υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

Transcript

1 υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί ένα άλλο, το δυϊκό πρόβληµα, dual. To δυϊκό προκύπτει µε απλούς µετασχηµατισµούς από το πρωτεύον και αποτελεί εναλλακτική λύση του ίδιου προβλήµατος (δίνει τα ίδια αποτελέσµατα) Η δυϊκή θεωρία είναι δυνατό να δώσει µια δεύτερη µατιά στο αρχικό πρόβληµα καινα φανερώσει χαρακτηριστικά του όχι άµεσα ορατά. 2 1

2 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Πρωτεύων υϊκό Μεταβλητή απόφασης: x Μεταβλητή απόφασης: y max cx µε Ax b n x 0 m min yb µε ya c m y 0 n 3 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Παράδειγµα Πρωτεύων υϊκό Max z = 3x 1 +5x 2 µε x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1,x 2 0 Min w = 4y 1 +12y y 3 Με y 1 + 3y 3 3 2y 2 +2y 3 5 y 1, y 2, y

3 Μετασχηµατισµός του πρωτεύοντος σε δυϊκό Το δυϊκό έχει τόσες µεταβλητές (δυϊκές) όσοι είναι οι περιορισµοί του πρωτεύοντος Το δυϊκό έχει τόσους περιορισµούςόσεςείναιοι µεταβλητές απόφασης του πρωτεύοντος Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του δυϊκού είναι τα δεξιά µέλη των περιορισµών του πρωτεύοντος Τα δεξιά µέλη των περιορισµώντουδυϊκούείναιοι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος Οταν το πρωτεύον είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης το δυϊκό είναι ελαχιστοποίησης και αντιστρόφως 5 εδοµένα προβλήµατος παραγωγής Προϊόν Α Προϊόν Β ιαθεσιµότα ΓΑΛΑ (διαθέσιµο) 1lit γάλα 1lit 550 lit ΕΡΓΑΣΙΑ (λεπτά) ΥΝΑΜΙΚΟΤΗΤΑ ψύξη ΜΕΓΙΣΤΗ ΖΗΤΗΣΗ 400 τεµάχια Απεριόριστη ΚΕΡ ΟΣ/ ΤΕΜΑΧΙΟ

4 Παράδειγµα Max z=150x1+200x2 Με περιορισµούς x1+x2 550 x1+3x x1+5x x1 400 x1, x2 0 Min w=550y1+1000y2+2000y3+400y4 Με περιορισµούς y1+y2+2y3+y4 150 y1+3y2+5y3 200 y1, y2, y3, y4 0 7 Σχόλια Όταν υπάρχει βέλτιστη λύση για το πρωτεύον υπάρχει και για το δυϊκό ητιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι η ίδια ( υϊκό Θεώρηµα) Για κάθε πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα, οι σχέσεις µεταξύτουςπρέπειναείναισυµµετρικές. Η µέθοδος Simplex στη τελευταία επανάληψη εντοπίζει ταυτόχρονα τη βέλτιστη λύση του δυϊκού που είναι οι σκιώδεις τιµές Zj 8 4

5 Σχέση µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος Ασθενής (Weak) δυϊκότητα Εάν x είναι µια εφικτή λύση στο πρωτεύων και y είναι µια εφικτή λύση στο δυϊκό τότε cx yb Ισχυρή (Strong) δυϊκότητα Εάν x* είναι μια βέλτιστη λύση στο πρωτεύων και y* είναι μια βέλτιστη λύση στο δυϊκό τότε cx* = y*b 9 υϊκό θεώρηµα Απότοθεώρηµα προκύπτουνµόνο οι παρακάτω δυνατές σχέσεις µεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού προβλήµατος: Εάν κάποιο πρόβληµα έχει βέλτιστη λύση, το αυτό συµβαίνει και µε τοδυϊκό. Εάν κάποια µεταβλητή έχει εφικτές λύσεις αλλά µια µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση, τότε το άλλο πρόβληµα δεν έχει εφικτές λύσεις. Εάν κάποια από τις µεταβλητές δεν έχει εφικτές λύσεις, τότε το άλλο πρόβληµα είτε δεν έχει εφικτές λύσεις είτε µη περιορισµένη αντικειµενική συνάρτηση. 10 5

6 Συµπληρωµατικότητα περιορισµών Σχέσεις µεταβλητών µεταξύ πρωτεύοντος και δυϊκού Πρωτεύων (αρχική µεταβλητή) x j (ελλειµµατική) x s n+i υϊκό y s m+j y i (πλεονάζουσα) (αρχική µεταβλητή) ιδιότητα συµπληρωµατικότητας : Εάν µια µεταβλητή είναι βασική στο πρωτεύων, η αντίστοιχή της στο δυϊκό είναι µη-βασική. Πρωτεύων (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) µη-βασική υϊκό µη-βασική (m µεταβλητές) βασική (n µεταβλητές) 11 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος x1, x2 : Ποσότητες που θα παραχθούν από τα προϊόντα Α, Β x1 + x2 550 Περιορισµός για τις πρώτες ύλες x1 + 3 x Περιορισµός για την εργασία 2x1 + 5x Περιορισµός για την επεξεργασία x1 400 Περιορισµός για την ζήτηση z = αναµενόµενο εβδοµαδιαίο κέρδος b1,b2,b3,b4 = (550,1000,2000,400) : διαθέσιµη ποσότητα του αντίστοιχου πόρου (πρώτες ύλες, εργασία, επεξεργασία κλπ) b1y1, b2y2 : η συνεισφορά του κάθε πόρου στη διαµόρφωση του κέρδους (=z) y1, y2,.. : ησυνεισφοράµιας µονάδας πόρου, του Α στο µέγιστο κέρδος z 12 6

7 Χρησιµότητα δυϊκού προβλήµατος - ΙΙ y1=125, y2=25, y3=y4=0 και z=93750 Τα 550 λίτρα διαθέσιµου γάλακτος αξίζουν για την επιχείρηση 550*y1=550*125= χµ. Τα 1000 λεπτά εργασίας αξίζουν 1000*25= χµ. y1+y2+2y3+y4>=150 : Ο συνδυασµός µιας µονάδας πρώτων υλών, ενός λεπτού εργασίας, δύο µονάδων επεξεργασίας και µίας µονάδα ζήτησης δίνουν κέρδος τουλάχιστον 150 χµ. Oµοίως για τον δεύτερο περιορισµό 13 H σηµασία του δυϊκού προβλήµατος Σε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης η δυϊκή τιµή εκφράζει τη οριακή αξία (marginal value) µιας επιπλέον µονάδας ενός πόρου (υλικού, χρόνου απασχόλησης, χρόνου επεξεργασίας κλπ). Υποδεικνύει πόσο θα βελτιωθεί το κέρδος εάν αυξηθεί η ποσότητα του πόρου κατά µια µονάδα Η βελτίωση που προκύπτει στη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z όταν ένας πόρος (δεξί µέλος στους περιορισµούς) αυξηθεί λέγεται σκιώδης τιµή 14 7

8 Ανάλυση ευαισθησίας Στα πραγµατικά προβλήµατα πολλές από τις παραµέτρους αποτελούν απλώς εκτιµήσεις οι οποίες µεταβάλλονται από το περιβάλλον Η ζήτηση ενός προϊόντος για τον επόµενο χρόνο δεν µπορεί να εκτιµηθεί µε απολύτως ακριβείς τιµές λόγω του ανταγωνισµού Το κόστος εργασίας δεν παραµένει σταθερό Η απόδοση του εξοπλισµού δεν παραµένει σταθερή λόγω βλαβών Το προσωπικό συνταξιοδοτείται ή προσλαµβάνεται νέο Θα πρέπει να γνωρίζουµε ποιες παράµετροι και σε ποια µεταβολή τους µπορεί να ανατραπεί η βέλτιστη λύση 15 Ανάλυση ευαισθησίας - ΙΙ Ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis, postoptimality analysis) µελετά τις συνέπειες στη λύση ενός προβλήµατος ΓΠ από αλλαγές των παραµέτρων του µοντέλου Απαντά στο ερώτηµα : «Τι θα συµβεί εάν υπάρξει µια µεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήµατος» - what if analysis Πωςθαεπηρεαστείτοβέλτιστοσχέδιοπαραγωγήςεάν µειωθεί η τιµή ενός προϊόντος σε ποια όρια µεταβολής της τιµής πώλησης δεν µεταβάλλεται το σχέδιο παραγωγής Τι θα συµβεί εάν η διαθέσιµη ποσότητα µιας πρώτης ύλης µειωθεί Πως θα επηρεαστεί η κατανοµή του προσωπικού σε µια εργασία όταν πάψουν να είναι διαθέσιµοι µερικοί υπάλληλοι 16 8

9 Ποιες παράµετροι µπορούν να αλλάξουν Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης Οι τιµές ενός πόρου Παραµετρική ανάλυση 17 Αντικειµενικοί συντελεστές (c j ) Η ανάλυση ευαισθησίας υπολογίζει για τον κάθε αντικειµενικόσυντελεστήέναδιάστηµα τιµών µέσα στο οποίο µπορεί να µεταβάλλεται η τιµή του (όλες οι άλλες παράµετροι του µοντέλου παραµένουν σταθεροί) χωρίς να αλλάζει η άριστη λύση. Το διάστηµα αυτόονοµάζεται εύρος αριστότητας του εν λόγω αντικειµενικού συντελεστή. Αλλαγές όµως στην τιµή τουc j επιφέρουν αλλαγές και στην κλίση της ευθείας z. Οι αλλαγές αυτές προκαλούν µια περιστροφή της ευθείας z γύρωαπότοαντίστοιχοσηµείο. 18 9

10 Παράδειγµα Ο συντελεστής του x1 (=150) είναι τιµή του προϊόντος Α. Εάν ορισθεί ως µεταβλητή, c1 τότε η εξίσωση της αντικειµενικής συνάρτησης γίνεται : z=c1x1+200x2 x2=-c1/200 x1 + 1/200 z και ο συντελεστής c1/200 εκφράζει τη κλίση της ευθείας. Τα όρια της µεταβολής της ευθείας της αντικειµενικής συνάρτησης ώστε να µην µεταβάλλεται η βέλτιστη λύση ορίζονται από τις ευθείες που φαίνονται στο σχήµα 19 Παράδειγµα - ΙΙ Απότηγραφικήπαράστασηκαιαπότιςκλίσεις των ευθειών x2 = x x2 = -1/3 x /3 που ορίζουν το διάστηµα στο οποίο κινείται η αντικειµενική συνάρτηση προκύπτει ότι η βέλτιστη λύση παραµένει όταν η κλίση περιορίζεται στο διάστηµα [-1 1/3], -1 -c1/200-1/3, 200/3 c1 200 Εάν αντί του c1=150, υπολογισθεί c1=170 τότε το παραµένει βέλτιστη λύση αλλά το z αυξάνεται από z=93,750 σε z=100,

11 Έλεγχος ευαισθησίας της τιµής ενός πόρου (b i ) Εξετάζεται πως επηρεάζεται η λύση του προβλήµατος όταν µεταβάλλονται οι σταθερές στο δεξί µέλος των περιορισµών (εκφράζουν τους διαθέσιµους πόρους) Ανάλυση ευαισθησίας για ποιες τιµές η βέλτιστη λύση παραµένει αµετάβλητη Mας ενδιαφέρει να βρούµε εκείνητηµεταβολή του b i, η οποία προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας που προσδιορίζει τον πόρο σε τρόπο ώστε το σηµείο τοµής της να βρίσκεται στην εφικτή περιοχή του προβλήµατος 21 Παράδειγµα Η µεταβολή της τιµής 550 στον δεύτερο περιορισµό προκαλεί παράλληλη µετατόπιση της ευθείας x1+x2=550 Τότε το σηµείο που αποτελεί τη βέλτιστη λύση µεταβάλλεται µέσα στο διάστηµα ΕΖ. Πέραν του Ζ ο περιορισµός γίνεται πλεονάζον. Αφού Ε(0,1000/3) και Ζ(400,200) τα ακραία σηµεία της µεταβολής τότε /3=b1 και =b1 άρα 1000/3 =<b1<=600 Η µεταβολή του πόρου του δεύτερου περιορισµού στο διάστηµα [1000/3, 600] εξασφαλίζει τη διατήρηση του ως σηµείου βέλτιστης λύσης Συνεπώς, καθώς η τιµή τουb1 µεταβάλλεται η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στην άριστη λύση µεταβάλλεται γραµµικά

12 Παραµετρική ανάλυση Ταυτόχρονες αλλαγές των παραµέτρων Προσθέτοντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια µόνο στην περίπτωση που τον ικανοποιεί. Αφαιρώντας έναν περιορισµό Ηάριστηλύσηπαραµένει η ίδια αν από το πρόβληµα αφαιρέσουµε κάποιον χαλαρό περιορισµό. 23 Το πρόβληµα µεταφοράς Αφορά την εύρεση βέλτιστου σχέδιου µεταφοράς (optimal transportation plan) από πηγές σε προορισµούς Η κάθε πηγή παρέχει αγαθά και έχει συγκεκριµένη δυναµικότητα (προσφορά). Ο κάθε προορισµός µπορεί να απορροφήσει συγκεκριµένη ποσότητα αγαθών (ζήτηση) 24 12

13 Το πρόβληµα µεταφοράς - ΙΙ ίνονται : πίνακας κόστους (χρήµα, χρόνος) µεταφοράς από διαφορετικές πηγές σε διαφορετικούς προορισµούς Συνολική προσφορά δυναµικότητα Συνολική ζήτηση Ζητείται : το βέλτιστο σχέδιο µεταφοράς (optimal transportation plan) Βέλτιστο : χρόνος, απόσταση ελαχιστοποίηση, κέρδος µεγιστοποίηση Σχέδιο µεταφοράς : αριθµός προϊόντων ανά προορισµό, 25 Παράδειγµα Μιαεταιρείαδιαθέτει3 εργοστάσια και διανέµει προϊόντα συσκευασµένα σε κιβώτια σε 4 πόλεις µε δικάτηςοχήµατα. Το κόστος ανα κιβώτιο διαφέρει ανάλογα µε την απόσταση, το χρόνο κλπ. Το κάθε εργοστάσιο µπορεί να αποστέλλει συγκεκριµένη ποσότητα κάθε εβδοµάδα (προσφορά) και η κάθε πόλη µπορεί να απορροφά συγκεκριµένο αριθµό κιβωτίων (ζήτηση). Ζητείται να προσδιοριστεί ο αριθµός κιβωτίων που πρέπει να αποστέλλει το εργοστάσιο i στη πόλη j ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος 26 13

14 ιατύπωση Υποθέτουµε α ι ι=1,2,,m είναι η δυνατότητα παραγωγής από την θέση ι β j ι=1,2,,n είναι οι ανάγκες καταναλώσεως της θέσης j c ij το κόστος µεταφοράς της µονάδας του προϊόντος από την θέση i στη j x ij η ποσότητα που θα µεταφερθεί από την θέση i στη j f ( x) = m i = 1 n j = 1 x ij x x ij ij 0 m i = 1 j = 1 = b a j i n c ij x ij j = 1,2,.. n i = 1,2,.. n 27 Η µέθοδος µεταφοράς Τα προβλήµατα µεταφοράς έχουν µεγάλο αριθµό µεταβλητών και περιορισµών οπότε µη αποτελεσµατική επίλυση απο τη Simplex Mη αποτελεσµατική = µεγαλύτερος υπολογιστικός χρόνος, περισσότερος χώρος αποθήκευσης ενδιάµεσων αποτελεσµάτων, ανάγκη για παραγωγή ακέραιων λύσεων Η µέθοδος µεταφοράς έχει αναπτυχθεί αποκλειστικά για προβλήµατα του είδους αυτού και υπερτερεί σηµαντικά της Simplex Προβλέπει επαναληπτική διαδικασία που ξεκινά από µια αρχική βασική εφικτή λύση, βρίσκει καλύτερες λύσεις έωςότουβρείτηνάριστη Παραλλαγές : µέθοδος βορειοδυτικής γωνίας, µέθοδος Vogel 28 14

15 Ισορροπηµένο πρόβληµα µεταφοράς Όταν η συνολική προσφορά είναι ίση µε τησυνολική ζήτηση, το πρόβληµα ονοµάζεται ισορροπηµένο m i = 1 Σε µη ισορροπηµένα προβλήµατα, προσθέτουµε έναν εικονικό προορισµό (dummy destination) προς το οποίο διοχετεύονται τα προϊόντα που πλεονάζουν. Η ζήτηση του εικονικού προορισµού είναι ίση µε τη πλεονάζουσα ποσότητα Το κόστος προς τον εικονικό προορισµό είναι µηδέν ώστε να µην επηρεάζει τη ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους Εξαίρεση αποκλεισµός κάποιων διαδροµών µεταφοράς. Ορίζουµε πολύµεγάλο κόστος µεταφοράς n a i = b j = 1 j 29 Παράδειγµα 1 Μια εταιρεία κατασκευάζει τρεις διαφορετικούς τύπους ξύλινων χωρισµάτων για εξοχικές κατοικίες (έστω x1, x2, x3) από οξιά και πεύκο. Για το κάθε χώρισµα ηεταιρεία, αρχικά κόβει την αναγκαία ποσότητα από το κάθε είδος ξύλου και στη συνέχεια προχωρά στη συναρµολόγησή του. Για την εύρεση της γραµµής παραγωγής η οποία µεγιστοποιεί τα κέρδη, διατυπώθηκε το ακόλουθο πρόβληµα 30 15

16 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 31 Παράδειγµα 1 Λύση στο LINDO 32 16

17 Παράδειγµα 1 1. Ποια είναι η άριστη λύση του προβλήµατος; Ποιοι περιορισµοί είναι δεσµευτικοί; 2. Τι αξία έχει για την εταιρεία ένα επιπλέον m3 πεύκου; 3. Τι αξία έχει για την εταιρεία µία επιπλέον hr κοπής; 4. Ανηεταιρείαέπρεπενακατοχυρώσει ή περισσότερες ώρες κοπής, ή περισσότερες ώρες συναρµολόγησης, τι έπρεπε να επιλέξει; 5. Θα αλλάξει η άριστη λύση αν η διαθέσιµη ποσότητα πεύκου, ελαττωθεί από τα 160 στα 100 m3; 6. Σε ποιο ποσό (χρηµατικές µονάδες) θα έπρεπε να φτάνει το κέρδος από το 1ο προϊόν ώστε η εταιρεία να πάρει απόφαση να το κατασκευάσει; 7. Η εταιρεία σκέφτεται να ανεβάσει το κέρδος για το 3ο προϊόν από τις 8 στις 13 χ.µ. Το γεγονός αυτό θα επηρεάσει την άριστη λύση; 33 Λύση 1. Άριστη λύση του προβλήµατος είναι η x1=0, x2=10, x3=20 πουοδηγείσεκέρδηύψουςz = 260 χ.µ. Από τους περιορισµούς του προβλήµατος δεσµευτικοί είναι οι δύο τελευταίοι (η περιθώρια τιµή τουςείναιµηδέν) και χαλαροί οι δύο πρώτοι (η περιθώρια τιµή τους είναι διάφορη του µηδενός). 2. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 2ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 0. Στην εταιρεία υπάρχει περίσσευµα 70 µονάδων του πόρου πεύκο και συνεπώς η αξία ενός επιπλέον m3 είναι µηδενική. 3. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στη δυϊκή τιµή του 3ου περιορισµού, η οποία ισούται µε 2. Για κάθε επιπλέον ώρα εργασίας που µπορεί να εξασφαλίσει η εταιρεία (και για το πολύ άλλες 30) θα αυξάνει το κέρδος της κατά 2 χ.µ. 4. Ηαπάντησηστοερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στις δυϊκές τιµές του 3ου (=2) και τέταρτου (=2) περιορισµού οι οποίες καθορίζουν την αξία που έχει για την εταιρεία µια επιπλέον ώρα εργασίας στο τµήµα τηςκοπήςκαιτηςσυναρµολόγησης αντίστοιχα. Φυσικά η εταιρεία θα έπρεπε να κατοχυρώσει τις ώρες (του τµήµατος) µε τηµεγαλύτερη αξία. Στην περίπτωσή µας όµως, λόγω της ισότητας των τιµών τους, δεν έχει καµία σηµασία από πιο τµήµα επιλέξεινακατοχυρώσει ώρες. 5. Το εύρος εφικτότητας για τον συντελεστή b2 είναι το [90, ). Μια και πρόκειται για χαλαρό περιορισµό, για b2=100 θα έχουµε την ίδια άριστη λύση. 6. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα από το LINDO το ευκαιριακό κόστος της πρώτης µεταβλητής ισούται µε 2. Συνεπώς το κέρδος από το 1ο προϊόνθαέπρεπεναφτάνειτουλάχιστοντις6 (4+2) χ.µ. για να προχωρήσει η εταιρεία στην κατασκευή του. 7. Το εύρος αριστότητας για τον αντικειµενικό συντελεστή c3 είναι [5, 20]. Συνεπώς για c3=13 καµία αλλαγή δεν πρόκειται να επέλθει στην άριστη λύση του προβλήµατος

18 Παράδειγµα 2 Μιαεταιρείαδηµοσκοπήσεων που συµφώνησε να προχωρήσει σε µια έρευνα αγοράς, προσπαθεί να υπολογίσει τον αριθµό των ανθρώπων που θα απαιτηθούν για τη διεξαγωγή της. Η έρευναθαγίνειµε τηµέθοδο της προσωπικής συνέντευξης και της τηλεφωνικής επικοινωνίας, µε τον κάθε εργαζόµενο να µπορεί να πραγµατοποιήσει σε ηµερήσια βάση 80 τηλεφωνικές ή 40 προσωπικές επαφές. Σύµφωνα µε τον σχεδιασµό αντιπροσωπευτικότητας της έρευνας, θα πρέπει να γίνουν τουλάχιστον 1000 τηλεφωνικές και τουλάχιστον 800 προσωπικές συνεντεύξεις, µε τοσύνολό τους να πρέπει να είναι τουλάχιστον Λαµβάνοντας υπόψη ότι το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" εργαζόµενο ανέρχεται στις 50 χρηµατικές µονάδες, ενώ για τον κάθε "προσωπικό" στις Παράδειγµα 2 1. Σχεδιάστε ένα πρόβληµα ΓΠ για την εύρεση του αριθµού συνεντευκτών που θα απαιτηθούν σε τρόπο ώστε η έρευνα να πραγµατοποιηθεί µε το µικρότερο δυνατό κόστος, 2. δώστε το πλήθος των "τηλεφωνικών" και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν, 3. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "τηλεφωνικό" συνεντευκτή υποδιπλασιαστεί, 4. βρείτε τη νέα βέλτιστη λύση στην περίπτωση που το ηµερήσιο κόστος για τον κάθε "προσωπικό" συνεντευκτή διπλασιαστεί. 5. Υποθέστε ότι αν µειωθούν οι ελάχιστες απαιτήσεις µιας µόνο εκ των τεχνικών συνέντευξης (προσωπικής ή τηλεφωνικής) η αντιπροσωπευτικότητα του δείγµατος δεν επηρεάζεται. Στην περίπτωση αυτή, ποια θα έπρεπε να επιλεγεί ώστε η εταιρεία δηµοσκοπήσεων να εξοικονοµήσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήµατα

19 Λύση Ορίζουµε ναείναιx1, x2 το αντίστοιχο πλήθος των «τηλεφωνικών» και "προσωπικών" συνεντευκτών που πρέπει να χρησιµοποιηθούν. Τότε το συνολικό κόστος για την εταιρεία δηµοσκοπήσεων που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ανέρχεται σε (50x1 + 70x2) χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν από i) το ελάχιστο συνολικό πλήθος συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 + 40x2 3,000 ii) το ελάχιστο πλήθος τηλεφωνικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 80x1 1,000 iii) το ελάχιστο πλήθος προσωπικών συνεντεύξεων που πρέπει να πραγµατοποιηθούν : 40x2 800 i) τη µη-αρνητικότητα των µεταβλητών απόφασης : x1, x

20 Λύση 1. Το σηµείο B(27.5, 20) αντιστοιχεί στη βέλτιστη λύση και δίνει τιµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2,775. Συνεπώς για την πραγµατοποίηση της έρευνας απαιτούνται x1 = 27.5 «τηλεφωνικοί» και x2 = 20 προσωπικοί συνεντευκτές. 2. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα θα πρέπει να προχωρήσουµε σε ανάλυση ευαισθησίας για τον αντικειµενικό συντελεστή c1. Το σηµείο B(27.5, 20) είναι η άριστη λύση στο πρόβληµά µας όσο η κλίση της ευθείας (1) κλίσητηςευθείαςz κλίσητηςευθείας(3) που δίνει -2 c1/c2 0 (η κλίση της ευθείας (3) που είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα είναι µηδέν). Έτσι για c2 = 70 παίρνουµε ως εύρος αριστότητας του αντικειµενικού συντελεστή c1 το [0, 140] Συνεπώς για c1 = 25 (υπο-διπλάσιο κόστος «τηλεφω νικής» συνέντευξης) βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 2, Ανάλογα, θα πρέπει να προχωρήσουµε σεανάλυσηευαισθησίαςγιατοναντικειµενικό συντελεστή c2. Το εύρος αριστότητάς του είναι το [25, ) και συνεπώς, για c2 = 140 (διπλάσιο κόστος «προσωπικής» συνέντευξης), βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραµένει το σηµείο Β(27.5, 20) µε νέα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης ίση µε 4, Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα απαιτείται η γνώση των δυικών τιµών που αντιστοιχούν στον 2ο (αξία µιας «τηλεφωνικής» συνέντευξης) και 3ο (αξία µιας «προσωπικής» συνέντευξης) περιορισµό. Παρατηρούµε όµως ότι 2ος περιορισµός είναι χαλαρός (µε περιθώρια τιµή ίση µε 1200) : το b2 µπορείναελαττωθείαπεριόρισταχωρίςναµεταβληθεί η βέλτιστη λύση. Συνεπώς η αντίστοιχη δυική τιµή ισούταιµε µηδέν. Κάτι τέτοιο δε συµβαίνει και µε τον3ο περιορισµό ο οποίος είναι δεσµευτικός (η βέλτιστηλύσηείναισηµείο τοµής των ευθειών (1) και (3). Η αντίστοιχη δυική τιµή είναι διάφορη του µηδενός 39 Παράδειγµα 3 Αγροτικός συνεταιρισµός κερδίζει 4, 3 και 6 χρηµατικές µονάδες από τις πωλήσεις που πραγµατοποιεί αντίστοιχα στις τρεις διαφορετικές κονσέρβες, έστω Α, Β καιγ, που παράγει αναµιγνύοντας ροδάκινο, βερίκοκο κι ανανά. Σε γενικές γραµµές η συζητούµενη παραγωγική διαδικασία µπορεί να διαχωριστεί σε δύο στάδια : την αποφλοίωση/κοπή (Σ1) και τη µείξη/συσκευασία (Σ2). Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι απαιτήσεις του κάθε προϊόντος σε πρώτες ύλες (Kr) και σε χρόνους επεξεργασίας (min), καθώς επίσης και η διαθεσιµότητα κάθε παραγωγικού συντελεστή 40 20

21 Παράδειγµα 3 1. Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβληµα του συνεταιρισµού, διαµορφώσετε ένα π.γ.π. που µπορεί να το επιλύσει. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας τη λύση και την ανάλυση ευαισθησίας που δίνεται στη συνέχεια από το LINDO, απαντήστε στα εξής ερωτήµατα : 2. Πόσο πρέπει να είναι το κέρδος του προϊόντος Β ώστε να είναι συµφέρουσα η παραγωγή του και γιατί; 3. Ο συνεταιρισµός εξετάζει την περίπτωση να αντικαταστήσει το µηχανολογικό εξοπλισµό των παραγωγικών σταδίων Σ1 και Σ2 πριν την έναρξη της παραγωγής. Ο καινούργιος εξοπλισµός είναι δυναµικότητας 1,200 λεπτών για το 1 ο στάδιο και 700 λεπτών για το 2ο στάδιο. Θα µεταβληθεί η βέλτιστη λύση; 4. Αν ο συνεταιρισµός είχε τη δυνατότητα να προµηθευτεί 10 επιπλέον κιλά ροδάκινα ή βερίκοκα ποιο φρούτο έπρεπε να προτιµήσει και γιατί; 5. Η διοίκηση πληροφορείται ότι υπάρχουν διαθέσιµα ακόµα 50 κιλά ανανά. Αν τα χρησιµοποιήσει ποια θα είναι η επίδραση στο συνολικό κέρδος; 41 Παράδειγµα

22 Λύση 1. Φανερά, ο συνεταιρισµός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το πλήθος των κονσερβών τύπου Α, Β και Γ που πρέπει να παράγει µέσα στις συγκεκριµένες διαθεσιµότητες των παραγωγικών του συντελεστών σε τρόπο ώστε να µεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος. Ορίζουµε ναείναιxα, xb, xγ το πλήθος των κονσερβών Α, Β και Γ που πρέπει να παραχθούν. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε 4xΑ + 3xB + 6xΓ χρηµατικές µονάδες. Οι περιορισµοί του προβλήµατος προκύπτουν αφενός µεν από τη διαθεσιµότητα των φρούτων, αφετέρου δε από το διαθέσιµο χρόνο στα δύο στάδια της επεξεργασίας: 3xΑ+ 2xB+ xγ 920 (διαθέσιµη ποσότητα ροδάκινων, Kr) 2xΑ+ 2xB+ 2xΓ 900 (διαθέσιµη ποσότητα βερίκοκων, Kr) xα+ 2xB+ 3xΓ 930 (διαθέσιµη ποσότητα ανανά, Kr) 1.2xΑ + 1.4xB+ 1.5xΓ 1,260 (διαθέσιµος χρόνος στο 1ο Στάδιο, min) xα+ 2xB+ xγ 600 (διαθέσιµος χρόνος στο 2ο Στάδιο, min) xα, xb, xγ 0 Από τα αποτελέσµατα του LINDO βλέπουµε ότι η βέλτιστη λύση του προβλήµατος xα = 210, xγ = 240 οδηγεί σε κέρδος 2,280 χρηµατικών µονάδων. 43 Λύση 2. Το ερώτηµα αφορά το ευκαιριακό κόστος της xb που είναι ίσο µε 2. Αν το κέρδος από τις κονσέρβες τύπου Β γίνει τουλάχιστον 5 (= 3 + 2) χρηµατικές µονάδες τότε θα συµφέρει η παραγωγή τους. 3. Οι περιορισµοί που αναφέρονται στο διαθέσιµο χρόνο για τα δύο στάδια της παραγωγικής διαδικασίας είναι χαλαροί µε περιθώριες τιµές 648 (ο 4ος που αφοράτοστάδιοσ1) και 150 (ο 5ος που αφορά το στάδιο Σ2). Η δοθείσα τροποποίηση θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του5ου κατά 100 µονάδες και θα ελαττώσει αυτή του 4ου κατά 60. Συνεπώς, η βέλτιστηλύση θα παραµείνει η ίδια. 4. Ο πόρος µε τηµεγαλύτερη αξία (: δυική τιµή) είναι τα «βερίκοκα» (για την ακρίβεια, η βέλτιστηλύσηαφήνειανεκµετάλλευτα 50Kr ροδάκινων). 5. Ο πόρος «ανανάς» έχει δυϊκή τιµή ίσηµε 1. Συνεπώς αύξηση της διαθέσιµης ποσότητάς του κατά 50Kr θα οδηγήσει σε αύξηση του συνολικού κέρδους κατά 1 50 χρηµατικές µονάδες

23 Παράδειγµα 4 Κάποια υφαντουργική εταιρεία διαθέτει στην αγορά δύο είδη βαµβακερών υφασµάτων, κοτλέ και φούτερ. Για να παραχθεί ένα µέτρο κοτλέ υφάσµατος απαιτούνται 3.75Kg βαµβάκι και 3.2 ώρες επεξεργασία. Ανάλογα, γιαναπαραχθεί ένα µέτρο φούτερ χρειάζονται 2.5Kg βαµβάκι και 3.0 ώρες επεξεργασία. Για την επόµενη παρτίδα ρούχων, η εταιρεία έχει στη διάθεσή της 3250Kg βαµβάκι και 3000 ώρες για την επεξεργασία του, ενώ από τα υπάρχοντα στοιχεία γνωρίζει ότι πρόκειται να διαθέσει όσα µέτρα φούτερ κι αν κατασκευάσει αλλά το πολύ 510 µέτρα κοτλέ. 45 Παράδειγµα 4 1. Αν κάθε µέτρο φούτερ αφήνει κέρδος 2.25 χρηµατικών µονάδων και κάθε µέτρο κοτλέ 3.10, προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να κατασκευαστούν από το κάθε είδος σε τρόπο ώστε τα συνολικά κέρδη της εταιρείας να είναι τα δυνατόν περισσότερα. 2. Παραµένουν ανεκµετάλλευτοι πόροι (πρώτες ύλες) στην ανωτέρω βέλτιστη γραµµή παραγωγής; Καλύπτεται η ζήτηση για το κοτλέ; 3. Σε ποιο ποσό θα ανερχόταν τα κέρδη της εταιρείας αν τα διαθέσιµα Kg βαµβάκι ήταν Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο φούτερ ανερχόταν στις 3.50 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; Αντοκέρδοςαπότοκάθεµέτρο κοτλέ ανερχόταν στις 4.00 χρηµατικές µονάδες, ποια θα ήταν η (νέα;) άριστη λύση του προβλήµατος; 5. Αν η υφαντουργική εταιρεία µπορούσε να επιλέξει µεταξύ περισσότερων Kg βαµβάκι και περισσότερου χρόνου για την επεξεργασία του, τι θα τη συµβουλεύατε; 46 23

24 Λύση Συµβολίζουµε µε x1, x2 τα µέτρα του υφάσµατος φούτερ και κοτλέ που θα παραχθούν (αντίστοιχα). Τότε, τα συνολικά κέρδη της εταιρείας τα οποία θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε ανέρχονται σε 2.25x x2 χρηµατικές µονάδες. Σύµφωνα µε ταδεδοµένα που έχουµε : (1) η διαθέσιµη ποσότητα βαµβακιού ανέρχεται στα 3,250Kr : 2.50x x2 3,250 (2) ο διαθέσιµος χρόνος για την επεξεργασία του ανέρχεται στις 3,000 ώρες : 3.0x x2 3,000 (3) θα διατεθούν το πολύ 510 µέτρα υφάσµατος κοτλέ : x2 510 Φυσικά έχουµε ακόµη x1, x

25 Λύση Για την άριστη λύση (x1 = 456, x2 = 510) οι περιορισµοί του προβλήµατος δίνουν : (1) = ( 3250) (2) = 3000 ( 3000) (3) 510 = 100 ( 510) Στην εταιρεία παραµένουν ανεκµετάλλευτα 197.5Kg βαµβακιού, ενώ διατίθενται όσα µέτρα υφάσµατος κοτλέ επιτρέπονται. Οι περιορισµοί (2) και (3) είναι δεσµευτικοί, ενώ ο περιορισµός (1) χαλαρός µε περιθώρια τιµή Ο πρώτος περιορισµός είναι χαλαρός µε περιθώρια τιµή Η µείωση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού κατά 250Kg ξεπερνά αυτή την τιµή και συνεπώς, για να απαντήσουµε στοερώτηµα, πρέπει να λύσουµε τονέο πρόβληµα : για τιµές του b1 < ( ) ο πρώτος περιορισµός γίνεται δεσµευτικός. Για b1 = 3000 η παραγωγή µέτρων υφάσµατος φούτερ και µέτρων κοτλέ, δίνει στην εταιρεία κέρδη περίπου ίσα µε 2,573 χρηµατικές µονάδες. 49 Λύση Το ερώτηµα µπορεί να απαντηθεί από την ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειµενικούς συντελεστές c1 και c2 αντίστοιχα. Το σηµείο Γ παραµένει η άριστη λύση για το πρόβληµά µας όσο κλίση της ευθείας (2) κλίση της ευθείας z κλίση της ευθείας (3) που εδώ δίνει c1/c2 0(η ευθεία είναι παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα). Η σχέση αυτή για c1 = 2.25 µας δίνει το εύρος αριστότητας του συντελεστή c2 [2.4, ) και για c2 = 3.1 το εύρος αριστότητας του συντελεστή c1 [0, ]. i) Ητιµή c1 = 3.50 είναι έξω από το εύρος αριστότητάς του. Καθώς η τιµή του c1 µεγαλώνει από την τρέχουσα 2.25, η κλίση της ευθείας z αλλάζει (µικραίνει) : η z περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Γ σύµφωνα µε τηφορά των δεικτών του ρολογιού. Για c1 = , οι ευθείες z και ταυτίζονται και το πρόβληµα αποκτά άπειρες βέλτιστες λύσεις που αντιστοιχούν στα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ. Για c1 > η ευθείαz αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το σηµείο Β, που είναι πια η άριστη λύση του προ βλήµατος. Συνεπώς, για c1 = 3.50 έχουµε ωςβέλτιστηγραµµή παραγωγής τη x1 = 1000, x2 = 0 µε αντίστοιχη τιµή z = 3,500 χ.µ. ii) Αύξηση της τιµής του c2 από 3.10 σε 4 δε µεταβάλλει την υποδειχθείσα (x1 = 456, x2 = 510) ως βέλτιστη γραµµή παραγωγής. Μεταβάλλεται µόνον ητιµή τηςπουφτάνειτώρατιςz = 3,

26 Λύση Είναι προφανές ότι η υφαντουργική εταιρεία πρέπει να επιλέξει να αυξήσει τις διαθέσιµες ώρες για την επεξεργασία του βαµβακιού. Ο 1ος περιορισµός είναι χαλαρός κι άρα αύξηση της διαθέσιµης ποσότητας βαµβακιού θα αυξήσει απλά την περιθώρια τιµή του(: ανεκµετάλλευτη ποσότητα). Απότηγραφικήεπίλυσητου προβλήµατος παρατηρούµε ότι τα οριακά σηµείαταοποίαδιατηρούντηγραµµική σχέση µεταξύ των ωρών που υπάρχουν για την επεξεργασία του βαµβακιού και της άριστης τιµής z είναι τα και Ε. Αντικαθιστώντας τα δύο άκρα στον αντίστοιχο περιορισµό : 3(0) + 3.2(510) = b2 b2 = 1632 Ε: 3(535) + 3.2(510) = b2 b2 = 3237 βρίσκουµε το εύρος εφικτότητας του b2 [1632, 3237]. Επειδή οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης για τα σηµεία και Ε είναι : z = 2.25(0) (510) = 1581 Ε: z = 2.25(535) (510) = η κλίση της ευθείας που παριστά το ρυθµό µεταβολής της αντικειµενικής συνάρτησης z σε σχέση µε τηµεταβολή των διαθέσιµων ωρών επεξεργασίας του βαµβακιού ισούται µε κλίση = ( )/( )=0.75 (δυϊκή τιµή του2ου περιορισµού που παριστά την αξία µιας ώρας επεξεργασίας βαµβακιού). Η εταιρείαθακερδίζει0.75 χ.µ. για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει στην επεξεργασία του βαµβακιού