Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή ιδιαίτερα χρήσιµων συµπερασµάτων από αυτά. Σκοπός κεφαλαίου Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. 5.1. Ανάλυση Ευαισθησίας Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. 5.1.1. Μια πρώτη Γραφική Προσέγγιση Η ανάλυση ευαισθησίας εξετάζει το πώς αλλαγές στις παραµέτρους ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού (Γ.Π.) επηρεάζουν την βέλτιστη λύση αυτού. Στην παράγραφο αυτή θα επιχειρήσουµε µια πρώτη προσέγγιση του θέµατος µε τη βοήθεια γραφηµάτων. Ας θεωρήσουµε το παρακάτω πρόβληµα: Ένα εργαστήριο κατασκευής ξύλινων ανοιγµάτων οικιών, παράγει σε εβδοµαδιαία βάση πόρτες και παράθυρα από µαόνι. Το (καθαρό) κέρδος από την πώληση µιας πόρτας είναι 3 χρηµατικές µονάδες ενώ το (καθαρό) κέρδος από την κατασκευή ενός παραθύρου είναι χρηµατικές µονάδες. Το εργαστήριο διαθέτει δύο τµήµατα, το τµήµα επεξεργασίας και βαφής του ξύλου και το τµήµα συναρµολόγησης των τµηµάτων των παραθύρων και των πορτών. Κάθε πόρτα απαιτεί κατά µέσο όρο ώρες επεξεργασίας και 1 ώρα συναρµολόγησης ενώ κάθε παράθυρο απαιτεί κατά µέσο όρο 1 ώρα επεξεργασίας και 1 ώρα συναρµολόγησης. Λόγω σύνθεσης του προσωπικού και διαθεσιµότητας εργαλείων, το τµήµα επεξεργασίας έχει τη δυνατότητα εργασίας 100 ωρών ανά εβδοµάδα ενώ το τµήµα συναρµολόγησης έχει δυνατότητα εργασίας 80 ωρών ανά εβδοµάδα. Επιπλέον το εργαστήριο λόγω ζήτησης δεν επιθυµεί την κατασκευή περισσότερων από 40 πόρτες την εβδοµάδα. Να ευρεθεί πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού για την µεγιστοποίηση του καθαρού κέρδους του εργαστηρίου. (συνέχεια στην επόµενη σελίδα) 71

(συνέχεια από την προηγούµενη σελίδα) Έστω x 1 ο αριθµός των πορτών που κατασκευάζεται εβδοµαδιαία και x ο αριθµός των παραθύρων που κατασκευάζονται εβδοµαδιαία. Το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού θα είναι το παρακάτω (να αναλυθεί): Μεγιστοποίηση: Ζ=3x 1 +x Υπό τους περιορισµούς: x 1 +x 100 (περιορισµός τµήµατος επεξεργασίας) x 1 +x 80 (περιορισµός τµήµατος συναρµολόγησης) x 1 40 (περιορισµός ζήτησης) x 1,x 0 Η επίλυση του παραπάνω προβλήµατος είναι Ζ=180 χρηµατικές µονάδες, x 1 =0 πόρτες/εβδοµάδα, x =60 παράθυρα/εβδοµάδα. Οι βασικές µεταβλητές είναι οι x 1, x, s 3 (s 3 η τεχνητή µεταβλητή για τον περιορισµό ζήτησης). 7

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Καταρχάς θα εξεταστεί η επιρροή στη βέλτιστη λύση µεταβολής συντελεστή της αντικειµενικής συνάρτησης. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική ανάλυση του προβλήµατος. Το σηµείο Β απεικονίζει τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. 100 x 80 A Περιορισµός επεξεργασίας Κλίση γραµµής - 60 B Περιορισµός ζήτησης 40 Γραµµή κέρδους z=10 Κλίση γραµµής -1.5 0 Γ Περιορισµός συναρµολόγησης Κλίση γραµµής -1 0 0 40 60 80 x 1 Σχήµα 5.1.1. Γραφική ανάλυση του προβλήµατος. Στο παράδειγµα µας, αν το κέρδος από την κατασκευή µιας πόρτας αυξανόταν, το εργαστήριο θα αύξανε την παραγωγή (η s 3 θα έβγαινε από τη βάση στη βέλτιστη λύση). Αν πάλι µειωνόταν, θα ήταν ίσως προτιµότερη η κατασκευή µόνο παραθύρων (η x 1 θα έβγαινε από τη βάση στη βέλτιστη λύση). Έστω c το κέρδος από την πώληση µιας πόρτας (στο προκείµενο παράδειγµα c=3). Αν θεωρηθεί Ζ=k=σταθερό, η εξίσωση µεταξύ των x 1 και x θα είναι: x =-0.5cx 1 +0.5k 73

Για κάθε τιµή του Ζ, έχουµε παράλληλες γραµµές (γραµµές κέρδους) µε κλίση -1.5. Αλλάζοντας τη σταθερά c παρατηρούµε τα παρακάτω: Aν η γραµµή κέρδους έχει µικρότερη κλίση (σε σχέση µε τον οριζόντιο άξονα συντεταγµένων) από τη γραµµή του περιορισµού επεξεργασίας, η βέλτιστη λύση θα αλλάξει από το σηµείο Β στο σηµείο Α. Συνεπώς, αφού η κλίση κάθε γραµµής κέρδους είναι - 0.5c και η κλίση της γραµµής του περιορισµού επεξεργασίας είναι -1, εφόσον θα είναι -0.5c>-1 c<, η βάση θα αλλάξει και η βέλτιστη λύση στο σηµείο Α θα είναι x 1 =0 και x =80. Αν η γραµµή κέρδους έχει µεγαλύτερη κλίση (σε σχέση µε τον οριζόντιο άξονα συντεταγµένων) από τη γραµµή του περιορισµού συναρµολόγησης, η βέλτιστη λύση θα αλλάξει από το σηµείο Β στο σηµείο Γ. Συνεπώς, αφού η κλίση κάθε γραµµής κέρδους είναι -0.5c και η κλίση της γραµµής του περιορισµού συναρµολόγησης είναι -3, εφόσον θα είναι -0.5c<- c>4, η βάση θα αλλάξει και η βέλτιστη λύση στο σηµείο Γ θα είναι x 1 =40 και x =0. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, αν όλες οι υπόλοιπες παράµετροι παραµείνουν σταθερές, µεταβολή του c στο διάστηµα [,4] δεν αλλάζει τη βάση της βέλτιστης λύσης, αλλάζει όµως την τιµή του Ζ. 74

ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΞΙΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥ Στο παράδειγµά µας, ας θεωρήσουµε ότι το δεξιό µέλος του περιορισµού είναι ίσο µε b. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική ανάλυση του προβλήµατος. Το σηµείο Β απεικονίζει τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. x 100 Περιορισµός επεξεργασίας b=100 80 A Περιορισµός επεξεργασίας b=10 Περιορισµός επεξεργασίας b=80 60 B Περιορισµός ζήτησης 40 Γραµµή κέρδους z=10 0 Γ Περιορισµός συναρµολόγησης Κλίση γραµµής -1 x 1 0 0 40 60 80 Σχήµα 5.1.. Γραφική ανάλυση του προβλήµατος. Μια αλλαγή στο b µετακινεί τη γραµµή του περιορισµού επεξεργασίας παράλληλα στην αρχική της θέση. Παρόλα αυτά, όσο οι περιορισµοί επεξεργασίας και συναρµολόγησης παραµένουν δεσµευτικοί (binding), η βέλτιστη λύση παραµένει στο σηµείο Β. Στο παραπάνω σχήµα, παρατηρούµε ότι αν b>10, το σηµείο Β θα βρεθεί πέρα από το σηµείο, όπου η βάση δεν είναι βέλτιστη και το σηµείο δεν δίνει δυνατή λύση αφού τότε x 1 >40 (παραβιάζεται ο περιορισµός της ζήτησης). Όµοια, από το παραπάνω σχήµα, για b<80 η βάση δεν είναι βέλτιστη αφού τότε x 1 <0. Παρόλα αυτά, αν το b ανήκει στο διάστηµα [80,10], η βάση είναι βέλτιστη. Βέβαια, το γεγονός ότι στο διάστηµα [80,10] η βάση παραµένει βέλτιστη, δε σηµαίνει ότι οι βασικές µεταβλητές και η αντικειµενική συνάρτηση διατηρούν τις ίδιες τιµές. Όπως µπορεί να φανεί από το σχήµα της γραφικής 75

επίλυσης, για 80 b 100 το σηµείο όπου θα βρίσκεται η βέλτιστη λύση θα είναι σηµείο της ευθείας ΑΒ ενώ για 100<b 10 το σηµείο όπου θα βρίσκεται η βέλτιστη λύση θα είναι σηµείο της ευθείας Β. Πάντως, η εύρεση των τιµών των βασικών µεταβλητών για αλλαγή της τιµής του b είναι απλή. Για το παράδειγµά µας, έστω ότι b=100+ (100 είναι το µέσο του διαστήµατος [80,10]). Συνεπώς η βάση παραµένει η ίδια για -0 0. Επίσης, όπως µπορεί να συναχθεί από την προηγούµενη ανάλυση, στο διάστηµα [80,10] οι τιµές των βασικών µεταβλητών αποτελούν το σηµείο τοµής των περιορισµών επεξεργασίας και συναρµολόγησης, οπότε αποτελούν τη λύση του συστήµατος: x 1 +x =100+ x 1 +x =80 Η λύση αυτή είναι x 1 =0+ και x =60-. Σύµφωνα µε τη λύση αυτή, αύξηση στις διαθέσιµες ώρες επεξεργασίας σηµαίνει αύξηση στις παραγόµενες πόρτες και µείωση στα παραγόµενα παράθυρα. Αντίστοιχα, µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για τους υπόλοιπους περιορισµούς. Αν ακολουθήσουµε την ίδια διαδικασία για τον περιορισµό συναρµολόγησης, θα λάβουµε -0 0 (όπου η βάση δεν αλλάζει) και x 1 =0-, x =60+, κάτι που δείχνει ότι αύξηση στις διαθέσιµες ώρες συναρµολόγησης σηµαίνει µείωση στις παραγόµενες πόρτες και αύξηση στα παραγόµενα παράθυρα. Για τον περιορισµό ζήτησης, προκύπτει ότι -0. Όσο οι άλλοι δύο περιορισµοί είναι δεσµευτικοί, για οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα αυτό ( 0), η βέλτιστη λύση θα είναι λύση του συστήµατος: x 1 +x =100 x 1 +x =80 δηλαδή x 1 =0 και x =60. Αυτό µας δείχνει ότι σε περιορισµό µε θετικό περίσσευµα (µη δεσµευτικό), αν µεταβληθεί το δεξιό µέλος χωρίς να αλλάξει η βάση, δεν αλλάζει ούτε η βέλτιστη λύση. ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΚΟΣΤΟΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το περιθώριο κόστος (shadow price) είναι µια έννοια την οποία θα αναλύσουµε εκτεταµένα στη συνέχεια. Παρόλα αυτά, και για λόγους πληρότητας, θα αναφερθούµε στο περιθώριο κόστος επί του παρόντος παραδείγµατος. Ορισµός: Ορίζουµε το περιθώριο κόστος ενός περιορισµού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού (ΠΓΠ) ως την ποσότητα κατά την οποία θα βελτιωθεί περαιτέρω η βέλτιστη λύση, αν µεταβληθεί το δεξιό µέλος του περιορισµού αυτού κατά µια µονάδα (εφόσον δεν αλλάξει η βάση µε τη µεταβολή αυτή). 76

Στο παράδειγµά µας και σε κάθε παράδειγµα όπου οι µεταβλητές είναι δύο, είναι εύκολος ο προσδιορισµός του περιθώριου κόστους. Λόγου χάρη, για τον πρώτο περιορισµό, όπου x 1 =0+ και x =60- η βέλτιστη τιµή θα είναι Ζ=3x 1 +x =180+. Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι αύξηση κατά 1 µονάδα στην τιµή του δεξιού µέλους του περιορισµού (δηλαδή του ), σηµαίνει αύξηση του Ζ. Γενικά, µπορούµε να συµπεράνουµε τα εξής, αναφερόµενοι στο δεξιό µέλος ενός περιορισµού π. γ. π., του οποίου µεταβάλλουµε την τιµή κατά b>0. Για ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης: Νέα τιµή Ζ= Παλαιά τιµή z + (Περιθώριο κόστος) b. Για ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης: Νέα τιµή z= Παλαιά τιµή z - (Περιθώριο κόστος) b. Στο θέµα περιθώριο κόστος θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη συνέχεια. 5.. Μαθηµατικό Υπόβαθρο Πριν προχωρήσουµε σε µια εκτενέστερη εξέταση των θεµάτων «Ανάλυση ευαισθησίας» και «υϊκότητα», θα χρησιµοποιήσουµε την θεωρία πινάκων για την απόδοση του βέλτιστου πίνακα SIMPLEX ενός ΠΓΠ. Με τη βοήθεια της θεωρίας πινάκων θα εξαχθούν σχέσεις που είναι απαραίτητες για να εξετάσουµε τα παραπάνω θέµατα. Ας θεωρήσουµε ένα π. γ. π. το οποίο έχει αναπτυχθεί για επίλυση µε τη µέθοδο Big-M. Αγνοούµε το γεγονός ότι µια µεταβλητή µπορεί να είναι κανονική, τεχνητή ή βοηθητική και θεωρούµε ότι το π. γ. π. έχει m περιορισµούς και n µεταβλητές x 1, x,, x n. Μεγιστοποίηση: Ζ = c 1 x 1 +c x + +c n x n Με περιορισµούς: a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n =b 1 a 1 x 1 +a x + +a n x n =b a m1 x 1 +a m x + +a mn x n =b m Έστω ότι έχουµε βρει τη βέλτιστη λύση στο σύστηµα. Oρίζουµε τον πίνακα m x 1 των m βασικών µεταβλητών (BV) του βέλτιστου πίνακα: x BV x x =... x BV,1 BV, BV,m 77

Επίσης ορίζουµε τον πίνακα (n-m) x 1 των µη βασικών µεταβλητών του βέλτιστου πίνακα: x NBV,1 x NBV, x NBV =... x NBV,n m Ορίζουµε επίσης: (α) Τον πίνακα c BV 1 x m των συντελεστών των βασικών µεταβλητών στην αντικειµενική συνάρτηση: c BV = [c BV,1,..., c BV, m (β) Τον πίνακα c NBV 1 x (n-m) των συντελεστών των µη βασικών µεταβλητών στην αντικειµενική συνάρτηση: ] c NBV = [c NBV,1,..., c NBV,n m ] (γ) Τον πίνακα B m x m του οποίου η κάθε στήλη j είναι η στήλη των συντελεστών των περιορισµών για τη βασική µεταβλητή BV j (µε τη σειρά που εµφανίζονται στη βάση). (δ) Η στήλη a j είναι η στήλη των περιορισµών για τη µεταβλητή x j. (ε) Τον πίνακα N m x (n-m) του οποίου η κάθε στήλη j είναι η στήλη των συντελεστών των περιορισµών για τη µη βασική µεταβλητή NBV j (µε τη σειρά που εµφανίζονται στη βάση). (στ) Το διάνυσµα b είναι το δεξιό µέλος των περιορισµών. Για να γίνουν κατανοητοί οι παραπάνω ορισµοί, θα δειχθούν για το παρακάτω παράδειγµα, όπου φαίνεται το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού και ο βέλτιστος πίνακας SIMPLEX (Πίνακας 5..1.) του: Μεγιστοποίηση: Ζ=60x 1 +30x +0x 3 +0s 1 +0s +0s 3 Με περιορισµούς: 8x 1 +6x +x 3 +s 1 =48 4x 1 +x +1.5x 3 +s =0 x 1 +1.5x +0.5x 3 +s 3 =8 x 1, x, x 3, s 1, s, s 3 0 78

Πίνακας 5..1. Βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. Z X 1 X X 3 S 1 S S 3 RHS ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 1 0 5 0 0 10 10 80 z=80 0 0-0 1-8 4 s 1 =4 0 0-1 0-4 8 x 3 =8 0 1 1.5 0 0-0.5 1.5 x 1 = Είναι BV 1 =s 1, BV =x 3, BV 3 =x 1 και NBV 1 =x, NBV =s, NBV 3 =s 3 οπότε: x x c BV = BV NBV c NBV = s = x x x = s s 1 3 1 3 [ 0 0 60] [ 30 0 0] 1 B = 0 0 1 1.5 0.5 8 4 Για την µεταβλητή x : 6 a = 1.5 6 0 0 N = 1 0 1.5 0 1 48 b = 0 8 79

Έχοντας τα παραπάνω, µπορούµε να εκφράσουµε τους περιορισµούς κάθε πίνακα SIMPLEX σε συνάρτηση µε τον πίνακα Β -1 (αντίστροφο του Β) και τον αρχικό πίνακα SIMPLEX: s.t. Z = cbv xbv + cnbv xnbv B + N x = b x BV x BV NBN, x NBV 0 (i) Πολλαπλασιάζοντας τη γραµµή των περιορισµών (δεύτερη γραµµή) του (i), από αριστερά, µε Β -1, έχουµε: B 1 B x BV xbv + B 1 N = B 1 b x NBN + B 1 N x = B 1 b NBN (ii) Aπό τη σχέση (ii), προκύπτουν τα εξής: Στήλη του x j στους περιορισµούς του βέλτιστου πίνακα = Β -1 a j (iii) εξιό µέλος περιορισµών βέλτιστου πίνακα = Β -1 b (iv) H αντικειµενική συνάρτηση στον βέλτιστο πίνακα εκφράζεται σε συνάρτηση µε τις βασικές µεταβλητές και τον αρχικό πίνακα. Καταρχάς, πολλαπλασιάζουµε τους περιορισµούς (όπως φαίνονται στο (i)), από αριστερά, µε c BV B -1 : c BV x BV + c BV B 1 N x NBV = c BV B 1 b (v) Επίσης, από την (i) είναι: z c x c x BV BV NBV NBV = 0 (vi) Προσθέτοντας τις (v) και (vi) κατά µέλη, έχουµε ότι: 1 1 ( c B N c ) x = c B b z + (vii) BV Παρατηρούµε ότι προσθέτοντας τις (v) και (vi) κατά µέλη, οι βασικές µεταβλητές του βέλτιστου πίνακα ουσιαστικά διαγράφονται και προκύπτει η γραµµή της αντικειµενικής συνάρτησης. NBV NBV Έτσι, αν c j ο συντελεστής της µεταβλητής x j, είναι 1 c ' = c B a c (viii) j BV j j BV 80

Επίσης, το δεξιό µέλος της γραµµής της αντικειµενικής συνάρτησης στο βέλτιστο πίνακα είναι 1 RHS = c B b (ix) 0 BV Η σχέση (viii) µπορεί να απλοποιηθεί αν η µεταβλητή είναι τεχνητή ή βοηθητική. Αν η µεταβλητή είναι τεχνητή (περιορισµού ), έστω s i, ο συντελεστής της στην αρχική µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι 0. Επίσης, στον περιορισµό i της αρχικής µορφής ο συντελεστής της είναι 1 ενώ στους υπόλοιπους είναι 0. Συνεπώς, από τη σχέση (viii) είναι: Συντελεστής s i στη βέλτιστη γραµµή 0=Στοιχείο i της σχέσης c B 1 1 0 = Στοιχείο i της σχέσης c B (viii-a) BV Αν η µεταβλητή είναι τεχνητή (περιορισµού ), έστω e i, ο συντελεστής της στην αρχική µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι 0. Επίσης, στον περιορισµό i της αρχικής µορφής ο συντελεστής της είναι -1 ενώ στους υπόλοιπους είναι 0. Συνεπώς, από τη σχέση (viii) είναι: Συντελεστής s i στη βέλτιστη γραµµή 0=-Στοιχείο i της σχέσης c B 1 1 0 = Στοιχείο i της σχέσης c B (viii-b) BV Αν η µεταβλητή είναι τεχνητή, a i, ο συντελεστής της (σε πρόβληµα µεγιστοποίησης) στην αρχική αντικειµενική συνάρτηση είναι Μ και ο συντελεστής της στην αρχική µορφή είναι 1 στον περιορισµό i και 0 σε όλες τις άλλες. Συνεπώς, από τη σχέση (viii) είναι: Συντελεστής a i στη βέλτιστη γραµµή 0=-Στοιχείο i της σχέσης c B 1 ( M) =Στοιχείο i της σχέσης c B 1 M (viii-c) BV BV BV BV + Βασικός για την εφαρµογή των παραπάνω είναι ο υπολογισµός του B -1 ο οποίος µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε γραµµοπράξεις (µέθοδος Gauss- Jordan), µε την µέθοδο των οριζουσών κτλ. 81

Για να κατανοήσει ο αναγνώστης τα παραπάνω ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για το παρακάτω ΠΓΠ γνωρίζουµε ότι η βέλτιστη βάση είναι η BV={x,s }. Να υπολογιστεί ο βέλτιστος πίνακας SIMPLEX: Max z=x 1 +4x s.t. x 1 +x 6 x 1 +x 8 x 1, x 0 Λύση: Προσθέτουµε τεχνητές µεταβλητές στο αρχικό πρόβληµα και λαµβάνουµε την τυπική µορφή του: Max z=x 1 +4x s.t. x 1 +x +s 1= 6 x 1 +x +s =8 x 1, x, s 1, s 0 Είναι B = 1 0 1 Με τη βοήθεια γραµµοπράξεων υπολογίζουµε το Β -1 : 1 Είναι a 1 = πίνακα είναι: B 1 0.5 0 = 0.5 1 οπότε η στήλη του x 1 (µη βασική µεταβλητή) στο βέλτιστο 1 B a1 0.5 0 1 0.5 = = 0.5 1 0 1.5 Αντίστοιχα, για τη µη βασική µεταβλητή s 1 η στήλη στο βέλτιστο πίνακα 0.5 είναι 0. 5 6 0.5 0 Επίσης, αφού b = είναι = 8 6 3 RHS = 0.5 1 8 5 (συνέχεια στην επόµενη σελίδα) 8

(συνέχεια από την προηγούµενη σελίδα) ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Συνεπώς, οι περιορισµοί του βέλτιστου πίνακα είναι: 0.5x 1 +x +0.5s 1 =3 1.5x 1-0.5s 1 +s =5 (προφανώς οι βασικές µεταβλητές έχουν συντελεστή 1 στον περιορισµό όπου έχουν εισαχθεί στη βάση και 0 στον άλλο). Είναι c BV =[4 0], οπότε: 0.5 0 c BV B = 0.5 1 1 = [ 4 0] [ 0] 1 Συντελεστής x 1 στη γραµµή 0 (viii) του βέλτιστου πίνακα: [ 0] 1= 1 Συντελεστής s 1 στη γραµµή 0 (viii-a) του βέλτιστο πίνακα: 6 εξιό µέλος στη γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα: RHS = [ 0] = 1 8 Επίσης, οι βασικές µεταβλητές θα έχουν συντελεστή 0 στη γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα, ο οποίος θα είναι: Πίνακας 5... Βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. Z X 1 X S 1 S RHS ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 1 1 0 0 1 z=1 0 0.5 1 0.5 0 3 x =3 0 1.5 0-0.5 1 4 s =5 83

5.3. Ανάλυση Ευαισθησίας Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούµενη παράγραφο, η ανάλυση ευαισθησίας είναι µια διαδικασία η οποία εξετάζει το πώς θα µεταβληθεί η βέλτιστη τιµή ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού αν τροποποιήσουµε παραµέτρους του ΠΓΠ, όπως οι συντελεστές ή τα δεξιά µέλη των εξισώσεων του ΠΓΠ. Από τα προηγούµενα εξήχθη το συµπέρασµα ότι η βέλτιστη λύση ενός προβλήµατος µεγιστοποίησης προκύπτει όταν και µόνο όταν κάθε περιορισµός έχει µη αρνητικό δεξιό µέλος και κάθε µεταβλητή στη γραµµή της αντικειµενικής συνάρτησης (γραµµή 0) έχει µη αρνητικό συντελεστή. Συνεπώς, το αν ένας πίνακας SIMPLEΧ είναι βέλτιστος, εξαρτάται από τους συντελεστές των µεταβλητών στη γραµµή 0 και τα δεξιά µέλη των περιορισµών. Η διαδικασία της ανάλυσης ευαισθησίας συνοψίζεται στα παρακάτω: Με την χρήση των εξισώσεων της προηγούµενης παραγράφου, εξετάζουµε πώς αλλαγές στις παραµέτρους του π. γ. π. αλλάζουν τα δεξιά µέλη των περιορισµών και τους συντελεστές της γραµµής 0 στο βέλτιστο πίνακα. Αν κάθε µεταβλητή στη γραµµή 0 έχει µη αρνητικό συντελεστή και κάθε περιορισµός έχει µη αρνητικό δεξιό µέλος, η βάση εξακολουθεί να είναι βέλτιστη. Σε άλλη περίπτωση η βάση δεν είναι βέλτιστη. Αν η βάση δεν είναι η βέλτιστη, µπορεί να βρεθεί η νέα βάση µε τις σχέσεις της προηγούµενης παραγράφου. Γιατί όµως µπορεί µια βάση να µην είναι πλέον βέλτιστη; Μπορεί µια µεταβλητή στη γραµµή 0 (πρόβληµα µεγιστοποίησης) να έχει αρνητικό συντελεστή. Σε αυτήν την περίπτωση µπορεί να βρεθεί µια νέα βέλτιστη λύση εισάγοντας την µη βασική µεταβλητή στη βάση. Αν κάτι τέτοιο συµβαίνει, η πρώτη βέλτιστη λύση είναι υπό βέλτιστη (sub-optimal). Μπορεί µια µεταβλητή να αποκτήσει αρνητικό δεξιό µέλος. Σε αυτήν την περίπτωση είναι αδύνατη η εύρεση λύσης. 84

Για να παρουσιάσουµε τη διαδικασία της ανάλυσης ευαισθησίας, στη συνέχεια, θα χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Εργοστάσιο κατασκευάζει παράθυρα αλουµινίου σε τρεις τύπους Α, Β και Γ. Το κέρδος της εταιρίας ανά παράθυρο από κάθε τύπο είναι 60, 30, 0 χρηµατικές µονάδες αντίστοιχα. Το εργοστάσιο έχει δύο τµήµατα, το τµήµα επεξεργασίας και το τµήµα βαφής. Κάθε τύπος παραθύρου απαιτεί διαφορετική επεξεργασία και βαφή συνεπώς και διαφορετικό χρόνο για τις εργασίες αυτές. Τα τµήµατα του εργοστασίου έχουν περιορισµό συνολικού διαθέσιµου χρόνου, λόγω της ηλικίας των χρησιµοποιούµενων µηχανηµάτων και διαθέσιµου προσωπικού. Παράλληλα, το εργοστάσιο προµηθεύεται συγκεκριµένη ποσότητα αλουµινίου, το οποίο καταµερίζεται διαφορετικά ανά τύπο παραθύρου. Τα δεδοµένα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 5.3.1. εδοµένα παραδείγµατος. ιαθέσιµη ώρα Εργασίας / Ποσότητα Υλικού Τύπος Α, απαιτούµενη ώρα εργασίας και ποσότητα υλικού Τύπος Β, απαιτούµενη ώρα εργασίας και ποσότητα υλικού Τύπος Γ, απαιτούµενη ώρα εργασίας και ποσότητα υλικού 0 ώρες 4 ώρες ώρες 1.5 ώρες 8 ώρες ώρες 1.5 ώρες 0.5 ώρες 48 kg 8 kg 6 kg 1 kg Να βρεθεί ΠΓΠ όπου να µεγιστοποιείται το κέρδος του εργοστασίου Λύση: Έστω x 1 ο αριθµός των παραγόµενων παραθύρων αλουµινίου τύπου Α, x ο αριθµός των παραγόµενων παραθύρων αλουµινίου τύπου Β, x 3 ο αριθµός των παραγόµενων παραθύρων αλουµινίου τύπου Γ. To π. γ. π. είναι: Max z=60x 1 +30x +0x 3 s.t. 8x 1 +6x +x 3 48 (Περιορισµός ποσότητας αλουµινίου) 4x 1 +x +1.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών επεξεργασίας) x 1 +1.5x +0.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών βαφής) Ο βέλτιστος πίνακας SIMPLEX (Πίνακας 5.3..) για το παραπάνω ΠΓΠ είναι ο: 85

Πίνακας 5.3.. Βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. Z X 1 X X 3 S 1 S S 3 RHS ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 1 0 5 0 0 10 10 80 z=80 0 0-0 1-8 4 s 1 =4 0 0-1 0-4 8 x 3 =8 0 1 1.5 0 0-0.5 1.5 x 1 = Θα εξετάσουµε στη συνέχεια διάφορα σενάρια αλλαγών παραµέτρων προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού. (Α) ΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ας πάρουµε το παράδειγµά µας. Η µεταβλητή x είναι µη βασική. Θα δούµε πως η αλλαγή του συντελεστή c =30 επιδρά στη βέλτιστη λύση του π. γ. π. Έστω ότι ο c αλλάζει από 30 σε 30+. Οι πίνακες Β -1 και b δεν αλλάζουν, οπότε από τη σχέση (iv), το δεξιό µέλος όλων των περιορισµών δεν αλλάζει αφού είναι ίσο µε B -1 b. Συνεπώς η βάση είναι ακόµη δυνατή. Επίσης, αφού η µεταβλητή είναι µη βασική, ο πίνακας c BV δεν αλλάζει. Από τη σχέση (viii) προκύπτει ότι µόνο ο συντελεστής c της x αλλάζει σε c. Αν c 0, η υπάρχουσα βάση παραµένει βέλτιστη, αν όχι η βέλτιστη βάση αλλάζει. Είναι: 6 a = και c =30+. 1.5 1 Επίσης είναι c BV B = [ 0 10 10]. Από τη σχέση (viii) είναι: 6 c' [ ] = 0 10 10 (30 + ) = 5 1.5 Συνεπώς η βάση θα παραµείνει βέλτιστη αν c 0 ή 5. Αυτό σηµαίνει ότι αν το κέρδος από την πώληση του παραθύρου τύπου Β αυξηθεί µέχρι 5 χρηµατικές µονάδες, η βάση θα παραµείνει ως έχει. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν αλλάζουν ούτε τα δεξιά µέλη των περιορισµών ούτε και οι συντελεστές των βασικών µεταβλητών, άρα ούτε και οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης και των µεταβλητών. 86

Αν παρόλα αυτά =10>5, η βάση θα αλλάξει. Η νέα τιµή του συντελεστή c στον αρχικό βέλτιστο πίνακα θα είναι: 6 c' = [ 0 10 10] (30 + 10) = 5 1.5 Ο αρχικός βέλτιστος πίνακας SIMPLEX θα γίνει: Πίνακας 5.3.3. Αρχικός βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. z x 1 x x 3 s 1 s s 3 RHS Βασική Κριτήριο µεταβλητή Αναλογίας 1 0-5 0 0 10 10 80 z=80 0 0-0 1-8 4 s 1 =4-0 0-1 0-4 8 x 3 =8-0 1 1.5 0 0-0.5 1.5 x 1 = 1.6 Ο παραπάνω πίνακας είναι πλέον µη βέλτιστος. Με τη βοήθεια του αλγόριθµου SIMPLEX, υπολογίζεται ο νέος βέλτιστος πίνακας ο οποίος είναι: Πίνακας 5.3.4. Νέος βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. Z X 1 X X 3 S 1 S S 3 RHS ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 1 4 0 0 0 8 16 88 z=88 0 1.6 0 0 1 1. -5.6 7. s 1 =7. 0 1.6 0 1 0 1. -1.6 11. x 3 =11. 0 8 1 0 0-0.4 1. 1.6 x =1.6 Από τα παραπάνω, προκύπτει και η έννοια του οριακού κόστους (reduced cost) µιας µη βασικής µεταβλητής (σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης), το οποίο είναι η µέγιστη ποσότητα που µπορεί να αυξηθεί ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στην αντικειµενική συνάρτηση, ώστε η µη βασική µεταβλητή να εισέλθει στη βάση. 87

(Β) ΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Επίδραση στη βέλτιστη λύση Αλλάζοντας κάποιον από τους συντελεστές βασικών µεταβλητών όπως η x 1 ή η x 3, δεν αλλάζει ούτε ο Β -1 ούτε ο b, οπότε το δεξιό µέλος των περιορισµών παραµένει αµετάβλητο και η βασική λύση δυνατή. Παρόλα αυτά, αλλάζει ο πίνακας c BV οπότε και η παράσταση c BV B -1, άρα και η τιµή πέραν του ενός συντελεστή µεταβλητής στη γραµµή 0. Για το λόγο αυτό επανα-υπολογίζουµε τη γραµµή 0 µε τη σχέση (viii). Ας εξετάσουµε τη µεταβλητή x 1 µε αρχική τιµή συντελεστή c 1 =60. Έστω c 1 =60+. Υπολογίζουµε το Β -1 το οποίο είναι: B 1 1 = 0 0 1 0.5 8 4 1.5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν χρησιµοποιηθεί η µέθοδος GAUSS-JORDAN για τον υπολογισµό του Β -1, µπορεί να διαπιστωθεί ότι οι γραµµοπράξεις ταυτίζονται µε αυτές που αφορούν τις τεχνητές µεταβλητές και τις στήλες τους κατά την εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX (να επιβεβαιωθεί). ηλαδή, γενικά, για κάθε πίνακα SIMPLEX, o B -1 είναι ο πίνακας m x m που αποτελείται από τις στήλες του πίνακα αυτού που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές του αρχικού πίνακα SIMPLEX. 1 0 8 1.5 1 Τότε c B = [ 0 0 60 + ] 0 4 = [ 0 10 0.5 10 + 1.5 ] BV 0.5 Μπορούµε να υπολογίσουµε τη γραµµή 0: a 8 = 4,a 6 =,a 1.5 1 = 1.5,c 0.5 = 60 + D,c = 30,c 1 3 1 3 = Aφού οι s 1, x 3, x 1 είναι βασικές µεταβλητές, οι συντελεστές τους στη γραµµή 0 παραµένουν 0. 0 88

Από τη σχέση (viii), υπολογίζονται οι νέοι συντελεστές των µη βασικών µεταβλητών στη γραµµή 0: 6 1 c' [ ] = c BV B a c = 0 10 0.5 10 + 1.5 30 = 5 + 1.5 1.5 Συντελεστής της s στη γραµµή 0: εύτερο στοιχείο του c BV B 1 = 10 0.5 Συντελεστής της s 3 στη γραµµή 0: Τρίτο στοιχείο του c Η νέα γραµµή 0 θα είναι: BV B 1 ( 5 + 1.5 ) x + ( 10 0.5 ) s + ( 10 + 1.5 ) s? z 3 = + (*) Για να παραµείνει η βάση βέλτιστη πρέπει: 5+1.5 0 10-0.5 0 10+1.5 0 = 10 + 1.5 Η κοινή περιοχή των ανισώσεων είναι η -4 0. Για τις τιµές αυτές η βέλτιστη βάση παραµένει η ίδια. Αφού η τιµή Β -1 b δεν µεταβάλλεται, οι τιµές των βασικών µεταβλητών παραµένουν ως έχουν. Παρόλα αυτά, η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης αλλάζει αφού αλλάζει ο συντελεστής βασικής µεταβλητής σε αυτή. Στο παράδειγµά µας, αυτή η διαφοροποίηση του συντελεστή σηµαίνει διαφοροποίηση του κέρδους, καθώς ακόµη και αν αυξηθεί ή µειωθεί το κέρδος από την πώληση παραθύρων τύπου Α, ο αριθµός των παραθύρων που θα πουλιέται παραµένει ο ίδιος ανά τύπο, αλλά το συνολικό κέρδος αυξάνεται ή µειώνεται κατά. Παρόλα αυτά, αν το επιλεγεί εκτός ορίων, η βάση δεν είναι πλέον βέλτιστη (τα παράθυρα τύπου Α δεν είναι πλέον επιθυµητά προς αγορά). Λόγου χάρη, για =40>0, η νέα γραµµή 0 υπολογίζεται: c' 1 =0, c =5+1.5 =55, c 3 =0, συντελεστής s 1 =0, συντελεστής s =10-0.5 =-10, συντελεστής s 3 =10+1.5 =70. 48 1 εξιό µέλος γραµµής 0 = c BV B b = [ 0 10 70] 0 = 360 8 89

Ο αρχικός βέλτιστος πίνακας SIMPLEX, µε την αλλαγή των συντελεστών είναι: Πίνακας 5.3.5. Αρχικός βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. z x 1 x x 3 s 1 s s 3 RHS Βασική Κριτήριο µεταβλητή Αναλογίας 1 0 55 0 0-10 70 360 z=360 0 0-0 1-8 4 s 1 =4 1 0 0-1 0-4 8 x 3 =8 4 0 1 1.5 0 0-0.5 1.5 x 1 = - Με την χρήση του αλγόριθµου SIMPLEX, υπολογίζεται ο νέος βέλτιστος πίνακας SIMPLEX: Πίνακας 5.3.6. Νέος βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. z x 1 x x 3 s 1 s s 3 RHS Βασική µεταβλητή 1 0 45 5 0 0 50 400 z=400 0 0 0-1 1 0-4 16 s 1 =16 0 0-1 0.5 0 1-4 s =4 0 1 1.5 0.5 0 0 0.5 4 x 1 =4 Η νέα βάση είναι η BV={s 1, s, x 1 } όπου s 1 =16, s =4, x 1 =4. Από τη νέα βασική λύση φαίνεται ότι στη νέα βάση το κέρδος προκύπτει αποκλειστικά από τη µεταβλητή x 1. (Γ) ΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ ΕΞΙΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΕΝΟΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥ Θα εξετάσουµε την αλλαγή του δεξιού µέλους ενός περιορισµού ενός ΠΓΠ.. Αφού ο πίνακας b δε συµπεριλαµβάνεται στην εξίσωση (viii), η γραµµή 0 δεν αλλάζει, οπότε η υπάρχουσα βάση παραµένει βέλτιστη. Από τις σχέσεις (iii), (iv), µπορούµε να δούµε ότι η αλλαγή στο δεξιό µέλος ενός περιορισµού σηµαίνει αλλαγή στα δεξιά µέλη του βέλτιστου πίνακα. 90

Γενικά: Όσο το δεξιό µέλος κάθε περιορισµού στον βέλτιστο πίνακα παραµένει µη αρνητικό, η τρέχουσα βάση είναι δυνατή και βέλτιστη. Αν τουλάχιστον το δεξιό µέλος ενός περιορισµού γίνει αρνητικό στο βέλτιστο πίνακα, η τρέχουσα βασική λύση δεν είναι δυνατή οπότε ούτε και βέλτιστη. Ας λάβουµε τον περιορισµό «ωρών επεξεργασίας» του παραδείγµατός µας. Είναι b =0. Έστω b =0+. Από τη σχέση (iv), τα δεξιά µέλη των περιορισµών στον αρχικό βέλτιστο πίνακα θα είναι: B 1 48 1 = 0 + 0 8 0 0.5 8 48 4 + 4 = 0 + 8 + 1.5 8 0.5 Για να παραµείνει µια βάση βέλτιστη πρέπει το δεξιό µέλος κάθε µεταβλητής στον βέλτιστο πίνακα να παραµένει µη αρνητικό. ηλαδή: 4+ 0 8+ 0-0.5 0 Η επίλυση των ανισώσεων δείχνει ότι η τρέχουσα βάση παραµένει δυνατή άρα και βέλτιστη αν -4 4. ηλαδή, αν έχουµε από 16 µέχρι 4 ώρες επεξεργασίας δε διαφοροποιείται η βάση. Σε άλλη περίπτωση η βάση είναι αδύνατη. Παρόλα αυτά, αν και η βάση είναι αµετάβλητη, οι τιµές των µεταβλητών και της αντικειµενικής συνάρτησης αλλάζουν. Οι τιµές των βασικών µεταβλητών δίνονται από τη σχέση B -1 b και η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης από τη σχέση z=c BV B -1 b. Έστω b = στο παράδειγµά µας. Τότε s x x 1 3 1 = B 1 1 b = 0 0 0.5 8 48 8 4 = 1 1.5 8 1 ηλαδή, αν υπήρχαν διαθέσιµες ώρες επεξεργασίας, το εργοστάσιο θα παρήγαγε και θα πουλούσε 8 παράθυρα τύπου Α, 1 παράθυρα τύπου Β και 1 παράθυρο τύπου Γ. 91

Το κέρδος από την αλλαγή αυτή θα ήταν 48 z = c BV (νέο b) = [ 0 10 10] = 300 8 Τι συµβαίνει όµως αν η βάση δεν είναι πλέον βέλτιστη; Έστω b =30. Στον αρχικό βέλτιστο πίνακα SIMPLEX θα αλλάξουν τα δεξιά µέλη της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών (αυτό φαίνεται από τις εξισώσεις που προαναφέρθησαν). Από τη σχέση (iv), το δεξιό µέλος των περιορισµών στον βέλτιστο πίνακα για BV={s 1,x 3,x 1 } υπολογίζεται ως εξής: B 1 1 b = 0 0 0.5 8 48 44 4 = 30 8 1.5 8 3 48 8 1 BV = Το δεξιό µέλος της γραµµής 0 θα γίνει c B b = [ 0 10 10] 30 380 Αφού για τον περιορισµό 3 το δεξιό µέλος είναι αρνητικό, η βάση δεν είναι πλέον δυνατή και δεν είναι δυνατή η εύρεση νέας βέλτιστης λύσης στο π. γ. π. µε τον αλγόριθµο SIMPLEX. Σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση του δυαδικού αλγόριθµου SIMPLEX ο οποίος θα αναλυθεί σε επόµενη παράγραφο. ( ) ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΗΛΗΣ ΜΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Έστω ότι αλλάζουµε στο παράδειγµά µας τα χαρακτηριστικά του τµήµατος βαφής. ηλαδή αλλάζουµε τα στοιχεία της στήλης x. H αλλαγή στήλης µη βασικής µεταβλητής δεν επηρεάζει τα Β και b. Συνεπώς το δεξιό µέλος των εξισώσεων παραµένει το ίδιο. Από τη σχέση (viii), το µόνο που αλλάζει είναι το c. Για να παραµείνει η βάση βέλτιστη, πρέπει c 0. Από την (10) είναι: c' 1 = c BV B a c Παρατηρούµε ότι η ποσότητα c BV B τα a και c έχουν αλλάξει σε : οπότε: 1 c = 43 και παραµένει ίση µε [0 10 10] αλλά a 5 = 3 9

5 c' = < [ 0 10 10] 43 = 3 0 Αφού c <0, η βάση δεν είναι πλέον βέλτιστη. Από το αποτέλεσµα φαίνεται ότι µετά την αλλαγή, κάθε παράθυρο τύπου Β που κατασκευάζεται, αυξάνει το κέρδος του εργοστασίου κατά 3 χρηµατικές µονάδες, συνεπώς είναι συµφέρουσα η είσοδος του x στη βάση, εφόσον υπάρξει ανατίµησή του. Η νέα στήλη της µεταβλητής x στο τµήµα των περιορισµών είναι: 1 B a 1 = 0 0 0.5 8 5 7 4 = 4 1.5 Ο πίνακας για την αρχική βασική λύση {s 1,x 3,x 1 } είναι ο παρακάτω: Πίνακας 5.3.7. Αρχικός βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. z x 1 x x 3 s 1 s s 3 RHS Βασική µεταβλητή 1 0-3 0 0 10 10 80 z=80 0 0-7 0 1-8 4 s 1 =4 0 0-4 1 0-4 8 x 3 =8 0 1 0 0-0.5 1.5 x 1 = Με εφαρµογή του αλγόριθµου SIMPLEX υπολογίζεται ο νέος βέλτιστος πίνακας: Πίνακας 5.3.8. Νέος βέλτιστος πίνακας SIMPLEX. Z X 1 X X 3 S 1 S S 3 RHS ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 1 1.5 0 0 0 9.5 1.5 83 z=83 0 3.5 0 0 1 0.5 -.75 31 s 1 =31 0 0 1 0 1-1 1 x 3 =1 0 0.5 1 0 0-0.5 0.75 1 x 1 =1 93

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση όπου εισάγαµε νέα στοιχεία σε στήλη βασικής µεταβλητής είναι δύσκολο µε ανάλογη µεθοδολογία να εξετάσουµε αν η βάση παραµένει βέλτιστη ή όχι. (Ε) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΝΕΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΣΗ Έστω ότι το εργοστάσιο αρχίζει την κατασκευή ενός νέου παραθύρου τύπου, το οποίο θα αποφέρει κέρδος 15 χρηµατικών µονάδων, απαιτεί 1 kg αλουµινίου, και απαιτεί 1 ώρα επεξεργασίας και 1 ώρα βαφής. Το αρχικό ΠΓΠ είναι: Max z=60x 1 +30x +0x 3 +15x 4 s.t. 8x 1 +6x +x 3 +x 4 +s 1 =48 4x 1 +x +1.5x 3 +x 4 +s =0 x 1 +1.5x +0.5x 3 +x 4 +s 3 =8 Παρατηρούµε από τη σχέση (iv) ότι δεν απαιτείται αλλαγή των δεξιών µελών και από τη σχέση (viii) ότι δεν αλλάζουν ούτε οι συντελεστές των µεταβλητών. Παρόλα αυτά στον βέλτιστο πίνακα πρέπει να εισαχθεί ο συντελεστής c 4 της µεταβλητής x 4. An c 4 0 η βάση παραµένει βέλτιστη ενώ αν δεν ισχύει η ανίσωση δεν παραµένει. Είναι: 1 c 4 = 15 και = 1 οπότε 1 1 c 4 = = 1 a 4 ' [ 0 10 10] 1 15 5 Αφού το c 4 >0 η βάση παραµένει βέλτιστη. Ισοδύναµα, το οριακό κόστος των παραθύρων τύπου είναι 5 χρηµατικές µονάδες, οπότε θα µειωθούν και τα κέρδη του εργοστασίου κατά 5 µονάδες. 94

ΈΝΑΣ ΧΡΗΣΙΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ... Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι ενέργειες για την πραγµατοποίηση ανάλυσης ευαισθησίας σε ένα πρόβληµα Γραµµικού Προγραµµατισµού (Γ.Π.). Πίνακας 5.3.9. Συνοπτικός πίνακας για ανάλυση ευαισθησίας. ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΟ ΑΡΧΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αλλαγή συντελεστή µη βασικής µεταβλητής στη αντικειµενική συνάρτηση. Αλλαγή συντελεστή βασικής µεταβλητής στην αντικειµενική συνάρτηση. Αλλαγή δεξιού µέλους µεταβλητής. Αλλαγή στη στήλη µη βασικής µεταβλητής. ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΟΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΠΙΝΑΚΑ SIMPLEX Αλλάζει ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα. Όλη η γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα µπορεί να αλλάξει. Τα δεξιά µέλη των περιορισµών και η γραµµή 0 αλλάζουν. Αλλάζει ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή 0 και η στήλη της στο βέλτιστο πίνακα. ΠΟΤΕ Η ΒΑΣΗ ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΒΕΛΤΙΣΤΗ; Ο συντελεστής της µη βασικής µεταβλητής στη γραµµή 0 για την τρέχουσα βάση είναι µη αρνητικός Κάθε µεταβλητή έχει µη αρνητικό συντελεστή στη γραµµή 0. Το δεξιό µέλος κάθε περιορισµού είναι µη αρνητικό. Ο συντελεστής της µεταβλητής στη γραµµή 0 είναι µη αρνητική. 95

5.4. Σε κάθε π.γ.π. αντιστοιχεί ένα άλλο ΠΓΠ που ονοµάζεται δυϊκό. Η γνώση της σχέσης ενός ΠΓΠ µε το δυϊκό του είναι βασική καθώς δίνει απαντήσεις σε θέµατα οικονοµικής ανάλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας. Το αρχικό π.γ.π. ονοµάζεται πρωτεύον. Αν το πρωτεύον πρόβληµα είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης, το δυϊκό πρόβληµα είναι πρόβληµα ελαχιστοποίησης. Καταρχάς θα εξετάσουµε προβλήµατα όπου όλες οι µεταβλητές είναι θετικές και όλοι οι περιορισµοί είναι τύπου (κανονικά ΠΓΠ µεγιστοποίησης). Ας θεωρήσουµε το παρακάτω ΠΓΠ: Max z=c 1 x 1 + c x + +c n x n s.t. a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n b 1 a 1 x 1 +a x + +a n x n b a m1 x 1 +a m x + +a mn x n b m x j 0 (j=1,,,n) Το δυϊκό του παραπάνω προβλήµατος είναι το: Min w=b 1 y 1 +b y + +b m y m s.t. a 11 y 1 +a 1 y + +a m1 y m c 1 a 1 y 1 +a y + +a m y m c. a 1n y 1 +a n y + +a mn y m c n y i 0, i=1,,,m. Ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης όπως το παραπάνω που έχει όλους τους περιορισµούς και όλες τις µεταβλητές µη αρνητικές ονοµάζεται κανονικό ΠΓΠ ελαχιστοποίησης. 96

5.4.1. Εύρεση υϊκού ΠΓΠ Στην περίπτωση κανονικών ΠΓΠ., η χρήση του παρακάτω πίνακα διευκολύνει την εύρεση του δυϊκού του ΠΓΠ. Min w Max z x 1 0 x 0 x n 0 x 1 x x n y 1 0 y 1 a 11 a 1 a 1n b 1 y 0 y a 1 a a n b y m 0 y m a m1 a m a mn b m c 1 c c n Θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα κατασκευής παραθύρων και θα εξάγουµε το δυϊκό του µε τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα: Πρωτεύον: Max z=60x 1 +30x +0x 3 s.t. 8x 1 +6x +x 3 48 (Περιορισµός ποσότητας αλουµινίου) 4x 1 +x +1.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών επεξεργασίας) x 1 +1.5x +0.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών βαφής) x 1, x, x 3 0 Max z Min w x 1 0 x 0 x 3 0 x 1 x x 3 y 1 0 y 1 8 6 1 48 y 0 y 4 1.5 40 y 3 0 y 3 1.5 0.5 8 60 30 0 97

υϊκό: Min w=48y 1 +0y +8y 3 s.t. 8y 1 +4y +y 3 60 6y 1 +y +1.5y 3 30 y 1 +1.5y +0.5y 3 0 y 1, y, y 3 0 Αντίστοιχα θα εργαζόµασταν στην περίπτωση όπου ένα πρωτεύον πρόβληµα ήταν κανονικό ΠΓΠ ελαχιστοποίησης. Στο παρακάτω παράδειγµα: Πρωτεύον: Min w=50y 1 +0y +30y 3 +80y 4 s.t. 400y 1 +00y +150y 3 +500y 4 500 3y 1 +y 6 y 1 +y +4y 3 +4y 4 10 y 1 +4y +y 3 +5y 4 8 y 1, y, y 3, y 4 0 Min w Max z x 1 0 x 0 x 3 0 x 4 0 x 1 x x 3 x 4 y 1 0 y 1 400 3 50 y 0 y 00 4 0 y 3 0 y 3 150 0 4 1 30 y 4 0 y 4 500 0 4 5 80 500 6 10 8 υϊκό: Max z =500x 1 +6x +10x 3 +8x 4 s.t. 400x 1 +3x +x 3 +x 4 50 00x 1 +x +x 3 +4x 4 0 150x 1 +4x 3 +x 4 30 500x 1 +4x 3 +5x 4 80 x 1, x, x 3, x 4 0 98

Όµως, στη γενική περίπτωση, τα ΠΓΠ δεν είναι κανονικά. Λόγου χάρη, ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα µεγιστοποίησης: Max z=x 1 +x s.t. x 1 +x = x 1 -x 3 x 1 -x 1 x 1 0, x urs Για να µετατρέψουµε το πρόβληµα σε κανονικό, ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Πολλαπλασιάζουµε κάθε περιορισµό τύπου µε -1. ηλαδή στο παράδειγµα, ο ος περιορισµός θα γίνει -x 1 +x -3. Αντικαθιστούµε κάθε ισότητα µε δυο ανισότητες (µια & µια ) και µετατρέπουµε την ανισότητα σε ανισότητα κατά το βήµα (α). ηλαδή, στο παράδειγµα, ο 1 ος περιορισµός γίνεται: x 1 +x και x 1 +x και στη συνέχεια -x 1 -x - και x 1 +x. Κάθε µεταβλητή x urs αντικαθίσταται µε x=x -x, x,x 0. Στο παράδειγµά µας, x =x -x. Κατά τα παραπάνω βήµατα, το παράδειγµα γίνεται: Max z=x 1 +x -x s.t. x 1 +x -x x 1 +x -x -x 1 -x +x - -x 1 +x -x -3 x 1 -x +x 1 x 1, x, x 0 Αντίστοιχα εργαζόµαστε και στην περίπτωση µη κανονικού προβλήµατος ελαχιστοποίησης. Λόγου χάρη, στο παρακάτω ΠΓΠ: Min w=y 1 +4y +6y 3 s.t. y 1 +y +y 3 y 1 -y 3 1 y +y 3 =1 y 1 +y 3 y 1 urs, y,y 3 0 Πολλαπλασιάζουµε κάθε περιορισµό τύπου «<» µε -1. ηλαδή στο παράδειγµα, ο 4 ος περιορισµός θα γίνει -y 1 -y -3. Αντικαθιστούµε κάθε ισότητα µε δυο ανισότητες (µια & µια ) και µετατρέπουµε την ανισότητα σε ανισότητα κατά το βήµα (α). ηλαδή, στο παράδειγµα, ο 3 ος περιορισµός γίνεται: y +y 3 1 και y +y 3 1 και στη συνέχεια y +y 3 1 και -y -y 3-1. Κάθε µεταβλητή y urs αντικαθίσταται µε y=y -y, y,y 0. Στο παράδειγµά µας, y 1 =y 1 -y 1. 99

Κατά τα παραπάνω βήµατα, το παράδειγµα γίνεται: Min w = y 1 -y 1 +4y +6y 3 s.t. y 1 -y 1 +y +y 3 y 1 -y 1 -y 3 1 y +y 3 1 -y -y 3-1 -y 1 +y 1 -y -3 y 1, y 1, y, y 3 0 Για να αποφύγουµε την παραπάνω διαδικασία µπορούµε να ακολουθήσουµε τα παρακάτω: 5.4.. Έυρεση υϊκού Μη κανονικού ΠΓΠ Μεγιστοποίησης (α) Συµπληρώνουµε τον πίνακα εύρεσης δυϊκού για το αρχικό ΠΓΠ. Λόγου χάρη στο παράδειγµα: Max z=x 1 +x s.t. x 1 +x = x 1 -x 3 x 1 -x 1 x 1 0, x urs θα είναι: Min w x 1 0 Max z x urs* x 1 x y 1 1 1 =* y -1 3* y 3 0 y 3 1-1 1 =1 100

Ισχύουν οι εξής µετατροπές: Αν ο i περιορισµός του πρωτεύοντος είναι, η αντίστοιχη δυϊκή µεταβλητή y i πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη y i 0. Αν ο i περιορισµός του πρωτεύοντος είναι ισότητα, η αντίστοιχη δυϊκή µεταβλητή λαµβάνει κάθε τιµή θετική, µηδέν ή αρνητική (urs). Αν η i µεταβλητή του πρωτεύοντος είναι urs, ο αντίστοιχος δυϊκός περιορισµός είναι ισότητα. Οι µετατροπές σηµειώνονται στον αρχικό πίνακα εύρεσης δυϊκού οπότε παράγεται ο νέος πίνακας εύρεσης δυϊκού: Πίνακας 5.4.. Νέος πίνακας εύρεσης δυϊκού. Min w x 1 0 Max z x urs* x 1 x y 1 urs y 1 1 1 = y 0 y -1 3 y 3 0 y 3 1-1 1 =1 5.4.3. Έυρεση υϊκού Μη Κανονικού ΠΓΠ Ελαχιστοποίησης (α) Συµπληρώνουµε τον πίνακα εύρεσης δυϊκού για το αρχικό ΠΓΠ. Λόγου χάρη στο παράδειγµα: Min w=y 1 +4y +6y 3 s.t. y 1 +y +y 3 y 1 -y 3 1 y +y 3 =1 y 1 +y 3 y 1 urs, y,y 3 0 101

θα είναι Min w x 1 0 x 0 Max z x 1 x x 3 x 4 y 1 0 y urs* 1 1 1 y 0 y 0 1 1 4 y 3 0 y 3 1-1 1 0 6 1 =1* 3* Ισχύουν οι εξής µετατροπές: Αν ο i περιορισµός του πρωτεύοντος είναι, η αντίστοιχη δυϊκή µεταβλητή x i πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη x i 0. Αν ο i περιορισµός του πρωτεύοντος είναι ισότητα, η αντίστοιχη δυϊκή µεταβλητή λαµβάνει κάθε τιµή θετική, µηδέν ή αρνητική (urs). Αν η i µεταβλητή του πρωτεύοντος είναι urs, ο αντίστοιχος δυϊκός περιορισµός είναι ισότητα. Οι µετατροπές σηµειώνονται στον αρχικό πίνακα εύρεσης δυϊκού οπότε παράγεται ο νέος πίνακας εύρεσης δυϊκού: Min w Max z x x 1 0 x 0 3 urs x 4 0 x 1 x x 3 x 4 y 1 urs y 1 1 1 0 = y 0 y 0 1 1 4 y 3 0 y 3 1-1 1 0 6 1 =1 3 10

5.4.4. Οικονοµική Ερµηνεία του υϊκού του ΠΓΠ Στο παράδειγµα κατασκευής παραθύρων, το δυϊκό του ήταν: Min w=48y 1 +0y +8y 3 s.t. 8y 1 +4y +y 3 60 6y 1 +y +1.5y 3 30 y 1 +1.5y +0.5y 3 0 y 1, y, y 3 0 Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε, ο 1 ος περιορισµός αφορά παράθυρα τύπου Α, ο ος παράθυρα τύπου Β και ο 3 ος παράθυρα τύπου Γ. Αν εξετάσουµε τον κάθε περιορισµό, αφορά το απαιτούµενο κόστος και πληροφορίες για την κατασκευή κάθε τύπου παραθύρου. Η κάθε µεταβλητή y 1, y και y 3 αντιστοιχεί στο κόστος κάθε ώρας επεξεργασίας, βαφής και το κόστος του υλικού παραγωγής. Επίσης, το δεξιό µέλος των περιορισµών δείχνει το ελάχιστο που θα κοστίσει στο εργοστάσιο ο κάθε τύπος παραθύρου. Για παράδειγµα, στον 1 ο περιορισµό η µεταβλητή y 1 αφορά το κόστος αγοράς ενός kg αλουµινίου, η µεταβλητή y το κόστος µιας ώρας επεξεργασίας και η µεταβλητή y 3 το κόστος µιας ώρας βαφής. Το δεξιό µέλος δείχνει το ελάχιστο κόστος για την κατασκευή ενός παραθύρου Α. Συνεπώς, από το δυϊκό του ΠΓΠ φαίνονται στοιχεία για τις ανάγκες του εργοστασίου σε υποδοµή (resources) και το κόστος αυτής. Επίσης, µπορεί να δειχθεί ότι οι δυϊκές µεταβλητές είναι ουσιαστικά οι περιθώριες τιµές (shadow prices), οι οποίες αντιστοιχούν στους περιορισµούς του πρωτεύοντος προβλήµατος. Για τον λόγο αυτόν αποκαλούνται και περιθώριες µεταβλητές. 103

5.4.5. Το θεώρηµα υϊκότητας και οι Συνέπειές του Το θεώρηµα δυϊκότητας αφορά τη σχέση της τιµής της αντικειµενικής συνάρτησης πρωτεύοντος και δυϊκού ΠΓΠ. Ας θεωρήσουµε για λόγους απλότητας και χωρίς να υπάρχει βλάβη της γενικότητας ένα κανονικό πρόβληµα µεγιστοποίησης µε m περιορισµούς και n µεταβλητές. Πρωτεύον: Max z=c 1 x 1 +c x + +c n x n s.t. a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n b 1 a 1 x 1 +a x + +a n x n b a m1 x 1 +a m x + +a mn x n b m x j 0 (j=1,,,n) υϊκό: Min w=b 1 y 1 +b y + +b m y m s.t. a 11 y 1 +a 1 y + +a m1 y m c 1 a 1 y 1 +a y + +a m y m c. a 1n y 1 +a n y + +a mn y m y i 0, i=1,,,m Ας δώσουµε κάποια βασικά λήµµατα: ΜΗ ΙΣΧΥΡΗ - ΛΗΜΜΑ 1 Έστω x βασική δυνατή λύση του πρωτεύοντος ΠΓΠ και y βασική δυνατή λύση του δυϊκού αυτού. Τότε (τιµή z για x) (τιµή w για y). Το συµπέρασµα αποκαλείται Μη Ισχυρή υϊκότητα. Το παραπάνω λήµµα είναι χρήσιµο διότι ουσιαστικά δίνει ένα όριο στη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης του ενός π.γ.π. αν είναι γνωστή η τιµή στο άλλο ΜΗ ΙΣΧΥΡΗ - ΛΗΜΜΑ Έστω x βασική δυνατή λύση του πρωτεύοντος ΠΓΠ και y βασική δυνατή λύση του δυϊκού αυτού. Αν cx=yb, τότε η x είναι βέλτιστη λύση για το πρωτεύον ΠΓΠ και η y είναι βέλτιστη λύση για το δυϊκό. c n 104

ΜΗ ΙΣΧΥΡΗ - ΛΗΜΜΑ 3 Αν το πρωτεύον ΠΓΠ είναι µη φραγµένο, το δυϊκό είναι αδύνατο. ΜΗ ΙΣΧΥΡΗ - ΛΗΜΜΑ 4 Αν το πρωτεύον ΠΓΠ είναι αδύνατο, το δυϊκό είναι µη φραγµένο. Έχοντας ως βάση τα παραπάνω λήµµατα, µπορεί να αποδειχθεί το θεώρηµα δυϊκότητας: ΘΕΩΡΗΜΑ Σ Έστω BV η βέλτιστη βάση του π.γ.π.. Τότε c BV B -1 είναι βέλτιστη λύση για το δυϊκό του και (βέλτιστη τιµή z πρωτεύοντος)=(βέλτιστη τιµή w δυϊκού). Κατά τα αναφερόµενα στο θεώρηµα δυϊκότητας, αν έχουµε βρει τη βέλτιστη λύση του πρωτεύοντος γνωρίζουµε και τη βέλτιστη λύση του δυϊκού. Για να εξάγουµε τη βέλτιστη λύση του δυϊκού από τη γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα SIMPLEX του πρωτεύοντος ενός προβλήµατος µεγιστοποίησης ακολουθούµε τα παρακάτω: Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι : συντελεστής s i στη βέλτιστη γραµµή 0. Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι :-(συντελεστής e i στη βέλτιστη γραµµή 0). Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι «=»: (συντελεστής a i στη βέλτιστη γραµµή 0)-M. Για του λόγου το αληθές ας εξετάσουµε το παρακάτω παράδειγµα: Max z=3x 1 +x +5x 3 s.t. x 1 +3x +x 3 15 x -x 3 5 x 1 +x -5x 3 =10 x 1, x, x 3 0 105

O βέλτιστος πίνακας SIMPLEX του παραπάνω ΠΓΠ είναι: z x 1 x x 3 s 1 e a a 3 RHS Βασική µεταβλητή 1 0 0 0..5 M- M+0.39 4.57 z=4.57.5 0 0 0 1 0.17 0. -0. -0.09 0.65 x 3 =0.65 0 0 1 0 0.09-0.39 0.04.83 x =.83 0.39 0 1 0 0 0.39 0.74-0.74 0.30 5. x 1 =5. Το δυαδικό του παραπάνω είναι: Min w=15y 1 +5y +10y 3 s.t. y 1 +y 3 3 3y 1 +y +y 3 y 1 -y -5y 3 5 y 1 0, y 0, y 3 urs Για να βρούµε τη βέλτιστη λύση του δυϊκού ενεργούµε όπως περιγράψαµε παραπάνω: Ο 1 ος περιορισµός του πρωτεύοντος είναι οπότε y 1 =συντελεστής s 1 στη βέλτιστη γραµµή 0=.. Ο ος περιορισµός του πρωτεύοντος είναι οπότε y =-συντελεστής e στη βέλτιστη γραµµή 0=-.5. Ο 3 ος περιορισµός του πρωτεύοντος είναι «=» οπότε y 3 =συντελεστής a 3 στη βέλτιστη γραµµή 0-M=0.39. Επίσης, min w = max z = 4.57. Αντίστοιχα ενεργούµε για να εξάγουµε τη βέλτιστη λύση του δυϊκού από τη γραµµή 0 του βέλτιστου πίνακα SIMPLEX του πρωτεύοντος ενός προβλήµατος ελαχιστοποίησης. Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι : συντελεστής s i στη βέλτιστη γραµµή 0. Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι :-(συντελεστής e i στη βέλτιστη γραµµή 0). Τιµή δυαδικής µεταβλητής y i αν ο περιορισµός i του πρωτεύοντος είναι «=»: (συντελεστής a i στη βέλτιστη γραµµή 0)+M. 106

5.4.6. Περιθώρια Τιµή Η έννοια της περιθώριας τιµής (shadow price) αναλύθηκε προηγουµένως, τόσο κατά τη γραφική προσέγγιση της ανάλυσης ευασθησίας σε ένα π.γ.π., όσο και σε σχέση µε τη δυϊκότητα. Ορισµός: Η περιθώρια τιµή ενός περιορισµού είναι η ποσότητα κατά την οποία θα βελτιωθεί η βέλτιστη τιµή ενός ΠΓΠ αν αυξηθεί το δεξιό µέλος του περιορισµού κατά 1 µονάδα, χωρίς να αλλάξει η τρέχουσα βέλτιστη βάση. Όπως αναφέρθηκε και στην οικονοµική ερµηνεία της δυϊκότητας, η περιθώρια τιµή του περιορισµού i του πρωτεύοντος ΠΓΠ ισούται µε τη βέλτιστη τιµή της αντίστοιχης τιµής του δυϊκού του. Συνεπώς για έναν περιορισµό, η περιθώρια τιµή θα είναι µη αρνητική, για έναν περιορισµό θα είναι µη θετική και για έναν περιορισµό «=» δεν θα έχει περιορισµό στο πρόσηµο. Αντίστοιχα συµπεράσµατα µπορούν να εξαχθούν για τις µεταβολές της βέλτιστης τιµής z. Εφόσον λοιπόν και το δεξιό µέλος του περιορισµού i µεταβληθεί κατά Db και η βάση παραµένει βέλτιστη, σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης η νέα τιµή του z είναι: Νέο z= Προηγούµενο z + Db (περιθώρια τιµή περιορισµού i). Αντίστοιχα, σε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης, αν το δεξιό µέλος του περιορισµού i µεταβληθεί κατά Db και η βάση παραµένει βέλτιστη, η νέα τιµή του z είναι: Νέο z= Προηγούµενο z - Db (περιθώρια τιµή περιορισµού i). Θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα κατασκευής παραθύρων για την επίδειξη της έννοιας της περιθώριας τιµής: Καταρχάς µας απασχολεί η εύρεση των περιθώριων τιµών των περιορισµών. Η επίλυση του δυαδικού του παραδείγµατος µας έδωσε y 1 =0 που είναι και η περιθώρια τιµή για τον περιορισµό ποσότητας αλουµινίου, y =10 που είναι και η περιθώρια τιµή για τον περιορισµό ωρών επεξεργασίας και y 3 =10 που είναι και η περιθώρια τιµή για τον περιορισµό ωρών βαφής. Η µηδενική τιµή της περιθώριας τιµής για τον περιορισµό αλουµινίου δείχνει ότι ακόµη και αν µεγαλύτερη ποσότητα ήταν διαθέσιµη (χωρίς να αλλάζει η βάση), δεν θα υπήρχε βελτίωση στο κέρδος. Άλλωστε ο περιορισµός δεν είναι δεσµευτικός και από τα 48 διαθέσιµα kg αλουµινίου χρησιµοποιούνται µόνο τα 4 (ανατρέξτε στην επίλυση του π.γ.π.). Για τους άλλους περιορισµούς, αύξηση µιας διαθέσιµης ώρας επεξεργασίας ή βαφής σηµαίνει βελτίωση του κέρδους κατά 10 χρηµατικές µονάδες, όσο η βάση παραµένει βέλτιστη. Για τον περιορισµό επεξεργασίας, η βάση παραµένει βέλτιστη αν το δεξιό µέλος παραµένει στο διάστηµα [16,4]. Αν ήταν διαθέσιµες 18 ώρες 107

επεξεργασίας, y =10, Db=18-0=-. Η βάση παραµένει βέλτιστη. Νέα τιµή z=80+10 (-)=60 χρηµατικές µονάδες (µείωση). Αν όµως ήταν διαθέσιµες 6 ώρες επεξεργασίας η βάση δεν θα παρέµενε βέλτιστη. Για τον περιορισµό βαφής, η βάση παραµένει βέλτιστη αν το δεξιό µέλος παραµένει στο διάστηµα [16,4]. Αν ήταν διαθέσιµες 9 ώρες επεξεργασίας, y =10, Db=9-8=1. Η βάση παραµένει βέλτιστη. Νέα τιµή z=80+10 (1)=90 χρηµατικές µονάδες (αύξηση). Ένα ενδιαφέρον θέµα είναι αυτό του προσήµου των περιθώριων τιµών. Ιδιαίτερα εξετάζεται το γιατί η περιθώρια τιµή ενός περιορισµού είναι πάντα µη αρνητική. Ας δεχτούµε λοιπόν ότι έχουµε δύο ΠΓΠ (τα Α και Β) µε ίδια αντικειµενική συνάρτηση. Έστω επίσης ότι κάθε βάση του Α είναι και βάση του Β. Συνεπώς η δυνατή περιοχή βάσεων του Β περιέχει τη δυνατή περιοχή βάσεων του Α και πιθανόν κάποιες άλλες επιπλέον λύσεις. Τότε η βέλτιστη τιµή του Α θα είναι τουλάχιστον ίση µε τη βέλτιστη τιµή του Β. Αυτό φαίνεται ως εξής: έστω x βέλτιστη λύση για το Α. Τότε η λύση είναι δυνατή και για το Β και µπορεί να ληφθεί µια τιµή z. Παρόλα αυτά είναι δυνατή η εύρεση µιας καλύτερης τιµής z, που αντιστοιχεί σε µια βασική λύση στη δυνατή περιοχή του Β που δεν ανήκει όµως στη δυνατή περιοχή του Α. ηλαδή προσθήκη σηµείων στη δυνατή περιοχή ενός ΠΓΠ µεγιστοποίησης δεν µπορεί να µειώσει την τιµή του z. Σύµφωνα µε αυτό, στο παράδειγµα κατασκευής παραθύρων αλουµινίου, αν αυξήσουµε τις διαθέσιµες ώρες επεξεργασίας από 8 σε 9, βλέπουµε ότι οι αρχικές βασικές δυνατές µεταβλητές παραµένουν και µερικές επιπλέον µεταβλητές παραµένουν βέλτιστες. Άρα, η τιµή του z δεν πρόκειται να µειωθεί οπότε η περιθώρια τιµή δεν µπορεί να είναι αρνητική. 5.5. υϊκότητα και Ανάλυση Ευαισθησίας Κατά το Θεώρηµα της υϊκότητας, µπορούµε να ισχυριστούµε το εξής (περιέχεται στην απόδειξη του θεωρήµατος το οποίο δεν περιλαµβάνεται στο κείµενο αυτό καθώς ξεφεύγει από τους σκοπούς του): Έστω οµάδα βασικών µεταβλητών BV που είναι δυνατή σε π.γ.π. Η βάση αυτή είναι βέλτιστη (δηλαδή κάθε συντελεστής στη γραµµή 0 είναι µη αρνητικός) όταν και µόνο όταν η αντίστοιχη λύση του δυϊκού είναι δυνατή. Σηµειώνεται ότι η λύση του δυϊκού είναι ίση µε c BV B -1. Θα στηριχτούµε στην παραπάνω διατύπωση για να εξετάσουµε το θέµα της Ανάλυσης Ευαισθησίας στις εξής περιπτώσεις: Αλλαγή συντελεστή µη βασικής µεταβλήτής στην αντικειµενική συνάρτηση. Αλλαγή στήλης µη βασικής µεταβλητής. Προσθήκη περιορισµού. Σε καθεµία από τις παραπάνω περιπτώσεις η αλλαγή διατηρεί την υπάρχουσα βάση. Θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα κατασκευής 108

παραθύρων αλουµινίου για να επιδείξουµε την χρήση του δυϊκού στην ανάλυση ευαισθησίας: Πρωτεύον: Max z=60x 1 +30x +0x 3 s.t. 8x 1 +6x +x 3 48 (Περιορισµός ποσότητας αλουµινίου) 4x 1 +x +1.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών επεξεργασίας) x 1 +1.5x +0.5x 3 0 (Περιορισµός ωρών βαφής) x 1, x, x 3 0 Λύση: z=80, s 1 =4, x 3 =8, x 1 =, x =0, s =0, s 3 =0. υϊκό: Min w=48y 1 +0y +8y 3 s.t. 8y 1 +4y +y 3 60 (περιορισµός παραθύρων τύπου Α) 6y 1 +y +1.5y 3 30 (περιορισµός παραθύρων τύπου Β) y 1 +1.5y +0.5y 3 0 (περιορισµός παραθύρων τύπου Γ) y 1, y, y 3 0 Λύση δυϊκού: z=80, y 1 =0, y =10, y 3 =10. Καταρχάς ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να αλλάξουµε τον συντελεστή της µη βασικής µεταβλητής x και θέλουµε να γνωρίζουµε τα όρια για τα οποία η τρέχουσα βάση θα παραµείνει βέλτιστη. Από την αλλαγή του συντελεστή, η µόνη επίδραση στο δυαδικό αφορά τον ο περιορισµό αυτού. Αν c ο συντελεστής, είναι 6y 1 +y +1.5y 3 c. Όταν η βέλτιστη λύση του δυαδικού ικανοποιεί τον ο περιορισµό, η λύση είναι δυνατή βασική στο δυαδικό και βέλτιστη στο πρωτεύον ΠΓΠ. Συνεπώς 6 0+ 10+1.5 10 c ή c 35. ηλαδή η βάση παραµένει βέλτιστη για c 35. Συνεχίζοντας, µε την χρήση περιθωρίων τιµών, µπορούµε να καταλήξουµε στο ίδιο αποτέλεσµα. Με τη βοήθεια των περιθώριων τιµών, µπορεί να υπολογιστεί η απαιτούµενη δαπάνη για την κατασκευή ενός παραθύρου τύπου Β: 6 0+ 10+1.5 10=35. Για να έχει κέρδος από την πώληση παραθύρων Β το εργοστάσιο πρέπει να το πουλάει για πάνω από το όριο των 35 χρηµατικών µονάδων. Τότε η µεταβλητή x θα πρέπει να εισέλθει στη βάση και η βάση θα αλλάξει. Συνεπώς καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα ότι η βάση θα αλλάξει για c>35 και θα παραµείνει βέλτιστη για c 35. 109

Στη συνέχεια ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να αλλάξουµε µια στήλη µη βασικής µεταβλητής. Έστω ότι για τον τύπο Β απαιτούνται 5 kg υλικού, ώρες επεξεργασίας και ώρες βαφής. Η αλλαγή αυτή θα µετατρέψει τον ο περιορισµό του δυϊκού σε 5y 1 +y +y 3 43. Η βέλτιστη λύση του δυϊκού δεν ικανοποιεί πλέον τον ο περιορισµό αφού 5 0+ 10+ 10=40 οπότε η βάση δεν είναι πλέον βέλτιστη. Αντίστοιχα, κάθε παράθυρο τύπου Β, σύµφωνα µε τις περιθώριες τιµές κοστίζει 5 0+ 10+ 10=40 χρηµατικές µονάδες για να κατασκευαστεί και πωλείται για 43, οπότε το εργοστάσιο µπορεί να κερδίσει 43-40=3 χρηµατικές µονάδες. Τελικά το x εισέρχεται στη νέα βάση. Τέλος, έστω ότι το εργοστάσιο παράγει έναν ακόµη τύπο παραθύρου, που θα πουλιέται για 15 χρηµατικές µονάδες, χρησιµοποιεί 1 kg αλουµινίου και απαιτείται 1 ώρα επεξεργασίας και 1 ώρα βαφής. Έστω x 4 η µεταβλητή που θα εισαχθεί στο πρωτεύον ΠΓΠ. Η εισαγωγή της νέας µεταβλητής στο πρωτεύον ΠΓΠ προσθέτει ένα επιπλέον περιορισµό στο πρόβληµα: y 1 +y +y 3 15. Η βέλτιστη λύση του δυαδικού ικανοποιεί τον επιπλέον περιορισµό οπότε παραµένει η βάση στον πρωτεύοντα βέλτιστη. Από τις περιθώριες τιµές, ο τύπος απαιτεί 0+1 10+1 10=0 χρηµατικές µονάδες. Η πώληση του τύπου για 15 χρηµατικές µονάδες δεν είναι προφανώς συµφέρουσα οπότε δεν εισέρχεται στη βάση και η υπάρχουσα µεταβλητή παραµένει βέλτιστη. 110