση. Στην παρούσα έρευνα λοιπόν, βασικός σκοπός είναι να μελετηθούν οι γνώσεις και οι ικανότητες Ελλήνων εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης σχετικά με την υπολογιστική εκτίμηση.. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Σύμφωνα με έρευνα των Reys, Reys και Penafiel (99 & 98) τρεις ήταν οι ομάδες στρατηγικών που εντοπίστηκαν μεταξύ των καλών εκτιμητών: (α) η αναδιατύπωση/ αναδόμηση (reformulation), (β) η μετάφραση (translation) και (γ) η αντιστάθμιση (compensation). Η αναδιατύπωση/αναδόμηση αφορά τη μετατροπή των αριθμητικών δεδομένων σε πιο διαχειρίσιμη μορφή, η μετάφραση αφορά την αλλαγή της μαθηματικής δομής του προβλήματος σε νοερή διαχειρίσιμη δομή και η αντιστάθμιση αφορά τη ρύθμιση της εκτίμησης ανάλογα με την αναδιατύπωση ή τη μετάφραση. Ο Lemonidis (03) με βάση τη σχετική βιβλιογραφία (Reys et al., 98; Sowder & Wheeler, 989; Reys et al., 99b; Dowker, 99; LeFevre et al., 993) συνθέτει μια λίστα με στρατηγικές που παρουσιάζονται στην υπολογιστική εκτίμηση:. Στρογγυλοποίηση (Rounding),. Στρατηγική εμπρόσθιου άκρου (Front end strategy), 3. Περικοπή (Truncating), 4. Συσσώρευση ή Μέσος όρος (Clustering or averaging), 5. Προγενέστερη αντιστάθμιση (Prior compensation), 6. Επακολουθούμενη αντιστάθμιση (Post compensation), 7. Στρατηγική συμβατών αριθμών (Compatible numbers strategy), 8. Στρατηγική ειδικών αριθμών (Special numbers strategy), 9. Αλλαγή μορφής ενός αριθμού (Change number format), 0. Παραγοντοποίηση (Factorization),. Επιμεριστικότητα (Distributivity),. Με αλγοριθμικό τρόπο (Algorithm) (Βλέπε Πίνακα ). Οι Castro και Castro (00), σύμφωνα με τη σχετική βιβλιογραφία (Segovia et al., p. 5, 989) στην ομάδα των στρατηγικών αναδόμησης εντάσσουν τις στρατηγικές: () της στρογγυλοποίησης (rounding), (3) της περικοπής (truncation), (9) την αλλαγή της μορφής ενός αριθμού σε συμβατές ισοδύναμες δομές και τη στρατηγική της ανασύνθεσης (decomposition). Στην ομάδα των στρατηγικών της μετάφρασης εντάσσουν τις στρατηγικές (4) του μέσου όρου (averaging) και των σημείων αναφοράς (benchmarks). Στην ομάδα των στρατηγικών της αντιστάθμισης διαχωρίζουν (6) την τελική (final) και (5) την ενδιάμεση (intermediate) αντιστάθμιση.

3 Στην παρούσα εργασία τέθηκαν ερωτήσεις υπολογιστικής εκτίμησης, οι οποίες ως καταλληλότερη στρατηγική εκτίμησης έχουν μια από τις εξής πέντε στρατηγικές: τη στρατηγική του εμπρόσθιου άκρου (front end strategy), τη στρατηγική της συσσώρευσης ή του μέσου όρου (clustering or averaging), τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης (rounding), τη στρατηγική των συμβατών αριθμών (compatible numbers strategy) και τη στρατηγική των ειδικών αριθμών (special numbers strategy). 3. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Οι έρευνες που ασχολούνται με τις επιδόσεις των εκπαιδευτικών και των υποψήφιων εκπαιδευτικών στην υπολογιστική εκτίμηση είναι σχετικά περιορισμένες (Tsao, & Pan, 0; Alajmi, 009; Mindenhall, Hackling, & Swan, 009; Goodman, 99; Lemonidis, & Kaimakami, 0). Στην παρούσα έρευνα το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε κυρίως σε τρία βασικά σημεία που αποτέλεσαν και την πηγή του προβληματισμού για την εκπόνηση της έρευνας. Τα σημεία αυτά ήταν: (α) η γνώση των εκπαιδευτικών σχετικά με τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, (β) οι προτιμώμενες στρατηγικές εκτίμησης και (γ) τα συνηθέστερα λάθη στην εκτίμηση. Οι Tsao & Pan (0) στην έρευνά τους μελέτησαν την κατανόηση και τη γνώση των εν ενεργεία εκπαιδευτικών πάνω στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς, αλλά και τις διδακτικές πρακτικές που χρησιμοποιούνται. Το ερευνητικό εργαλείο που χρησιμοποιήθηκε στην έρευνα ήταν η συνέντευξη. Τα ευρήματα έδειξαν ότι οι εκπαιδευτικοί ήταν σε θέση να εξηγήσουν τη σημασία της υπολογιστικής εκτίμησης, αλλά και να χρησιμοποιήσουν τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς για να λύσουν σχετικά προβλήματα. Οι στρατηγικές εκτίμησης που χρησιμοποίησαν, ήταν η στρατηγική εμπρόσθιου άκρου, η στρογγυλοποίηση, η χρήση των κλασμάτων, η χρήση συμβατών αριθμών, η χρήση ειδικών αριθμών και η στρατηγική της επιμεριστικότητας. Διαπιστώθηκε ακόμα, ότι οι διδακτικές πρακτικές των εκπαιδευτικών σχετίζονταν άμεσα με τη σχέση που είχαν με τα μαθηματικά. Ενώ ο Alajmi (009) ο οποίος εξέτασε 59 εκπαιδευτικούς των μαθηματικών από τη στοιχειώδη και μέση εκπαίδευση στο Κουβέιτ για να διερευνήσει τη κατανόηση της σημασίας των κατ εκτίμηση υπολογισμών από τους εκπαιδευτικούς διαπίστωσε ότι το μεγαλύτερο ποσοστό των εκπαιδευτικών προσεγγίζει τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς κάνοντας χρήση της στρογγυλοποίησης. Υπάρχει επίσης ένα 5% που δεν γνωρίζει τίποτα γύρω από τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Οι Mindenhall, Hackling & Swan (009) πραγματοποιώντας μελέτη περίπτωσης σε έναν εκπαιδευτικό βρήκαν ότι αυτός πριν την έρευνα, πίστευε ότι η υπολογιστική εκτίμηση λειτουργεί αποκλειστικά ως μία «συσκευή» ελέγχου ενός αποτελέσματος. Οι Lemonidis & Kaimakami (03) μελέτησαν τις επιδόσεις, τα λάθη και τις στρατηγικές εκτίμησης που χρησιμοποίησαν 50 φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος, αλλά και τους παράγοντες που επηρέασαν όλα τα παραπάνω. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν έδειξαν ότι οι εν δυνάμει εκπαιδευτικοί ήταν μέτριοι και κακοί εκτιμητές.

4 Βρήκαν ότι τα προβλήματα εκτίμησης που περιείχαν πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης ήταν πιο δύσκολα από τα προβλήματα με προσθέσεις. Σχετικά με τη χρήση των στρατηγικών εκτίμησης, διαπιστώθηκε ότι όχι μόνο δεν ήταν εξοικειωμένοι με τις στρατηγικές αυτές, αλλά δε γνώριζαν να χρησιμοποιούν στρατηγικές όπως του μέσου όρου και των συμβατών αριθμών. Όσον αφορά τα λάθη που έκαναν οι φοιτητές, οι ερευνητές τα ταξινόμησαν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: (α) τα λάθη υπολογισμού των πράξεων και (β) τα λάθη στον τρόπο εκτίμησης. 4. ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Στην παρούσα έρευνα εξετάζονται οι συμπεριφορές εν ενεργεία Ελλήνων εκπαιδευτικών σε προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Συγκεκριμένα οι στόχοι της παρούσας έρευνας είναι οι ακόλουθοι:. Ποιες είναι οι επιδόσεις των Ελλήνων εκπαιδευτικών στα προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης;. Ποιες δυσκολίες συναντούν και τι λάθη κάνουν; 3. Γνωρίζουν να χρησιμοποιούν τις διάφορες στρατηγικές στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς; 5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Σε αυτή την έρευνα εξετάστηκαν 80 εκπαιδευτικοί του νομού Πέλλας. Ο μέσος όρος της προϋπηρεσίας των εκπαιδευτικών αυτών ήταν 6,5 χρόνια και ο μέσος όρος της ηλικίας τους ήταν 40,86 χρόνια. Οι εκπαιδευτικοί που συμμετείχαν στην έρευνα δεν είχαν προηγουμένως διδαχτεί τις στρατηγικές εκτίμησης. 6. ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ Οι εκπαιδευτικοί εξετάστηκαν με ένα ερωτηματολόγιο που περιείχε 0 προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Κάθε ένα από αυτά τα προβλήματα αντιστοιχούσε και σε μια συγκεκριμένη στρατηγική εκτίμησης, που σύμφωνα με τη βιβλιογραφία ήταν και η καταλληλότερη για τη λύση αυτού του προβλήματος. Το ερωτηματολόγιο αυτό απαντήθηκε παρουσία του ερευνητή από 70 υποκείμενα. Ενώ με το ίδιο ερωτηματολόγιο διενεργήθηκαν και 0 συνεντεύξεις (με το κάθε υποκείμενο ξεχωριστά) για επιπλέον και σε βάθος μελέτη του θέματος. 6.. ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Για τις ανάγκες της έρευνας τέθηκαν οι παρακάτω 0 ερωτήσεις:. Εκτιμήστε περίπου το άθροισμα των πιο κάτω ποσών:,6, 4,79, 0,99,,37,,58. Ένας μαθητής που ξεκίνησε σκι έκανε 75 ώρες μάθημα και κάθε ώρα κόστιζε 36. Πόσο πρέπει περίπου να πληρώσει;

5 3. Στα 86 ml μιας ουσίας το 9,84% είναι αλκοόλη. Πόση περίπου αλκοόλη έχει η ουσία; 4. Υπολογίστε περίπου τον αριθμό μαθητών των τριών σχολείων Α Λύκειο:.378 μαθητές, Β Λύκειο :36 μαθητές, Γ Λύκειο: 44 μαθητές 5. Έξι ανεξάρτητες μετρήσεις, σε πόδια, έγιναν από μια ομάδα για την εύρεση του ύψους του βουνού Έβερεστ: 8.990, 8.99, 8.994, 8.998, 9.00, 9.06. Με βάση αυτές τις μετρήσεις πόσο περίπου μπορούμε να πούμε ότι είναι το ύψος του Έβερεστ; 6. Η Μαρία έτρεξε / km το πρωί και 3/8 km το απόγευμα. Έτρεξε τουλάχιστον km; 7. Το αποτέλεσμα ισούται περίπου με 00; 35+ 4 + 40 +38 +44 8. Ένας εργάτης δούλεψε 8 ημέρες για 56 τη μέρα. Πόσο περίπου θα πληρωθεί; 9. Έξι ομάδες μαθητών έκαναν με λουλούδια ανθοδέσμες για τη σχολική γιορτή. Κάθε ομάδα έκανε 7, 49, 38, 65, 56, 8 ανθοδέσμες. Πόσες ανθοδέσμες έχουμε περίπου συνολικά; 0. Ένα τρένο νέας τεχνολογίας διανύει 5.889 χιλιόμετρα σε 5 ώρες. Πόσα χιλιόμετρα διανύει περίπου σε μία ώρα; 7. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι επιδόσεις και τα λάθη των εκπαιδευτικών Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι επιδόσεις των δασκάλων στα 0 προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης. Στον πίνακα παρουσιάζονται τα ποσοστά επιτυχίας με εκτίμηση, τα λάθη, τα ποσοστά των δασκάλων που υπολόγισαν με ακριβή υπολογισμό και αυτοί που δεν έδωσαν καμία απάντηση. Ερ. Ερ. Ερ.3 Ερ.4 Ερ.5 Ερ.6 Ερ.7 Ερ.8 Ερ.9 Επιτυχία με 75 43 59 75 6 58 εκτίμηση 93,8% 53,8% 73,8% 93,8% 77,5% 7,5% Ακριβής 5 υπολογισμός,3%,5%,5%,3% 6,3% 3,8% Λάθος 4 33 3 3 απάντηση 4,9% 4,% 6,%,4% 6,%,4% Καμία 6 9 απάντηση,5% 7,5%,5%,3% 68 85%,3%,4% 9,3% 54 73 67,5% 9,3%,5%,3% 3 4 8,7% 4,9%,3%,5% Ερ. 0 69 86,%,5% 7 8,8%,5% Σύνολο 00% 00% 00% 00% 00% 00% 00% 00% 00% 00% Πίνακας : Ποσοστά επιτυχίας και χρήσης της εκτίμησης

6 Σύμφωνα λοιπόν, με τα ποσοστά επιτυχίας των δασκάλων στους υπολογισμούς με εκτίμηση, μπορούμε να κατατάξουμε τα προβλήματα σε τρεις ομάδες δυσκολίας: Δύσκολα (<67,5%]: Ε (53,8%), Ε8 (67,5%). Μεσαίας δυσκολίας [7,5% < % < 77,5%]: Ε3 (73,8%), Ε5 (77,5%) και Ε6 (7,5%). Εύκολα [85% < % < 93,8%]: Ε (93,8%), Ε4 (93,8%), Ε9 (9,3%), Ε0 (86,%) και Ε7 (85%). Παρατηρούμε ότι δύσκολα είναι τα προβλήματα τα οποία εμπεριέχουν μια πράξη πολλαπλασιασμού με αριθμούς που είναι σχετικά δύσκολοι για τους νοερούς υπολογισμούς (Ε:75x36, Ε8:8x56). Μεσαίας δυσκολίας φαίνεται να είναι τα προβλήματα που εμπεριέχουν τον υπολογισμό ενός ποσοστού κοντά στο 0% (Ε3:9,84% του 86) το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί νοερά με αλγόριθμο, την εύρεση μέσου όρου από 6 μετρήσεις του όρους Everest (Ε5), ένα άθροισμα απλών κλασμάτων με ένα όρο το ½ (Ε6). Εύκολα είναι τα προβλήματα που περιλαμβάνουν ένα άθροισμα δεκαδικών αριθμών (Ε:,6+4,79+0,99+,37+,58), ένα άθροισμα τριών όρων (Ε4:.378+36+44), ένα άθροισμα με έξι όρους (Ε9:7+49+38+65+56+8) και μια πράξη διαίρεσης (Ε0:5.889 5) και προσθέσεις με 5 όρους (Ε7:35+4+40+38+44). Αν εξετάσουμε την επίδοση του κάθε εκπαιδευτικού στα 0 προβλήματα βρίσκουμε ότι, ο μέσος όρος των σωστών απαντήσεων των εκπαιδευτικών ήταν 7,950 με τυπική απόκλιση,439. Η χρήση των στρατηγικών Στρατηγ ικές Στ. εμπρόσθι ου άκρου Στ. στρογγυλ οποίησης Περιγραφ ή στρατηγικ ών +4+++ =9 και 0,30+0,80 +0,40+0,6 0 άρα 9+= 75x36 80 x40=300 και με Ερωτήσεις η η 3 η 4 η 5η 6 η 7 η 8η 9 η 0 η 4 30% * 44 45% 8 0% 34 4,5 9, 64 80% 4 7,5 %,5% 3 8,7 % 4 5% 46 57,5,5% 53 66,3 % 4 30%

7 Στ. ειδικών αριθμών Στ. συσσώρε υσης ή μέσου όρου Στ. συμβατώ ν αριθμών αντιστάθμι ση Το ½ είναι μισό, το 3/8 είναι λιγότερο από μισό 35+4+40 +38+44 όλα κοντά στο 40, άρα 40x5=00 7+8 0 0 38+65 0 0 49+56 0 0 Σύνολο 300 59 73,8 6 7,5% Άλλη Οποιοσδή στρατηγι ποτε άλλος κή τρόπος,3%,3% 4 5,5,3%,3% 5 57 7, 38 47,5 4 5% 3 3,7%,3% 6,%,3%,3%,3% 8,5 43 53,7,5% Πίνακας : Ποσοστά χρήσης των στρατηγικών στις σωστές απαντήσεις με κατ εκτίμηση υπολογισμό *Ποσοστά χρήσης των καταλληλότερων, σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, στρατηγικών Στρατηγική εμπρόσθιου άκρου: Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τις ερωτήσεις και 4. Συγκεκριμένα στην ερώτηση, μόνο το 30% των εκπαιδευτικών χρησιμοποίησε σωστά τη στρατηγική αυτή, ενώ στην ερώτηση 4 μόλις το,% των εκπαιδευτικών. Στρατηγική συσσώρευσης ή μέσου όρου: Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τις ερωτήσεις 5 και 7. Συγκεκριμένα, το 5,5% των εκπαιδευτικών χρησιμοποίησε σωστά τη στρατηγική αυτή στην ερώτηση 5, και το 47,5% των εκπαιδευτικών τη χρησιμοποίησε σωστά στην ερώτηση 7.

8 Στρατηγική στρογγυλοποίησης: Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τις ερωτήσεις και 8. Συγκεκριμένα, στην ερώτηση, το 4,5% των εκπαιδευτικών χρησιμοποίησε σωστά τη στρατηγική αυτή και στην ερώτηση 8 το 57,5% τη χρησιμοποίησε σωστά. Στρατηγική συμβατών αριθμών: Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τις ερωτήσεις 9 και 0. Συγκεκριμένα, στην ερώτηση 9, μόνο το,5% των εκπαιδευτικών χρησιμοποίησε σωστά τη στρατηγική αυτή, ενώ στην ερώτηση 0 το 53,7%. Στρατηγική ειδικών αριθμών: Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τις ερωτήσεις 3 και 6. Συγκεκριμένα στην ερώτηση 3, το 73,8% των εκπαιδευτικών έκανε σωστή χρήση της στρατηγικής αυτής και στην ερώτηση 6, το 7,%. Συμπερασματικά για τη χρήση των στρατηγικών μπορούμε να πούμε ότι: μικρά ποσοστά εκπαιδευτικών χρησιμοποιούν τη στρατηγική του εμπρόσθιου άκρου (Ε: 30% και Ε4:,%) και τη στρατηγική των συμβατών αριθμών (Ε9:,5% και Ε0: 53,7%). Γύρω στους μισούς εκπαιδευτικούς γνωρίζουν και χρησιμοποιούν τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης με αντιστάθμιση (Ε: 4,5% και Ε8: 57,5%) και τη στρατηγική του μέσου όρου (Ε5: 5,5% και Ε7: 47,5%). Οι περισσότεροι (γύρω στο 70%) χρησιμοποίησαν τη στρατηγική των ειδικών αριθμών (Ε3: 73,8% και Ε6: 7,%). Τα λάθη Ερωτήσεις Τύπος λάθους η η 3 η 4 η 5η 6 η 7η 8 η 9η 0 η Λάθη υπολογισμού των 4,9% 7,5% 6,%,4% 8,%,4%,% 7,5% 4,9% 8,8% πράξεων Λάθη στην επακολουθούμενη αντιστάθμιση 33,7%,%,% Απάντηση χωρίς λογική 8,% Συνολικό 4,9% 4,% 6,%,4% 6,%,4%,4% 8,7% 4,9% 8,8% ποσοστό λαθών Πίνακας 3: Ποσοστά λαθών που πραγματοποίησαν οι εκπαιδευτικοί Εξετάζοντας τα λάθη που έκαναν οι εκπαιδευτικοί στις διάφορες ερωτήσεις διαπιστώνεται ότι αυτά διακρίνονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: α) Τα λάθη υπολογισμού των πράξεων και β) τα λάθη στον τρόπο εκτίμησης. Όσον αφορά την πρώτη ομάδα λαθών, τα λάθη υπολογισμού των πράξεων, είναι λάθη κυρίως των ιδιοτήτων του συστήματος αρίθμησης που υπάρχουν μέσα στους μηχανισμούς (ή αλγορίθμους) των πράξεων, π.χ. στην ερώτηση 0 όπου ζητήθηκε η

9 εκτίμηση της διαίρεσης 5.889 : 5, παρατηρήθηκαν λάθη στον αριθμό των ψηφίων του τελικού αποτελέσματος. Ορισμένοι εκπαιδευτικοί παρέλειπαν ή πρόσθεταν κάποιο επιπλέον μηδενικό στο αποτέλεσμα, π.χ. αντί για 500, έδιναν ως τελική απάντηση 5000 ή 50. Παρατηρούμε ότι μεγάλο ποσοστό αυτού του είδους των λαθών παρατηρείται στην ερώτηση Ε3 (6,%) όπου πρέπει να υπολογιστεί το 9,84% των 86 ml. Εδώ οι αριθμοί είναι μεγάλοι και όσοι κάνουν αυτού του είδους τα λάθη προσπαθούν να υπολογίσουν το αποτέλεσμα ακριβώς. Παρατηρούμε επίσης ότι λάθη υπολογισμού των πράξεων γίνονται στις ερωτήσεις με πολλαπλασιασμό (Ε: 75x36 και Ε8: 8x56), τη διαίρεση (Ε0: 5.889:5) και την πρόσθεση με μεγάλους αριθμούς Ε5 (ύψος Έβερεστ). Στην δεύτερη ομάδα λαθών, στα λάθη στον τρόπο εκτίμησης, οι εκπαιδευτικοί πραγματοποιούν μια εκτίμηση αλλά με λάθος τρόπο, δηλαδή δεν είναι λάθη των πράξεων αλλά της διαδικασίας της εκτίμησης. Πιο χαρακτηριστικό λάθος είναι η λάθος εφαρμογή της στρατηγικής της στρογγυλοποίησης. Σε πολλές περιπτώσεις ακολουθήθηκε μια χοντροειδής στρογγυλοποίηση με αποτέλεσμα η εκτίμηση να απέχει πολύ από το ακριβές αποτέλεσμα. π.χ. στη δεύτερη ερώτηση που αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό δύο διψήφιων αριθμών, συγκεκριμένα των 75 x 36, ορισμένοι εκπαιδευτικοί έκαναν αρχικά σωστά την πράξη 3x7= 00, αλλά στη συνέχεια έκαναν λάθος την επακολουθούμενη αντιστάθμιση. Κάποιοι από αυτούς έκαναν την πράξη 5x6=30 300 και τελικά κατέληγαν 00+300=400 και κάποιοι έκαναν την πράξη 5x6=30 και τελικά κατέληγαν 00+30=30. Πολλοί ήταν οι εκπαιδευτικοί που στην ερώτηση αυτή δεν έκαναν καμία αντιστάθμιση του αποτελέσματος. 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας μπορούμε να πούμε ότι οι δάσκαλοι της πράξης παρουσιάζουν επιδόσεις και συμπεριφορές στα προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης που επιδέχονται σημαντική βελτίωση. Για τους εκπαιδευτικούς που εξετάστηκαν ήταν δύσκολα (επιτυχία <67,5%) τα προβλήματα που εμπεριείχαν πράξεις πολλαπλασιασμού με διψήφιους όρους (Ε:75x36, επιτ. 53,8%), Ε8:8x56, επιτ. 67,5%) γιατί πραγματοποιούσαν χονδρικά τους πολλαπλασιασμούς υπολογίζοντας μόνο με τα ψηφία των δεκάδων χωρίς να πραγματοποιούν μια διόρθωση (αντιστάθμιση). Μεσαίας δυσκολίας (7,5% < επιτ. < 77,5%) ήταν τα προβλήματα που εμπεριείχαν τον υπολογισμό ενός ποσοστού κοντά στο 0% (Ε3:9,84% του 86) το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί νοερά με αλγόριθμο, την εύρεση μέσου όρου από 6 μετρήσεις του όρους Everest (Ε5) και ένα άθροισμα απλών κλασμάτων με ένα όρο το ½ (Ε6). Εύκολα (85% < επιτ. < 93,8%) ήταν τα προβλήματα που περιελάμβαναν αθροίσματα, όπως άθροισμα δεκαδικών αριθμών (Ε:.6+4.79+0.99+.37+.58), ή άθροισμα τριών όρων με τριψήφιους και τετραψήφιο ακέραιο (Ε4:.378+36+44), ή άθροισμα με έξι (Ε9:7+49+38+65+56+8) ή 5 (Ε7: 35+4+40+38+44) όρους και τέλος την πράξη της διαίρεσης (Ε0:5.889 5).

0 Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν εν μέρει με αυτά της έρευνας των Lemonidis & Kaimakami (03) σε υποψήφιους δασκάλους που βρήκαν ότι τα προβλήματα εκτίμησης που περιέχουν πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις είναι πιο δύσκολα από αυτά που περιέχουν προσθέσεις. Αν και εδώ, για τους εν ενεργεία εκπαιδευτικούς, το πρόβλημα με διαίρεση (Ε0: 5.889 5) ήταν στην κατηγορία των εύκολων προβλημάτων, το ίδιο πρόβλημα για τους υποψήφιους εκπαιδευτικούς ήταν στην κατηγορία των δύσκολων προβλημάτων. Μια διαπίστωση είναι ότι οι εκπαιδευτικοί δεν γνωρίζουν την ποικιλία των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική εκτίμηση. Έτσι λίγοι χρησιμοποίησαν τη στρατηγική του εμπρόσθιου άκρου και των συμβατών αριθμών, γύρω στους μισούς χρησιμοποίησαν τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης με αντιστάθμιση και τη στρατηγική του μέσου όρου και γύρω στο 70% χρησιμοποίησαν τη στρατηγική των ειδικών αριθμών. Στο συμπέρασμα αυτό της μη γνώσης της ποικιλίας των στρατηγικών στην υπολογιστική εκτίμηση καταλήγουν και οι άλλες έρευνες με εκπαιδευτικούς (Alajmi, 009; Mindenhall, et al. 009; Lemonidis & Kaimakami, 03). Σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα διαφαίνεται η αναγκαιότητα μιας ειδικής επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών στο θέμα της υπολογιστικής εκτίμησης. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Castro, C. & Castro, I. (00). An alternative model for the description of computational estimation strategies. In A. D. Cockburn, & E. Nardi, (Eds.), Proceedings of the 6 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol., 9300. Norwick, UK. Lemonidis, Ch. & Kaimakami, A. (03). Prospective elementary teachers knowledge in computational estimation. Menon: Journal of Educational Research. Issue 3. (in press). Liu, W. & Neber, H. (0). Estimation skills of Chinese and Polish Grade 6 Students on Pure Fraction tasks. Journal of mathematics education. 5(), 4. Liu, W. & Neber, H. (0). Estimation skills of Chinese and Polish Grade 6 Students on Pure Fraction tasks. Journal of mathematics education. 5(), pp.. Mindenhall, P., Hackling, M. & Swan, P. (009). Computational Estimation in the Primary School: A single case study of one teacher s involvement in a professional learning intervention. In L. Sparrow, B. Kissane, & C. Hurst (Eds.), Shaping the future of mathematics education: Proceedings of the 33rd annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, 40743. Fremantle: MERGA. Reys, B. J. (986). Teaching computational estimation: concepts and strategies. In, Estimation & Mental Computation986 Yearbook, National Council of Teachers of Mathematics.

Reys, B. J., Reys, R. W., & Penafiel, A., F., (99a). Estimation performance and strategies use of Mexican fifth and eighthgrade student sample. Educational Studies in Mathematics,, 353375. Rubenstein, R. N. (983). Mathematical variables related to computational estimation. Dissertation Abstracts International, 44, 695A. Segovia, I. & Castro, E. (009). Computational and measurement estimation curriculum foundations and research carried out at the University of Granada, Mathematics Didactics Department. Electronic Journal of Research in Educational Psychology, 7(), 49953. Star, J., RittleJohnson, B., Lynch, K., & Perova, N. (009). The role of prior knowledge in the development of strategy flexibility: The case of computational estimation. ZDM Mathematics Education, 4, 569 579. Tsao, Y.L. (004). Exploring the Connections among Number Sense, Mental Computation Performance, and the Written Computation Performance of Elementary Preservice School Teachers. Journal of College Teaching & Learning, (), 790. Tsao, Y. L., Pan, T. R. (0). The computational estimation and instructional perspectives of elementary school teachers. Journal of Instructional Pedagogies,, 5. Λεμονίδης, Χ. (03). Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Νοεροί Υπολογισμοί. Λογαρέζω με το τσιμίδι μ. Θεσσαλονίκη. Εκδόσεις Ζυγός.