ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ-ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ (Καθ. Β.Ζασπάλης) ΘΕΜΑ 1 ο (15 Μονάδες) Πόσα γραμμάρια καθαρού κρυσταλλικού Χρυσού (Αu, FCC δομής) έχουν τον ίδιο όγκο με 1 mol καθαρού, κρυσταλλικού Βολφραμίου (W, ΒCC δομής); Ένας Τρόπος: 1 mole W περιέχει ΝΑV άτομα W και εφόσον κρυσταλλώνεται στη δομή BCC, κάθε μία εκ των οποίων περιέχει άτομα, θα σχηματίζονται Ν ΑV κυβικές BCC κυψελίδες. Η ατομική ακτίνα του Βολφραμίου είναι 0.17 nm (Πίνακας.1, συγγράμματος) οπότε η σταθερά της ακμής της κυβικής κυψελίδας θα είναι: α W,BCC = 4 R = 4 0.17 nm = 0.164 nm (1) O όγκος της μιας κυβικής κυψελίδας θα είναι: V cell,w = a = (0.164 nm) = 0.017 nm () Kαι ο ολικός όγκος του 1 mol W θα είναι: V Mo = Ν ΑV 0.017 nm () Στα Μ γραμμάρια Χρυσού με ιοντική ακτίνα R=0.144 nm και ατομική μάζα 196.97 g mol -1 θα εμπεριέχεται αριθμός ατόμων: Ν Αu = M 196.97 N AV (4) Tα άτομα αυτά κρυσταλλώνονται στην FCC δομή οπότε ο αριθμός των κυψελίδων που θα σχηματίσουν θα είναι: Ν cell = N Au 4 = M 4 196.97 N AV (5) H ακμή της κυβικής κυψελίδας του Χρυσού θα είναι: α Au,FCC = 4 R = 4 0.144 nm = 0.407 nm (6) Κατά συνέπεια ο όγκος της κυψελίδας του χρυσού θα είναι: V cell,au = a = (0.407 nm) = 0.0676 nm (7) O δε ολικός όγκος των Μ γραμμαρίων Χρυσού θα είναι: V Au = Ν cell V cell,au = 0.0676 M 4 196.97 N AV nm (8) Eξισώνοντας τα δεύτερα μέλη της () και της (8)-ίδιοι όγκοι-έχουμε: Ν ΑV 0.017 0.0676 M nm = 4 196.97 N AV nm M = 4 196.97 0.017 M 184.7 g 0.0676
Άλλος Τρόπος: Η θεωρητική πυκνότητα του Βολφραμίου της ΒCC δομής είναι: ρ th,w = A W N AV V cell,w = at. cell 18.84 g mol 6.0 10 ( 4 = 19.7 g 0.17 cm 10 7 cm) Kατά συνέπεια το 1 mol (=18.84 g) Βολφραμίου θα έχει όγκο: ρ th,w = m V W V W = 18.84 19.7 = 9.54 cm H θεωρητική πυκνότητα του Χρυσού της FCC δομής είναι: 4 at ρ th,au = cell 196.97 g mol 6.0 10 ( 4 = 19.61 g 0.144 cm 10 7 cm) H μάζα του Χρυσού που έχει όγκο 9.54 cm (δηλ. ίδιο με 1 mol Mo) τελικά υπολογίζεται: ρ th,au = M M = 19.61 9.54 184.7 g V
ΘΕΜΑ ο (50 Μονάδες) Στην Εικόνα Α παρουσιάζεται η ΒCC κυψελίδα κάποιου μετάλλου ατομικής ακτίνας R, και στις Εικόνες Β, Γ και Δ οι επίπεδες ατομικές διατάξεις κάποιων κρυσταλλογραφικών επιπέδων (όλα σύμφωνα με το μοντέλο διευρυμένων διατομικών αποστάσεων). Ι) Να προσδιοριστούν οι δείκτες Miller των κρυσταλλογραφικών επιπέδων (ή ισοδυνάμων τους) οι επίπεδες ατομικές διατάξεις των οποίων παρουσιάζονται στις Εικόνες Β, Γ και Δ (10 μονάδες). Μια πλήρης εποπτική αντίληψη του θέματος μπορεί να αποκομισθεί μέσω της ιστοσελίδας http://www.wiley.com/college/callister/cl_ewstu0101_s/vmse/xtalfb.htm όπου παρουσιάζονται διαδραστικά διάφορες επίπεδες διατάξεις της ΒCC δομής μεταξύ των οποίων και οι ζητούμενες. Διάταξη Εικόνας Β: Aπό τις παραπάνω εικόνες εύκολα διαπιστώνεται πως η επίπεδη ατομική διάταξη της εικόνας Β αφορά στα κρυσταλλογραφικά επίπεδα (100).
Διάταξη Εικόνας Γ: Από τις παραπάνω εικόνες εύκολα διαπιστώνεται πως η επίπεδη ατομική διάταξη της εικόνας Γ αφορά στα κρυσταλλογραφικά επίπεδα (110). Διάταξη Εικόνας Δ: Από τις παραπάνω εικόνες εύκολα διαπιστώνεται πως η επίπεδη ατομική διάταξη της εικόνας Δ αφορά στα κρυσταλλογραφικά επίπεδα (111).
ΙΙ) Nα προσδιοριστεί η γραμμική πυκνότητα (ως κλάσμα η ποσοστό κατειλημμένου μήκους) της κατεύθυνσης που παριστάνεται με το διάνυσμα ε στην εικόνα Γ (15 μονάδες). Από τις προηγούμενες εικόνες της επίπεδης διάταξης της εικόνας Γ συμπεραίνεται πως η κατεύθυνση ε αφορά στη διαγώνιο της BCC κυψελίδας και είναι ισοδύναμη της [111]. Εφόσον στην BCC δομή τα άτομα εφάπτονται κατά μήκος της διαγώνιου του κύβου, η γραμμική πυκνότητα ως κλάσμα κατάληψης θα ισούται με 1 (ή ως ποσοστό με 100%). ΙΙΙ) Να αποδείξετε πως ο αριθμός των ατόμων ανά μονάδα επιφάνειας του επιπέδου η ατομική διάταξη του οποίου παρουσιάζεται στην εικόνα Δ, δίνεται από τη σχέση (15 μονάδες) : : Oυσιαστικά το ερώτημα ζητάει τον υπολογισμό της επίπεδης πυκνότητας ως αριθμό ατόμων ανά μονάδα επιφάνειας. Επιλέγοντας ως βασική μονάδα του συγκεκριμένου επιπέδου τη σκιασμένη τριγωνική επιφάνεια της εικόνας η οποία περιέχει 1 + 1 + 1 = 1 6 6 6 άτομα (κάθε άτομο, όπως φαίνεται και στην εικόνα συνδράμει κατά το 1/6 στη συγκεκριμένη βασική μονάδα), έχουμε: PD = 1 1 a a 16 R = 1 a = 1 ( 4R = ) 1 16R = 16R = 16R Σημείωση: Στο ίδιο αποτέλεσμα θα μπορούσε να φτάσει κανείς επιλέγοντας μια άλλη βασική μονάδα π.χ. ολόκληρο το κανονικό εξάγωνο της εικόνας το οποίο έχει εμβαδόν: 6 ( 1 a a ) = α = 16R Σε αυτήν την βασική μονάδα όμως υπάρχουν συνολικό άτομα (1 στο κέντρο που βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε αυτήν και 6 στις κορυφές του εξαγώνου κάθε ένα εκ των οποίων επιμερίζεται κατά το 1/ σε τρεις παρόμοιες βασικές μονάδες με κοινή κορυφή (6x1/=). Διαιρώντας το με την επιφάνεια της βασικής μονάδας που υπολογίστηκε παραπάνω καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.
ΙV) Εάν η ατομική ακτίνα του υλικού είναι R=0.16 nm τότε ποια οικογένεια κρυσταλλογραφικών επιπέδων μεταξύ αυτών των εικόνων Β, Γ και Δ δίνει κορυφή περίθλασης σε γωνία θ=50.0 ο, με πηγή ακτινοβολίας μήκους κύματος λ=0.154 nm (10 μονάδες) ; Από το νόμο του Bragg έχουμε: λ 0.154 nm λ = dsin(θ) d = = sin (θ) sin ( 50.0 d = 0.181 nm ) Η πλευρά της μοναδιαίας κυψελίδας είναι: α = 4 R = 0.14 nm = 0.14 10 9 m Aπό τη σχέση που συνδέει την απόσταση διαδοχικών επιπέδων με τους δείκτες Miller για την κυβική δομή έχουμε: 1 = h +k +l (h + k + l ) = a = 0.14 = d a d 0.181 Άρα πρόκειται για τα επίπεδα (111) η ατομική διάταξη των οποίων δίνεται στην Εικόνα Δ.
ΘΕΜΑ ο (15 Μονάδες) Για την καθαρή δυναμική ενέργεια (Ε, ev) του ζεύγους των ιόντων Κ + -Cl - συναρτήσει της διατομικής απόστασης (r, nm) ισχύει η σχέση: E = 1.4 5.8 10 6 + r r 9 Γνωρίζοντας πως το ΚCl κρυσταλλώνεται στη δομή του NaCl να γίνει εκτίμηση της γωνίας θ στην οποία θα εμφανιστεί κορυφή περίθλασης από τα επίπεδα (111), με πηγή ακτινοβολίας μήκους κύματος λ=0.154 nm. Αρχικά θα πρέπει να υπολογιστεί η απόσταση ισορροπίας του ιοντικού δεσμού Κ + -Cl -. Ως γνωστόν αυτή θα αντιστοιχεί στο ελάχιστο που εμφανίζει η καμπύλη δυναμικής ενέργειας συναρτήσει της διατομικής απόστασης: de = d( 1.4 r ) dr dr 10 6 d(5.8 r + 9 ) = 1.4 9 5.8 10 6 dr r r 10 Κατά συνέπεια στην θέση r=r0 του ελαχίστου θα ισχύει: ( de dr ) r=r 0 = 0 1.4 r 0 10 r 10 0 r 0 r 0 5. 10 6 = 5. 10 6 = 1.4 1/8 r 8 5. 10 6 5. 10 6 0 = r 1.4 0 = ( ) r 1.4 0 0.8 nm Aναφερόμενοι στην κρυσταλλική δομή του Χλωριούχου Καλίου (δομή Χλωριούχου Νατρίου) βλέπουμε πως: α = r 0 = 0.8 nm = 0.56 nm Για την απόσταση d(111) δύο διαδοχικών επιπέδων της κρυσταλλογραφικής οικογένειας (111) θα ισχύει: 1 d = h + k + l a d (111) = 0.56 d (111) = 0.56 = 0. nm Τέλος από το νόμο του Bragg έχουμε: λ = dsin(θ) sin(θ) = λ d = 0.154 0. = 0.8 θ 1.8ο, θ 7.6 ο
ΘΕΜΑ 4 ο (0 Μονάδες) Ένας τρόπος για να βελτιώσει κανείς τις μηχανικές ιδιότητες των μετάλλων είναι η εισαγωγή προσμίξεων οι οποίες δημιουργούν με τον διαλύτη στερεό διάλυμα αντικατάστασης ή παρεμβολής (προφανώς στη δομή του διαλύτη). Βάσει της παραπάνω τεχνικής, επιθυμούμε: Ι) να εισαγάγουμε πρόσμιξη Άνθρακα στον γ-σίδηρο (FCC) με στόχο να «μπλοκάρουμε» (δηλ. να γεμίσουμε με Άνθρακα) το 10% των τετραεδρικών θέσεων παρεμβολής. Πόσα γραμμάρια Άνθρακα θα χρειαστεί να προστεθούν για κάθε 1 kg γ-σιδήρου; (υποθέτουμε ότι ο Άνθρακας καταλαμβάνει μόνο τετραεδρικές θέσεις παρεμβολής). (15 μονάδες) Η FCC κυψελίδα του γ-σιδήρου περιέχει 4 άτομα Fe και 8 τετραεδρικές θέσεις παρεμβολής. Με την εισαγωγή της πρόσμιξης (στην κατάλληλη ποσότητα) θα περιέχει 4 άτομα Σιδήρου και 8 10 100 = 0.8 άτομα Άνθρακα. Δηλαδή θα πρέπει να προστεθούν Μ C = 0.8 1 g Άνθρακα ανά Μ N Fe = 4 55.85 g Σιδήρου, ή AV 0.8 1 N AV 4 55.85 N AV = 0.040 g C g Fe = 4 g C kg Fe Προσοχή: Το παραπάνω αποτέλεσμα εκφράζει τη μάζα του Άνθρακα που θα πρέπει να προστίθεται επιπλέον για κάθε 1kg Σιδήρου και δεν εκφράζει την wt.% περιεκτικότητα του συστήματος σε Άνθρακα. Η τελευταία (στη βάση μιας κυψελίδας) υπολογίζεται ως: wt. %C = 0.8 1 100 = 4.1 wt. % (0.8 1) + (4 55.85) ΙΙ) να εισαγάγουμε πρόσμιξη Βαναδίου στον γ-σίδηρο (FCC) με στόχο να δημιουργήσουμε στερεό διάλυμα αντικατάστασης που θα περιέχει.5x10 7 άτομα Βαναδίου ανά κυβικό μέτρο στερεού διαλύματος. Πόσα γραμμάρια Βαναδίου θα χρειαστεί να προστεθούν για κάθε 1 kg γ- Σιδήρου; (υποθέτουμε ότι το Βανάδιο δημιουργεί στερεό διάλυμα αντικατάστασης καθώς και ότι με την εισαγωγή Βαναδίου η σταθερά της κυψελίδας του καθαρού γ-σιδήρου δεν μεταβάλλεται). (15 μονάδες) Η ατομική ακτίνα του Σιδήρου είναι 0.141 nm οπότε η σταθερά α της FCC κυψελίδας του καθαρού Σιδήρου θα είναι: N AV α = 4 R = 4 0.141 = 0.51 nm Ο όγκος της μοναδιαίας κυψελίδας είναι: V cell = a = (0.51 10 9 m) m 9 = 4.4 10 cell Tα άτομα Βαναδίου ανά κυψελίδα υπολογίζονται ως: V atoms m V atoms 7 9 Ν V,cell =.5 10 m 4.4 10 0.11 cell cell Εφόσον πρόκειται για στερεό διάλυμα αντικατάστασης της FCC δομής, η μοναδιαία κυψελίδα θα συνεχίσει να έχει 4 άτομα, εκ των οποίων 0.11 (κατά μέσο όρο) θα αντιστοιχούν σε Βανάδιο και 4-0.11=.89 σε Σίδηρο. Δηλαδή στη βάση μιας μοναδιαίας κυψελίδας θα έχουμε:
0.11 50.94.89 55.85 g V g V = 0.06 g Fe g Fe = 6 g V kg Fe Σημείωση 1: Για οποιαδήποτε δεδομένα (π.χ. Ατομικές μάζες, σταθερές κλπ.) που ενδεχομένως χρειαστούν να ανατρέξετε στο σύγγραμμα. Σημείωση : Το σύνολο των μονάδων είναι 110, το «άριστα» εξακολουθεί να είναι 100. Καλή επιτυχία