6: ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ

6: ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Σύνοψη Το κεφάλαιο πραγματεύεται την έννοια και την ανάλυση των παραγώγων ευστάθειας που εμπλέκονται στη διαμήκη και στην εγκάρσια δυναμική. Η ουσιαστική τους σημασία είναι ότι αποδίδουν την ευαισθησία των αεροδυναμικών δυνάμεων σε διαταραχές των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους. Προαπαιτούμενη γνώση Απαιτείται ένα βασικό υπόβαθρο αεροδυναμικής και δομής του αεροσκάφους, το σημαντικότερο μέρος του οποίου συνοψίζεται στα κεφάλαια 1 και 2. 1. Εισαγωγή Το σημαντικότερο ίσως ζήτημα στη μελέτη της δυναμικής πτήσης είναι η αναγνώριση και η ποσοτική περιγραφή της αεροδυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους ώστε να ενσωματωθεί στις εξισώσεις κίνησης. Η αεροδυναμική μοντελοποίηση αφορά ακριβώς στην εξέλιξη μαθηματικών μοντέλων που κατ αρχήν θα περιγράφουν τις αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές που επιδρούν στο σκάφος. Επειδή το πεδίο ροής γύρω από το αεροσκάφος είναι εξαιρετικά πολύπλοκο, κάθε μορφής μαθηματική περιγραφή των αεροδυναμικών φαινομένων εισάγει απλοποιήσεις, ενώ παράλληλα πρέπει οδηγεί στη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια. Ακόμη και αν υπάρχουν ακριβή μαθηματικά μοντέλα, η χρήση τους στις εξισώσεις κίνησης είναι πολύπλοκη, έτσι, συχνά προτιμώνται απλούστερα μαθηματικά μοντέλα που παρέχουν ένα ικανοποιητικό βαθμό ακρίβειας. Συνέπεια αυτής της επιλογής είναι ότι τα μοντέλα αυτά - επομένως και οι λύσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή τους στις εξισώσεις κίνησης - είναι σχετικά ακριβή μόνο για ένα περιορισμένο πλαίσιο συνθηκών πτήσης. Εφόσον απαιτείται η διερεύνηση της δυναμικής συμπεριφοράς τους αεροσκάφους σε ολόκληρο τον φάκελο πτήσης, επαναλαμβάνονται οι προηγούμενοι υπολογισμοί και στα υπόλοιπα σημεία του φακέλου. Το απλούστερο και συνηθέστερο μοντέλο χρησιμοποιεί τις αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας και ελέγχου, οι οποίες καταγράφονται στο [12], οι οποίες είναι και το μέσο με το οποίο συσχετίζονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους με τις κυρίαρχες αεροδυναμικές ιδιότητες. 2. Ψευδοστατικές παράγωγοι ευστάθειας Με σκοπό την κατανόηση της έννοιας και της σημασίας των παραγώγων ευστάθειας, θεωρείται ως παράδειγμα η παράγωγος που εκφράζει τη μεταβολή στην κάθετη δύναμη, λόγω διαταραχής του ρυθμού πρόνευσης του αεροσκάφους. Με βάση τους ορισμούς των εξισώσεων (3.37), (3.38), (3.39) αυτή ορίζεται ως: Z q = Z (6.1) q Η συνιστώσα της κάθετης δύναμης που προκύπτει από τη διαταραχή της ταχύτητας πρόνευσης προκύπτει με ολοκλήρωση της σχέσης (6.1): Z = Z qq (6.2) Γενικά, η διαταραχή κατά την πτήση που προκάλεσε τη μεταβολή στον ρυθμό πρόνευσης, είναι φυσικό να προκαλέσει ανάλογες μεταβολές και σε άλλες κινηματικές μεταβλητές - που με τη σειρά τους θα προκαλέσουν μεταβολές και σε άλλες

συνιστώσες της κάθετης δύναμης Ζ, όπως αυτές έχουν περιγραφεί με σχέσεις της μορφής (3.37),(3.38),(3.39). Οι εξισώσεις κίνησης, όπως έχουν ήδη περιγραφεί με τη σχέση (3.51), περιγράφουν εξ ορισμού μικρές διαταραχές γύρω από μια θέση αντισταθμισμένης ισορροπίας. Ο σκοπός αυτής της υπόμνησης είναι ακριβώς να τονίσει ότι στην ανάλυση που επιχειρείται, οι παράγωγοι ευστάθειας προσδιορίζουν την κίνηση του αεροσκάφους μόνο όταν εκείνο βρίσκεται στην κατάσταση «δυναμικής διαταραχής» σε σχέση με την αρχική κατάσταση ισορροπίας. Για την ακριβή ανάλυση δηλαδή, θα έπρεπε οι παράγωγοι ευστάθειας να εκφραστούν συναρτήσει των μη μόνιμων αεροδυναμικών συνθηκών που επικρατούν στην κατάσταση δυναμικής διαταραχής που προσπαθούν να ποσοτικοποιήσουν, κάτι εξαιρετικά πολύπλοκο. Αφού λοιπόν η κίνηση που εξετάζεται είναι εξ ορισμού περιορισμένη, μπορεί να ληφθεί το όριο στο οποίο τείνει η δυναμική κατάσταση διαταραχής όταν οι διαταραχές τείνουν στο μηδέν και το οποίο είναι η κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας. Είναι λοιπόν κοινή πρακτική, ο προσδιορισμός των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας να γίνεται στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας και στη συνέχεια να λαμβάνεται η υπόθεση ότι ο υπολογισμός εφαρμόζεται στη μικρή διαταραγμένη κίνηση γύρω από αυτήν τη θέση αντισταθμισμένης ισορροπίας. Αυτή η μέθοδος, καταλήγει στον προσδιορισμό των ψευδοστατικών παραγώγων ευστάθειας, δηλαδή σε ποσότητες που βασίζονται και προκύπτουν από μόνιμες αεροδυναμικές συνθήκες, αλλά τελικά χρησιμοποιούνται στην περιγραφή δυναμικά μεταβλητών, αεροδυναμικών συνθηκών. Στο υποκεφάλαιο 2.3. του κεφ.3, μία εκ των παραδοχών είναι ότι η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι σημαντικά μικρότερη της ταχύτητας του ήχου, έτσι ώστε ο αέρας να θεωρείται ασυμπίεστος και οι διαταραχές να διαδίδονται ακαριαία επάνω στο αεροσκάφος. Ο Blaklock [8], την ονομάζει ως την παραδοχή της «ψευδοστατικής ροής» ( quasi-stady flow ). Στην πραγματικότητα, η διάδοση των διαταραχών δεν είναι άμεση, καθώς επηρεάζεται από την επίδραση της «φαινόμενης μάζας», δηλαδή τη μάζα του αέρα που επιταχύνεται σε κάθε διαταραχή κίνησης του αεροσκάφους. Για τον λόγο αυτό, αν και οι παράγωγοι ευστάθειας που προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο παρέχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα για τη δυναμική μελέτη μικρών διαταραχών, όταν το εύρος της κίνησης μεγαλώνει, τα αποτελέσματα που προκύπτουν γίνονται ανεπαρκή και μάλιστα με αυξανόμενο ρυθμό. Έτσι, η δυναμική μελέτη διαταραχών μεγάλου εύρους απαιτεί εξαιρετικά πολύπλοκες μεθόδους αεροδυναμικής ανάλυσης, αριθμητικές ή πειραματικές. Μια βαθύτερη εισαγωγή στην έννοια των παραγώγων ευστάθειας προκύπτει αναλύοντας την επίδραση της αεροδυναμικής οπισθέλκουσας D, στην αξονική δύναμη X κατά τη διαταραχή, όπως παρατίθεται στο [3]. Εφόσον το σωματόδετο σύστημα αξόνων είναι σύστημα ανέμου, τότε: X = D (6.3) Στο σχήμα 6.1, απεικονίζεται ένα τυπικό παράδειγμα του διαγράμματος οπισθέλκουσας-ταχύτητας.

Σχήμα 6.1 Η έννοια της παραγώγου ευστάθειας X u σαν την τοπική κλίση (παράγωγο) της καμπύλης του συντελεστή αντίστασης στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας. Με V T = U, συμβολίζεται η ταχύτητα του αεροσκάφους στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας στις συνθήκες πτήσης που ενδιαφέρουν και που ορίζονται από το σημείο (quilibrium) πάνω στο διάγραμμα. Αν μετά από κάποια ανατάραξη, εμφανιστεί μια διαταραχή ± u στην ταχύτητα του αεροσκάφους γύρω από το σημείο ισορροπίας, μπορεί να ορισθεί η παράγωγος της μεταβολής της αξονικής δύναμης Χ λόγω της μεταβολής της ταχύτητας: X u = X U X (6.4) V T όπου συνολική ταχύτητα της διαταραχής κατά μήκος του άξονα x θα δίνεται ως U = U + u = V T + u = V T, οπότε : X u = D (6.5) V T Η κλίση λοιπόν του διαγράμματος ταχύτητας - οπισθέλκουσας στο σημείο ορίζει την ψευδοστατική τιμή της παραγώγου X u στη συνθήκη πτήσης που αντιστοιχεί στην ταχύτητα αντιστάθμισης V T. Από το σημείο αυτό και ύστερα είναι δυνατή η περαιτέρω ανάλυση με τις γνώσεις αεροδυναμικής του κεφαλαίου 1. Επειδή δηλαδή: D = 1 2 ρv T 2 SC D (6.6) και υποθέτοντας επιπλέον ότι η πυκνότητα παραμένει σταθερή, καθώς η διαταραχή είναι μικρή: D = 1 V T 2 ρv C D TS (2C D + V T ) (6.7) V T Για τον καθορισμό της παραγώγου στις υφιστάμενες συνθήκες πτήσης, δεν χρειάζεται τίποτε επιπλέον, παρά το να θεωρηθεί η διαταραχή απειροστά μικρή, έτσι ώστε, u 0 και επομένως η V V T.Τότε, από τις εξισώσεις (6.5) και (6.7) προκύπτει:

όπου οι τιμές για τα X u = 1 2 ρv T S (2C C D D + V T ) (6.8) V T C D V T και CD υπολογίζονται στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας με βάση τις τιμές της V T. O καθορισμός των παραγώγων ευστάθειας, ουσιαστικά πραγματοποιείται από τη γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών ιδιοτήτων και σχέσεων που διέπουν το φαινόμενο γύρω από το σημείο ισορροπίας, κάτι που προκύπτει από το γεγονός ότι η διαταραχή είναι μικρή. Ακολουθώντας την ίδια τακτική, μπορούν να ληφθούν ανάλογες σχέσεις και για τις υπόλοιπες παραγώγους ευστάθειας, αν και οι αεροδυναμικές ιδιότητες που διέπουν το φαινόμενο δεν οδηγούν πάντοτε σε τέτοιους απλούς υπολογισμούς. Επίσης, πρέπει να σημειωθεί ότι στους παραπάνω υπολογισμούς η X u μεταβάλλεται σε σχέση με την ταχύτητα. Γενικά οι περισσότερες παράγωγοι μεταβάλλονται με την ταχύτητα ή τον αριθμό Mach, το ύψος και τη γωνία πρόσπτωσης. Κάποιες φορές δε, πολλές παράγωγοι μεταβάλλονται απότομα και σε μεγάλο βαθμό σε ολόκληρο τον φάκελο πτήσης και ειδικά στη διηχητική περιοχή. Για τον υπολογισμό των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων, με διαφορετικούς βαθμούς ακρίβειας στις προσεγγίσεις των πραγματικών τιμών, όπως εμπειρικές, ημιεμπειρικές, υπολογιστικές και πειραματικές. Γενικά προκύπτει μεγαλύτερη ακρίβεια για τις διαμήκεις παραγώγους ευστάθειας παρά για τις αντίστοιχες της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής. Η πρώτη κατηγορία μεθόδων, περιλαμβάνει τη χρήση μαθηματικών σχέσεων και μοντέλων των αεροδυναμικών ιδιοτήτων του αεροσκάφους. Το μεγάλο πλεονέκτημά τους, έγκειται στο γεγονός ότι επειδή η κατασκευή των μοντέλων αυτών απαιτεί πολύ καλή φυσική κατανόηση των βασικών φυσικών αρχών της αεροδυναμικής, οι σχέσεις που προκύπτουν αποτελούν ένα πολύ καλό μέσο για την κατανόηση των τρόπων με τους οποίους οι βασικές αεροδυναμικές ιδιότητες επηρεάζουν τη δυναμική του αεροσκάφους. Σε πρώτη προσέγγιση, χρησιμοποιούνται κλειστές αναλυτικές εκφράσεις με βάση ημιεμπειρικά μοντέλα για τις παραγώγους ευστάθειας και είναι συνήθως η απλούστερη και η λιγότερο ακριβής μέθοδος, ειδικά για τις εγκάρσιες παραγώγους ευστάθειας. Η χρήση τους απαιτεί ένα ελάχιστο βασικό επίπεδο γνώσεων της γεωμετρίας και της αεροδυναμικής του σώματος. Τυπικό παράδειγμα τέτοιας προσέγγισης, αποτελεί η έκφραση (6.8), καθώς και η πορεία υπολογισμού της. Οι εκφράσεις αυτές υποστηρίζονται από την εμπειρία που έχει συλλεχθεί από τα πρώτα χρόνια της αεροπορίας έως σήμερα, και η οποία έχει οδηγήσει σε τροποποιήσεις με βάση αεροδυναμικά πειραματικά δεδομένα τα οποία έχουν συγκεντρωθεί με την πάροδο των ετών. Σε δεύτερο επίπεδο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν σύνθετες θεωρητικέςαριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού του πεδίου ροής γύρω από το αεροσκάφος με σημαντικότερο όμως υπολογιστικό κόστος. Με τη χρήση τέτοιων μεθόδων οι παράγωγοι ευστάθειας μπορούν σήμερα να υπολογισθούν με εξαιρετική ακρίβεια, ειδικά για συμβατικές διαμορφώσεις αεροσκαφών. Η δεύτερη κατηγορία μεθόδων αφορά στις δοκιμές στην αεροσήραγγα. Εδώ ένα μοντέλο του αεροσκάφους τοποθετείται σ ένα ζυγό ακριβείας, όπου μετρούνται οι έξι συνιστώσες των δυνάμεων και των ροπών για διαφορετικούς συνδυασμούς της ταχύτητας, της γωνίας πρόσπτωσης, της γωνίας εκτροπής και των γωνιών των επιφανειών ελέγχου. Η βασική ιδιότητα αυτών των δοκιμών είναι ότι οι συνθήκες είναι στατικές, όμως υπάρχουν και μέθοδοι όπου λαμβάνονται αποτελέσματα και για μη

στατικές συνθήκες. Με την προϋπόθεση ότι οι δοκιμές είναι σχεδιασμένες και εκτελεσμένες προσεκτικά, μπορούν να ληφθούν ικανοποιητικές προσεγγίσεις, ειδικά για τις παραγώγους δύναμης-ταχύτητας και ροπής-ταχύτητας. Προβλήματα ακρίβειας εμφανίζονται λόγω κλίμακας, ειδικά στην εξομοίωση για δύσκολες συνθήκες πτήσης. Όταν κάποιες από τις παραγώγους προκύπτουν ανακριβείς, είναι πολύ δύσκολο να σχεδιαστούν άλλες δοκιμές που να καταλήγουν σε ακριβή αποτελέσματα όλων των παραγώγων. Παρ όλα αυτά, επειδή τα αποτελέσματα αφορούν πραγματική ροή, οι τιμές που λαμβάνονται παρέχουν μεγαλύτερη πιστότητα σε σχέση με τις υπολογιστικές μεθόδους. Η τρίτη, τέλος, κατηγορία μεθόδων αφορά στις πτητικές δοκιμές (flight tsts). Πρόκειται για μια παγιωμένη πρακτική, όπου οι παράγωγοι ευστάθειας προκύπτουν με έμμεσο τρόπο, μιας και δεν είναι δυνατό να μετρηθούν οι πραγματικές δυνάμεις που επιδρούν πάνω στο αεροσκάφος. Επίσης, επειδή το αεροσκάφος έχει έξι βαθμούς ελευθερίας, είναι ιδιαίτερα δύσκολο να δημιουργηθεί μεμονωμένη διαταραχή της μεταβλητής κίνησης χωρίς να επηρεασθεί κάποια από τις υπόλοιπες. Ενώ κάποιες παράγωγοι υπολογίζονται με ευκολία, κάποιες άλλες είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογιστούν. Σήμερα στις δοκιμαστικές πτήσεις χρησιμοποιείται κυρίως η μέθοδος της ταυτοποίησης παραμέτρων (paramtr idntification). Πρόκειται για μια μαθηματική διαδικασία, κατά την οποία γίνεται ευρεία χρήση υπολογιστικών εργαλείων με σκοπό τον καθορισμό εκείνης της περιγραφής του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης, η οποία ταιριάζει καλύτερα στην απόκριση εισόδου-εξόδου που μετρήθηκε στην πτήση. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη μέθοδο είναι οι συντελεστές της εξίσωσης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης, από την οποία τελικά προκύπτουν οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας. Η μέθοδος είναι πολύπλοκη και η επιτυχία εξαρτάται σε ένα μεγάλο βαθμό από τη σωστή επιλογή του αλγόριθμου που είναι πιο κατάλληλος για το πρόβλημα. Κύριο μειονέκτημα της μεθόδου είναι η απαίτηση σε υπολογιστική ισχύ, καθώς και η απαίτηση για καταγραφή δεδομένων (data) καλής ποιότητας από την πτήση. Έχοντας σαν στόχο στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος μία εισαγωγική βασική προσέγγιση στις παραγώγους ευστάθειας, θα παρουσιασθεί και θα αναλυθεί μια πρώτη προσέγγιση των παραγώγων ευστάθειας, με τη χρήση προσεγγιστικών κλειστών αναλυτικών εκφράσεων, χρησιμοποιώντας σαν τυπικό παράδειγμα την έκφραση (6.8). Οι εκφράσεις των παραγώγων ευστάθειας που θα διατυπωθούν είναι διαστατές και μπορούν να αδιαστατοποιηθούν, όπως αναλυτικότερα περιγράφεται στο παράρτημα Δ.1. Οι εκφράσεις που πρόκειται να αναπτυχθούν έχουν εφαρμογή σε υποηχητικές συνθήκες, ενώ η περαιτέρω ανάπτυξή τους, ώστε να προκύψει η εξάρτηση τους από τον αριθμό Mach είναι σχετικά σύντομη και απλή διαδικασία, επειδή ο αριθμός Mach ως γνωστόν δίνεται από τη σχέση Μach = VT/asound. Σχετικές εκφράσεις των παραγώγων ευστάθειας σε σχέση με τον αριθμό Mach μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία [12], [3]. 3. Διαμήκεις Αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας 3.1. Εισαγωγικοί ορισμοί και υπολογισμοί Ο υπολογισμός των παραγώγων ευστάθειας πραγματοποιείται στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς του ανέμου ή το ισοδύναμο σύστημα ευστάθειας για την περίπτωση της διαμήκους δυναμικής- με σκοπό την απλοποίηση της εξαγωγής των σχετικών εκφράσεων. Η επιλογή αυτή επιτρέπει τη διατήρηση στις σχέσεις μόνο των

ουσιωδών παραμέτρων και μεγιστοποιεί την κατανόηση των φυσικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα. Η σχετική γεωμετρία φαίνεται στο σχ. 6.2, όπου φαίνεται αεροσκάφος, το οποίο υπόκειται σε μία διαμήκη, μικρή διαταραχή. Ο άξονας Οx του αεροσκάφους είναι και ο άξονας του ανέμου ενώ οι αρχικές συνθήκες προκύπτουν από τη μόνιμη, συμμετρική, αντισταθμισμένη, οριζόντια πτήση με ταχύτητα V T =U. Κατά τη διαταραχή η ολική ταχύτητα VT μεταβάλλεται με συνιστώσες U και W κατά μήκος των αξόνων Ox και Oz αντίστοιχα. Σχήμα 6.2 Γεωμετρία, δυνάμεις και ροπές για μία μικρή διαταραχή διαμήκους δυναμικής Επομένως η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης προκύπτει από τη σχέση (3.29): w α = atan U + u w (α σε rad) V T Η ταχύτητα του αεροσκάφους μετά τη διαταραχή είναι: V 2 T = U 2 + W 2 (6.9) και οι συνιστώσες της προκύπτουν ως: U = U + u (6.10) W = w Με βάση τη σχέσεις (6.9), (6.10) και (3.29), οι μερικές παράγωγοι ως προς τις ταχύτητες U και W προκύπτουν ως: U = u = 1 U (u U ) W = w = 1 (6.11) U α } Παραγωγίζοντας την εξίσωση (6.9) ως προς U και W κατά σειρά λαμβάνονται οι επόμενες μερικές παραγώγους: V T U = U V T και V T W = W (6.12) V T Εφαρμόζοντας τη σχέση (6.12), οι τιμές των παραγώγων της ταχύτητας στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας, προκύπτουν ως: V T U = V 2 T u V T = 1 u = 2U V T W = V T α = 0 2 V T w = 0 (6.13)

Από την ανάλυση των σχέσεων (6.11), (6.13), προκύπτει ότι οι διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω μεταβολής της ταχύτητας U κατά τον άξονα Ox, ουσιαστικά ισοδυναμούν με διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων, λόγω διαταραχής του μέτρου του λόγου u/u. Επίσης, οι διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω μεταβολής της ταχύτητας W κατά τον άξονα Oz ουσιαστικά ισοδυναμούν με διαταραχές των αεροδυναμικών δυνάμεων λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης α. Οι παράγωγοι της δύναμης αντίστασης D προκύπτουν ως: D U = 1 2 ρv T 2 S C D U + ρv V T TSC D U D u = D U = ρsu (6.14) 2 (U C Du + 2C D ) D W = 1 2 ρv T 2 S C D W + ρv V T TSC D W D w = D W = ρsu 2 C D 2 W = ρsu 2 1 C D 2 U α = ρsu (6.15) 2 C D α Οι αεροδυναμικοί συντελεστές που εμφανίζονται στις σχέσεις (6.14),(6.15) ορίζονται ως εξής: C Du = C D U (6.16) C Dα = C D α (6.17) Με όμοιο τρόπο οι παράγωγοι της δύναμης άνωσης L στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας προκύπτουν ως: L u = L U = ρsu 2 (U C Lu + 2C L ) (6.18) L w = L W = ρsu 2 C L α (6.19) Οι αεροδυναμικοί συντελεστές που εμφανίζονται στις σχέσεις (6.18),(6.19) ορίζονται ως εξής: C Lu = C L U (6.20) C Dα = C L α (6.21) Όπως φαίνεται στο σχήμα 6.2, η δύναμη Τ λόγω της ώσης εφαρμόζεται κατά την κατεύθυνση του άξονα Ox και φυσικά μετακινείται μαζί με το αεροσκάφος Αν και η ώση Τ με την αυστηρή έννοια δεν είναι αεροδυναμική δύναμη, εν τούτοις μπορεί να συμπεριφέρεται σαν αεροδυναμική παράμετρος με την εφαρμογή της διαταραχής. Οι μεταβολές της δύναμης ώσης Τ από τις διαταραχές του μέτρου ταχύτητας και της γωνίας πρόσπτωσης είναι αρκετά σύνθετες και εξαρτώνται από τον συγκεκριμένο τύπο του κινητήρα που χρησιμοποιείται στο αεροσκάφος. Για αεροσκάφη με αεριοστρόβιλους (jt) μπορεί να ειπωθεί ότι η ώση Τ είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας του αεροσκάφους. Ωστόσο, για ελικοφόρα αεροσκάφη, η ώση μειώνεται με την αύξηση της ταχύτητας του αεροσκάφους, λόγω των αεροδυναμικών φαινομένων που εμφανίζονται στην έλικα. Επίσης, μπορεί να ειπωθεί ότι η δύναμη ώσης Τ δεν επηρεάζεται από τη διαταραχή της γωνίας πρόσπτωσης. Οι παράγωγοι της δύναμης ώσης Τ στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας προκύπτουν ως:

T u = T U (6.22) T w = T W = 1 T U α 0 (6.23) Οι προβολές των αεροδυναμικών δυνάμεων Χ,Ζ στους σωματόδετους άξονες Οx,Οz αντίστοιχα προκύπτουν για μικρές γωνίες πρόσπτωσης α ως εξής: X = T D + L α (6.24) Ζ = D α L (6.25) Στην αρχική μόνιμη κατάσταση ισορροπίας η ροπή πρόνευσης M είναι εξ ορισμού μηδέν, όμως κατά τη διαταραχή η μεταβατική ροπή πρόνευσης είναι μη μηδενική και δίνεται από τη σχέση: Μ = 1 2 ρv T 2 c C m (6.26) 3.2. Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας 3.2.1. X u: Διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας Με παραγώγιση της (6.24) προκύπτει: X U = T U D U + α L (6.27) U Εφαρμόζοντας τη σχέση (6.27) στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο όριο της αντισταθμισμένης ισορροπίας η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης τείνει στο μηδέν και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.22), (6.14) και (6.16) προκύπτει : X u = X U = T U D U X u = ρsu 2 ( 2C D 2U C D u + 2 ρsu T u ) (6.28) 3.2.2. Z u: Διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω της διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας Μετά από παραγώγιση της εξίσωσης (6.25) ως προς την U στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο όριο της αντισταθμισμένης ισορροπίας η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης τείνει στο μηδέν και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.18) και (6.20) προκύπτει : Z U = L U α D U Z u = L U = L u = ρsu (6.29) 2 (U C L u + 2C L) 3.2.3. M u: Διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω της διαταραχής του μέτρου της ταχύτητας Κατά τη διαταραχή η ροπή πρόνευσης γίνεται μη μηδενική και δίνεται από την εξίσωση (6.26). Μετά από παραγώγιση της σχέσης (6.26) ως προς U στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας και λαμβάνοντας υπόψη ότι ο συντελεστής της ροπής πρόνευσης Cm τείνει στην τιμή της μόνιμης αντισταθμισμένης ισορροπίας, η οποία είναι φυσικά μηδέν, προκύπτει:

όπου M U = 1 2 ρv T 2 Sc C m U + ρv TSc C m M u = M U = 1 2 ρv T 2 Sc C m u (6.30) C Mu = C M U (6.31) Σε υποηχητική ταχύτητα ή σε χαμηλούς αριθμούς Mach ο συντελεστής της ροπής πρόνευσης Cm είναι σχεδόν ανεξάρτητος από την ταχύτητα ή τον αριθμό Mach και επομένως η παράγωγος Μ u πολύ συχνά υποτίθεται ότι είναι αμελητέα για αυτές τις συνθήκες πτήσης. 3.3. Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης 3.3.1. X w: Διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης Με παραγώγιση της (6.24) ως προς W προκύπτει: X W = T W D W + α L W + L α W (6.32) Εφαρμόζοντας τη σχέση (6.32) στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο όριο της αντισταθμισμένης ισορροπίας η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης τείνει στο μηδέν, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.23),(6.15),(6.17) και αντικαθιστώντας την τιμή της άνωσης L στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας προκύπτει : X W = X W = D W 1 + L U X W = ρsu 2 (C L C D α ) (6.33) 3.3.2. Z w: Διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης Όπως και προηγουμένως, με παραγώγιση της σχέσης (6.25) ως προς W στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας, λαμβάνοντας υπόψη ότι στο όριο της αντισταθμισμένης ισορροπίας η διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης τείνει στο μηδέν, αντικαθιστώντας την τιμή της οπισθέλκουσας D στο σημείο αντισταθμισμένης ισορροπίας και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (6.19),(6.21) προκύπτει: Z D = α W W D α W L W Z W = Ζ W 1 = D L U W = ρsw (6.34) 2 (C D + C L α ) 3.3.3. M w: Διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης Όπως και προηγουμένως, με παραγώγιση της σχέσης (6.26) ως προς W και σύμφωνα με τη σχέση (6.27) μπορεί να δειχθεί ότι: M w = M W = ρv TSc C m (6.35) α Στο όριο V T V T η εξίσωση (6.35) οδηγεί στην έκφραση: : M W = M W = ρv 2 T Sc C m α (6.36)

Η σημασία του συντελεστή C mα στη στατική ευστάθεια του αεροσκάφους αναλύεται διεξοδικά στο κεφάλαιο 2.2.2 περί στατικής ισορροπίας. O συντελεστής C mα ορίζεται από τη σχέση (2.23): C mα = dc m dα < 0 Εκφράζει ουσιαστικά την κλίση της καμπύλης της ροπής πρόνευσης ως προς τη γωνία πρόσπτωσης και πρέπει να έχει αρνητική κλίση στην περιοχή του σημείου αντιστάθμισης για ένα στατικά ευσταθές αεροσκάφος. Μία απλή έκφραση για τον συντελεστή C mα προκύπτει από κατάλληλη εναλλακτική διατύπωση της σχέση (2.26) στη μορφή: C mα = ακ η (6.37) όπου εδώ το α εκφράζει την κλίση της καμπύλης της άνωσης και Κη είναι το στατικό περιθώριο με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα. Όπως λοιπόν προκύπτει, η παράγωγος Μ w παρέχει ένα μέτρο της ακαμψίας πρόνευσης του αεροσκάφους. Ισοδυναμεί δηλαδή με ένα στροφικό ελατήριο επαναφοράς σε διαταραχές της γωνίας πρόσπτωσης. Κατά συνέπεια είναι μία από τις σημαντικότερες παραγώγους ευστάθειας και διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της βραχυπρόθεσμης διαμήκους δυναμικής. 3.4. Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Οι διαμήκεις αεροδυναμικές ιδιότητες ενός αεροσκάφους συνήθως καθορίζονται στον μεγαλύτερο τους βαθμό από τις ιδιότητες της πτέρυγας και του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. Μια μικρή διαταραχή ως προς τον ρυθμό πρόνευσης όμως έχει σημαντική επίδραση στην αεροδυναμική του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. Στο σχήμα 6.3 φαίνεται ένα αεροσκάφος στο οποίο σημειώνεται άνοδος του ρύγχους κεφαλής (pitching) σε σχέση με τη στάση αντισταθμισμένης ισορροπίας μετά τη διαταραχή του ρυθμού πρόνευσης q. Σχήμα 6.3 Διαταραχή της γωνίας πρόσπτωσης της πίσω πτέρυγας λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Εφόσον η επίδραση του ρυθμού πρόνευσης προκαλεί την εμφάνιση μίας συνιστώσας κατακόρυφης ταχύτητας στο οριζόντιο σταθερό πτερύγιο, λόγω περιστροφής του αεροσκάφους γύρω από το κέντρο βάρους Ο, το αποτέλεσμα είναι μια αλλαγή (διαταραχή) αtq στην τοπική γωνία πρόσπτωσης αt του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. Η ολική ταχύτητα είναι VT και η διαταραχή αtq στη γωνία πρόσπτωσης του ουραίου δίνεται από τη σχέση:

α t q = tan α tq = q l t (6.38) V T αφού εξ ορισμού η αtq είναι μικρή γωνία. Θα πρέπει να τονισθεί ότι η αtq είναι η μεταβολή (διαταραχή) ή διαφορετικά η αύξηση της γωνίας πρόσπτωσης σε σχέση με την τιμή ισορροπίας και όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον ρυθμό πρόνευσης, είναι μεταβατική στη φύση της. Από τη σχέση (6.38) προκύπτει ότι: α t q = α tq q = l t (6.39) V T 3.4.1. X q: Διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Η διαταραχή Χt της αξονικής δύναμης Χ προκύπτει από τη διαταραχή της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου και συνεπώς: X t = D t = 1 2 ρv T 2 S t C Dt (6.40) Σύμφωνα με την (6.39) προκύπτει : C Dt q = C D t α t α t q = l t C Dt (6.41) V T α t H παραγώγιση της (6.40) ως προς τη μεταβλητή της διαταραχής q, με την υπόθεση ότι η VΤ είναι ανεξάρτητη του ρυθμού πρόνευσης q, με εφαρμογή της εξίσωσης (6.41) και στη συνέχεια λαμβάνοντας το όριο αντισταθμισμένης ισορροπίας όπου V Τ V T, η παράγωγος ευστάθειας X q προκύπτει ως: X t q = 1 2 ρv T 2 C Dt S t q X q = X t q = 1 (6.42) 2 ρv T S t l t C Dt α όπου C = C D t Dt α α (6.43) Επειδή ο ρυθμός μεταβολής της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου σε σχέση με τη γωνία πρόσπτωσης είναι συνήθως μικρός, η παράγωγος ευστάθειας X q είναι μικρή και έτσι συνήθως αμελείται στην ανάλυση ευστάθειας και ελέγχου του αεροσκάφους. 3.4.2. Z q: Διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Η διαταραχή Ζt της κάθετης δύναμης Ζ προκύπτει από τη διαταραχή της άνωσης του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου και συνεπώς: Z t = L t = 1 2 ρv T 2 S t C L t (6.44) Σύμφωνα με την (6.39) προκύπτει: C Lt q = C L t α t α t q = l t C Lt (6.45) V T α t H παραγώγιση της (6.44) ως προς τη μεταβλητή της διαταραχής q, με την υπόθεση ότι η VΤ είναι ανεξάρτητη του ρυθμού πρόνευσης q, με εφαρμογή της εξίσωσης (6.45) και στη συνέχεια λαμβάνοντας το όριο αντισταθμισμένης ισορροπίας όπου V Τ V T, η παράγωγος ευστάθειας Z q προκύπτει ως:

όπου Z q = Z t q = 1 2 ρv T S t l t C Lt (6.46) α C Lt α = C L t α t (6.47) 3.4.3. M q: Διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής της ταχύτητας πρόνευσης Κατά τη διαταραχή του ρυθμού πρόνευσης q, η διαταραχή της ροπής πρόνευσης Mt προκύπτει ολοκληρωτικά από τη ροπή της διαταραχής Ζt της κάθετης δύναμης Ζ του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου γύρω από το Ο, η οποία προκύπτει από την (6.44). Έτσι, κατά τη διαταραχή: M t = Z t l t = 1 2 ρv T 2 S t l t C Lt (6.48) Με παραγώγιση της σχέσης (6.48) ως προς q η παράγωγος ευστάθειας M q προκύπτει ως : M q = l t Z q = 1 2 ρv T S t l 2 t C Lt (6.49) α Στο κεφάλαιο 4 έχει αναλυθεί ότι η Μ q αποτελεί την παράγωγο ευστάθειας που χαρακτηρίζει την απόσβεση της πρόνευσης ( Στροφικός αποσβεστήρας ). Αν και αυτό το απλό μοντέλο που εκφράζεται από τη σχέση (6.49) επισημαίνει τον σημαντικό ρόλο που παίζει το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο στον καθορισμό των χαρακτηριστικών απόσβεσης του αεροσκάφους ως προς την πρόνευση, πρέπει να σημειωθεί ότι πολλές φορές η επίδραση της ατράκτου και των πτερύγων είναι εξίσου σημαντική. Επομένως η παραπάνω έκφραση για την παράγωγο ευστάθειας που αφορά στη ροπή πρόνευσης πρέπει να θεωρηθεί ως πρώτη προσέγγιση-που είναι μεν ικανοποιητική για τους προκαταρκτικούς υπολογισμούς αλλά ανεπαρκής ως τελική έκφραση για αυτή την παράγωγο. 3.5. Παράγωγοι ευστάθειας λόγω διαταραχής του ρυθμού της γωνίας πρόσπτωσης Σε υποηχητικές ταχύτητες με χαμηλούς αριθμούς Mach ο αέρας ουσιαστικά συμπεριφέρεται σαν ασυμπίεστο ρευστό. Κατά συνέπεια, οι διαταραχές u, v, q διαδίδονται σχεδόν ακαριαία σε όλο το πεδίο ροής. Δεδομένου ότι διαταραχές u, v, q είναι επιταχύνσεις, ουσιαστικά δρουν στην ποσότητα της μάζας του ρευστού που περιβάλει το αεροσκάφος και προσπαθούν να μεταβάλουν την κινηματική της κατάσταση, παρασύροντάς την ώστε να παρακολουθήσει την κίνηση του αεροσκάφους. Σαν αποτέλεσμα, η μάζα του ρευστού δημιουργεί αντίδραση στο αεροσκάφος υπό τη μορφή αδρανειακών δυνάμεων. Για αυτόν τον λόγο η μάζα αυτή αναφέρεται συχνά με τους όρους της φαινόμενης (apparnt) ή εικονικής (virtual) μάζας και αδράνειας. Σε αντίθεση όμως με κατασκευές σε υγρά περιβάλλοντα (π.χ. πλοία, πλωτές εξέδρες, κτλ.), επειδή η πυκνότητα του αέρα είναι πολύ μικρή, η μάζα του αέρα που μετακινείται μαζί με το αεροσκάφος δεν αποτελεί παρά ένα μικρό μόνο κλάσμα της συνολικής του μάζας, και επομένως η επίδραση της στην αδράνεια του αεροσκάφους μπορεί να αγνοηθεί για τα περισσότερα αεροσκάφη. Εξαίρεση στον παραπάνω κανόνα αποτελεί το αερόπλοιο για το οποίο οι τιμές της φαινόμενης μάζας και αδράνειας μπορούν να είναι κατά 50% μεγαλύτερες από τις φυσικές τους τιμές. Άλλα οχήματα

για τα οποία αυτά τα φαινόμενα δεν είναι αμελητέα είναι τα αερόστατα και τα αλεξίπτωτα. Μία ειδική περίπτωση όμως που χρειάζεται να ληφθεί υπόψη, ειδικά σε πολλά σύγχρονα αεροσκάφη υψηλών επιδόσεων, είναι η επίδραση που ασκεί στο πίσω οριζόντιο ουραίο πτερύγιο ο ρυθμός μεταβολής της διαταραχής w της κάθετης ταχύτητας στην κύρια πτέρυγα. Η διαταραχή της κάθετης ταχύτητας w προκαλεί μια διαταραχή της γωνίας πρόσπτωσης στην κύρια πτέρυγα και κατά συνέπεια μια μεταβατική διαταραχή στο κατώρευμα πίσω από την κύρια πτέρυγα, η οποία διαταραχή μετά από λίγο χρόνο διαδίδεται στο κατάντη πεδίο ροής και διέρχεται πάνω από το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο. Το φαινόμενο του κατωρεύματος αναλύθηκε στο υποκεφάλαιο 1.1.4. του Κεφ. 1 και γίνεται καλύτερα κατανοητό με τη βοήθεια του σχήματος 6.4. Σχήμα 6.4 Διαταραχή της γωνίας πρόσπτωσης της πίσω πτέρυγας λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της διαταραχής w της κάθετης ταχύτητας στην κύρια πτέρυγα σαν αποτέλεσμα του κατωρεύματος. Όπως προαναφέρθηκε (2.1.2., κεφ.2), από τη στιγμή που στο οριζόντιο ουραίο σταθερό πτερύγιο επάγεται μία διαταραχή στη γωνία πρόσπτωσης, αυτό αποκρίνεται ανάλογα με μια διαταραχή στη δύναμη άνωσης που ασκείται σε αυτό. Έτσι, το συνολικό αποτέλεσμα που προκαλείται στην άτρακτο, δεν μπορεί να είναι αμελητέο. Αυτό το συγκεκριμένο χαρακτηριστικό φαινόμενο ονομάζεται υστέρηση λόγω κατωρεύματος (downwash lag ffct). Η χρονική υστέρηση στο φαινόμενο του κατωρεύματος γίνεται καλύτερα κατανοητή με τη βοήθεια του σχήματος 6.4. Μια διαταραχή στο σημείο Α του πεδίου ροής γύρω από την κύρια πτέρυγα φτάνει στο σημείο Β του πεδίου ροής γύρω από το ουραίο οριζόντιο πτερύγιο με μία χρονική καθυστέρηση: T d = l t /V T, (6.50) Ο χρόνος Τd αναφέρεται και ως υστέρηση λόγω κατωρεύματος [3]. Θεωρώντας ότι στην κύρια πτέρυγα εξελίσσεται ένα φαινόμενο διαταραχής της γωνίας πρόσπτωσης με σταθερό χρονικό ρυθμό μεταβολής, η τιμή της γωνίας πρόσπτωσης αw στην κύρια πτέρυγα μεταβάλλεται με τον χρόνο ως εξής: είναι: α w (t) = α w (t T d ) + dα w dt T d (6.51) Σύμφωνα με τη σχέση (3.29) ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης dα w dt = w V T (6.52)

Η έκφραση για τη συνολική γωνία πρόσπτωσης του οριζόντιου σταθερού τη χρονική στιγμή t δίνεται από τη σχέση (2.9): α t (t) = α w (t) i w ε(t) + i t (6.53) όπου αw είναι η γωνία πρόσπτωσης στην κύρια πτέρυγα, iw είναι η γωνία θέσης (stting angl) της κύριας πτέρυγας, it είναι η γωνία θέσης (stting angl) του οριζόντιου ουραίου πτερυγίου και ε η γωνία κατωρεύματος στο οριζόντιο ουραίο πτερύγιο οριζόντιο. Η γωνία κατωρεύματος προκύπτει σύμφωνα με την εξίσωση (2.16) από τη σχέση: ε(t) = ε 0 + dε dα (t T d) (6.54) λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο Τd που χρειάζεται για να διαδοθεί στο πίσω ουραίο πτερύγιο μία διαταραχή στη γωνία πρόσπτωσης αw της κύριας πτέρυγας. Η γωνία εο είναι η γωνία κατωρεύματος για μηδενική γωνία πρόσπτωσης αw. Στην περίπτωση ελλειπτικής κατανομής της άνωσης, η κλίση της γωνίας κατωρεύματος προκύπτει από την εξίσωση (2.17): ε = 2 C L w [rad] dε πar w da = 2 C L α w (6.55) πar w όπου C La είναι η κλίση της καμπύλης άνωσης κα ΑRw o λόγος επιμήκους w [εξίσωση (1.14)]. Αντικατάσταση των σχέσεων (6.51),(6.52) και (6.54) στην (6.53) οδηγεί στο αποτέλεσμα: α t (t) = α w (t) i w ε 0 + dε dα α w(t) + i t dε w T d (6.56) dα V T Θεωρείται επίσης, ότι το αεροσκάφος πριν τη διαταραχή βρίσκεται σε κατάσταση μόνιμης αντισταθμισμένης ισορροπίας, στην οποία επίσης επανέρχεται το αεροσκάφος μετά τη διαταραχή w, εφόσον η διαταραχή w θεωρείται μεταβατική. Τότε στην κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας ισχύει: α t = α w i w ε + i t = α i w ε 0 + dε dα α + i t (6.57) όπου α t είναι η μόνιμη γωνία πρόσπτωσης στο οριζόντιο ουραίο πτερύγιο, στην οποία τείνει η αw(t) μετά την πάροδο της διαταραχής, α w είναι η μόνιμη γωνία πρόσπτωσης στην κύρια πτέρυγα, στην οποία τείνει η αw(t) μετά την πάροδο της διαταραχής και ε είναι η μόνιμη γωνία κατωρεύματος, στην οποία τείνει η ε(t) μετά την πάροδο της διαταραχής και η οποία προκαλείται από τη μόνιμη γωνία πρόσπτωσης α w στην κύρια πτέρυγα. Σύγκριση των εξισώσεων (6.56) και (6.57) οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο ρυθμός μεταβολής της διαταραχής w της κάθετης ταχύτητας προκαλεί μία αλλαγή (διαταραχή) α tw στην τοπική γωνία πρόσπτωσης αt του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου, η οποία δίνεται από τη σχέση: α tw (t) = dε w l t dα 2 (6.58) V T Με βάση τη σχέση (6.58) προκύπτει ότι: α t = α t w = dε l t w w dα 2 V (6.59) T Σαν συνέπεια των σχέσεων (6.58),(6.59), η τεχνική ανάλυση της επίδρασης των διαταραχών w στις αεροδυναμικές δυνάμεις του αεροσκάφους ακολουθεί τα ίδια

βήματα με την ανάλυση των επιδράσεων των διαταραχών του ρυθμού πρόνευσης q, όπως αυτή αναπτύχθηκε στο υποκεφάλαιο 3.4 του παρόντος κεφαλαίου. 3.5.1. X w : Διαταραχή της αξονικής δύναμης Χ λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης Η διαταραχή Χt της αξονικής δύναμης Χ προκύπτει από τη διαταραχή της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου, η οποία δίδεται από τη σχέση (6.40). Σύμφωνα με την (6.59) προκύπτει: C Dt = C D t w α t ορίζεται από την (6.43). α t = dε w dα l t 2 C D t α (6.60) όπου η C Dt α Με παραγώγιση της (6.40) ως προς τη μεταβλητή της διαταραχής w, με την υπόθεση ότι η VΤ είναι ανεξάρτητη του ρυθμού της διαταραχής w, λαμβάνοντας το όριο αντισταθμισμένης ισορροπίας όπου V Τ V T και με εφαρμογή της εξίσωσης (6.60) η παράγωγος ευστάθειας X w προκύπτει ως: X w = X t = 1 w 2 ρv T 2 C Dt S t w X w = 1 (6.61) 2 ρs dε tl t C Dt α dα Επειδή ο ρυθμός μεταβολής της οπισθέλκουσας του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου σε σχέση με τη γωνία πρόσπτωσης είναι συνήθως μικρός, η παράγωγος ευστάθειας X w είναι μικρή και έτσι συνήθως αμελείται στην ανάλυση ευστάθειας και ελέγχου του αεροσκάφους. 3.5.2 Z w : Διαταραχή της κάθετης δύναμης Ζ λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης Η διαταραχή Ζt της κάθετης δύναμης Ζ προκύπτει από τη διαταραχή της άνωσης του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου, όπως ορίζεται στη σχέση (6.44). Σύμφωνα με την (6.59) προκύπτει C Lt = C L t w α t ορίζεται από την (6.43). α t = dε w dα V T l t 2 C L t α (6.62) όπου η C Dt α Με παραγώγιση της (6.44) ως προς τη μεταβλητή της διαταραχής w, με την υπόθεση ότι η VΤ είναι ανεξάρτητη του ρυθμού της διαταραχής w, λαμβάνοντας το όριο αντισταθμισμένης ισορροπίας, όπου V Τ V T και με εφαρμογή της εξίσωσης (6.62) η παράγωγος ευστάθειας Ζ w προκύπτει ως: Z w = Z t = 1 w 2 ρs 2 tv C L t T w Z w = 1 (6.63) 2 ρs dε tl t C Lt α dα Η Z w μπορεί να πάρει σημαντικές τιμές, λόγω του μεγέθους της άνωσης του οριζόντιου ουραίου πτερύγιου. 3.5.3. M w : Διαταραχή της ροπής πρόνευσης Μ περί τον άξονα Οy λόγω διαταραχής του ρυθμού μεταβολής της γωνίας πρόσπτωσης Κατά τη διαταραχή w, η διαταραχή της ροπής πρόνευσης Mt προκύπτει ολοκληρωτικά από τη ροπή της διαταραχής Ζt της κάθετης δύναμης Ζ του οριζόντιου ουραίου V T

πτερύγιου γύρω από το Ο, και η οποία δίδεται στην εξίσωση (6.48). Με παραγώγιση της σχέσης (6.48) ως προς w, η παράγωγος ευστάθειας M w προκύπτει ως: M w = 1 2 ρs 2 tl dε t dα C L t (6.64) α Η παράγωγος M w είναι σχεδόν πάντοτε σημαντική ποσότητα και αποτελεί σημαντικό παράγοντα στην απόσβεση της ταλάντωσης της μικρής περιόδου (βλ. εξίσωση 4.20), σε αντίστοιχο ρόλο με τη ροπή Μ q. 4. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας της εγκάρσιαςδιεύθυνσης δυναμικής Αντίθετα με τις διαμήκεις αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας, οι παράγωγοι ευστάθειας στην εγκάρσια διεύθυνση είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογισθούν, έστω και σε προσεγγιστικό βαθμό. Το πρόβλημα ξεκινά από τις παρεμβολές εμποδίων τα οποία δημιουργούν ασύμμετρες συνθήκες ροής ανάμεσα στις διατάξεις άνωσης, στην άτρακτο, στους κινητήρες, στο σύστημα προσγείωσης κλπ. Έτσι, οι παράγοντες που επηρεάζουν αυτές τις παραγώγους ευστάθειας είναι δύσκολο να αναγνωρισθούν και ειδικότερα να ποσοτικοποιηθούν. Σε περίπτωση που είναι δύσκολη η έκφραση των παραγώγων ευστάθειας με αναλυτικές μεθόδους, όπως γίνεται π.χ. για τις διαμήκεις παραγώγους, μπορούν να χρησιμοποιηθούν άλλες πιο σύνθετες αεροδυναμικές μέθοδοι ανάλυσης. Ένα τυπικό παράδειγμα αποτελεί η θεωρία των λωρίδων (strip thory), όπως παρουσιάζεται από τον Nlson [5], η οποία με τη σειρά της τείνει να υπέρ-απλουστεύει τις αεροδυναμικές συνθήκες, έτσι ώστε να καθίσταται ευχερής η ανάλυση. Σε κάθε περίπτωση, οι αναλυτικοί υπολογισμοί των παραγώγων ευστάθειας στην εγκάρσια διεύθυνση δίνουν συχνά φτωχή ακρίβεια. Παρ' όλα αυτά αυτές οι απλές θεωρίες παρέχουν μια πρώτη ανάλυση των φυσικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα και επομένως βοηθούν στην πληρέστερη κατανόηση της δυναμικής του αεροσκάφους. 4.1. Παράγωγοι λόγω της πλαγιολίσθησης H θετική πλαγιολίσθηση (sidslip) σημαίνει δεξιά κίνηση του αεροσκάφους σε σχέση με τη θέση του πιλότου (και ανάλογα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται) και η οποία ορίζεται χρησιμοποιώντας την εγκάρσια (πλάγια) ταχύτητα v που αναφέρεται στις μικρές διαταραχές. Η φύση μιας θετικής διαταραχής, που αφορά στην πλαγιολίσθηση, είναι τέτοια ώστε η δεξιά πτέρυγα τείνει να χαμηλώσει και το ρύγχος του αεροσκάφους να περιστραφεί αριστερά της σχετικής ταχύτητας του ανέμου, καθώς το αεροσκάφος κινείται πλέον δεξιά. Η απόκριση του αεροσκάφους στη διαταραχή μπορεί να έχει ευσταθή χαρακτηριστικά, εφόσον οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές που προκαλούνται σαν αντίδραση στην πλαγιολίσθηση τείνουν να επαναφέρουν το αεροσκάφος σε μια σταθερή κατάσταση ισορροπίας με τις πτέρυγες οριζόντιες. Οι κινήσεις που λαμβάνουν χώρα έχουν περιγραφεί με αρκετή λεπτομέρεια στα κεφάλαια περί εγκάρσιας στατικής ευστάθειας (υποκεφάλαιο 4 στο Κεφ. 2) και δυναμικής ευστάθειας (Κεφάλαιο 5). 4.1.1. Y v: Διαταραχή της πλάγιας δύναμης Ζ λόγω πλαγιολίσθησης Αυτή η δύναμη προκύπτει κατά κύριο λόγο από την άτρακτο, το κάθετο ουραίο πτερύγιο, την κύρια πτέρυγα (ειδικά από την πτέρυγα που έχει μεγάλη δίεδρη γωνία) και από τους κινητήρες, για αεροσκάφη που έχουν διαμόρφωση με εξωτερικά τοποθετημένους κινητήρες. Αυτή η παράγωγος είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογιστεί, ενώ η απλή ανάλυση που ακολουθείται συνήθως υποθέτει ότι οι κύριες

συνιστώσες της δύναμης αυτής προκύπτουν μόνο από την άτρακτο και το κάθετο ουραίο πτερύγιο. Σχήμα 6.5Διαταρχή της άνωσης στο κάθετο ουραίο πτερύγιο λόγω πλαγιολίσθησης Σύμφωνα με το σχήμα 6.5 η άτρακτος προκαλεί μία πλάγια δύναμη Yb κατά την πλαγιολίσθηση, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως εγκάρσια οπισθέλκουσα και η οποία δίνεται από : Y b = 1 2 ρv T 2 S b βy b (6.65) H Sb είναι η προβαλλόμενη επιφάνεια του πλάγιου μέρους της ατράκτου και yb είναι ένας αδιάστατος συντελεστής, ώστε το γινόμενο βyb να είναι ισοδύναμο με έναν εγκάρσιο συντελεστή οπισθέλκουσας για την άτρακτο. Επίσης, για μικρές διαταραχές η γωνία β δίνεται από τη σχέση : β tan β = v V T (6.66) Κατά την πλαγιολίσθηση, το κάθετο ουραίο πτερύγιο βρίσκεται υπό γωνία πρόσπτωσης β και παράγει άνωση Lf όπως φαίνεται στο σχήμα. Η άνωση Lf του κάθετου ουραίου πτερύγιου μπορεί να αναλυθεί σε μία πλάγια δύναμη Yf που δίνεται από την: Y f = 1 2 ρv T 2 S f α 1f β cos β 1 2 ρv T 2 S f α 1f β (6.67) εφόσον cosβ 1, από τη στιγμή που η γωνία της πλαγιολίσθησης β είναι πολύ μικρή. Αν ορισθεί ως Υ η συνολική πλάγια δύναμη λόγω της πλαγιολίσθησης, τότε: Y = Y b + Y f = vỹ v 1 2 ρv T 2 (S b y b fα 1f )β (6.68) Με αντικατάσταση της έκφρασης για τη γωνία β από την (6.66) στην εξίσωση (6.68) η παράγωγος ευστάθειας Ỹ v προκύπτει ως: Ỹ v = 1 2 ρv T (S b y b S f α 1f ) (6.69)

4.1.2. L v: Διαταραχή της ροπής περιστροφής λόγω πλαγιολίσθησης Η ροπή L v, είναι μία από τις πιο σημαντικές εγκάρσιες παραγώγους ευστάθειας, μιας και περιγράφει ποσοτικά την εγκάρσια στατική ευστάθεια του αεροσκάφους, όπως συζητήθηκε στο υποκεφάλαιο 4 του Κεφ. 2. Ο -έστω και προσεγγιστικός- υπολογισμός της είναι από τους πιο δύσκολους, αφού αφενός είναι πολύ μικρή αριθμητικά, αφετέρου την επηρεάζουν πολλές και άγνωστες μεταβλητές. Οι πιο απλοί υπολογισμοί περιλαμβάνουν τις επιδράσεις από τη δίεδρη γωνία, την οπισθόκλιση των κύριων πτερύγων, τη γεωμετρία της πτέρυγας-ατράκτου και το κάθετο ουραίο πτερύγιο. Σχήμα 6.6 Επίδραση της δίεδρης γωνίας στη διαταραχή των γωνιών πρόσπτωσης στη δεξιά και αριστερή κύρια πτέρυγα λόγω πλαγιολίσθησης Σε πολλά κλασσικά αεροσκάφη ο πιο σημαντικός παράγοντας στη διαμόρφωση της παραγώγου είναι η δίεδρη γωνία των κύριων πτερύγων. Η δίεδρη γωνία αποτελεί πράγματι μία πολύ σημαντική μεταβλητή, με την οποία ο μηχανικός μπορεί να διαμορφώσει τα χαρακτηριστικά εγκάρσιας ευστάθειας του αεροσκάφους. Έτσι, αυτή η παράγωγος συχνά ονομάζεται επίδραση της δίεδρης (dihdral ffct), ανεξάρτητα μάλιστα από το μέγεθος της επίδρασης των άλλων μεταβλητών που αναφέρθηκαν, στην ευστάθεια του αεροσκάφους. Από τη στιγμή που η τάση είναι η δεξιά πτέρυγα να χαμηλώνει για μια θετική διαταραχή πλαγιολίσθησης η επακόλουθη ροπή περιστροφής είναι επίσης θετική. Η σταθεροποιητική αεροδυναμική αντίδραση είναι εκείνη κατά την οποία η ροπή περιστροφής λόγω της πλαγιολίσθησης είναι αρνητική, αφού τότε θα αντιτίθεται στη ροπή που προκάλεσε τη διαταραχή. Κατά αυτή την έννοια η επίδρασης της δίεδρης γωνίας είναι πολύ χρήσιμη. Σε μια θετική, λοιπόν, διαταραχή πλαγιολίσθησης προς τα δεξιά, η επίδραση της δίεδρης γωνίας είναι να αυξήσει τη γωνία πρόσπτωσης της δεξιάς πτέρυγας κάτι που απεικονίζεται στο σχήμα 6.6. Η αριστερή πτέρυγα βλέπει μια αντίστοιχη μείωση στη γωνία πρόσπτωσης. Έτσι, η ροπή περιστροφής προκαλείται από τη διαφορά άνωσης κατά μήκος του συνολικού εκπετάσματος (wing span) των πτερύγων. Σύμφωνα με το σχήμα, η συνιστώσα της ταχύτητας της πλαγιολίσθησης που είναι κάθετη στο επίπεδο των πτερύγων (wing panl) δίνεται ως:

v = v sin Γ vγ (6.70) μιας και η δίεδρη γωνία Γ είναι συνήθως μικρή. Η συνιστώσα της ταχύτητας v' προκαλεί μια μικρή αύξηση στη γωνία πρόσπτωσης α': α tan α = v = vγ (6.71) V T V T Στη συνέχεια εξετάζεται η άνωση λόγω της αύξησης στη γωνία πρόσπτωσης, στην απειροστή λωρίδα κατά την έννοια της χορδής (chord-wis strip), στη δεξιά πτέρυγα όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα 6.7. Η λωρίδα απέχει κατά y από τον άξονα Οx, έχει απειροστό πλάτος dy και τοπική χορδή cy. Η απειροστή αύξηση στην άνωση πάνω στη λωρίδα καταλήγει σε μία κάθετη δύναμη δζ που δίνεται από: δz right = 1 2 ρv T 2 c y dyα y α cos Γ 1 2 ρv T c y α y vγdy (6.72) με αy την τοπική κλίση της καμπύλης της άνωσης. Η αντίστοιχη αύξηση στη ροπή περιστροφής δl δίνεται ως: δl right = δz right y 1 2 ρv T c y α y vγdy y (6.73) Σχήμα 6.7 Γεωμετρία και λωρίδες υπολογισμού της διαφοράς άνωσης στη δεξιά και αριστερή κύρια πτέρυγα λόγω πλαγιολίσθησης Η συνολική ροπή διατοιχισμού που προκαλείται λόγω της δεξιάς πτέρυγας μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση της (6.73) από τη βάση έως την άκρη της πτέρυγας: L right = 1 s 2 ρv T v c y α y Γydy (6.74) Αντίστοιχα για την αριστερή πτέρυγα : 0 δl lft = δz lft y = 1 2 ρv T c y α y vγdy y (6.75) Σημειώνεται ότι για την αριστερή πτέρυγα το πρόσημο της κάθετης δύναμης αλλάζει επειδή η γωνία πρόσπτωσης μειώνεται, ενώ το ίδιο ισχύει και για το πρόσημο της ροπής. Έτσι:

L lft = 1 s 2 ρv T v c y α y Γydy Εξορισμού η συνολική ροπή θα δίνεται από : L tot = L right + L lft = vl v = ρv T v c y α y Γydy 0 0 s (6.76) (6.77) Επομένως η επίδραση της δίεδρης γωνίας (dihdral) στην παράγωγο ευστάθειας είναι : s L vdih = ρv T c y α y Γydy (6.78) 0 Η οπισθόκλιση των πτερύγων, επηρεάζει επίσης σημαντικά την L v. Η άνωση στην πτέρυγα που εκτρέπεται, καθορίζεται από τη συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στο ¼ της χορδής (quartr-chord lin) στην υποηχητική πτήση, ενώ στην υπερηχητική πτήση καθορίζεται από τη συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στο χείλος εκφυγής της πτέρυγας. Έτσι, η οπισθοκλινής πτέρυγα αντιμετωπίζεται στην ουσία ως εκτρεπόμενη πτέρυγα. Σχήμα 6.8 Γεωμετρία και λωρίδες υπολογισμού της διαφοράς άνωσης στη δεξιά και αριστερή κύρια πτέρυγα λόγω πλαγιολίσθησης σε οπισθοκλινή πτέρυγα. Σύμφωνα με το σχήμα 6.8 λαμβάνεται μία στοιχειώδης λωρίδα κατά μήκος της χορδής της δεξιάς πτέρυγας, η οποία είναι κάθετη στη γραμμή που διέρχεται από το ¼ των χορδών. Υποτίθενται υποηχητικές συνθήκες ροής, ενώ η διεύθυνση της ροής είναι παράλληλη με τη γραμμή της χορδής. Η στοιχειώδης λωρίδα βρίσκεται σε απόσταση h από τον άξονα Οx, η οποία μετράται πάνω στη γραμμή του ¼ των χορδών,. Η τοπική

χορδή έχει μήκος ch και το πλάτος της λωρίδας είναι dh. Στη μόνιμη κατάσταση πτήσης αντισταθμισμένης ισορροπίας, η ταχύτητα κατά μήκος της χορδής θα δίνεται ως: V c = V T cosλ 1 4 (6.79) Μετά την εφαρμογή μιας διαταραχής θετικής πλαγιολίσθησης, η σχέση (6.79) γίνεται: V c = V T cos β cos(λ 1 4 β) V T cos(λ 1 4 β) (6.80) όπου με β συμβολίζεται η γωνία της πλαγιολίσθησης, η οποία εξ ορισμού είναι πολύ μικρή. Η στοιχειώδης κάθετη δύναμη δζ στη λωρίδα λόγω της διαταραχής προκαλείται από τη διαφορά της άνωσης μεταξύ των μόνιμων συνθηκών πτήσης και των διαταραγμένων συνθηκών και δίνεται ως: δz right = 1 2 ρ(v c 2 V c 2 )c h dhα h α (6.81) Με αντικατάσταση των εκφράσεων για την ταχύτητα (6.79) και (6.80) στην εξίσωση (6.81) και με εφαρμογή προσεγγίσεων για τις μικρές διαταραχές προκύπτει: δz right = 1 2 ρv T 2 (β 2 sin 2 Λ 1/4 (6.82) + 2β sin Λ 1/4 cos Λ 1/4 )c h α h αdh Έτσι, η αύξηση στη ροπή περιστροφής που προκύπτει είναι : δl right = h cos Λ 1/4 δz right (6.83) Αντίστοιχα στην αριστερή πτέρυγα θα ισχύει : V c = V T cos β cos(λ 1 4 + β) V T cos(λ 1 4 + β) (6.84) Έτσι, η αύξηση στη ροπή περιστροφής από την αριστερή πτέρυγα είναι : δl lft = h cos Λ 1/4 δz lft = 1 2 h cos Λ 1/4 δz lft ρv 2 T (β 2 sin 2 Λ 1/4 (6.85) 2β sin Λ 1/4 cos Λ 1/4 )c h α h αdh Η συνολική αύξηση στη ροπή περιστροφής προκύπτει από το άθροισμα της δεξιάς και της αριστερής πτέρυγας, δηλαδή τις εξισώσεις (6.83) και (6.85) και με αντικατάσταση του β από την (6.66), έτσι ώστε: δl tot = δl right + δl lft = 2ρV T v sin Λ 1/4 cos 2 (6.86) Λ 1 4 α h c h αhdh Με ολοκλήρωση της σχέσης (6.86) από τη βάση έως την άκρη κατά μήκος της γραμμής του ¼ των χορδών προκύπτει: v L v,sb = δl tot s sc Λ 1/4 = 2ρV T v sin Λ 1/4 cos 2 Λ 1 4 α h c h αhdh 0 s sc Λ 1/4 L v,sb = 2ρV T sin Λ 1/4 cos 2 Λ 1 4 α h c h αhdh 0 (6.87) (6.88) Στη σχέση (6.88) είναι πιο βολικό να εκφρασθούν οι γεωμετρικές μεταβλητές ως προς τις παραμέτρους κατά την έννοια της χορδής και του εκπετάσματος, οι οποίες μετρούνται παράλληλα στους άξονες Οx και Οy αντίστοιχα. Η γεωμετρία της πτέρυγας καθορίζει ότι cy = chcosλ1/4, dy = dh cosλ1/4, y = hcosλ1/4 και το όριο της ολοκλήρωσης από s sc Λ1/4 γίνεται s. Έτσι, η εξίσωση (6.88) μπορεί να γίνει: L v,sb = 2ρV T tanλ 1/4 C Ly c y ydy 0 s (6.89)

όπου CLy = αhα είναι ο τοπικός συντελεστής άνωσης. Για μεγαλύτερη ευκολία, μπορεί να υποτεθεί ένας σταθερός μέσος συντελεστής άνωσης για ολόκληρη την πτέρυγα και έτσι η εξίσωση (6.89) μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω: s L v,sb = 2ρV T C L tan Λ 1/4 c y ydy (6.90) Η γεωμετρία της πτέρυγας σε συνδυασμό με την άτρακτο, μπορεί να επηρεάσει σε σημαντικό βαθμό τον παράγοντα «επίδραση της δίεδρης» μιας και σε συνθήκες πλαγιολίσθησης η πλάγια ροή στην περιοχή της ρίζας της πτέρυγας προκαλεί διαφορική άνωση και η οποία με τη σειρά της προκαλεί ροπή περιστροφής. 0 Σχήμα 6.9 Αστάθεια και ευστάθεια λόγω πλαγιολίσθησης σε χαμηλοπτέρυγο και υψηλοπτέρυγο αεροσκάφος Όπως φαίνεται στο σχήμα 6.9, για θετική διαταραχή πλαγιολίσθησης το αεροσκάφος βλέπει την πλάγια συνιστώσα της ταχύτητας της πλαγιολίσθησης να «προσεγγίζει» από τα δεξιά, δηλαδή τη δεξιά πτέρυγα να ξεκινά την πτώση, καθώς εξελίσσεται η διαταραχή. Η εγκάρσια ροή του αέρα γύρω από την άτρακτο είναι περίπου όπως φαίνεται στο σχήμα, προκαλούνται δηλαδή διαταραχές στο κατώρευμα και στο ανώρευμα στην περιοχή της βάσης της πτέρυγας. Ως αποτέλεσμα των συνθηκών της ροής, το υψηλοπτέρυγο αεροσκάφος αντιμετωπίζει μια μεταβατική αύξηση στη γωνία πρόπτωσης στη ρίζα της δεξιάς πτέρυγας και μια αντίστοιχη μείωση στη ρίζα της αριστερής πτέρυγας. Η διαφορική άνωση προκαλεί αρνητική ροπή διατοιχισμού, η οποία λειτουργεί σταθεροποιητικά στο όλο φαινόμενο. Αντίθετα, ένα αεροσκάφος με χαμηλοπτέρυγη διαμόρφωση συμπεριφέρεται με τον αντίθετο τρόπο: H ροπή διατοιχισμού λόγω της πλαγιολίσθησης είναι αποσταθεροποιητική. Έτσι, η υψηλοπτέρυγη διαμόρφωση, σε αντίθεση βέβαια με τη χαμηλοπτέρυγη διαμόρφωση, εκτός του σταθεροποιητικού αποτελέσματος του

παράγοντα της δίεδρης γωνίας, προσφέρει ένα επιπλέον πλεονέκτημα λόγω του φαινομένου που μόλις περιγράφηκε. Γενικά δεν είναι δυνατό να περιγραφούν ποσοτικά και με απλές αεροδυναμικές εκφράσεις τα αποτελέσματα της γεωμετρίας της ατράκτου-πτέρυγας στη ροπή περιστροφής λόγω της πλαγιολίσθησης. Τα αεροδυναμικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα είναι αρκετά πολύπλοκα και δεν είναι δυνατόν να μοντελοποιηθούν με απλό τρόπο. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το μέγεθος των επιδράσεων μεγαλώνει με την αύξηση του πλάτους ή του βάθους της ατράκτου και με την αύξηση του λόγου επιμήκους. Ο βαθμός κατά τον οποίο το κάθετο ουραίο πτερύγιο επηρεάζει τη ροπή περιστροφής λόγω της πλαγιολίσθησης ξεκινά από τον τρόπο με τον οποίο η άνωση που προκαλείται πάνω στην επιφάνειά του επηρεάζει την άτρακτο κατά τη διαταραχή της πλαγιολίσθησης. Η άνωση επιδρά πάνω στο αεροδυναμικό κέντρο του κάθετου σταθερού που με τη σειρά του μπορεί να βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα περιστροφής και έτσι να προκαλεί ανάλογη ροπή. Σχήμα 6.10 Γεωμετρία διαμόρφωσης άνωσης στο κάθετο ουραίο πτερύγιο λόγω πλαγιολίσθησης. Μία τυπική περίπτωση φαίνεται στο σχήμα 6.10. Η πλάγια δύναμη Υf, που είναι αποτέλεσμα της άνωσης που παράγεται στον κάθετο σταθερό λόγω της διαταραχής της πλαγιολίσθησης, δίνεται από την εξίσωση (6.67). Εάν ορισθεί ως hf η απόσταση του αεροδυναμικού κέντρου από τον άξονα διατοιχισμού (άξονας Οx) τότε κατά τη διαταραχή θα ισχύει: v L v,f = L = Y f h f = 1 2 ρv T 2 S f α 1f βh f (6.91) Με αντικατάσταση του β από την εξίσωση (6.66), προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για την παράγωγο ευστάθειας : L v,f = 1 2 ρv T S f α 1f h f (6.92) Ένας πρώτος υπολογισμός για την ολική τιμή της παραγώγου L v μπορεί πλέον να πραγματοποιηθεί με απλή πρόσθεση όλων των συντελεστών που διαμορφώνουν αυτή την παράγωγο, έτσι όπως αναπτύχθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους. Η τιμή της παραγώγου είναι συνήθως μικρή και αρνητική δηλαδή σταθεροποιητική ενώ ακόμη και μικρά σφάλματα στον υπολογισμό της τιμής της μπορεί να οδηγήσουν σε εσφαλμένα συμπεράσματα. Αν και, όπως αναλύθηκε, είναι εξαιρετικά δύσκολο να υπολογισθούν όλοι οι συντελεστές που διαμορφώνουν την ολική τιμή αυτής της παραγώγου (αφού εδώ περιλαμβάνονται μερικά από τα πιο πολύπλοκα αεροδυναμικά φαινόμενα συγκριτικά με τις υπόλοιπες παραγώγους) είναι δυνατό να προκύψει ακριβής ανάλυση για τα παραπάνω φαινόμενα από σύνθετη υπολογιστική προσομοίωση, από μετρήσεις σε αεροσήραγγα ή από έτοιμες βάσεις δεδομένων, ή από πτητικές δοκιμές.

4.1.3N v.: Διαταραχή της ροπής εκτροπής λόγω πλαγιολίσθησης Η «ανεμουριακή» συμπεριφορά ή διαφορετικά η στατική ευστάθεια ως προς τη διεύθυνση, καθορίζεται από την παράγωγο της ροπής εκτροπής λόγω της πλαγιολίσθησης. Αυτή περιγράφει ποσοτικά την τάση του αεροσκάφους να στρέφει την κεφαλή του προς τον άνεμο μετά από την εμφάνιση της διαταραχής της πλαγιολίσθησης. Η στατική ευστάθεια ως προς τη διεύθυνση περιγράφηκε στο υποκεφάλαιο 4 του κεφ.2. Κατά τη διάρκεια της διαταραχής, η αύξηση της άνωσης λόγω των παραγόντων που αναφέρθηκαν νωρίτερα, δηλαδή της δίεδρης γωνίας, της οπισθόκλισης, της γεωμετρίας ατράκτου-πτέρυγας κλπ., προκαλούν και ανάλογη αύξηση στην επαγόμενη οπισθέλκουσα. Η διαφορική οπισθέλκουσα κατά μήκος του εκπετάσματος επηρεάζει με τη σειρά της τη ροπή εκτροπής λόγω της πλαγιολίσθησης. Βέβαια τις περισσότερες φορές αυτά τα φαινόμενα θεωρούνται αμελητέα σε σχέση με αυτά που προκαλούνται λόγω του κάθετου σταθερού-τουλάχιστον για τον προκαταρκτικό σχεδιασμό. Ας σημειωθεί ότι στην πράξη αυτά τα φαινόμενα μπορεί να είναι αρκετά σημαντικά και εφόσον αγνοηθούν θα εισάγουν σημαντικό βαθμό ανακρίβειας στη συνέχεια των υπολογισμών. Εάν σύμφωνα με τα σχήματα 6.5-6.10 θεωρηθεί μόνον η επίδραση του κάθετου ουραίου πτερύγιου, η ροπή εκτροπής που προκαλείται από την πλάγια δύναμη Υf, λόγω της άνωσης στο κάθετο ουραίο πτερύγιο [σχέση (6.67)], μπορεί να περιγραφεί ποσοτικά ως ακολούθως: v Ñ v,f = Y f l f = 1 2 ρv T 2 S f α 1f βl f (6.93) Με αντικατάσταση του β από την εξίσωση (6.66), προκύπτει η εξής έκφραση για την παράγωγο ευστάθειας: Ñ v,f = 1 2 ρv T S f α 1f l f (6.94) Σημειώνεται ότι το πρόσημο της Ñ v είναι θετικό, δηλαδή είναι σταθεροποιητική. Κατά τη θετική πλαγιολίσθηση η σχετική ταχύτητα του αέρα έρχεται από τα δεξιά του ρύγχους του αεροσκάφους (βλ. σχήμα 6.5) και η σταθεροποιητική ροπή λόγω της πλαγιολίσθησης τείνει να εκτρέψει το αεροσκάφος δεξιόστροφα, έως ότου το ρύγχος ευθυγραμμιστεί με το σχετικό άνεμο. Έτσι, το αρνητικό αποτέλεσμα λόγω της πλαγιολίσθησης τείνει να μηδενιστεί. Επίσης, συνήθως σταθεροποιητικό είναι και το αποτέλεσμα της διαφορικής οπισθέλκουσας πάνω στις πτέρυγες του αεροσκάφους, το οποίο μπορεί να επηρεάσει σημαντικά τα χαρακτηριστικά του αεροσκάφους σε υψηλές γωνίες πρόσπτωσης, μιας και ένα μεγάλο μέρος του κάθετου ουραίου πτερύγιου μπορεί να βρεθεί μέσα στην ανώμαλη ροή (wak) των κύριων πτερύγων και επομένως να χάσει την αποτελεσματικότητά του. Ένας άλλος παράγοντας που μπορεί να είναι σημαντικός για την εγκάρσια συμπεριφορά του αεροσκάφους αποτελεί και η κάθετη οπισθέλκουσα στην πλάγια επιφάνεια του αεροσκάφους μπροστά αλλά και πίσω από το κέντρο βάρους Ο. Συχνά η ροπή εκτροπής λόγω της πλαγιολίσθησης που προκαλείται από την πλάγια επιφάνεια του αεροσκάφους είναι αρνητική και έτσι αποσταθεροποιητική. Για ορισμένες κλάσεις αεροσκαφών, όπως για παράδειγμα τα μεγάλα μεταφορικά, αυτός ο παράγοντας μπορεί να είναι τόσο σημαντικός, ώστε να απαιτηθεί η ύπαρξη ενός πολύ μεγάλου, κάθετου σταθερού για να επιτευχθεί ικανοποιητική ευστάθεια διεύθυνσης. 4.2. Παράγωγοι λόγω του ρυθμού περιστροφής (κλίσης) Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η θετική περιστροφή του αεροσκάφους σε σχέση με τον πιλότο είναι η δεξιόστροφη με τη δεξιά πτέρυγα να κατεβαίνει. Η αντίστοιχη

μεταβλητή των μικρών διαταραχών (διαταραχή περιστροφής) συμβολίζεται με το p. Η φύση της περιστροφής είναι τέτοια ώστε, καθώς η δεξιά πτέρυγα χαμηλώνει, το ρύγχος του αεροσκάφους έχει την τάση να κινηθεί δεξιά, ενώ το ίδιο το αεροσκάφος έχει την τάση να ολισθήσει δεξιά. Η αντίδραση στη διαταραχή θα είναι σταθεροποιητική εφόσον οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές τείνουν να επαναφέρουν το αεροσκάφος σε οριζόντια (wings lvl) πτήση ισορροπίας χωρίς εκτροπή του ρύγχους του. 4.2.1. Y p: Διαταραχή της πλάγιας δύναμης λόγω διαταραχής του ρυθμού περιστροφής Η πλάγια δύναμη λόγω του ρυθμού περιστροφής συνήθως θεωρείται ότι είναι αμελητέου μεγέθους, εκτός από τα αεροσκάφη με κάθετο ουραίο πτερύγιο μεγάλου λόγου επιμήκους. Ακόμη και τότε η επίδραση μπορεί να είναι πολύ μικρή. Έτσι, το κάθετο ουραίο πτερύγιο θεωρείται ότι αποτελεί τον μόνο σημαντικό παράγοντα για τη διαμόρφωση αυτής της παραγώγου. Με βάση το σχήμα 6.11, λαμβάνεται λωρίδα πλάτους dh και τετμημένης h κατά μήκος της χορδής στο κάθετο ουραίο πτερύγιο, η οποία μετράται προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα Οx. Όταν το αεροσκάφος υφίσταται μία θετική διαταραχή p, η λωρίδα βλέπει μία πλάγια συνιστώσα της ταχύτητας ph. Η ολική ταχύτητα VT που «βλέπει» το κάθετο σταθερό βρίσκεται σε γωνία πρόσπτωσης α και βέβαια είναι πολύ μικρή ώστε: α tan α = ph V T (6.95) Σχήμα 6.11 Γεωμετρία και λωρίδες υπολογισμού άνωσης στο κάθετο ουραίο πτερύγιο λόγω διαταραχής του ρυθμού περιστροφής.

Ως επακόλουθο, προκαλείται άνωση στο κάθετο ουραίο πτερύγιο, η οποία έχει σαν συνιστώσα μία εγκάρσια στοιχειώδη δύναμη δυ που εφαρμόζεται στη λωρίδα και δίνεται από τη σχέση: δy = 1 2 ρv T 2 c h α h α dh = 1 2 ρv T c h α h phdh (6.96) όπου αh είναι η τοπική κλίση της καμπύλης της άνωσης και ch είναι το μήκος της τοπικής χορδής. Η ολική πλάγια δύναμη που επιδρά στο κάθετο σταθερό δίνεται μετά από ολοκλήρωση της πιο πάνω σχέσης, από τη βάση έως την άκρη του πτερυγίου: pỹ p,f = Y f = 1 2 ρv T p 0 H f α h c h hdh (6.97) όπου Hf είναι το εκπέτασμα του κάθετου σταθερού που μετριέται από τον άξονα Οx. Η έκφραση για την επίδραση του κάθετου σταθερού πάνω στην παράγωγο ευστάθειας θα είναι: Ỹ p,f = 1 H f 2 ρv T α h c h hdh (6.98) 4.2.2. L p: Διαταραχή της ροπής περιστροφής λόγω διαταραχής του ρυθμού περιστροφής Η σημαντικότερη συμβολή σε αυτή τη ροπή προκύπτει από την κύρια πτέρυγα, ενώ λιγότερο συντελούν η άτρακτος, το οριζόντιο και το κάθετο, ουραίο πτερύγιο. Η παράγωγος αυτή είναι πολύ σημαντική αφού περιγράφει ποσοτικά την απόσβεση στην περιστροφή και επομένως χαρακτηρίζει τη δυναμική μορφή της υποχώρησης της περιστροφής που συζητήθηκε στο υποκεφάλαιο 3.1 του Κεφ. 5. Στη συνέχεια επόμενα θα θεωρηθεί ότι ο κύριος παράγοντας διαμόρφωσης αυτής της παραγώγου είναι η κύρια πτέρυγα. Σύμφωνα με το σχήμα 6.12, όταν η δεξιά πτέρυγα συναντά μια θετική διαταραχή στον ρυθμό περιστροφής p και υποθέτοντας ότι το αεροσκάφος περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Οx, τότε η μικρή αύξηση στη γωνία πρόσπτωσης α' στη λωρίδα κατά μήκος της χορδής θα δίνεται από: α tan α = py V T (6.99) Υφίσταται βέβαια αντίστοιχη μείωση στη γωνία πρόσπτωσης στην αριστερή πτέρυγα. Συμβολίζοντας με L' και D' τη συνολική αύξηση στην άνωση και την οπισθέλκουσα κατά τη διαταραχή στη στοιχειώδη λωρίδα, τότε : και 0 L = 1 2 ρv T c y α y (α + α )dy (6.100) D = 1 2 ρv T 2 c y C D y dy (6.101)

Σχήμα 6.12 Γεωμετρία και λωρίδες υπολογισμού άνωσης στη δεξιά και αριστερή κύρια πτέρυγα λόγω διαταραχής του ρυθμού περιστροφής Η στοιχειώδης αύξηση στην κάθετη δύναμη δζ (δεξιά) που επενεργεί στη δεξιά λωρίδα κατά τη διαταραχή δίνεται από : δz right = L cos α D sin α L D α (6.102) αφού η α είναι μικρή γωνία. Με αντικατάσταση του L', D' και α' από τις εξισώσεις (6.101), (6.102) και (6.99) προκύπτει: δz right = 1 2 ρv T 2 [α y α + (α y + C Dy ) py ] c V y dy (6.103) T Έτσι, η αντίστοιχη αύξηση στη ροπή περιστροφής δίνεται από : δl right = y δz right (6.104) και η αντίστοιχη αύξηση στη ροπή περιστροφής που προκύπτει από την αριστερή πτέρυγα, (εκεί όπου η γωνία πρόσπτωσης μειώνεται κατά α αφού η πτέρυγα ανέρχεται) σε σχέση με τη ροή δίνεται από : δl lft = y δz lft (6.105) Η συνολική ροπή περιστροφής, φυσικά, θα δίνεται από το άθροισμα των δύο παραπάνω ποσοτήτων και με ολοκλήρωση τους από τη βάση έως την άκρη του πτερύγιου: L tot = span και εφόσον εξ ορισμού: δl right + δl lft s = ρv T p (α y + C Dy ) y 2 c y dy 0 (6.106) pl p = L tot (6.107) η παράγωγος ευστάθειας θα δίνεται από τη σχέση : s L p = ρv T (α y + C Dy ) y 2 c y dy 0 (6.108) 4.2.3. N p: Διαταραχή της ροπής εκτροπής λόγω διαταραχής του ρυθμού περιστροφής H ροπή εκτροπής λόγω του ρυθμού περιστροφής διαμορφώνεται εξολοκλήρου από την κύρια πτέρυγα, αν και σε ορισμένα αεροσκάφη ένα μεγάλο κάθετο ουραίο πτερύγιο