ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1

2 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica, Παπαγεωργίου Γεώργιος Σ.,Τσίτουρας Χαράλαμπος Γ. Ηλεκτρονικά εγχειρίδια htm Διαφάνειες Συμπληρωματικά φυλλάδια E-book 2

3 Εισαγωγή Αριθμητική Ανάλυση Μετατροπή μαθηματικών προβλημάτων σε ισοδύναμα προβλήματα που επιλύονται αριθμητικά με την βοήθεια υπολογιστή Προβλήματα Επίλυσημηγραμμικώνεξισώσεων Προσέγγιση συναρτήσεων Παραγώγιση Ολοκλήρωση Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Βελτιστοποίηση συναρτήσεων 3

4 Εισαγωγή Αριθμητική Ανάλυση (Εφαρμοσμένα μαθηματικά) Εφαρμογή σε Επιστήμη των Η/Υ Υπολογιστική Νοημοσύνη Επιχειρησιακή Έρευνα Κρυπτογραφία Εξόρυξη Δεδομένων Στατιστική κ.α. 4

5 Εισαγωγή Αριθμητική Ανάλυση Δημιουργία κατάλληλης μεθόδου (Αλγόριθμος) Υλοποίηση της μεθόδου σε υπολογιστή Μια μέθοδος είναι κατάλληλη όταν προσεγγίζει «αρκετά καλά» το αποτέλεσμα με το μικρότερο υπολογιστικό κόστος, αλλά και την μικρότερη δέσμευση μνήμης. 5

6 Εισαγωγή Αριθμητικά συστήματα Αριθμητική κινητής υποδιαστολής Σφάλματα Κατάσταση προβλημάτων Θεωρία διαφορών 6

7 Αριθμητικά Συστήματα Κάθε αριθμός μπορεί να παρασταθεί ως εξής n a b a b... a b a b... με n ab i 0 ai in b i n1 0 1 n1 0 1 a i είναι τα ψηφία του αριθμού και b είναι η βάση του. 7

8 Αριθμητικά Συστήματα Το ακέραιο μέρος του αριθμού είναι n n1 0 a b a b... a b n 0 ab i in i n1 0 Το κλασματικό μέρος του αριθμού είναι 1 a b... 1 ab i i1 i 8

9 Αριθμητικά Συστήματα Η αριθμητική παράσταση του αριθμού είναι a a a. a n n1 0 1 b το σύμβολο. είναι η υποδιαστολή του αριθμού που διαχωρίζει το ακέραιο με το κλασματικό μέρος ενός αριθμού Ανάλογα με την τιμή του b, δηλαδή, της βάσης ονομάζουμε και το αριθμητικό σύστημα. Πχ. b=2, Δυαδικό αριθμητικό σύστημα b=10, Δεκαδικό αριθμητικό σύστημα 9

10 Αριθμητικά Συστήματα Ένας αριθμός έχει πεπερασμένη παράσταση όταν για k a 0, i k, k1, k2, i n Σημαντικά ψηφία ενός αριθμού ονομάζονται όλα τα ψηφία του αριθμού εκτός των μηδενικών ψηφίων που βρίσκονται στην αρχή του αριθμού. 10

11 Αριθμητικά Συστήματα Παραδείγματα (σημαντικά ψηφία)

12 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπές αριθμών από ένα αριθμητικό σύστημα σε άλλο Μετατροπή ακεραίου από βάση b σε δεκαδικό σύστημα Μετατροπή κλασματικού από βάση b σε δεκαδικό σύστημα Μετατροπή ακεραίου από δεκαδικό σύστημα σε βάση b Μετατροπή κλασματικού από δεκαδικό σύστημα σε βάση b 12

13 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπή ακεραίου από βάση b σε δεκαδικό σύστημα

14 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπή ακεραίου από βάση b σε δεκαδικό σύστημα y a0 y an p 1 for i n 1,...,0 for i 1,..., n yai b* y p p* b end y ya * p end i 14

15 Υλοποίηση σε MATLAB function y=b2dec(,b) c=num2str(); n=length(c); for i=1:n a(i)=str2num(c(n-i+1)); end y=a(n); for i=n-1:-1:1 y=a(i)+b*y; end function y=b2dec(,b) c=num2str(); n=length(c); for i=1:n a(i)=str2num(c(n-i+1)); end y=a(1); p=1; for i=2:1:n p=p*b; y=y+a(i)*p; end 15

16 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπή κλασματικού από βάση b σε δεκαδικό σύστημα y 0 for i end k,..., 1 y a y *1/ b i Παράδειγμα

17 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπή ακεραίου από δεκαδικό σύστημα σε βάση b(αλγόριθμος της Διαίρεσης) i 0 while 0 a mod b / b ii1 end i Παράδειγμα

18 Αριθμητικά Συστήματα Μετατροπή κλασματικού από δεκαδικό σύστημα σε βάση b y b* i 1 while y end a i i 0 y i1 y y y * b Παράδειγμα

19 Αριθμητικά Συστήματα Στην μετατροπή πεπερασμένου κλασματικού δεκαδικού σε βάση b ένας αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε αριθμό με άπειρα ψηφία και το αντίστροφο. Στην μετατροπή μη πεπερασμένου κλασματικού δεκαδικού σε βάση b ένας αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε αριθμό με άπειρα ψηφία. 19

20 Παραδείγματα Να μετατραπεί ο παρακάτω αριθμός σε δεκαδική βάση Να μετατραπεί ο παρακάτω αριθμός σε δεκαδική βάση

21 Παραδείγματα Να μετατραπεί ο παρακάτω αριθμός σε δυαδική βάση Να μετατραπεί ο παρακάτω αριθμός σε δυαδική βάση

22 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Κάθε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός σε αριθμητικό σύστημα με βάση b μπορεί να γραφεί στην κανονική μορφή κινητής υποδιαστολής. d d... b d 0 Παράδειγμα e

23 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Οι αριθμοί που αποθηκεύονται στην μνήμη του Η/Υ πρέπει να είναι πεπερασμένοι Αριθμοί Μηχανής Τη βάση του συστήματος b Την ακρίβεια t, δηλαδή το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων του κλάσματος των αριθμών. Το κάτω φράγμα L και το άνω φράγμα U του εκθέτη e του b(l,u ακέραιοι με ). d d... d b d 0 e 1 2 t 1 L U 23

24 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής b t L U b 1t IEEE simple IEEE double IEEE etended

25 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Αριθμοί μηχανής με (b, t, L, U) Μέγιστο θετικό στοιχείο d b1, 1 it, eu i δηλαδή, σε σύστημα με (10, 3, -5, 5) Ελάχιστο θετικό στοιχείο L b min δηλαδή, 5 ma Mantissa ήσημαντικάψηφία 25

26 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Αριθμοί μηχανής με (b, t, L, U) Υπερχείλιση (overflow) Υπεκχείλιση (underflow) Ο μικρότερος αριθμός συνήθως αντικαθίσταται από το 0, το οποίο είναι το μηδέν της μηχανής ή το έψιλον 1 while 11 end /2 26

27 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Αριθμοί μηχανής με (b, t, L, U) Στρογγύλευση fl(.) Έστω ο αριθμός. d d... d d... b d 0 θα γίνει με e 1 2 t t1 1 e fl. d1d2... d t b d1 0 dt, if dt 1 5 d t dt 1, if dt

28 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Αριθμοί μηχανής με (b, t, L, U) Αποκοπή fl(.) Έστω ο αριθμός. d d... d d... b d 0 θα γίνει e 1 2 t t1 1 fl. d d... d b d 0 e 1 2 t 1 28

29 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Αριθμοί μηχανής με (b, t, L, U) Πράξεις fl(fl()*fl(y)) Για την εκτέλεση της πράξης *y μετατρέπουμε τα και y σε αριθμούς μηχανής fl() και fl(y) και εκτελούμε την πράξη fl()*fl(y) Το αποτέλεσμα της παραπάνω πράξης δεν είναι αριθμός μηχανής (υποθέτουμε ότι δεν έχουμε υπερχείλιση ή υπεκχείλιση) και το μετατρέπουμε σε αριθμό μηχανής fl(fl()*fl(y)) 29

30 Παραδείγματα Έστω (b, t, L, U)=(10,5, 10,10) και οι αριθμοί: = y= Να βρεθούν ο μεγαλύτερος και ο μικρότερος θετικός αριθμός μηχανής Να βρεθεί το άθροισμα +y με τους αριθμούς μηχανής με στρογγύλευση και με αποκοπή. 30

31 Παραδείγματα Έστω (b, t, L, U)=(10,5, 10,10) και οι αριθμοί: a=1 b= c= Να γίνουν οι πράξεις a+(b+c) (a+b)+c 31

32 Σφάλματα Σφάλματαστααρχικάδεδομένα Διαδιδόμενο σφάλμα Σφάλμα αποκοπής Σειρά Taylor Σφάλμα στρογγυλοποίησης 32

33 Τύποι σφαλμάτων Απόλυτο σφάλμα * Απόλυτο σχετικό σφάλμα r * 100% * Προσεγγιστική Λύση Πραγματική Λύση 33

34 Τύποι σφαλμάτων Διαφορές των τύπων σφαλμάτων Παράδειγμα 1 * m άρα m r 0.01 ή 1% 100 Παράδειγμα 2 * m άρα m r ή 0.01%

35 Σφάλματα Αποκοπής Σφάλμα αποκοπής (truncation error) είναι το σφάλμα που δημιουργείται από την αποκοπή όρων σε αλγοριθμικές διαδικασίες Παραδείγματα (Τύπος Taylor) 2 m h h m f 0 h f 0 hf 0 f 0 f 0 2! m! e 1 2! 3! 4! 5! sin 3! 5! 7! 9! 11! MATLAB 35

36 Σφάλματα Στρογγυλοποίησης Σφάλμα στρογγυλοποίησης (round-off error) είναι το σφάλμα που δημιουργείται από την στρογγυλοποίηση κ δεκαδικών ψηφιών Παραδείγματα MATLAB 36

37 Σφάλματα Στρογγυλοποίησης Το άνω φράγμα του σφάλματος στρογγυλοποίησης (round-off error) είναι 1 10 k 2 όπου κ ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων Δυο αριθμοί που η διαφορά τους είναι μικρότερη από το παραπάνω σφάλμα, έχουν ακρίβεια μεταξύ τους κ δεκαδικά ψηφία. 37

38 Σφάλματα Στρογγυλοποίησης Δυο αριθμοί έχουν ακρίβεια κ σημαντικών ψηφίων όταν η διαφορά τους (αφού στρογγυλοποιηθούν σε κ σημαντικά ψηφία) είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή, όταν για το σχετικό σφάλμα των δυο αριθμών ισχύει r * k 1 38

39 Σφάλματα Στρογγυλοποίησης Παράδειγμα , y 3.14, y Παράδειγμα 2 y r , y , y y r

40 Σφάλματα Στρογγυλοποίησης Παράδειγμα , y , y y r

41 Διαδιδόμενο Σφάλμα Καταστροφική ακύρωση σημαντικών ψηφίων Παρατηρείται στις περιπτώσεις υπολογισμού μικρών αριθμών από πράξεις μεγάλων αριθμών. Έστω (b,t,l,u)=(10,5,-10,10) , y , y 1000 z fl fl fl y 0 41

42 Διαδιδόμενο Σφάλμα Έστω (b,t,l,u)=(10,10,-10,10) y y μπορούμε να αποφύγουμε το πρόβλημα με χρήση ταυτοτήτων y

43 Παραδείγματα Υπολογισμός ημιαθροίσματος δυο αριθμών a0.982, b0.987, t 3 1 ab a ba

44 Παραδείγματα Υπολογισμός αθροίσματος S n 1 n k 1 k 2 1 k n Sn t 10 n S t n

45 Κατάσταση Προβλημάτων Καλής Κατάστασης Κακής Κατάστασης Πολυωνυμική εξίσωση του Wilkinson f a a a Συστήματα εξισώσεων 2y y 1.5 y, 3,0 0 2y y 1.5 y, 1,1 MATLAB 45

46 Ευστάθεια Αλγορίθμων Ευσταθή (stable) Ασταθή (unstable) 46

47 Παραδείγματα 47