Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μελετήσουμε τα στάσιμα κύματα σε χορδές και σωλήνες. A. Στάσιμα κύματα σε χορδές Εισαγωγή Μία γεννήτρια ημιτονοειδούς σήματος διεγείρει έναν δονητή ο οποίος δημιουργεί στάσιμο κύμα σε ένα τεντωμένο νήμα (χορδή). Η συχνότητα διέγερσης και το μήκος, η πυκνότητα και τάση του νήματος μεταβάλλονται ώστε να μελετηθεί η επίδρασή τους στην ταχύτητα του κύματος στο νήμα που ταλαντώνεται. Θεωρητική βάση του πειράματος Μία τεντωμένη χορδή μπορεί να ταλαντωθεί με πολλούς τρόπους (τρία παραδείγματα φαίνονται παρακάτω στο σχήμα). 1
Αν η χορδή αγκιστρωθεί στα δύο άκρα τότε θα πρέπει να δημιουργείται κόμβος (σημείο ταλάντωσης με μηδενικό πλάτος) σε κάθε άκρο και ανάμεσα τουλάχιστον μία κοιλία (σημείο ταλάντωσης με μέγιστο πλάτος). Η χορδή μπορεί να ταλαντώνεται σαν ένα τμήμα, οπότε το μήκος της (L) ισούται με το μισό μήκος (1/2) κύματος (λ). Μπορεί επίσης να ταλαντώνεται σε δύο τμήματα με έναν ακόμα (τρίτο) κόμβο στο κέντρο της, οπότε το μήκος της (L) ισούται με το μήκος κύματος (λ). Μπορεί επίσης να ταλαντώνεται με μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό τμημάτων. Σε κάθε περίπτωση, το μήκος της χορδής ισούται με ακέραιο αριθμό του μισού μήκους κύματος: L = n λ, η=1,2,3, 2 Αν η χορδή διεγερθεί με μία τυχαία συχνότητα, το πιο πιθανό είναι ότι δεν θα δείτε ένα συγκεκριμένο τρόπο ταλάντωσης: περισσότεροι τρόποι ταλάντωσης θα αναμειχθούν. Εάν όμως η συχνότητα διέγερσης, η τάση της χορδής και το μήκος της ρυθμιστούν κατάλληλα, ένας τρόπος ταλάντωσης θα συμβεί με πολύ μεγαλύτερο πλάτος από τους υπόλοιπους και θα υπερισχύσει. Σε αυτό το πείραμα, στάσιμα κύματα δημιουργούνται σε μία τεντωμένη χορδή από τις ταλαντώσεις ενός δονητή που διεγείρεται ηλεκτρικά. Η διάταξη φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η τάση του νήματος ισούται με το βάρος των μαζών που κρέμονται από την τροχαλία. Μπορείτε να ρυθμίσετε το πλάτος και την συχνότητα του κύματος ρυθμίζοντας την έξοδο της γεννήτριας ημιτονοειδούς κύματος που τροφοδοτεί τον δονητή. 2
Τροχαλία Κρεμασμένη μάζα Δονητής χορδής L είναι το μήκος του τμήματος της χορδής το οποίο ταλαντώνεται, λ είναι το μήκος κύματος. Για την περίπτωση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα και όπου η χορδή ταλαντώνεται σε 3 τμήματα, ισχύει: λ = 2 3 L Για κάθε κύμα με μήκος κύματος λ και συχνότητα f, η ταχύτητα του κύματος υ, είναι: υ = λ f (1) Επιπλέον, η ταχύτητα ενός κύματος στην χορδή δίνεται από την σχέση: F υ = (2) µ Η γραμμική πυκνότητα, μ, είναι η μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής. Η τάση, F, εφαρμόζεται με μία μάζα που κρεμάται και ισούται με το βάρος αυτής. 3
Πειραματική διάταξη Εκτέλεση του πειράματος 1. Μετρήστε το ακριβές μήκος ενός κομματιού πλεκτού σκοινιού. Ζυγίστε αυτό το κομμάτι σκοινιού και υπολογίστε την γραμμική πυκνότητα μ (μάζα/μήκος). 2. Χρησιμοποιήστε τα άγκιστρα για να τοποθετήσετε την τροχαλία και την γεννήτρια ημιτονοειδών κυμάτων περίπου στα 120 cm μακριά. Συνδέστε 1.5 m πλεκτού σκοινιού στο έλασμα που ταλαντώνεται, περάστε το πάνω από την τροχαλία και κρεμάστε από αυτή ένα σώμα βάρους 150 g. 3. Μετρήστε την απόσταση μεταξύ του σημείου που το νήμα συνδέεται με τον δονητή και την κορυφή της τροχαλίας. Αυτή είναι η απόσταση L 4
4. Ανοίξτε την γεννήτρια ημιτονοειδούς κύματος και γυρίστε το διακόπτη του πλάτους (Amplitude) αντίθετα της φοράς του ρολογιού μέχρι τέλους. Συνδέστε την γεννήτρια συχνοτήτων στον δονητή χρησιμοποιώντας δύο καλώδια συνδεσμολογίας. Η πολικότητα δεν έχει σημασία. Μέρος Ι 1. Ρυθμίστε το πλάτος γυρίζοντας τον διακόπτη Amplitude μέχρι την μέση περίπου. Χρησιμοποιήστε τα κουμπιά συχνότητας Coarse Frequency (1.0) και Fine Frequency (0.1) της γεννήτριας συχνοτήτων για να ρυθμίσετε τις δονήσεις ώστε το νήμα να δονείται σε ένα τμήμα. Ρυθμίστε το πλάτος και την συχνότητας διέγερσης ώστε να πάρετε κύμα μεγάλου-πλάτους, ελέγχοντας ταυτόχρονα το άκρο του δονούμενου ελάσματος: Το σημείο σύνδεσης του νήματος πρέπει να είναι κόμβος. Είναι προτιμότερο να έχουμε έναν καλό κόμβο στο έλασμα παρά το να έχουμε το μεγαλύτερο δυνατό πλάτος. Ωστόσο, είναι επιθυμητό να έχουμε μεγάλο πλάτος διατηρώντας ταυτόχρονα έναν καλό κόμβο. 2. Καταγράψτε την συχνότητα. Πόσο αβεβαιότητα υπάρχει σε αυτή την τιμή; Πόσο μπορείτε να αλλάξετε αυτή την συχνότητα πριν δείτε ένα αποτέλεσμα; 3. Επαναλάβετε τα δύο προηγούμενα βήματα για ένα στάσιμο κύμα δύο τμημάτων. Το νήμα θα πρέπει να δονείται με ένα κόμβο σε κάθε άκρο και έναν κόμβο στην μέση. Μην αλλάξετε το σώμα που κρέμεται. 5
4. Πως συνδέεται η συχνότητα του κύματος με δύο τμήματα με την συχνότητα του κύματος ενός τμήματος; Υπολογίστε τον λόγο των συχνοτήτων. Είναι ο λόγος αυτός ότι περιμένετε; 5. Όταν η χορδή να ταλαντώνεται σε δύο τμήματα ισχύει: L=λ. Μπορείτε να το παρατηρήσετε αυτό; Επειδή η χορδή ταλαντώνεται τόσο γρήγορα πάνω-κάτω χρειάζεται προσοχή για να δείτε πότε το ένα τμήμα είναι πάνω και το άλλο κάτω. Προσπαθήστε να ακουμπήσετε την χορδή σε μία κοιλία. Τι συμβαίνει; Προσπαθήστε να ακουμπήσετε την χορδή στον κεντρικό κόμβο. Μπορείτε να κρατήσετε τον κεντρικό κόμβο χωρίς να επηρεαστεί σημαντικά η ταλάντωση της χορδής; 6. Ποιο είναι το μήκος κύματος όταν το νήμα ταλαντώνεται με ένα τμήμα; Χρησιμοποιήστε την εξίσωση (1) για να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύματος ενός-τμήματος. Υπολογίστε την ταχύτητα του κύματος δύοτμημάτων. Συγκρίνετε τις δύο αυτές τιμές. Είναι αυτές περίπου ίδιες; Γιατί; 7. Υπολογίστε την τάση του νήματος από τις κρεμασμένες μάζες (μην ξεχάσετε την μάζα της κρεμάστρας) και χρησιμοποιώντας την πυκνότητα του σκοινιού που έχετε ήδη μετρήσει, υπολογίστε την ταχύτητα του κύματος χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2). Συγκρίνετε αυτή με το αποτέλεσμα στο προηγούμενο βήμα. 8. Ρυθμίστε την συχνότητα ώστε το νήμα να ταλαντώνεται σε τρία τμήματα. Πόση είναι η ταχύτητα τώρα; Έχει αλλάξει αυτή; Εξαρτάται η ταχύτητα του κύματος από το μήκος κύματος και την συχνότητα; 9. Ρυθμίστε την συχνότητα σε μία τιμή ενδιάμεση σε αυτές που προκαλούν κύματα ενός και δύο τμημάτων ώστε να μην δημιουργείται κάποιο συγκεκριμένο στάσιμο κύμα. Απελευθερώστε τον δονητή και από το τραπέζι και μετακινήστε τον σιγά-σιγά προς την τροχαλία. 6
Προσέξτε να μην χάνει ο δονητής την επαφή με το τραπέζι. Χωρίς να αλλάξετε την συχνότητα διέγερσης ούτε την μάζα που κρέμεται ελαττώστε το μήκος του νήματος μέχρι να ταλαντώνεται αυτό σε δύο τμήματα. Μετρήστε το καινούργιο μήκος κύματος και υπολογίστε την ταχύτητα του κύματος. Είναι αυτή η ίδια με πριν; Εξαρτάται η ταχύτητα του κύματος από το μήκος του νήματος; Μέρος ΙΙ 1. Συνδέστε τον δονητή πάλι πίσω στην αρχική του θέση (σε απόσταση 120 cm περίπου από την τροχαλία). Ξαναμετρήστε το μήκος L. Κρεμάστε σώμα μάζας 50 g περίπου από το νήμα που περνάει από την τροχαλία. Καταγράψτε την συνολική μάζα που κρέμεται, συμπεριλαμβάνοντας και αυτήν της κρεμάστρα. 2. Ρυθμίστε την συχνότητα της γεννήτριας συχνοτήτων ώστε να ταλαντώνεται το νήμα σε τέσσερα τμήματα. Όπως πριν, ρυθμίστε το πλάτος και την συχνότητα της διέγερσης ώστε να πάρετε ένα κύμα μεγάλου πλάτους και ταυτόχρονα καλούς κόμβους στα δύο άκρα. Καταγράψτε την συχνότητα. 3. Προσθέστε 50 g στην μάζα που κρέμεται και επαναλάβετε τα βήματα 1 και 2. 4. Επαναλάβετε το προηγούμενο βήμα κρεμώντας κάθε φορά 50 g μέχρι να φτάσετε στα 250 g. Καταγράψτε τα αποτελέσματα σας σε πίνακα. 7
Επεξεργασία μετρήσεων 1. Για αυτό το τμήμα του πειράματος, είχατε πάντα ρυθμίσει την συχνότητα ώστε το νήμα ταλαντωνόταν σε τέσσερα τμήματα και έτσι το νήμα έχει πάντα μήκος ίσο με δύο φορές το μήκος κύματος ( L=2λ). Τροχαλία Κρεμασμένη μάζα Δονητής χορδής Χρησιμοποιήστε το γεγονός αυτό για να δείξετε ότι οι εξισώσεις (1) και (2) δίνουν: f 2 4 mg = (3) 2 L µ όπου f : η συχνότητα διέγερσης της γεννήτριας ημιτονοειδούς κύματος g: επιτάχυνση της βαρύτητας m: συνολική μάζα που κρέμεται L: μήκος του νήματος (του τμήματος που ταλαντώνεται) μ: γραμμική πυκνότητα της μάζας (μάζα/μήκος) 2. Φτιάξτε διάγραμμα 2 f Είναι γραμμική η γραφική παράσταση; m. (Χρησιμοποιήστε την μάζα σε μονάδα kg). 3. Βρείτε την κλίση της ευθείας ανάμεσα από τα πειραματικά σημεία. 4. Όπως προκύπτει από την εξίσωση (3), η κλίση της 2 f mείναι: 8
κλίση = 4g 2 µ L Από την κλίση της ευθείας υπολογίστε λοιπόν την γραμμική πυκνότητα του νήματος. Πιο είναι το σφάλμα προσδιορισμού; 5. Συγκρίνετε την πυκνότητα που μετρήσατε από την γραφική παράσταση με την πυκνότητα που υπολογίσατε με μέτρηση του βάρους του νήματος. Υπολογίστε το ποσοστό απόκλισης: Metroύmenh-Pragmatikή % Apόklish= 100% Pragmatikή Επιπλέον μελέτη 1. Επαναλάβετε την διαδικασία του Μέρους ΙΙ χρησιμοποιώντας το κίτρινο νήμα και χρησιμοποιήστε το προηγούμενο διάγραμμα για να παραστήσετε τα αποτελέσματα σας για να δείξετε την διαφορά στις πυκνότητες. 2. Επαναλάβετε την διαδικασία με ελαστικό νήμα. Η πυκνότητα είναι τώρα πολύ μεγαλύτερη. Έτσι φτιάξτε διαφορετική γραφική παράσταση. Κοιτάξτε προσεκτικά την γραφική παράσταση. Είναι αυτή γραμμική όπως οι προηγούμενες δύο; Υπολογίστε την πυκνότητα χρησιμοποιώντας τόσο την μέγιστη όσο και την ελάχιστη κλίση της ευθείας που μπορείτε να χαράξετε ανάμεσα από τα πειραματικά σημεία. 3. Μετρήστε πόσο το ελαστικό νήμα επιμηκύνεται όταν κρεμάτε την μέγιστη μάζα. Χρησιμοποιώντας την πυκνότητας της χορδής χωρίς επιμήκυνση και την επιμήκυνση αυτής, εκτιμήστε την πυκνότητα της 9
χορδής που έχει επιμηκυνθεί. Συγκρίνετε την τιμή αυτή με τις πυκνότητες που υπολογίσατε από την γραφική παράσταση. Συμπέρασμα Συνοψίστε ποια από τα μεγέθη επηρεάζουν την ταχύτητα ενός κύματος σε ένα νήμα. Λάβετε υπόψη σας τον αριθμό των τμημάτων, την συχνότητα, την τάση του νήματος, το μήκος και την πυκνότητα του νήματος. 10
Β. Στάσιμα κύματα σε σωλήνες. Εισαγωγή Μία γεννήτρια ημιτονοειδούς σήματος διεγείρει ένα μικρόφωνο το οποίο δημιουργεί στάσιμο κύμα σε έναν σωλήνα. Η συχνότητα διέγερσης και το μήκος του σωλήνα μεταβάλλονται ώστε να μελετηθεί η επίδραση τους στην ταχύτητα του ηχητικού κύματος. Οι έννοιες του κόμβου, της κοιλίας και των αρμονικών μελετώνται σε ανοικτούς και κλειστούς σωλήνες. Προετοιμασία 1. Ανοίξτε την γεννήτρια ημιτονοειδούς κύματος και γυρίστε το διακόπτη του πλάτους (Amplitude) αντίθετα της φοράς του ρολογιού μέχρι τέλους. 2. Συνδέστε την γεννήτρια στο μικρόφωνο χρησιμοποιώντας δύο καλώδια συνδεσμολογίας. Η πολικότητα δεν έχει σημασία. 11
3. Τοποθετήστε τον σωλήνα οριζόντια όπως φαίνεται στο σχήμα και το μικρόφωνο στο κοντά στο ανοικτό άκρο. Τοποθετήστε το μικρόφωνο σε γωνία 45 ο με το άκρο του σωλήνα, χωρίς να κατευθύνεται απευθείας σε αυτόν. 4. Ο εσωτερικός (λευκός) σωλήνας γλιστρά μέσα στον μπλε σωλήνα για να ρυθμιστεί το ενεργό μήκος του κλειστού σωλήνα. Μέρος Ι: Κλειστός σωλήνας μεταβλητού μήκους Θεωρητική βάση του πειράματος Ένας σωλήνας που αντηχεί με το ένα άκρο ανοικτό και το άλλο κλειστό θα έχει πάντοτε έναν κόμβο στο κλειστό άκρο και μία κοιλία στο ανοικτό άκρο. Ο κόμβος είναι μία περιοχή στην οποία η ταχύτητα του αέρα είναι ελάχιστη (μηδέν) και η κοιλία μία περιοχή όπου η ταχύτητα του αέρα είναι μέγιστη. Αν ο σωλήνας αντηχεί σε μία συγκεκριμένη συχνότητα θα έχει συντονιστεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου οι καμπύλες γραμμές αντιπροσωπεύουν το προφίλ της ταχύτητας του αέρα στον σωλήνα. 12
ανοικτό άκρο κλειστό άκρο ανοικτό άκρο κλειστό άκρο ανοικτό άκρο κλειστό άκρο Καθώς το μήκος του ενεργού τμήματος του σωλήνα αυξάνεται, ο ήχος γίνεται δυνατός σε διαδοχικούς κόμβους και χαμηλώνει στις κοιλίες. Σημειώστε ότι η απόσταση μεταξύ των κόμβων είναι ½ λ. Για όλους τους τύπους κυμάτων, η συχνότητα και το μήκος κύματος συνδέονται με την ταχύτητα υ του κύματος, όπως δίνεται από την εξίσωση (1). υ = λ f (1) Εκτέλεση του πειράματος 1. Μετακινήστε τους δύο σωλήνες μαζί ώστε να είναι το μήκος του σωλήνα μηδέν. Θέστε την συχνότητα της γεννήτριας ημιτονοειδούς κύματος 300 Hz και επιλέξτε ένα ενδιάμεσο πλάτος. 2. Τραβήξτε τον λευκό σωλήνα για να αυξηθεί το μήκος του σωλήνα. Η ένταση του ήχου θα ενισχυθεί αξιοπρόσεκτα όταν πλησιάζετε τον συντονισμό. Μετακινήστε μέσα και έξω τον σωλήνα ώστε να εντοπίσετε την θέση που δίνει την μέγιστη ενίσχυση του τόνου. Καταγράψτε αυτή την θέση. 13
3. Συνεχίστε να τραβάτε τον σωλήνα και βρείτε όλες τις θέσεις συντονισμού. Κάθε μία από αυτές τις θέσεις αντιπροσωπεύει κόμβο του στάσιμου κύματος. 4. Υπολογίστε την απόσταση ανάμεσα στους κόμβους και βρείτε την μέση τιμή εάν έχετε μετρήσει πάνω από μία τιμή. 5. Χρησιμοποιήστε την συχνότητα της γεννήτριας για να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύματος. 6. Ρυθμίστε την συχνότητα της γεννήτριας στα 400 Hz και επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία. Συγκρίνετε τις δύο τιμές ταχύτητας. Είναι αυτές περίπου ίσες; 7. Η ταχύτητα του κύματος είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα, η οποία εξαρτάται από την θερμοκρασία. Η θεωρητική τιμή μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: υ = 331 m/ s+ 0.6 θ όπου θ είναι η θερμοκρασία του αέρα σε βαθμούς Κελσίου. Μετρήστε την θερμοκρασία του αέρα και υπολογίστε την ταχύτητα του ήχου. Συγκρίνετε τις μετρήσεις σας για την ταχύτητα του ήχου με την τιμή που υπολογίσατε και που είναι η πραγματική τιμή. Υπολογίστε την ποσοστιαία απόκλιση. Metroύmenh-Pragmatikή % Apόklish= 100% Pragmatikή 14
Μέρος ΙΙ: Ανοικτός σωλήνας σταθερού μήκους Θεωρητική βάση του πειράματος Ένας σωλήνας που αντηχεί με τα δύο άκρα ανοικτά θα έχει πάντοτε κοιλίες στα δύο άκρα και τουλάχιστον έναν κόμβο ανάμεσα. Ο αριθμός των κοιλιών συνδέεται με το μήκος κύματος και την αρμονική. Η πρώτη αρμονική (ή θεμελιώδης) έχει έναν κόμβο, η δεύτερη αρμονική έχει δύο κλπ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για έναν σωλήνα σταθερού μήκους, σε υψηλότερες αρμονικές, η συχνότητα είναι ψηλότερη και το μήκος κύματος μικρότερο. πρώτη αρμονική L= ½ λ δεύτερη αρμονική L= λ Εκτέλεση του πειράματος 1. Τραβήξτε τον εσωτερικό σωλήνα ώστε να ξεχωρίσει τελείως από τον εξωτερικό σωλήνα. Θα χρησιμοποιήσετε μόνο τον μπλε σωλήνα με δύο ανοικτά άκρα. 2. Τοποθετήστε την γεννήτρια και το μικρόφωνο όπως πριν. Ξεκινήστε με μία συχνότητα 50 Hz και αυξήστε την σιγά-σιγά χρησιμοποιώντας το κουμπί coarse (1.0). Βρείτε την θεμελιώδη συχνότητα (με ακρίβεια 1 Hz). 15
3. Υπολογίστε το μήκος κύματος χρησιμοποιώντας την συχνότητα και την ταχύτητα του ήχου που υπολογίσατε στο Μέρος Ι. Τι σχέση έχει αυτή με το μήκος του σωλήνα; 4. Αυξήστε την συχνότητα της γεννήτριας και προσδιορίστε την συχνότητα της δεύτερης και της τρίτης αρμονικής. Τι σχέση έχουν αυτές με την θεμελιώδη συχνότητα; Επιπλέον μελέτη 1. Ρυθμίστε την συχνότητα πάλι στην θεμελιώδη για τον ανοικτό σωλήνα και στην συνέχεια αντικαταστήστε τον ανοικτό σωλήνα με τον κλειστό (λευκό) σωλήνα. Εξακολουθεί να είναι αυτός σε συντονισμό; Ελαττώστε την συχνότητα μέχρι να βρείτε την θεμελιώδη συχνότητα του κλειστού σωλήνα. (Ίσως σας βοηθήσει να αυξήσετε την ένταση του ήχου και/ή να υπολογίσετε την θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας για να εντοπίσετε την τιμή της.) Γιατί είναι η θεμελιώδης συχνότητα του κλειστού σωλήνα μικρότερη από αυτήν του ανοικτού σωλήνα; 2. Αυξήστε την συχνότητα και προσπαθήστε να βρείτε και άλλες αρμονικές. Γιατί ο σωλήνας ο ανοικτός και στα δύο άκρα παίζει όλες τις συχνότητες, ενώ ο σωλήνας με κλειστό το ένα άκρο παίζει μόνο τις μονές αρμονικές (1,3,5, κλπ); Ποια είναι η σχέση μεταξύ του μήκους του σωλήνα και του μήκους κύματος της τρίτης αρμονικής ενός κλειστού σωλήνα; 16
Ερωτήσεις 1. Σε ένα πνευστό όργανο: (α) Ποια πνευστά όργανα παίξουν τις χαμηλές νότες, τα μακριά ή τα κοντά; (β) Ποια πνευστά όργανα δίνουν την χαμηλότερη συχνότητα, τα μακριά ή τα κοντά; (β) Ποια πνευστά όργανα δίνουν το πιο μακρύ μήκος κύματος, τα μακριά ή τα κοντά; 2. Αν υποθέσουμε ότι σε ένα πείραμα η θερμοκρασία του δωματίου ήταν χαμηλότερη, ποια θα ήταν η επίδραση στην απόσταση μεταξύ των κόμβων για κάθε μέτρηση; Εξηγήστε την απάντηση σας. 3. Πως θα επιδρούσε στον τόνο ενός πνευστού οργάνου αν ήταν η ατμόσφαιρα από ήλιο (He); Συμπέρασμα Συνοψίστε τις διαφορές μεταξύ ενός ανοικτού και ενός κλειστού σωλήνα. Επίσης σχολιάστε: - Πως μεταβλήθηκε η ταχύτητα, το μήκος κύματος και η συχνότητα καθώς μεταβαλλόταν το μήκος του σωλήνα; - Πως μεταβλήθηκε η ταχύτητα, το μήκος κύματος και η συχνότητα στο τμήμα του πειράματος που το μήκος του σωλήνα ήταν σταθερό; 17