Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια οριζόντια ράβδος που έχει μάζα είναι στερεωμένη σε κατακόρυφο τοίχο. Να αποδείξετε ότι η βαρυτική ροπή στρέψης τ grav ως προς το σημείο στήριξης της ράβδου είναι ίση με το βάρος w=g της ράβδου επί την απόσταση r c του κέντρου μάζας της ράβδου από το σημείο στήριξης αυτής (τ g = g r c ). ΘΕΜΑ ο (βαθμοί +) Α. Οι δυνάμεις F που ασκούνται πάνω στα δυο όμοια σώματα Α και Β του διπλανού σχήματος είναι ίσες. Αν στη θέση "Αρχή" η ταχύτητα υ 0Α του σώματος Α είναι μικρότερη από την ταχύτητα υ 0Β του σώματος Β, τότε στη θέση "Τέλος". Η ορμή του σώματος Α θα έχει υποστεί τη μεγαλύτερη μεταβολή.. Η ορμή του σώματος Β θα έχει υποστεί τη μεγαλύτερη μεταβολή. 3. Και στα δυο σώματα, η ορμή θα έχει υποστεί την ίδια μεταβολή. 4. Τα δεδομένα της ερώτησης δεν είναι αρκετά για να αποδείξουμε τι ακριβώς συμβαίνει με τη μεταβολή της ορμής των δυο σωμάτων. Β. Δυο αντικείμενα Α και Β έχουν την ίδια ορμή (Ρ Α =Ρ Β =Ρ). Για να έχει το αντικείμενο Β μεγαλύτερη κινητική ενέργεια σε σχέση με το αντικείμενο Α πρέπει:. Η μάζα του αντικειμένου Β να είναι μεγαλύτερη από τη μάζα του αντικειμένου Α.. Οι μάζες των αντικειμένων να είναι ίσες. 3. Το αντικείμενο Β να κινείται πιο γρήγορα από το αντικείμενο Α. 4. Δεν είναι δυνατό τα δυο αντικείμενα να έχουν διαφορετικές ταχύτητες. Τρεις ομογενείς μεταλλικοί ράβδοι με μήκη L =.0, L =0,60 και L 3 =0,80 και με διατομή σχετικά πολύ μικρή, έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας μ=,56 kg/ και είναι συναρμολογημένοι όπως το παρακάτω σχήμα. L L Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε τις συντεταγμένες ( c, c ) της θέσης του κέντρου μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. Ορμή: p Ώθηση J σταθερής δύναμης F: J F t Θεώρημα Ώθησης Ορμής: J p L 3 Κινητική ενέργεια: K Συνιστώσες κέντρου μάζας διακριτών σημειακών μαζών: Διάρκεια εξέτασης ώρα και 50 λεπτά c n και c n
Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΤΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 06-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Β Να αποδείξετε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α ω γύρω από ένα τυχαίο άξονα (τ = Ι α ω, όπου Ι είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής). ΘΕΜΑ ο (βαθμοί +) Α Ένα σώμα με μάζα Μ βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας. Το σώμα αυτό με μια εσωτερική διαδικασία διασπάται σε δυο άνισες μάζες και όπου >. Ποιο από τα δυο κομμάτια θα έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια:. Το κομμάτι με τη μεγαλύτερη μάζα.. Το κομμάτι με τη μικρότερη μάζα. 3. Και τα δυο κομμάτια θα έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. 4. Τα δεδομένα της άσκησης δεν είναι αρκετά για να συγκρίνουμε τις κινητικές ενέργειες των δυο κομματιών. Β. Σε ένα οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δυο αυτοκίνητα τα οποία έχουν μάζα και = και τα οποία κινούνται με την ίδια ταχύτητα υ. Κάποιο εμπόδιο αναγκάζει τους οδηγούς των δυο αυτοκινήτων να πατήσουν απότομα τα φρένα τους. Το αυτοκίνητο που έχει μάζα :. Θα ακινητοποιηθεί πρώτο.. Θα ακινητοποιηθεί δεύτερο. 3. Θα ακινητοποιηθεί ταυτόχρονα με το άλλο αυτοκίνητο. 4. Τα δεδομένα της άσκησης δεν είναι αρκετά για να συγκρίνουμε τους χρόνους ακινητοποίησης των δυο αυτοκινήτων Τρεις μεταλλικές ράβδοι με μήκη L =0,40, L =0,30 και L 3 =0,50 με διατομή σχετικά πολύ μικρή έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας μ=,56 kg/ και είναι συναρμολογημένοι σε σχήμα ορθογωνίου τριγώνου. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε τις συντεταγμένες ( c, c ) της θέσης του κέντρο μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. Ορμή: p Ώθηση J σταθερής δύναμης F: J F t Θεώρημα Ώθησης Ορμής: J p Κινητική ενέργεια: K Συνιστώσες κέντρου μάζας διακριτών σημειακών μαζών: c n και c n Διάρκεια εξέτασης ώρα και 50 λεπτά
Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 4-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Να αποδείξετε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για στερεό σώμα το οποίο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α ω γύρω από ένα τυχαίο άξονα (τ = Ι α ω, όπου Ι είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής). ΘΕΜΑ ο (βαθμοί +) Α Ένα σώμα με μάζα Μ βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας. Το σώμα αυτό με μια εσωτερική διαδικασία διασπάται σε δυο άνισες μάζες και όπου >. Ποιο από τα δυο κομμάτια θα έχει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια:. Το κομμάτι με τη μεγαλύτερη μάζα.. Το κομμάτι με τη μικρότερη μάζα. 3. Και τα δυο κομμάτια θα έχουν την ίδια κινητική ενέργεια. 4. Τα δεδομένα της άσκησης δεν είναι αρκετά για να συγκρίνουμε τις κινητικές ενέργειες των δυο κομματιών. Β. Ένα αντικείμενο με μάζα =,0 kg κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ 0 =,0 /s όταν πάνω σε αυτό επιδρά η δύναμη που εικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε το μέτρο υ και τη φορά της ταχύτητας του αντικειμένου αφού πάψει να επιδρά πάνω σε αυτό η δύναμη. Τρεις μεταλλικές ράβδοι με μήκη L =0,40, L =0,30 και L 3 =0,50 με διατομή σχετικά πολύ μικρή έχουν γραμμική πυκνότητα μάζας μ=,56 kg/ και είναι συναρμολογημένοι σε σχήμα ορθογωνίου τριγώνου. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε τις συντεταγμένες ( c, c ) της θέσης του κέντρο μάζας της συγκεκριμένης μεταλλικής κατασκευής. Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: F a Ροπή στρέψης ως προς σημείο: F r sn (r είναι η απόσταση του σημείου από το σημείο εφαρμογής της δύναμης και θ είναι η γωνία που σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα r με τη διεύθυνση της δύναμης F) Ορμή: p Ώθηση J σταθερής δύναμης F: J F t Θεώρημα Ώθησης Ορμής: J p Κινητική ενέργεια: K Συνιστώσες κέντρου μάζας διακριτών σημειακών μαζών: c n και c n Διάρκεια εξέτασης ώρα και 50 λεπτά
Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. / ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Μαρούσι 4-0-0 ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Β Να αποδείξετε το θεώρημα Ορμής Ώθησης και να το περιγράψετε με λόγια. ΘΕΜΑ ο (βαθμοί +) Α. Σε ένα οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δυο αυτοκίνητα τα οποία έχουν μάζα και = και τα οποία κινούνται με την ίδια ταχύτητα υ. Κάποιο εμπόδιο αναγκάζει τους οδηγούς των δυο αυτοκινήτων να πατήσουν ταυτόχρονα και απότομα τα φρένα τους. Το αυτοκίνητο που έχει μάζα :. Θα ακινητοποιηθεί πρώτο.. Θα ακινητοποιηθεί δεύτερο. 3. Θα ακινητοποιηθεί ταυτόχρονα με το άλλο αυτοκίνητο. 4. Τα δεδομένα της άσκησης δεν είναι αρκετά για να συγκρίνουμε τους χρόνους ακινητοποίησης των δυο αυτοκινήτων Β. Πάνω σε ένα σώμα δρα μια δύναμη η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το γράφημα του διπλανού σχήματος. Να υπολογίσετε τη συνολική ώθηση J που ασκείται πάνω στο σώμα. ΘΕΜΑ 3 ο (βαθμοί +) Στη διπλανή μεταλλική κατασκευή δίνονται οι διαστάσεις: L =.0, L =0.80, h=0.30 και d=0.0. Η επιφανειακή πυκνότητα του υλικού της κατασκευής είναι σ=.5 kg/. Να επιλέξετε το σύστημα συντεταγμένων που σας βολεύει καλύτερα για να υπολογίσετε τις συντεταγμένες ( c, c ) της θέσης του κέντρο μάζας της κατασκευής. h L L d Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: F a, κινητική τριβή ολίσθησης σε οριζόντιο δρόμο: fk k g Ορμή: p Ώθηση J σταθερής δύναμης F: J F t Θεώρημα Ώθησης Ορμής: J p Κινητική ενέργεια: K Ολοκλήρωμα: d 3 3 Διάρκεια εξέτασης ώρα και 50 λεπτά
ΑΣΠΑΙΤΕ /ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 (0-09-0) ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Α Μια μάζα =9 kg κρατιέται σε θέση ισορροπίας με δυο τροχαλίες όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε τη δύναμη F που κρατά σε ισορροπία τη μάζα. Τι συμπέρασμα εξάγετε από την τιμή του μέτρου της δύναμης αυτής; ΘΕΜΑ ο (βαθμοί 4) Τρεις μάζες =00 g, =50 g και 3 =00 g οι οποίες βρίσκονται πάνω σε μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια με συντεταγμένες (, ). Οι μάζες έχουν μετρηθεί ακρίβεια g και έχουν συντεταγμένες: Συντεταγμένες μάζας : (, )= (4,0c, 6,0c) Συντεταγμένες μάζας : (, )= (0,0c, 5,0c) Συντεταγμένες μάζας 3 : ( 3, 3 )= (5,0c, 5,0c) Να υπολογίσετε: α) Τις συντεταγμένες ( c, c ) του κέντρου μάζας του συστήματος των τριών μαζών. β) Τη ροπή αδράνειας I z του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένος και είναι κάθετος στο επίπεδο (, ). O άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα z του συστήματος συντεταγμένων. γ) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. O ιδιοκτήτης ενός Luna Park σας αναθέτει να μελετήσετε τη διπλανή τροχιά ενός βαγονιού. Η τροχιά έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μέγιστο ύψος αφετηρίας βαγονιού Η=0,0, το τμήμα ΑΒ είναι ευθύγραμμο, ενώ τα τμήματα (ΒΓΔ), (ΔΕΖ και (ΖΗ) είναι κυκλικά τόξα ακτίνας R. Από τη μελέτη πρέπει να προκύπτει η ελάχιστη ακτίνα R n του κυκλικού τόξου (ΔΕΖ) για να μη εκτροχιαστεί το βαγόνι όταν αυτό περνά από το σημείο Ε. Το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας: όπου είναι το διάνυσμα θέσης της μάζα Ροπή αδράνειας ως προς ένα άξονα: όπου r είναι η απόσταση της μάζας από τον άξονα περιστροφής. Δυναμική ενέργεια: U=gh, Κινητική ενέργεια: Κεντρομόλος δύναμη: ΑΣΠΑΙΤΕ /ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 (0-09-0)
ΘΕΜΑ ο (βαθμοί ) ΟΜΑΔΑ Β Μετρήσεις έχουν δείξει το δυνατό χέρι ενός εργάτη μπορεί να ασκήσει δύναμη έλξης F=47,5 kg. Μια μάζα κρατιέται σε θέση ισορροπίας με τροχαλίες όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε την τιμή της μέγιστης μάζας την οποία μπορεί να κρατήσει σε ισορροπία το χέρι του εργάτη. Τι συμπέρασμα εξάγετε από το αποτέλεσμα που βρήκατε; ΘΕΜΑ ο (βαθμοί 4) Τρεις μάζες =00 g, =00 g και 3 =50 g οι οποίες βρίσκονται πάνω σε μια επίπεδη οριζόντια επιφάνεια με συντεταγμένες (, ). Οι μάζες έχουν μετρηθεί με ακρίβεια g και έχουν συντεταγμένες: Συντεταγμένες μάζας : (, )= (5.0c, 5.0c) Συντεταγμένες μάζας : (, )= (5.0c, 4.0c) Συντεταγμένες μάζας 3 : ( 3, 3 )= (0.0c, 5.0c) Να υπολογίσετε: α) Τις συντεταγμένες ( c, c ) του κέντρου μάζας του συστήματος των τριών μαζών. β) Τη ροπή αδράνειας I z του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένος και είναι κάθετος στο επίπεδο (, ). O άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα z του συστήματος συντεταγμένων. γ) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος των τριών μαζών όταν αυτό περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. O ιδιοκτήτης ενός Luna Park σας αναθέτει να μελετήσετε τη διπλανή τροχιά ενός βαγονιού. Η τροχιά έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Το τμήμα ΑΒ είναι ευθύγραμμο και τα τμήματα (ΒΓΔ), (ΔΕΖ και (ΖΗ) είναι κυκλικά τόξα ακτίνας R. Από τη μελέτη πρέπει να προκύπτει το μέγιστο ύψος Η της αφετηρίας από την οποία θα αφήνεται το βαγόνι έτσι ώστε αυτό να μην εκτροχιάζεται όταν περνά από το σημείο Ε. Το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας: όπου είναι το διάνυσμα θέσης της μάζα Ροπή αδράνειας ως προς ένα άξονα: όπου r είναι η απόσταση της μάζας από τον άξονα περιστροφής. Δυναμική ενέργεια: U=gh, Κινητική ενέργεια: Κεντρομόλος δύναμη: