ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σώμα () μικρών διαστάσεων και μάζας m = 4kg, δρα ως ηχητική πηγή κυμάτων συχνότητας f s =330 Hz κινούμενο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ = 30 m/s. Το σώμα αυτό συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα () μικρών διαστάσεων και μάζας m (m < m ). Στη συνέχεια το σώμα () συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα (3) μικρών διαστάσεων και μάζας m 3, στο οποίο είναι προσαρμοσμένος αμελητέας μάζας ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων. m m m3 () Πηγή () (3) Ανιχνευτής Μετά την σύγκρουση των σωμάτων () και () ο ανιχνευτής μετρά συχνότητα ηχητικών κυμάτων ίση με f =340 Hz, ενώ μετά την κρούση των σωμάτων () και (3) μετρά συχνότητα f = f s. Να υπολογίσετε: α) Την μεταβολή της ορμής του σώματος () εξαιτίας της κρούσης του με το σώμα (). β) Την μάζα m γ) Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος των σωμάτων () και (3). δ) Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων () και (3) που μετατράπηκε σε θερμότητα εξαιτίας της κρούσης. Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα ίση με υ ηχ = 340 m/s. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για το παρακάτω κύκλωμα δίνονται: L = L = 0 H και
C = 0 4 F. Θεωρούμε ακόμα ότι τα πηνία και οι αγωγοί του κυκλώματος δεν έχουν ωμική αντίσταση. 3 4 E, r I L C L Q C Q R Αρχικά, ο διακόπτης δ είναι κλειστός, ενώ οι διακόπτες δ, δ 3, δ 4 είναι ανοικτοί και το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης Ι = Α. Ο πυκνωτής χωρητικότητας C είναι αφόρτιστος, ενώ ο πυκνωτής χωρητικότητας C είναι φορτισμένος με φορτίο Q = 0 3 C. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη δ και ταυτόχρονα κλείνουμε τους διακόπτες δ και δ 4, οπότε τα κυκλώματα L C και L C, που δημιουργούνται αρχίζουν ταυτόχρονα να εκτελούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C είναι διπλάσιο από το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C. α) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής χωρητικότητας C, κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος L C. β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της τάσης που αναπτύσσεται στα άκρα του πυκνωτή χωρητικότητας C, κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος L C. γ) Να γράψετε: i. Τη χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα L C, αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C τη χρονική στιγμή t=0. ii. Τη χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή χωρητικότητας C.
Τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου με συντελεστή αυτεπαγωγής L είναι ίση με το 75% της ολικής ενέργειας του κυκλώματος L C και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή χωρητικότητας C είναι ίση με το 5% της ολικής ενέργειας του κυκλώματος L C, ανοίγουμε τους διακόπτες δ και δ 4 και ταυτόχρονα κλείνουμε το διακόπτη δ 3, χωρίς να έχουμε απώλειες ενέργειας. Το νέο κύκλωμα L C που δημιουργείται εκτελεί και αυτό αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C. ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ α) Μετά τη σύγκρουση του σώματος μάζας m με το σώμα μάζας m, για η ταχύτητα υ του σώματος μάζας m θα είναι ομόρροπη της ταχύτητας υ που είχε πριν την κρούση, αφού m >m. Συνεπώς για την συχνότητα που μετράει ο ανιχνευτής θα ισχύει: f υηχ 340 ή 340 330 340 υ fs υ υ ηχ ή 340 υ 330 ή m υ 0 s m m Άρα για την μεταβολή της ορμής του σώματος κατά την κρούση ισχύει: Ρ τελ Ρ P Ρ τελ Ρ ή β) υ υ Πριν Δ P,, αρχ Δ, ή, αρχ m P m m ή Δ P 4 0 4 30 ή P 80kg s 4 m ή 0 30 ή 4 m 3m ή 4 m 4 m 8 ή m kg Μετά
γ) Η ταχύτητα του σώματος μάζας m μετά την κρούση έχει m m3 m m3 αλγεβρική τιμή υ υ ή m υ 40 s m m 8 ή υ υ ή υ 30 6 Όσον αφορά την ταχύτητα V έχουμε: s s V 340 V ' f f f f m s 340 0 340 V V 0 340 0 sec Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής κατά την πλαστική κρούση του σώματος μάζας m με το σώμα μάζας m 3 προκύπτει: P ολ, πριν Ρ ολ,, μετά ή m υ (m m3 ) V ή 8 m3 ή m 3 6kg Συνεπώς για το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος θα ισχύει : 3 ( ) V ή Πρίν Ρ ολ, kg m ( 6) 0 80 s (m m3 )V 400 δ) K πριν mυ 600J και Kμετ ά J Άρα το ποσό της θερμότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση των σωμάτων είναι : Q K K 00J Άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι: πριν Μετά μετά Q 00 % 00% 00% 75% K 600 ΠΡΟΒΛΗΜΑ α) Για το κύκλωμα L C ισχύει: ω = L C ή ω = 0 3 rad/s. Επειδή τη χρονική στιγμή t = 0 ο πυκνωτής χωρητικότητας C είναι αφόρτιστος, η ένταση Ι του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο εκείνη τη στιγμή είναι μέγιστη. Συνεπώς ισχύει : Ι = ω Q ή Q = 0 3 C. β) Η ένταση του ρεύματος σε ένα κύκλωμα ηλεκτρικών
ταλαντώσεων LC μηδενίζεται κάθε Τ, όπου Τ η περίοδος του κυκλώματος. Συνεπώς ισχύει: Τ = Τ ή Τ = Τ ή π L C = π L C ή L C = L C ή L C = 4L C ή C = 4C ή C = 0 4 F. 4 Η μέγιστη τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή χωρητικότητας C δίνεται από τη σχέση: V max = Q ή V C max = 40V. γ) i. Στο κύκλωμα L C τη χρονική στιγμή t = 0 είναι: q = 0 και i = +I. Μπορούμε να γράψουμε: q = Q ημ(ω t + φ 0 ) () και i = Iσυν(ω t + φ 0 ) (). Συνεπώς, από τη σχέση () προκύπτει: 0 = Q ημ φ 0 ή ημ φ 0 = 0 ή ημ φ 0 = ημ0 (3). Επειδή ισχύει: 0 φ 0 π rad, οι λύσεις της εξίσωσης (3) είναι: φ 0 = 0 ή φ 0 = π rad. Για t = 0 και φ 0 = 0 η εξίσωση () γίνεται: i = I συν0 > 0. Για t = 0 και φ 0 = π rad, η εξίσωση () γίνεται: i = I συνπ < 0. Θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η φορά του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C είναι θετική, η λύση της εξίσωσης (3) που είναι δεκτή είναι η: φ 0 = 0. Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση είναι: i = συν(0 3 t)(s. I. ). ii. Η γωνιακή συχνότητα ω των ηλεκτρικών ταλαντώσεων που εκτελεί το κύκλωμα L C υπολογίζεται από τη σχέση: ω = L C ή ω = 0 3 rad/s. Η χρονική εξίσωση του φορτίου q του πυκνωτή χωρητικότητας C δίνεται από τη σχέση: q = Q συν(ω t) ή q = 0 3 συν( 0 3 t) (S. I. ). δ) Τη χρονική στιγμή t στο κύκλωμα L C ισχύει: U Β() = 75 00 Ε ή U Β() = 3 4 Ε. Από την αρχή διατήρησης της ολικής ενέργειας του κυκλώματος L C μπορούμε να υπολογίσουμε το φορτίο q του πυκνωτή χωρητικότητας C εκείνη τη χρονική στιγμή. Συνεπώς, έχουμε: Ε = U E() + U Β() ή
U E() = 4 Ε ή q Q = C 4 C ή q = Q ή q = 0 3 C. Τη χρονική στιγμή t στο κύκλωμα L C ισχύει: U E() = 5 00 Ε ή U E() = Ε 4. Από την αρχή διατήρησης της ολικής ενέργειας του κυκλώματος L C μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση i του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα εκείνη τη στιγμή. Συνεπώς έχουμε: Ε = U E() + U Β() ή Ε = 4 Ε + U Β() ή 3 4 Ε = U Β() ή 3 L 4 I = L i ή i = 3 I ή i = 3 ω Q ή i = 3Α. Τη χρονική στιγμή t κατά την οποία δημιουργείται το κύκλωμα L C, το πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L διαρρέεται από ρεύμα έντασης i και ο πυκνωτής χωρητικότητας C είναι φορτισμένος με φορτίο q. Από την αρχή διατήρησης της ολικής ενέργειας του κυκλώματος L C μπορούμε να υπολογίσουμε το πλάτος Q του φορτίου του πυκνωτή χωρητικότητας C κατά τη διάρκεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος αυτού. Συνεπώς έχουμε: Q q Ε = U E + U B ή = + L C C i ή Q = q + L C i ή Q = 0 3 C. Για το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος ισχύει: V C = V L ή q di = L C ή di = q. dt dt L C Συνεπώς η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα L C είναι: ( di dt ) max = Q L C ή ( di dt ) max = 03 Α/s. Από το Φυσικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Μαραγκάκης, Ζ. Μαυρομανωλάκης, Ν. Μπρίγγος, Α. Τσιπράς