Παρατηρησιακή Αστροφυσική Κεφάλαιο 2 : Βασικά όργανα μέτρησης ακτινοβολίας : Οπτικά τηλεσκόπια
Κύρια σημεία του μαθήματος Βασικές αρχές γεωμετρικής οπτικής Αρχές του Fermat και του Huygens Νόμοι ανάκλασης και διάθλασης Σχηματισμός ειδώλου απεικόνιση Σφάλματα απεικόνισης Περιγραφή δυο βασικών τύπων τηλεσκοπίων Διοπτρικά τηλεσκόπια Κατοπτρικά τηλεσκόπια
Γεωμετρική Οπτική Όταν οι διαστάσεις των διαφόρων οπτικών στοιχείων είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος του φωτός μπορούμε να αγνοήσουμε την κυματική φύση του φωτός. Αυτή η προσέγγιση αποτελεί την Γεωμετρική Οπτική: Το φως θεωρείται ότι διαδίδεται με ευθείες γραμμές, τις ακτίνες Όταν μια φωτεινή ακτίνα διέρχεται μέσα από ένα οπτικό σύστημα αποτελούμενο από διαδοχικά ομοιογενή μέσα, τότε ο οπτικός δρόμος είναι μια ακολουθία από ευθύγραμμα τμήματα. Οι νόμοι της γεωμετρικής οπτικής που περιγράφουν την αλλαγή διεύθυνσης των ακτίνων, είναι οι γνωστοί νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης
Ανάκλαση και διάθλαση στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δυο οπτικών μέσων Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
1. Αρχή του Huygens Η αρχή αυτή δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένα μοντέλο που ορίζει ότι κάθε σημείο ενός κυματικού μετώπου μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι πηγή εκπομπής δευτερογενών κυμάτων. Η οικογένεια των σφαιρικών επιφανειών που είναι κάθετες στις ακτίνες είναι τα κυματικά μέτωπα. Σε κάποια μελλοντική χρονική στιγμή, η νέα θέση του κυματικού μετώπου είναι μια επιφάνεια που εφάπτεται στα δευτερογενή αυτά κύματα. Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε τους νόμους της ανάκλασης και της διάθλασης χρησιμοποιώντας την αρχή του Huygens. Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
2. Αρχή του Fermat Ορίζει ότι το φως καλύπτει την απόσταση που χωρίζει δύο σημεία έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται ο απαιτούμενος χρόνος. Μία πιο γενική και ορθότερη διατύπωση της αρχής του Fermat (ή αρχής ελαχίστου χρόνου θυμίζει την αρχή του Hamilton στη Mηχανική και χρησιμοποιεί λογισμό μεταβολών. Αναδιατυπώνουμε την αρχή του Fermat ως εξής: Μια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται από το σημείο Α στο σημείο Β ακολουθεί οπτική διαδρομή που είναι «στάσιμη» σε σχέση με μεταβολές αυτής της διαδρομής (δηλ. αποτελεί ακρότατο, όχι υποχρεωτικά ελάχιστο). Ανάκλαση Διάθλαση
Απόδειξη του νόμου της διάθλασης με την αρχή του Fermat υ i υ t υ i υ t υ i υ t n i c i c nt t
3. Αρχή της αντιστρεψιμότητας Όταν αντιστραφεί η πορεία μιας οπτικής ακτίνας, αυτή θα ακολουθήσει ακριβώς την ίδια διαδρομή, αλλά αντίστροφα (διότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της αρχής του Fermat δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα σημεία Α και Β).
Απεικόνιση από οπτικό σύστημα -1 Εστω οπτικό σύστημα που περιλαμβάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό από ανακλαστικές ή/και διαθλαστικές επιφάνειες οποιασδήποτε καμπυλότητας, που μπορούν να αλλάξουν την διεύθυνση των ακτίνων που προέρχονται από το αντικείμενο Ο. Θα υποθέσουμε ότι τα διάφορα υλικά του οπτικού συστήματος είναι ισότροπα και ομοιογενή και ότι επομένως χαρακτηρίζονται από ένα συγκεκριμένο δείκτη διάθλασης το καθένα. Oι ακτίνες αποκλίνουν, βαίνοντας ακτινικά προς όλες τις κατεθύνσεις, ξεκινώντας από το αντικείμενο Ο δηλ. στην «περιοχή πραγματικών αντικειμένων», που προηγείται της πρώτης ανακλώσας ή περιθλώσας επιφάνειας. Τα σημεία ενός κυματικού μετώπου ισαπέχουν χρονικά από την πηγή. Στην «περιοχή πραγματικών αντικειμένων» οι ακτίνες είναι αποκλίνουσες και τα κυματικά μέτωπα «διαστέλλονται». Το οπτικό σύστημα επανακατευθύνει τις ακτίνες έτσι ώστε, εξερχόμενες αυτές από το οπτικό σύστημα να εισέλθουν στην «περιοχή πραγματικών ειδώλων» συγκλίνοντας προς ένα σημείο, το είδωλο Ι (τα αντίστοιχα κυματικά μέτωπα «συστέλλονται»). Περιοχή πραγματικών αντικειμένων Περιοχή πραγματικών ειδώλων Οπτικό Σύστημα Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Απεικόνιση από οπτικό σύστημα -2 Σύμφωνα με την αρχή του Fermat, μπορούμε να πούμε ότι εφόσον η κάθε μια από τις ακτίνες αυτές ξεκινά από το ίδιο σημείο Ο και καταλήγει στο ίδιο σημείο Ι, θα πρέπει να αντιστοιχούν σε ίσους χρόνους διέλευσης, γι αυτό και λέγονται ισόχρονες. Σύμφωνα με την αρχή της αντιστρεψιμότητας, εάν το Ι είναι το αντικείμενο, τότε κάθε μια από τις ακτίνες θα ακολουθήσει ακριβώς την αντίστροφη πορεία και θα σχηματιστεί είδωλο στο σημείο Ο. Τα σημεία Ο και Ι ονομάζονται συζυγή σημεία για το οπτικό σύστημα. Σε ένα ιδανικό οπτικό σύστημα, όλες οι ακτίνες που προέρχονται από το Ο και περνούν μέσα από το οπτικό σύστημα, και μόνο αυτές, θα εστιαστούν στο Ι. Για να απεικονίσουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, θα πρέπει αυτή η απαίτηση να ικανοποιείται για κάθε σημείο του αντικειμένου και για το συζυγές του. Μη ιδανική απεικόνιση μπορεί να συμβεί στη πράξη εξαιτίας: (i) σκέδασης του φωτός (ii) «σφαλμάτων» (aberration) (iii) περίθλασης
Καρτεσιανές επιφάνειες Ανακλαστικές ή διαθλαστικές επιφάνειες που σχηματίξουν τέλεια είδωλα, ονομάζονται καρτεσιανές επιφάνειες. Ανακλαστικές: κωνικές τομές Διαθλαστικές: πιο περίπλοκες καρτεσιανές επιφάνειες Καρτεσιανό ωοειδές εκ περιστροφής Διπλός υποερβολοειδής φακός Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Απεικόνιση από οπτικό σύστημα -3 «Τέλεια» απεικόνιση που επιτυγχάνεται με αυτόν τον τρόπο ισχύει μόνο για το αντικείμενο στο σημείο Ο, που είναι στην σωστή απόσταση από τον φακό και πάνω στον άξονα. Γι άλλα κοντινά σημεία, η απεικόνιση δεν είναι τέλεια. Όσο μεγαλύτερο είναι το αντικείμενο, τόσο πιο ατελής είναι η απεικόνιση. Επειδή ούτως ή άλλως η απεικόνιση δεν είναι τέλεια για εκτεταμένα αντικείμενα, και επειδή υπερβολοειδείς επιφάνειες είναι δύσκολο να κατασκευαστούν με ακρίβεια, οι περισσότερες οπτικές επιφάνειες είναι σφαιρικές, παρόλα τα σφαιρικά σφάλματα.
Σχηματισμός ειδώλου από σφαιρικά κάτοπτρα Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Ανάκλαση από σφαιρική επιφάνεια Προσέγγιση Γκαουσιανής Οπτικής: sinφ~tanφ~φ(rad), cosφ~1 Κυρτή επιφάνεια Συνθήκες προσήμων (για ανάκλαση): (ι) s>0, αν το Ο αριστερά του V (ii) s >0, αν το Ι αριστερά του V (iii) R>0, αν το C είναι στα δεξιά του V (κυρτό κάτοπτρο)
Εστιακή απόσταση 2 s, s f R
Μεγέθυνση Το αντικείμενο είναι εκτεταμένο με εγκάρσια διάσταση h o. Το είδωλο του άνω άκρου του αντικειμένου προσδιορίζεται από δυο ακτίνες με γνωστή συμπεριφορά. Η ακτίνα που προσπίπτει υπό γωνία θ i στην κορυφή του κατόπτρου θα ανακλαστεί με θ r =θ i. Η ακτίνα που περνά από το κέντρο καμπυλότητας C ανακλάται πάνω στην διεύθυνση της προσπίπτουσας ακτίνας. Το σημείο τομής των δύο ανακλώμενων ακτίνων βρίσκεται πίσω από το κάτοπτρο και καθορίζει τη θέση του ειδώλου. Επειδή θ r =θ i =α, θα ισχύει: Μεγέθυνση του αντικειμένου Συνθήκη: η μεγέθυνση είναι θετική όταν το είδωλο είναι «ορθό» και αρνητική όταν το είδωλο είναι αντεστραμμένο
Διάθλαση από σφαιρική επιφάνεια (για μικρές γωνίες) Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Κατακόρυφη μεγέθυνση
Λεπτοί φακοί 1 η διαθλαστική επιφάνεια 2 η διαθλαστική επιφάνεια (1) (2) t 0 (1) + (2)
Εστιακή απόσταση s, s f Τύπος των κατασκευαστών των φακών
Λεπτοί φακοί συγκλίνων Πραγματικό είδωλο αποκλίνων φανταστικό είδωλο Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Εστιακή απόσταση λεπτών φακών και σφαιρικών κατόπτρων
Οπτικά σφάλματα (aberrations) Παραξονική προσέγγιση - σφάλματα Seidel (υποθέσαμε μικρές γωνίες) Για μονοχρωματική ακτινοβολία τα σφάλματα αυτά είναι: η σφαιρική εκτροπή: οφείλεται στο γεγονός ότι οι ακτίνες που προσπίπτουν στην κεντρική ζώνη ενός σφαιρικού φακού (ή κατόπτρου) εστιάζονται μακρύτερα από τις ακτίνες ίδιου μήκους κύματος που προσπίπτουν στις περιφερειακές ζώνες του φακού. η κόμη: απαντάται σε φακούς οι οποίοι έχουν μεγάλα σφαιρικά σφάλματα, και παράγει ένα είδωλο (σημειακού αντικειμένου) σε σχήμα κομήτη. ο αστιγματισμός: παρατηρείται όταν οι ακτίνες σχηματίζουν μεγάλη γωνία με τον κύριο άξονα. Τότε οι ακτίνες δεν τέμνονται στην εστία αλλά διέρχονται από δύο ευθείες (εστιακές γραμμές). Καμπύλωση πεδίου (field curvature) Παραμόρφωση: απαντάται όταν το αντικείμενο έχει μεγάλες διαστάσεις και οφείλεται στο ότι η μεγέθυνση των σημείων μακριά από τον άξονα διαφέρει από την μεγέθυνση των σημείων κοντά από τον άξονα. χρωματικό σφάλμα (ή χρωματική εκτροπή), που οφείλεται στην εξάρτηση των ιδιοτήτων απεικόνισης ενός οπτικού συστήματος από το μήκος κύματος του φωτός. 1/f=(n-1)(1/R 1-1/R 2 ), n=n(λ)
Σφαιρική εκτροπή Κόμη
Έλεγχος ποιότητας οπτικού συστήματος με προγράμματα ray tracing
Σύστημα Λεπτών Φακών Σχήματα από Pedrotti et al. 2007
Διοπτρικά τηλεσκόπια (refracting telescopes) διοπτρικό τηλεσκόπιο του Γαλιλαίου Παράλληλες ακτίνες φωτός από μακρινό αντικείμενο προσπίπτουν υπό γωνία α OB στον αντικειμενικό φακό. Αν δεν παρεμβάλλονταν ο 2 ος φακός, οι ακτίνες θα εστιάζονταν στο Ι. Με την παρεμβολή του αποκλίνοντος προσοφθάλμιου φακού, οι ακτίνες γίνονται πάλι παράλληλες, αλλά υπό μεγαλύτερη γωνία με τον άξονα (α ΙΜ ). Το είδωλο που βλέπουμε με το μάτι μας είναι «τοποθετημένο» στο άπειρο, μεγενθυμένο (α ΙΜ > α OB ) και ορθό.
Διοπτρικό τηλεσκόπιο του Kepler Παράλληλες ακτίνες φωτός από μακρινό αντικείμενο προσπίπτουν υπό γωνία α OB στον αντικειμενικό φακό. Οι ακτίνες εστιάζονται στο Ι και εν συνεχεία αποκλίνουν και προσπίπτουν στον συγκλίνοντα προσοφθάλμιο φακό. Εφόσον η απόσταση των δύο φακών ισούται με το άθροισμα των εστιακών τους αποστάσεων, οι ακτίνες βγαίνοντας από τον 2 ο φακό είναι πάλι παράλληλες, αλλά υπό μεγαλύτερη γωνία με τον άξονα (α ΙΜ ). Το είδωλο που βλέπουμε με το μάτι μας είναι «τοποθετημένο» στο άπειρο, μεγενθυμένο (α ΙΜ > α OB ) και αντεστραμμένο.
Γωνιακή μεγέθυνση διοπτρικού τηλεσκοπίου π.χ. τύπου Kepler
To μεγαλύτερο διοπτρικό τηλεσκόπιο που είναι ακόμη σε λειτουργία στο Yerkes. Έτος κατασκευής 1897 Διάμετρος αντικειμενικού φακού 102 cm
Διοπτρικό τηλεσκόπιο Newall Εθνικό Aστεροσκοπείο Αθηνών (από το 1957) Έτος κατασκευής 1869 (Cambridge) Διάμετρος αντικειμενικού φακού 62.5 cm Εστιακή απόσταση αντικ.φ. 8.86m
Γιατί εγκαταλήφθηκαν τα διοπτρικά τηλεσκόπια Μεγάλη μεγένθυση σημαίνει μεγάλη εστιακή απόσταση του αντικειμενικού φακού. Αυτό μικραίνει τον «φωτισμό» (Illumination) στο επίπεδο παρατήρησης. Οπότε πρέπει να μεγαλώσουμε τη διάμετρο του τηλεσκοπίου. Σφάλματα φακών και χρωματικά σφάλματα αχρωματικοί φακοί παραμένουσα χρωματική άλως για μικρές σχετικά εστιακές αποστάσεις Θερμοχωρητικότητα υλικού του φακού Μέγιστη διάμετρος αντικειμενικού φακού ~1m Επειδή η στήριξη γίνεται μόνο από τα άκρα, το σχήμα του φακού παραμορφώνεται λόγω βαρύτητας Ατέλειες στην κατασκευή του φακού φυσαλίδες Απώλειες στη διαχωριστική επιφάνεια αέρα-φακού λόγω ανάκλασης και απορρόφησης
Κατοπτρικά τηλεσκόπια Είδωλα από ανάκλαση Ευαίσθητα σε μεγαλύτερη περιοχή μηκών κύματος από τα διοπτρικά Βασικό πρόβλημα οι εκτροπές Seidel Παραβολοειδή κάτοπτρα Ενεργή οπτική
Κ.Τ. : Νευτώνειο τηλεσκόπιο
Γρηγοριανό Τηλεσκόπιο (Κ.Τ.)
K.T. Τηλεσκόπιο τύπου Cassegrain
Τηλεσκόπιο τύπου Ritchey-Chretien: είναι ένα τηλεσκόπιο τύπου Cassegrain που είναι σχεδιασμένο έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόμα. Υπερβολειδείς επιφάνειες
Κατοδιοπτρικά τηλεσκόπια τύπου Schmidt
Χαρακτηριστικά τηλεσκοπίων Κλίμακα (image scale) Oπτικό πεδίο (Field-of-view) Γωνιακή Διακριτική ικανότητα κριτήριο Rayleigh Εστιακός λόγος (focal ratio) ικανότητα συλλογής φωτεινής ακτινοβολίας (light gathering power) οριακό μέγεθος Γωνιακή μεγέθυνση
Κλίμακα (plate scale) Κλίμακα plate / image scale Συνδέει την γωνιακή απόσταση μεταξύ δύο ουράνιων αντικειμένων με την γραμμική απόστασή τους πάνω στο εστιακό επίπεδο (συνήθως σε arcsec/mm)
Οπτικό Πεδίο (Field-of-view) Οπτικό πεδίο ενός τηλεσκοπίου είναι η περιοχή (γωνιακή) του ουρανού που είναι ορατή με τον προσοφθάλμιο ή που μπορεί να αποτυπωθεί σε έναν ανιχνευτή Για τη περίπτωση προσοφθάλμιου: θ=d/fo, όπου d η διάμετρος του ανοίγματος (field stop) του προσοφθάλμιου για την περίπτωση ανιχνευτή (π.χ. CCD) : To d είναι η φυσική διάσταση του ανιχνευτή fo η εστιακή απόσταση του πρωτεύοντος κατόπτρου ή του φακού του τηλεσκοπίου
Περιορισμός του οπτικού πεδίου Field stop Field stop (FS): To πραγματικό στοιχείο του οπτικού συστήματος που περιορίζει το (γωνιακό) οπτικό πεδίο που απεικονίζεται από το οπτικό σύστημα. Απλό παράδειγμα: περιορισμός του τοπίου που βλέπουμε κοιτάζοντας μέσα από ένα παράθυρο vignetting
Περίθλαση Fraunhofer από λεπτή σχισμή de de p p de r o de r e o i(kr ωt) e i[k(r Δ) ωt] o Σύμφωνα με την αρχή Huygens θεωρούμε ότι κάθε σημείο της επιφάνειας της σχισμής είναι εστία σφαιρικών κυμάτων, τα οποία φθάνουν με την αντίστοιχη καθυστέρηση στο σημείο Ρ όπου προστίθενται. de de E P o P E L ds E Lds e r o E ro L b / 2 e b / 2 i(kr o kssin θωt) ds e iks sin i(kr t) o
ένταση I E P E * P E P 2 E R E r o L iks sin e ik sin b / 2 b / 2 E R E r o L 1 ik sin θ [e (ikb sin θ)/2 e (ikbsin θ)/2 ] β 1 2 kbsin θ E R E r L o b sin β β I o c E 2 2 R o c E 2 r L o b 2 sin β 2 2 β I I o sin β 2 2 β I o sin c 2 (β) η ένταση μηδενίζεται όταν sinβ=0, β 1 (kbsin θ) 2 m 1, 2,... mπ Ο κεντρικός λοβός περίθλασης φαίνεται υπό γωνία Δθ Δθ 2λ b
Περίθλαση Fraunhofer από κυκλική οπή η ολοκλήρωση που αφορά την περίθλαση γίνεται πάνω σ' ολόκληρη την επιφάνεια του ανοίγματος. E P E r A o Area e isk sin θ da I I o 2J (γ γ 1 ) Συνάρτηση Bessel J 1 2 γ 1 2 kdsin θ D=2R=διάμετρος οπής έχουμε Ι=0 για πρώτη φορά, όταν γ k 2 Dsin θ 3.832 Dsinθ 1.22λ
Δίσκος Airy (a) Κατανομή της έντασης για μια κυκλική οπή. Το μεγαλύτερο ποσοστό αυτής της έντασης εμφανίζεται στο κέντρο. (b) Πραγματική εικόνα κατανομής της έντασης για μια κυκλική οπή.
Γωνιακή διακριτική ικανότητα angular resolution (a) Είδωλα των S1 και S2 που σχηματίζονται στο πέτασμα από ένα φακό. Όσο οι δίσκοι Airy που σχηματίζονται για κάθε πηγή είναι διακριτοί, τα είδωλα ξεχωρίζουν. (b) Όταν οι πηγές S1 και S2 πλησιάζουν, οι δίσκοι Airy πλησιάζουν επίσης. Στην περίπτωση αυτή τα είδωλα είναι ακόμη διακριτά. (c) Τα είδωλα των πηγών S1 και S2 όταν πλησιάζουν τόσο ώστε μόλις να ξεχωρίζουν (η απόσταση των κέντρων των δίσκων ισούται με την ακτίνα των δίσκων).
Γωνιακή Διακριτική Ικανότητα - Angular resolution Το κριτήριο Rayleigh για δύο σημεία περίθλασης που μόλις ξεχωρίζουν. min 1.22 D
Point spread function
Η ικανότητα συλλογής φωτεινής ακτινοβολίας του τηλεσκοπίου (light gathering power) η ικανότητα συλλογής φωτεινής ακτινοβολίας ενός απλού τηλεσκοπίου που χρησιμοποιείται με προσοφθάλμιο φακό, ορίζεται ως Ισχύς (light gathering power)= ( D / D ) o p 2 όπου D o η διάμετρος του αντικειμενικού φακού ή κατόπτρου D p η διάμετρος της κόρης του ματιού, υποθέτοντας ότι όλο το φως που διέρχεται από τον αντικειμενικό φακό καταλήγει στο μάτι.
Ένταση ακτινοβολίας Μέρος της ενέργειας που εκπέμπεται από την απειροστή επιφάνεια dσ του Αντικειμένου εισέρχεται στον κώνο της διαφορικής στερεάς γωνίας όπου είναι μια απειροστή επιφάνεια σε απόσταση r από το dσ και κάθετη στο διάνυσμα r. Η ένταση της ακτινοβολίας I ορίζεται ωςτο ποσό ενέργειας που εκπέμπεται σε διάστημα dt, ανά περιοχή μ.κ. dλ από την επιφάνεια dσ στην διαφορική στερεά γωνία dω Μονάδες
Αλλά Περιέχει ολόκληρο το αντικείμενο Περιέχει ολόκληρο το είδωλο!!
Φωτισμός Illumination J Η ποσότητα που περιγράφει την ικανότητα του τηλεσκοπίου να συγκεντρώνει φωτόνια είναι ο φωτισμός J, που είναι το ποσό της φωτεινής ενέργειας (ανα s) που εστιάζεται σε μια στοιχειώδη επιφάνεια του ειδώλου (μη σημειακού). H ποσότητα του φωτός που «μαζεύει» το τηλεσκόπιο από μια πηγή είναι προφανώς ανάλογη της επιφάνειας του πρωτεύοντος κατόπτρου (ή του φακού) δηλ. Έχουμε αποδείξει ότι το γραμμικό μέγεθος του ειδώλου είναι ανάλογο της εστιακής απόστασης f. Επομένως 2 2 J D / f Ορίζουμε τον εστιακό λόγο (focal ratio) οπότε
Εστιακός λόγος Δίνει την ταχύτητα των οπτικών του τηλεσκοπίου. Όσο μικρότερος είναι ο εστιακός λόγος τόσο μικρότερη η μεγέθυνση, τόσο ευρύτερο το πεδίο και τόσο φωτεινότερη η εικόνα. Για δεδομένο εστιακό λόγο, η αύξηση της διαμέτρου του τηλεσκοπίου θα αυξήσει την γωνιακή διακριτική ικανότητα, αλλά όχι το J