«Αρχιτεκτονικές VLSI Modem Χαμηλής Κατανάλωσης για Ασύρματα δίκτυα OFDM : ο Ρόλος της Εναλλακτικής Αριθμητικής»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ» «Αρχιτεκτονικές VLSI Modem Χαμηλής Κατανάλωσης για Ασύρματα δίκτυα OFDM : ο Ρόλος της Εναλλακτικής Αριθμητικής» - Μεταπτυχιακή Εργασία - Μπροκαλάκης Ανδρέας Επιβλέπων Καθηγητής : Βασίλης Παλιουράς Μέλη Εξεταστικής Επιτροπής : Αθανάσιος Στουραΐτης Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πάτρα, Ιούνιος 007

iii ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο Τμήμα Μηχανικών Υπολογιστών και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Πατρών στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών «Ολοκληρωμένα Συστήματα Υλικού Λογισμικού». Εισηγητής και επιβλέπων της εργασίας ήταν ο επίκουρος καθηγητής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών, κ. Βασίλης Παλιουράς. Στον καθηγητή μου, κ. Παλιουρά, θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου για την υποστήριξη, την πολύτιμη καθοδήγηση, μα πάνω από όλα την επιμονή και υπομονή του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας μας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω θερμά τα μέλη της τριμελούς επιτροπής, κ. Στουραΐτη και Μπερμπερίδη. Κλείνοντας, ένα μεγάλο ευχαριστώ στην οικογένεια μου χωρίς τη στήριξη της οποίας θα ήταν αδύνατη η εκπόνηση αυτής της εργασίας και η ολοκλήρωση των σπουδών μου. Ανδρέας Μπροκαλάκης

iv ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η διαμόρφωση με πολύπλεξη συχνότητας ορθογωνίων φερουσών (Orthogonal Frequency Division Multiplexing - OFDM) έχει εδραιωθεί ως μία από τις επικρατέστερες μεθόδους διαμόρφωσης για την υψηλού ρυθμού μετάδοση πληροφορίας μέσω ασύρματων μέσων. Σε ένα σύστημα OFDM, ένα από τα βασικότερα και υπολογιστικά πολυπλοκότερα τμήματα είναι ο υπολογισμούς του Ταχύ Μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform FFT). Αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι η μελέτη της χρήσης εναλλακτικής αριθμητικής για την υλοποίηση κυκλωμάτων FFT. Τυπικά, τέτοιου είδους κυκλώματα υλοποιούνται χρησιμοποιώντας κάποια γραμμική αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής, στη βιβλιογραφία, όμως, έχουν προταθεί υλοποιήσεις του FFT με χρήση του Λογαριθμικού Συστήματος Αρίθμησης (Logarithmic Numbering System LNS) και έχουν αναφερθεί κέρδη για συγκεκριμένους παράγοντες όπως το σφάλμα κβαντισμού, η επιφάνεια ολοκλήρωσης και η κατανάλωση ισχύος. Η αποδοτικότητα αυτών των λύσεων ερευνάται για τη συγκεκριμένη περίπτωση της εφαρμογής του FFT σε OFDM modems. Εστιάζοντας στην περίπτωση του FFT 64 σημείων για OFDM modem για ασύρματα δίκτυα 80.11a, μία από τις πλέον επιτυχημένες αρχιτεκτονικές που έχουν προταθεί για την υλοποίηση του, στηρίζεται στη λογική του FFT γραμμής στήλης και παρουσιάζει έναν τρόπο πραγματοποίησης του υπολογισμού χωρίς κανένα ψηφιακό πολλαπλασιαστή. Με το βασικό πλεονέκτημα της λογαριθμικής αναπαράστασης να είναι η απλοποίηση των κυκλωμάτων πολλαπλασιασμού (με ταυτόχρονη όμως αύξηση του κόστους για την πραγματοποίηση προσθέσεων), δείχνεται ότι τελικά η υλοποίηση ενός FFT αμιγώς σε LNS δεν είναι προτιμητέα. Αν και η αρχιτεκτονική του FFT γραμμής στήλης μπορεί να προσφέρει υψηλή απόδοση με χαμηλό κόστος υλοποίησης, παρουσιάζει μια σειρά από αδυναμίες, που σχετίζονται κυρίως με τη χρήση ειδικών κυκλωμάτων για την εκτέλεση των πολλαπλασιασμών με τις σταθερές που εμφανίζονται στον FFT (twiddle factors). Για την αντιμετώπιση αυτών των περιορισμών προτείνεται η εισαγωγή του LNS σε κάποια τμήματα του κυκλώματος του FFT, οδηγώντας έτσι στη δημιουργία ενός συστήματος μικτής αναπαράστασης. Σε τέτοιου είδους υβριδικά συστήματα τίθενται δύο βασικά ζητήματα. Το πρώτο αφορά τον ορισμό της ισοδυναμίας μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων και το δεύτερο τον αποδοτικό τρόπο υλοποίησης των κυκλωμάτων μετατροπής από το ένα αριθμητικό σύστημα στο άλλο. Τυπικά, τα κριτήρια ισοδυναμίας που επιλέγονται είναι αυστηρά μαθηματικά ορισμένα, όπως για παράδειγμα ο Λόγος Σήματος προς Θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio - SNR) ή το Μέσο Σχετικό Σφάλμα Αναπαράστασης (Average Relative Representation Error ARRE). Στη συγκεκριμένη εργασία ακολουθείται μια λιγότερο δεσμευτική προσέγγιση, ορίζοντας την ισοδυναμία δύο αναπαραστάσεων με βάση την τελική απόδοση του συστήματος OFDM όσον αφορά το ρυθμό λαθών στο δέκτη (Bit Error Rate - BER). Με βάση αυτή τη λογική, αποδεικνύεται ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναπαραστάσεις πολύ μικρού μεγέθους λέξης και οι προσεγγίσεις που χρειάζεται να γίνουν κατά τις μετατροπές μεταξύ των δύο συστημάτων δεν είναι ανάγκη να είναι ιδιαίτερα ακριβείς. Έτσι, τα σχετικά κυκλώματα μπορούν να υλοποιηθούν αποδοτικά και με μικρό κόστος. Η υλοποίηση δύο συστημάτων για τον FFT 64 σημείων, ένα βασισμένο αποκλειστικά σε γραμμική αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής και ένα υβριδικό που χρησιμοποιεί γραμμική και λογαριθμική αναπαράσταση, δείχνει ότι χωρίς διαφορές όσον αφορά το BER και την καθυστέρηση (delay), η υβριδική προσέγγιση απαιτεί μικρότερη επιφάνεια ολοκλήρωσης και παρουσιάζει σημαντικά χαμηλότερη κατανάλωση ισχύος.

Περιεχόμενα v ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM... 4.1. Το Πρόβλημα της Διασυμβολικής Παρεμβολής... 4.. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM... 6..1. Μορφή Συμβόλου OFDM... 7... Διάστημα Προστασίας... 8.3. Δομή Πομπού Δέκτη OFDM... 8.4. Παραπομπές... 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων... 11 3.1. Ψηφιακές Αριθμητικές Αναπαραστάσεις... 11 3.1.1. Ιδιότητες Ψηφιακής Αριθμητικής Αναπαράστασης... 1 3.1.. Επίδραση της Ψηφιακής Αριθμητικής Αναπαράστασης σε Ένα Σύστημα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων... 13 3.. Γραμμικές Αναπαραστάσεις Σταθερής Υποδιαστολής... 15 3.3. Λογαριθμικό Σύστημα Αρίθμησης... 18 3.3.1. Βασικές Αριθμητικές Πράξεις στο LNS... 19 3.3.1.1. LNS Πρόσθεση / Αφαίρεση... 0 3.3.1.. LNS Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση... 3.4. Ισοδυναμία Μεταξύ Διαφορετικών Αναπαραστάσεων... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier... 4 4.1. Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier... 4 4.1.1. Radix- FFT Αλγόριθμος με Αποδεκατισμό στο Χρόνο... 5 4.1.. Radix- FFT Αλγόριθμος με Αποδεκατισμό στη Συχνότητα... 6 4.1.3. Υλοποίηση του Radix- FFT με Σχήμα Πεταλούδας... 6 4.. Γραμμικός και Λογαριθμικός FFT... 30 4..1. Ανάλυση του Radix- FFT 8 Σημείων για Υλοποίηση σε Επίπεδο Υλικού (για Γραμμικό Σύστημα Αρίθμησης)... 30 4... Η Περίπτωση του Λογαριθμικού FFT... 34 4...1. Πειραματικό Σύστημα Μετρήσεων... 35 4... Σύγκριση LNS και Συστήματος Κινητής Υποδιαστολής... 36 4...3. Απαιτούμενο Μέγεθος Λέξης LNS και Σύγκριση με Μήκος Λέξης για Αναπαράσταση Συμπληρώματος ως προς... 37 4...4. Γενική Μορφή Πεταλούδας... 40 4.3. FFT Γραμμής Στήλης... 41 4.3.1. Radix-8 FFT Γραμμής Στήλης 64 Σημείων... 4

Περιεχόμενα vi 4.3.. Η Ιδέα Ενός Συστήματος Μικτής Αναπαράστασης... 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Σχεδίαση FFT 64 Σημείων με Χρήση Γραμμικής Αριθμητικής Σταθερής Υποδιαστολής 47 5.1. Σχεδιαστικοί Στόχοι... 47 5.. Μεγέθη Αναπαράστασης στο Σύστημα του FFT... 48 5.3. Σχεδίαση Βασικών Μονάδων FFT 64 Σημείων... 51 5.3.1. Μονάδες FFT 8 Σημείων... 51 5.3.. Μονάδα Πολλαπλασιαστών... 53 5.3..1. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.995, 0.0980)... 55 5.3... Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.9808, 0.1951)... 56 5.3..3. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.9569, 0.903)... 57 5.3..4. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.939, 0.387)... 58 5.3..5. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.8819, 0.4714)... 59 5.3..6. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.8315, 0.5556)... 59 5.3..7. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.7730, 0.6344)... 6 5.3..8. Πολλαπλασιαστής για το Ζεύγος Σταθερών (0.7071, 0.7071)... 6 5.3.3. Διασυνδετικά Δίκτυα... 63 5.3.4. Μονάδα Καταχωρητών... 66 5.4. Pipeline Συστήματος FFT 64 Σημείων και Μονάδα Ελέγχου... 69 5.4.1. Pipeline Συστήματος... 71 5.4.. Μονάδα Ελέγχου Συστήματος... 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Σχεδίαση FFT 64 Σημείων Υβριδικής Αναπαράστασης... 74 6.1. Αδυναμίες της Αρχιτεκτονικής του Γραμμικού FFT 64 Σημείων... 74 6.. Υβριδική Προσέγγιση: Πλεονεκτήματα, Προβλήματα και Λύσεις... 75 6..1. Το Πρόβλημα της Μετατροπής Μεταξύ των Διαφορετικών Αναπαραστάσεων... 76 6... Το Πρόβλημα της Πρόσθεσης στους Μιγαδικούς Πολλαπλασιασμούς... 77 6.3. Αρχιτεκτονική Υβριδικού FFT 64 Σημείων... 78 6.3.1. Κυκλώματα Μετατροπής από τη Γραμμική Αναπαράσταση στο LNS... 79 6.3.. Κυκλώματα Μετατροπής από το LNS στη Γραμμική Αναπαράσταση... 8 6.3.3. Μονάδα Ελέγχου... 83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Υλοποίηση και Σύγκριση Σχεδιασμών Γραμμικού και Υβριδικού FFT 64 Σημείων... 84 7.1. Σύνθεση και Έλεγχος Ορθής Λειτουργίας... 84 7.. Αποτελέσματα Υλοποίησης και Σύγκριση Συστημάτων... 85 7..1. Καθυστέρηση (Delay)... 85 7... Εμβαδό (Area)... 86 7..3. Κατανάλωση Ισχύος... 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Σύνοψη... 89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 90

Περιεχόμενα vii ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 4.1 : Μετρήσεις BER για Υλοποίηση του FFT με Αναπαράσταση Σταθερής και Κινητής Υποδιαστολής... 38 Πίνακας 4. : Μετρήσεις BER για Υλοποίηση του FFT με LNS... 39 Πίνακας 4.3 : Μετρήσεις BER για coded-ofdm για υλοποίηση του FFT με αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς και LNS...39 Πίνακας 4.4 : Διαφορά Εκτιμώμενου και Πραγματικού Κόστους για ένα FFT 8 σημείων... 40 Πίνακας 4.5 : Αντιστοίχηση Μιγαδικών Σταθερών σε Ζεύγη Τιμών... 43 Πίνακας 5.1 : Μετρήσεις για την Επίδραση του Μεγέθους της Ενδιάμεσης Αναπαράστασης στο BER του Δέκτη OFDM... 49 Πίνακας 5. : Μετρήσεις για την Επίδραση του Μεγέθους της Αναπαράστασης Μετά τους Πολλαπλασιασμούς στο BER του Δέκτη OFDM... 50 Πίνακας 5.3 : Κωδικοποίηση Σταθερών για Χρήση στους Πολλαπλασιαστές με Σταθερά 54 Πίνακας 5.4 : Συνδέσεις Εξόδων του Πρώτου FFT8 με Πολλαπλασιαστές Σταθεράς... 65 Πίνακας 5.5 : Χρονικό Διάγραμμα Χρήσης των Πολλαπλασιαστών με Σταθερά... 71 Πίνακας 6.1 : Μετρήσεις για την επίδραση των συναρτήσεων μετατροπής μεταξύ γραμμικού και λογαριθμικού συστήματος στο BER του δέκτη OFDM... 77 Πίνακας 6. : Μετρήσεις για την επίδραση του σφάλματος της LNS πρόσθεσης στο BER του δέκτη OFDM... 78 Πίνακας 7.1 : Βασικές Παράμετροι Σύνθεσης... 85 Πίνακας 7. : Αποτελέσματα Σύνθεσης (Χωρίς Περιορισμούς για το Ρολόι) για το Εμβαδό του Γραμμικού και του Υβριδικού Συστήματος FFT 64 Σημείων... 86 Πίνακας 7.3 : Αποτελέσματα Σύνθεσης για το Εμβαδό του Γραμμικού και του Υβριδικού Συστήματος FFT 64 Σημείων (Καθορισμένη Συχνότητα Σχεδιασμών) 87 Πίνακας 7.4 : Εκτιμήσεις Κατανάλωσης Ισχύος Χειρότερης Περίπτωσης για το Γραμμικό και το Υβριδικό Σύστημα του FFT 64 Σημείων... 88 Πίνακας 7.5 : Εκτιμήσεις Κατανάλωσης Ισχύος Λαμβάνοντας Υπόψη το Switching Activity Πραγματικών Υπολογισμών για το Γραμμικό και το Υβριδικό Σύστημα του FFT 64 Σημείων... 88

Περιεχόμενα viii ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα.1 : Παραδείγματα εμφάνισης του φαινομένου της διασυμβολικής παρεμβολής.. 5 Σχήμα. : Επίδραση διαύλου πολυδιόδευσης σε σήματα με διαφορετικό εύρος ζώνης.. 5 Σχήμα.3 : Αποφυγή διασυμβολικής και διακαναλικής παρεμβολής, χρησιμοποιώντας διάστημα προστασίας με κυκλική επέκταση... 8 Σχήμα.4 : Πομπός και δέκτης ενός συστήματος OFDM... 9 Σχήμα 3.1 : Μπλοκ διάγραμμα ενός LNS αθροιστή... 1 Σχήμα 3. : Μπλοκ διάγραμμα ενός LNS πολλαπλασιαστή... Σχήμα 4.1 : Signal flow γράφημα μιας FFT πεταλούδας... 6 Σχήμα 4. : Signal flow γράφημα του τελευταίου σταδίου μιας DIT FFT πεταλούδας 8 σημείων.........8 Σχήμα 4.3 : Signal flow μιας DIT FFT πεταλούδας 8 σημείων... 8 Σχήμα 4.4 : Signal flow γράφημα του πρώτου σταδίου μιας DIF FFT πεταλούδας 8 σημείων...9 Σχήμα 4.5 : Signal flow μιας DIF FFT πεταλούδας 8 σημείων... 9 Σχήμα 4.6 : Αφαίρεση δύο αριθμών συμπληρώματος ως προς... 31 Σχήμα 4.7 : Κυκλώματα υπολογισμού των μιγαδικών πολλαπλασιασμών στην πεταλούδα του DIT FFT 8 σημείων... 33 Σχήμα 4.8 : Σύστημα Παραγωγής Ρεαλιστικών Δεδομένων για Ένα Δέκτη OFDM... 35 Σχήμα 4.9 : Μοντέλο Δέκτη OFDM σε Περιβάλλον MATLAB... 35 Σχήμα 4.10 : Μπλοκ Διάγραμμα της Αρχιτεκτονικής των Maharatna et al. για τον υπολογισμό του FFT 64 σημείων... 44 Σχήμα 4.11 : Ανάλυση Κόστους Υλοποίησης σε Εμβαδό των Διαφόρων Μονάδων του FFT 64 σημείων... 45 Σχήμα 5.1 : Μεγέθη και Μορφή Αναπαραστάσεων στις Εισόδους των Μονάδων του FFT 64 σημείων... 50 Σχήμα 5. : Αρχιτεκτονική Ενός Carry-Skip Αθροιστή 3 Σταδίων... 5 Σχήμα 5.3 : Υλοποίηση του Πολλαπλασιασμού με τη Σταθερά 1/ με το Σχήμα του Hardwired Shift-and-Add... 53 Σχήμα 5.4 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C1/C9... 55 Σχήμα 5.5 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C/C10... 56 Σχήμα 5.6 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C3/C11... 57 Σχήμα 5.7 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C4/C1... 58 Σχήμα 5.8 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C5/C13... 60 Σχήμα 5.9 : Carry-Save Multi-Operand Αθροιστής για τον Υπολογισμό του Πραγματικού Μέρους του Γινομένου με τις Σταθερές C6/C14... 61 Σχήμα 5.10 : Υλοποίηση του Υπολογισμού του Φανταστικού Μέρους του Γινομένου με τις Σταθερές C6/C14... 61 Σχήμα 5.11 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C7/C15... 6 Σχήμα 5.1 : Υλοποίηση του πολλαπλασιαστή για το ζεύγος σταθερών C8/C8... 63 Σχήμα 5.13 : Ένα Crossbar Δίκτυο Τεσσάρων Εισόδων και Τεσσάρων Εξόδων... 65 Σχήμα 5.14 : Το Crossbar Δίκτυο Εισόδου... 66

Περιεχόμενα ix Σχήμα 5.15 : Το Crossbar Δίκτυο Εξόδου... 67 Σχήμα 5.16 : Η Μονάδα Καταχωρητών... 68 Σχήμα 5.17 : Η Pipeline Αρχιτεκτονική του Συστήματος για τον FFT 64 Σημείων... 7 Σχήμα 6.1 : Pipeline Αρχιτεκτονική του Υβριδικού Συστήματος για τον FFT 64 σημείων... 79 Σχήμα 6. : Κύκλωμα Υπολογισμού της Απόλυτης Τιμής Ενός Προσημασμένου Αριθμού (σε αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς ) μεγέθους 6 bit... 80 Σχήμα 6.3 : Υπολογισμός της Ποσότητας LOPV για μια 6 bit Λέξη... 8 Σχήμα 6.4 : Κύκλωμα Μετατροπής σε Μηδέν Ανάλογα με τη Τιμή της Σημαίας z... 8 Σχήμα 7.1 : Το Κρίσιμο Μονοπάτι των Δύο Σχεδιασμών... 85

1. Εισαγωγή 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται μια έντονη στροφή από τα ενσύρματα προς τα ασύρματα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Τροφοδοτείται σε μεγάλο βαθμό από την άνθηση των κάθε είδους φορητών συσκευών (είτε πρόκειται για μικρές προσωπικές συσκευές όπως κινητά τηλέφωνα ή PDAs είτε πρόκειται για φορητούς υπολογιστές) και των αυξημένων απαιτήσεων επικοινωνίας που έχει δημιουργήσει η διάδοση των νέων τεχνολογιών και μέσων επικοινωνίας, όπως για παράδειγμα το διαδίκτυο. Παράλληλα, η χρήση «έξυπνων» συσκευών κατέστησε εφικτή την εισαγωγή πολλών και νέων υπηρεσιών που συνδυάζουν μετάδοση φωνής, στατικής ή κινούμενης εικόνας και δεδομένων. Η ανάγκη υποστήριξης των διαφορετικών υπηρεσιών θέτει νέες προκλήσεις στον τρόπο σχεδίασης των δικτύων. Παραδοσιακά, ένα δίκτυο σχεδιάζονταν με γνώμονα μια συγκεκριμένη εφαρμογή και τις απαιτήσεις της. Ανεξάρτητα με τις όποιες προσθήκες έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια για να προστατευθούν οι σχετικές επενδύσεις, παραδείγματα τέτοιων δικτύων είναι τα κλασσικά δίκτυα τηλεφωνίας (PSTN), τα δίκτυα μετάδοσης δεδομένων μεταξύ υπολογιστών όπως το Ethernet ή τα αναλογικά ασύρματα δίκτυα μετάδοσης ραδιοφωνικού ή τηλεοπτικού σήματος. Σταδιακά, τέτοια δίκτυα αυστηρά προσανατολισμένα προς μια εφαρμογή εγκαταλείπονται για χάρη δικτύων που μπορούν να υποστηρίξουν ενοποιημένες υπηρεσίες. Για την υποστήριξη των υπηρεσιών αυτών, ένα δίκτυο πρέπει να μπορεί να εξασφαλίσει από την μία υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης και από την άλλη μια σειρά από απαραίτητες «ποιότητες υπηρεσίας» (QoS). Ιδιαίτερα για ένα ασύρματο δίκτυο, αυτό είναι κάτι που συναντά αρκετές δυσκολίες. Ο ασύρματος δίαυλος πολυδιόδευσης (multipath channel) εισάγει σημαντικές παραμορφώσεις στο μεταδιδόμενο σήμα σε σχέση με έναν ενσύρματο δίαυλο. Μηχανισμοί διάδοσης όπως η ανάκλαση (reflection), η περίθλαση (diffraction) και η σκέδαση (scattering), έχουν ως αποτέλεσμα να λαμβάνονται σε έναν δέκτη του συστήματος πολλαπλές συνιστώσες πολυδιόδευσης (multipath components). Οι συνιστώσες αυτές είναι ουσιαστικά καθυστερημένες και εξασθενημένες εκδοχές της μεταδιδόμενης ακολουθίας. Έτσι, ο δέκτης λαμβάνει τελικά το άθροισμα όλων αυτών των συνιστωσών, πράγμα που δυσχεραίνει τη σωστή λήψη των δεδομένων. Αν υπάρχει δε, και κινητικότητα μεταξύ του πομπού και του δέκτη, η λήψη γίνεται ακόμα δυσκολότερη καθώς η παραμόρφωση που εισάγει ο δίαυλος πολυδιόδευσης μεταβάλλεται χρονικά. Μία από τις τεχνικές που έχει προταθεί για την αποδοτική αντιμετώπιση των παραμορφώσεων που εισάγει ο δίαυλος πολυδιόδευσης, και η οποία μπορεί ταυτόχρονα να υποστηρίξει και υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης, είναι η πολύπλεξη με διαίρεση συχνότητας ορθογωνίων φερουσών (Orthogonal Frequency Division Multiplexing ή εν συντομία OFDM). Είναι μια τεχνική μετάδοσης με πολλαπλές φέρουσες, όπου το προς μετάδοση σήμα υποδιαιρείται σε έναν αριθμό από ακολουθίες χαμηλού ρυθμού. Κάθε μία από τις ακολουθίες αυτές όταν μεταδίδεται μέσω του διαύλου πολυδιόδευσης υφίσταται περιορισμένες παραμορφώσεις και έτσι το τελικό σύστημα είναι ιδιαίτερα ανθεκτικό στα φαινόμενα πολυδιόδευσης.

1. Εισαγωγή Η τεχνική OFDM δεν είναι νέα, καθώς έχει ήδη προταθεί από τα μέσα της δεκαετίας του 60. Με την πρόοδο των τεχνολογιών σχεδίασης / κατασκευής ολοκληρωμένων (VLSI) που την έχουν καταστήσει όμως εφαρμόσιμη, βρίσκεται σήμερα στο επίκεντρο της μελέτης για ασύρματα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Έτσι, ξεφεύγοντας από τα στενά ακαδημαϊκά πλαίσια, η τεχνική OFDM έχει βρει εφαρμογή σε μια σειρά από διαδεδομένα εμπορικά δίκτυα όπως τα 80.11a (ασύρματο Ethernet), HiperLAN/ καθώς και τα ευρωπαϊκά δίκτυα μετάδοσης ήχου και video DAB και DVB-T. Υπολογιστικά, η τεχνική ΟFDM παρουσιάζει σημαντικό κόστος καθώς υπάρχουν αυξημένες απαιτήσεις επεξεργασίας σήματος. Η χρήση κάποιου σύγχρονου επεξεργαστή DSP μαζί με το κατάλληλο λογισμικό είναι εφικτή, όμως οδηγεί σε συστήματα με κατανάλωση ισχύος τυπικά μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από συστήματα που βασίζονται σε χρήση εξειδικευμένου υλικού [1]. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι ασύρματες εφαρμογές απευθύνονται κατά κύριο λόγο σε φορητές συσκευές όπου η κατανάλωση ισχύος πρέπει να διατηρηθεί σε όσο το δυνατόν χαμηλότερα πλαίσια, η αναζήτηση εξειδικευμένων αρχιτεκτονικών χαμηλής κατανάλωσης για OFDM modems γίνεται επιτακτική. Σε ένα σύστημα OFDM, τα πιο πολύπλοκα υπολογιστικά τμήματα είναι ο αντίστροφος ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (inverse FFT) στη κατεύθυνση του εκπομπού και ο αποκωδικοποιητής Viterbi στη κατεύθυνση του δέκτη []. Για την αποδοτική υλοποίηση κατά συνέπεια ενός OFDM συστήματος σε επίπεδο υλικού, είναι ανάγκη να βρεθούν αρχιτεκτονικές που θα μπορούν να υλοποιήσουν τους υπολογιστικούς αυτούς πυρήνες με το ελάχιστο κόστος σε μέγεθος (area) και κατανάλωση ισχύος. Πέρα από τις αλγοριθμικές ή κυκλωματικές βελτιστοποιήσεις που μπορούν να εφαρμοστούν, σημαντικό ρόλο μπορεί να παίξει και η αριθμητική που επιλέγεται για την αναπαράσταση των δεδομένων. Ένα σύστημα αρίθμησης καθορίζει τη μορφή και τον τρόπο αναπαράστασης των δεδομένων και κατ επέκταση τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται οι βασικές μαθηματικές πράξεις μεταξύ τους. Οι αριθμητικές ιδιότητες μιας αναπαράστασης (π.χ. η δυναμική περιοχή και η ακρίβεια καθώς και ο ακριβής ή προσεγγιστικός τρόπος με τον οποίο μπορούν να εκτελεστούν οι πράξεις μεταξύ των δεδομένων) επηρεάζουν κρίσιμους παράγοντες απόδοσης ενός συστήματος επεξεργασίας σημάτων, όπως μπορεί να είναι o λόγος σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio SNR) ή ο ρυθμός λαθών. Σε επίπεδο υλοποίησης σε υλικό ενός DSP αλγορίθμου, το σύστημα αρίθμησης μπορεί να επηρεάσει σημαντικά το μέγεθος, την πολυπλοκότητα (συνεπώς και την καθυστέρηση) και την κατανάλωση ισχύος του κυκλώματος. Πιο συγκεκριμένα, διαφορετικές αναπαραστάσεις μπορεί να οδηγούν σε διαφορετικά μεγέθη δεδομένων και έτσι να επηρεάζουν τις απαιτήσεις μνήμης ενός αλγορίθμου όπως και το μέγεθος των βασικών υπολογιστικών κυκλωμάτων. Επίσης, η πληροφορία που αντιστοιχεί σε κάθε bit ενός αριθμού μιας αναπαράστασης μπορεί να είναι διαφορετική, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται διαφορετικός βαθμός εναλλαγής των bits από δεδομένο σε δεδομένο και να επηρεάζεται το switching activity του κυκλώματος. Διαφορετικοί τρόποι εκτέλεσης των βασικών πράξεων, έχουν ως συνέπεια διαφορετικά κυκλώματα υπολογισμού που μπορούν να επιδράσουν σημαντικά στο μέγεθος, την καθυστέρηση και την κατανάλωση του συνολικού κυκλώματος. Σε εφαρμογές DSP χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο γραμμικά συστήματα αρίθμησης σταθερής υποδιαστολής, όπως η αναπαράσταση πρόσημου μέτρου και το συμπλήρωμα ως προς, ενώ σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν απαιτήσεις μεγάλου εύρους τιμών και σημαντικής ακρίβειας, γίνεται χρήση συστημάτων κινητής υποδιαστολής απλής ή διπλής ακρίβειας (ΙΕΕΕ-754). Εκτός από αυτά τα διαδεδομένα αριθμητικά συστήματα, στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί και εναλλακτικά συστήματα που ανάλογα με την εφαρμογή μπορεί να προσφέρουν αξιόλογα οφέλη. Ένα τέτοιο σύστημα είναι το Λογαριθμικό Σύστημα Αρίθμησης (Logarithmic Numbering System LNS) [3], στο οποίο ένας αριθμός αναπαρίσταται από την τιμή του λογαρίθμου του. Το LNS προσφέρει μια σειρά από ενδιαφέρουσες ιδιότητες ως αναπαράσταση, όπως π.χ. συμπίεση της δυναμικής περιοχής, αλλά το βασικότερο

1. Εισαγωγή 3 κίνητρο για τη χρήση του σε συστήματα DSP είναι το γεγονός ότι απλοποιεί σημαντικά τις λεγόμενες ισχυρές πράξεις (συνέλιξη, συσχέτιση, scaling [4]) μετατρέποντας τους σημαντικούς σε κόστος υλοποίησης πολλαπλασιασμούς σε αθροιστικές πράξεις. Στην παρούσα εργασία, στόχος είναι να μελετηθεί η επίδραση της χρήσης του LNS στη σχεδίαση FFT κυκλωμάτων για OFDM modems. Καθότι ο FFT είναι από τα πλέον πολύπλοκα τμήματα ενός OFDM συστήματος, βελτιστοποιήσεις στη σχεδίαση του αναμένεται να έχουν σημαντική επίδραση τόσο στη συνολική κατανάλωση του συστήματος όσο και στο τελικό μέγεθος των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων. Η διάρθρωση της εργασίας έχει ως εξής. Στο Κεφάλαιο θα γίνει μια συνοπτική παρουσίαση της τεχνικής OFDM, με στόχο να δοθεί μια γενική εικόνα στον αναγνώστη για τη μορφή ενός συστήματος OFDM. Το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται στην αριθμητική για DSP συστήματα και πιο συγκεκριμένα επικεντρώνεται στο σταθερής υποδιαστολής γραμμικό σύστημα συμπληρώματος ως προς και ακόμα περισσότερο στο λογαριθμικό σύστημα. Πέρα από την παρουσίαση των δύο συστημάτων, θα οριστεί και ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να θεωρηθούν οι δύο αναπαραστάσεις ισοδύναμες. Στο Κεφάλαιο 4 αναλύεται ο FFT και παρουσιάζονται τα αλγοριθμικά θέματα που σχετίζονται με την υλοποίηση του σε μια προσπάθεια να αναδειχθούν τα σημεία εκείνα στα οποία μπορεί να υπάρξει κέρδος από τη χρήση του LNS. Παρουσιάζεται μία από τις πλέον αποδοτικές αρχιτεκτονικές για την υλοποίηση FFT και διατυπώνεται η ιδέα της σχεδίασης ενός υβριδικού συστήματος που συνδυάζει και τα δύο συστήματα αρίθμησης. Τα επόμενα δύο Κεφάλαια (5 και 6) παρουσιάζουν τη σχεδίαση FFT 64 σημείων βασισμένων στην ίδια αλγοριθμική προσέγγιση. Το πρώτο σύστημα κάνει χρήση αριθμητικής σταθερής υποδιαστολής συμπληρώματος ως προς και το δεύτερο ακολουθεί μια υβριδική προσέγγιση χρησιμοποιώντας σε κάποιες υπομονάδες του το LNS και στις υπόλοιπες το συμπλήρωμα ως προς. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα της υλοποίησης των δύο συστημάτων και στο Κεφάλαιο 8 διατυπώνονται συμπεράσματα.

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM Με την ανάπτυξη των ασύρματων δικτύων τα τελευταία χρόνια, έχει εκδηλωθεί έντονο ενδιαφέρον για την τεχνική διαμόρφωσης με πολύπλεξη συχνότητας ορθογωνίων φερουσών (Orthogonal Frequency Division Multiplexing - OFDM). Στο παρόν κεφάλαιο επιχειρείται μια συνοπτική παρουσίαση της τεχνικής, με στόχο ο αναγνώστης να εξοικειωθεί με τα βασικά της χαρακτηριστικά καθώς και τη μορφή και τη λειτουργικότητα των σχετικών συστημάτων μετάδοσης - λήψης. Αρχικά, γίνεται μια παρουσίαση των προβλημάτων που εμφανίζονται σε ένα ασύρματο κανάλι μετάδοσης ώστε να αναδειχθεί η ανάγκη χρήσης τεχνικών όπως η OFDM. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά της τεχνικής και τέλος περιγράφονται οι βασικές λειτουργίες που επιτελούνται σε έναν πομπό και ένα δέκτη OFDM..1 To Πρόβλημα της Διασυμβολικής Παρεμβολής Σε ένα ασύρματο κανάλι παρουσιάζεται έντονα το φαινόμενο των πολλαπλών διαδρομών. Το σήμα που λαμβάνει ένας ασύρματος δέκτης δεν περιέχει μονάχα το επιθυμητό σύμβολο που αποστέλλει ο πομπός αλλά τη συνάθροιση του συμβόλου αυτού με άλλες εξασθενημένες εκδοχές συμβόλων που είχαν αποσταλεί νωρίτερα και λόγω ανακλάσεων φτάνουν με διαφορετική καθυστέρηση και μετατόπιση φάσης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διασυμβολική παρεμβολή (Inter Symbol Interference ISI) και μπορεί να προκαλέσει σημαντική επιδείνωση στο ρυθμό λαθών στο δέκτη. Το πόσο έντονα θα εκδηλωθεί το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής δεν εξαρτάται μονάχα από το κανάλι μετάδοσης αλλά και από τα χαρακτηριστικά του μεταδιδόμενου σήματος. Αν θεωρηθεί ένας δίαυλος που εισάγει μία συνιστώσα ανάκλασης στο μεταδιδόμενο σήμα, τότε ένας δέκτης θα λαμβάνει τη συνάθροιση της κύριας συνιστώσας του σήματος και μιας συνιστώσας ανάκλασης κατά τη διάρκεια μιας περιόδου συμβόλου (Σχήμα.1). Αν η καθυστέρηση της συνιστώσας ανάκλασης είναι μικρή σε σχέση με τη διάρκεια της περιόδου συμβόλου, τότε το λαμβανόμενο σήμα στο δέκτη θα είναι αλλοιωμένο μονάχα σε ένα τμήμα του (Σχήμα.1.α). Αντίθετα, αν η καθυστέρηση της ανακλώμενης συνιστώσας είναι μεγάλη σε σχέση με την περίοδο συμβόλου, τότε σχεδόν καθ όλη τη διάρκεια της περιόδου συμβόλου θα λαμβάνεται αλλοιωμένη πληροφορία, επιδρώντας αρνητικά στην απόδοση του συστήματος (Σχήμα.1.β). Εξετάζοντας το ζήτημα στο πεδίο της συχνότητας, η ύπαρξη ανακλάσεων έχει ως αποτέλεσμα το κανάλι να παραμορφώνει με διαφορετικό τρόπο, τόνους διαφορετικών συχνοτήτων. Το κανάλι μετάδοσης μπορεί να έχει επιλεκτική συμπεριφορά στη συχνότητα (frequency selective fading), παρουσιάζοντας έντονες αυξομειώσεις στο μέτρο της απόκρισης συχνότητας (δείτε το πάνω γράφημα του Σχήματος.). Αν ένα σήμα έχει μικρή περίοδο συμβόλου, τότε θα απλώνεται σε μεγάλο εύρος συχνοτήτων, με αποτέλεσμα να υπόκεινται σε μεγάλες παραμορφώσεις λόγω της μορφής της απόκρισης συχνότητας του καναλιού. Αντίθετα, αν το σήμα έχει μικρή περίοδο συμβόλου, τότε θα

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 5 καταλαμβάνει μικρό εύρος συχνοτήτων και η παραμόρφωση που θα υφίσταται από το κανάλι θα είναι σχετικά ομοιόμορφη (frequency flat fading). Σχήμα.1. Παραδείγματα εμφάνισης του φαινομένου της διασυμβολικής παρεμβολής Σχήμα.. Επίδραση διαύλου πολυδιόδευσης σε σήματα με διαφορετικό εύρος ζώνης Από τα προηγούμενα, φαίνεται ότι θα πρέπει η περίοδος του συμβόλου να είναι αρκετά μεγαλύτερη σε σχέση με την καθυστέρηση των συνιστωσών πολυδιόδευσης. Οι απαιτήσεις της εφαρμογής για την οποία σχεδιάζεται το τηλεπικοινωνιακό σύστημα, μπορεί, όμως, να μην επιτρέπουν κάτι τέτοιο, λόγω του αρνητικού αντίκτυπου που έχει η αύξηση της περιόδου συμβόλου στο ρυθμό μετάδοσης. Στην περίπτωση αυτή επιλέγεται η χρήση μιας περιόδου συμβόλου που να μπορεί να επιτύχει την απαραίτητη απόδοση και

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 6 χρησιμοποιούνται διατάξεις ισοστάθμισης στο δέκτη για την ακύρωση της επιλεκτικής στη συχνότητα παραμόρφωσης (μετάδοση με μονή φέρουσα single carrier transmission). Να σημειωθεί ότι οι διατάξεις ισοστάθμισης μπορεί να έχουν σημαντικό κόστος στην υλοποίηση ενός δέκτη λόγω πολυπλοκότητας. Μια διαφορετική προσέγγιση στο θέμα, είναι η μετάδοση με πολλαπλές φέρουσες (multi-carrier transmission). Η προς μετάδοση ακολουθία διασπάται σε έναν αριθμό από ακολουθίες χαμηλότερου ρυθμού, οι οποίες μεταδίδονται παράλληλα. Κάθε μία από τις ακολουθίες έχει περίοδο συμβόλου τέτοια, ώστε να υφίσταται επίπεδη παραμόρφωση στη συχνότητα (frequency flat fading). Από την άλλη, το πλήθος των ακολουθιών είναι τόσο ώστε ο συνολικός ρυθμός μετάδοσης που επιτυγχάνουν να καλύπτει τις απαιτήσεις των εφαρμογών του τηλεπικοινωνιακού συστήματος. Σε σχέση με τη μετάδοση με μονή φέρουσα που προαναφέρθηκε, η μετάδοση με πολλαπλές φέρουσες έχει το πλεονέκτημα ότι οι διατάξεις ισοστάθμισης που απαιτεί είναι σχετικά απλές, εφόσον κάθε μία από τις ακολουθίες υφίσταται μια επίπεδη παραμόρφωση στη συχνότητα. Παρόλα αυτά, θα πρέπει κάποιος να συνυπολογίσει και το κόστος που απαιτεί η υποδιαίρεση της μεταδιδόμενης πληροφορίας στον πομπό και η επανασυγκρότησή της στο δέκτη.. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM Η τεχνική διαμόρφωσης με πολύπλεξη ορθογωνίων φερουσών (OFDM) είναι μια τεχνική μετάδοσης με πολλαπλές φέρουσες. Ως μέθοδος διαμόρφωσης ορίζει τη μορφή των φερουσών μέσω των οποίων γίνεται μετάδοση πληροφορίας σε κάθε κανάλι. Ως μέθοδος πολύπλεξης καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο τοποθετούνται τα κανάλια στο πεδίο της συχνότητας. Στις τεχνικές μετάδοσης με πολλαπλές φέρουσες, το συνολικά διαθέσιμο εύρος ζώνης υποδιαιρείται σε ένα αριθμό από κανάλια, σε κάθε ένα από τα οποία μεταδίδεται μία από τις ακολουθίες χαμηλού ρυθμού στις οποίες έχει διαιρεθεί η αρχική πληροφορία. Για την παράλληλη μετάδοση των ακολουθιών εφαρμόζεται κάποιο σχήμα πολύπλεξης στη συχνότητα. Τυπικά, σε ένα τέτοιο σήμα για να μην εμφανιστούν φαινόμενα διακαναλικής παρεμβολής, τα κανάλια τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο στη συχνότητα ώστε να μην υπάρχει επικάλυψη στο συχνοτικό τους περιεχόμενο και να υπάρχουν και κάποιες ζώνες ασφαλείας μεταξύ τους ώστε να μπορούν να διαχωριστούν επιτυχώς από πρακτικά υλοποιήσιμα ζωνοπερατά φίλτρα. Η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε μη αποδοτική χρήση του διαθέσιμου εύρους ζώνης και η τεχνική OFDM αντιμετωπίζει το πρόβλημα επιτρέποντας την επικάλυψη ανάμεσα στα διαφορετικά κανάλια. Για να μην υπάρχει διακαναλική παρεμβολή μεταξύ των γειτονικών καναλιών, η τεχνική OFDM χρησιμοποιεί κατά τη διαμόρφωση φέρουσες που είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Τα βασικά πλεονεκτήματα της τεχνικής μπορούν να συνοψιστούν στα ακόλουθα : Αντιμετωπίζει με αποδοτικό τρόπο την παραμόρφωση που προκαλείται λόγω των φαινομένων πολυδιόδευσης. Σε σχετικά αργά μεταβαλλόμενους στο χρόνο διαύλους, είναι δυνατόν να αυξηθεί σημαντικά η χωρητικότητα. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί προσαρμόζοντας το ρυθμό δεδομένων που μεταφέρονται από κάθε φέρουσα, ανάλογα με την τιμή του λόγου σήματος προς θόρυβο της συγκεκριμένης φέρουσας (adaptive loading). Με κατάλληλη επιλογή κωδικοποίησης, ένα σήμα OFDM μπορεί να παρουσιάσει εξαιρετικά χαρακτηριστικά ανθεκτικότητας σε παρεμβολή στενής ζώνης, καθώς τέτοιες παρεμβολές επηρεάζουν μόνο ένα μικρό ποσοστό των συνολικών φερουσών.

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 7 Παρόλα τα πλεονεκτήματα της τεχνικής OFDM, πρέπει να σημειωθούν και κάποιες αδυναμίες, ιδιαίτερα σε σχέση με την τεχνική μετάδοσης με μονή φέρουσα. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα σύστημα OFDM υπάρχει αυξημένη ευαισθησία σε σφάλματα συγχρονισμού στο δέκτη. Τέτοιου είδους σφάλματα καταργούν την ιδιότητα της ορθογωνιότητας των φερουσών και κατά συνέπεια τη δυνατότητα για λήψη με μηδενική διακαναλική παρεμβολή. Από την άλλη, ένα σήμα OFDM παρουσιάζει σχετικά υψηλό λόγο μέγιστης προς μέση ισχύ (Peak-to-Average Power Ratio PAPR) που επιδρά αρνητικά κυρίως στα αναλογικά μέρη ενός πομποδέκτη, καθώς μπορεί να οδηγήσει σε κορεσμό της εξόδου των μετατροπέων από ψηφιακό σε αναλογικό (D/A) και από αναλογικό σε ψηφιακό (A/D) και του ενισχυτή ραδιοσυχνοτήτων (RF)...1 Μορφή Συμβόλου OFDM Ένα σύμβολο OFDM αποτελείται από το άθροισμα πολλαπλών φερουσών, για τη διαμόρφωση των οποίων μπορεί να επιλεγεί είτε η Phase-Shift Keying (PSK) είτε η Quadrature Amplitude Modulation (QAM) τεχνική. Αν ονομάσουμε d k τις μιγαδικές τιμές που προκύπτουν από τη διαδικασία διαμόρφωσης, Ν s τον αριθμό των φερουσών και T τη διάρκεια του συμβόλου, τότε ένα σύμβολο OFDM που ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 μπορεί να περιγραφεί από την ακόλουθη σχέση : N S 1 N k = S d N k + S e πkt j T αν 0 t T s(t) = (.1) 0 αν t < 0 ή t > T Η Σχέση (.1) δίνει τη μιγαδική περιγραφή του συμβόλου OFDM στη βασική ζώνη. Το πραγματικό μέρος της σχέσης αντιστοιχεί στη συμφασική (in-phase) συνιστώσα του σήματος OFDM, ενώ το φανταστικό μέρος στην ορθογωνική (quadrature) συνιστώσα. Οι συνιστώσες αυτές πρέπει να πολλαπλασιαστούν με ένα συνημίτονο και ένα ημίτονο της επιθυμητής φέρουσας συχνότητας για να προκύψει το τελικό σήμα OFDM. Το μιγαδικό σήμα OFDM όπως ορίζεται στη Σχέση (.1) είναι ουσιαστικά ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier των N S τιμών διαμόρφωσης. Εκτελώντας τις αντικαταστάσεις t = nt/n S και k = k + N S /, προκύπτει η ισοδύναμη σχέση διακριτού χρόνου : s ( n ) = NS 1 k = 0 d k e πnk j NS (.) Η παραπάνω σχέση αντιστοιχεί στον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform IDFT). Πρακτικά, το σύμβολο OFDM κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο ταχύ μετασχηματισμό Fourier (Inverse Fast Fourier Transform IFFT) που προσφέρει έναν αποδοτικό τρόπο υπολογισμού του IDFT. Με τη χρήση του IFFT τα προς μετάδοση δεδομένα μεταφέρονται από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου. Σε ένα δέκτη που λαμβάνει ένα σύμβολο OFDM πρέπει να εφαρμοστεί η αντίστροφη διαδικασία για τη μεταφορά της πληροφορίας από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας άρα πρέπει να εφαρμοστεί ο ευθύς διακριτός μετασχηματισμός Fourier. Ο αντίστοιχα αποδοτικότερος τρόπος για να επιτευχθεί αυτό είναι η χρήση του ευθύ ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT).

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 8.. Διάστημα Προστασίας Για την εξάλειψη των παρεμβολών που προκαλούνται εξαιτίας των φαινομένων πολυδιόδευσης, πριν από κάθε σύμβολο OFDM εισάγεται ένα διάστημα προστασίας. Το μέγεθος του διαστήματος προστασίας θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από τη μέγιστη αναμενόμενη καθυστέρηση που μπορεί να εισάγει το κανάλι σε ένα σύμβολο. Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζεται ότι οι συνιστώσες πολυδιόδευσης δε θα μεταφέρουν πληροφορία που να σχετίζεται με το προηγούμενο σύμβολο πέρα από το τέλος του διαστήματος προστασίας. Κατά τη διάρκεια του διαστήματος προστασίας, εάν δε μεταδίδεται καθόλου σήμα, χάνεται η ορθογωνιότητα μεταξύ των φερουσών ενός συμβόλου. Αυτό όμως έχει ως συνέπεια, την εμφάνιση διακαναλικής παρεμβολής (Inter-Carrier Interference - ICI). Για την αντιμετώπιση αυτού του φαινομένου, αντιγράφονται δείγματα από το τέλος του συμβόλου OFDM στο διάστημα προστασίας που λόγω του τρόπου κατασκευής του ονομάζεται κυκλικό πρόθεμα (Σχήμα.3). Σχήμα.3. Αποφυγή διασυμβολικής και διακαναλικής παρεμβολής, χρησιμοποιώντας διάστημα προστασίας με κυκλική επέκταση. Από το Σχήμα.3 φαίνεται ότι το άπλωμα δειγμάτων του προηγούμενου συμβόλου περιορίζεται εντός του διαστήματος προστασίας, ενώ από την άλλη, η συνιστώσα πολυδιόδευσης διατηρεί ακέραιο αριθμό κύκλων στην περίοδο ολοκλήρωσης. Συνεπώς, στη μονάδα ολοκλήρωσης του δέκτη (μονάδα FFT) θα υπάρχει ένα άθροισμα από καθαρά ημιτονοειδή σήματα, άρα δε θα επηρεάζεται η ιδιότητα της ορθογωνιότητας και έτσι δεν εμφανίζεται ICI..3 Δομή Πομπού Δέκτη OFDM Στο Σχήμα.4 παρουσιάζεται το μπλοκ διάγραμμα ενός πομποδέκτη OFDM (OFDM modem). Να σημειωθεί για λόγους ακρίβειας, ότι στο σχήμα παρουσιάζεται η μορφή ενός συστήματος coded OFDM, δηλαδή ενός συστήματος OFDM που χρησιμοποιεί κάποιον

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 9 κώδικα διόρθωσης λαθών για τη μείωση των σφαλμάτων στο δέκτη. Όπως μπορεί να φανεί από το σχήμα αυτό, η πρακτική υλοποίηση ενός συστήματος OFDM περιλαμβάνει περισσότερες λειτουργίες από αυτές που απαιτούνται για τη δημιουργία ενός συμβόλου OFDM με τη χρήση του IFFT και του διαστήματος προστασίας που περιγράφηκαν στην προηγούμενη ενότητα (.). Επίσης, μπορεί να παρατηρηθεί ότι οι μετασχηματισμοί που υφίστανται τα δεδομένα στον πομπό επαναλαμβάνονται με αντίστροφη σειρά στο δέκτη εκτελώντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς. Στόχος της όλης διαδικασίας είναι να ληφθούν τελικά τα δεδομένα με όσο το δυνατό μεγαλύτερη αξιοπιστία. Σχήμα.4. Πομπός και δέκτης ενός συστήματος OFDM. Το πρώτο βήμα επεξεργασίας στον πομπό είναι η μίξη (scrambling) των δεδομένων. Ένα σήμα OFDM αποτελείται από πολλές υποφέρουσες οι οποίες όταν διαμορφωθούν μπορεί να προκύψει υψηλός λόγος μέγιστου προς μέσο πλάτος (Peak-to-Average Power Ratio PAPR) κατά τη συμφασική τους πρόσθεση. Υψηλό PAPR μπορεί να δημιουργήσει προβλήματα στα αναλογικά μέρη ενός πομποδέκτη, οδηγώντας π.χ. σε κορεσμό της εξόδους των μετατροπέων από ψηφιακό σε αναλογικό και το αντίστροφο. Για την αποσυσχέτιση των υποφερουσών χρησιμοποιείται σε αυτό το σημείο ένα κύκλωμα που παράγει μια ψευδοτυχαία ακολουθία bits. Στο δέκτη, η αντίστροφη διαδικασία χρησιμοποιείται για την ανάκτηση των αρχικών δεδομένων. Η δυαδική ακολουθία δεδομένων που προκύπτει μετά τη διαδικασία της μίξης οδηγείται σε έναν κωδικοποιητή, ο οποίος εισάγει πλεονάζουσα πληροφορία βάσει της οποίας μπορεί να γίνει διόρθωση λαθών στο δέκτη. Τυπικά χρησιμοποιείται κάποιος συνελικτικός κωδικοποιητής (convolutional encoder) που υλοποιείται από ένα κύκλωμα LFSR (Linear Feedback Shift Register). Αντίστοιχα, στην κατεύθυνση του δέκτη γίνεται χρήση ενός αποκωδικοποιητή, ο οποίος συνήθως βασίζεται στον αλγόριθμο Viterbi. Λόγω της επιλεκτικής εξασθένισης ενός καναλιού σε συγκεκριμένες συχνότητες, είναι πιθανό οι τιμές ενός μεγάλου αριθμού από συνεχόμενα bits πληροφορίας να αλλοιωθούν. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ο κώδικας διόρθωσης λαθών στο δέκτη να μη μπορεί να ανακτήσει τη χαμένη πληροφορία. Για το λόγο αυτό, μετά την κωδικοποίηση της προς μετάδοση πληροφορίας, εφαρμόζεται μια αναδιάταξη (interleaving) των δεδομένων που έχουν προκύψει, με στόχο συνεχόμενα bits πληροφορίας να μεταδίδονται σε διαφορετικά σημεία. Η αντίστροφη διαδικασία (de-interleaving) εφαρμόζεται στο δέκτη πριν οδηγηθεί η λαμβανόμενη πληροφορία στον αποκωδικοποιητή.

. Η Τεχνική Διαμόρφωσης OFDM 10 Το επόμενο στάδιο επεξεργασίας περιλαμβάνει την αντιστοίχηση της πληροφορίας σε σύμβολα συμβατά με τη διαμόρφωση που έχει επιλεγεί. Όπως έχει προαναφερθεί μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε PSK είτε QAM διαμόρφωση. Στο δέκτη προφανώς επιτελείται η αντίστροφη αντιστοίχηση. Για την εκτίμηση της τιμής των λαμβανόμενων bits στο δέκτη, απαιτείται γνώση της φάσης αναφοράς και του πλάτους κάθε υποφέρουσας. Όμως, ο αστερισμός κάθε υποφέρουσας παρουσιάζει μια τυχαία μετατόπιση φάσης και μια διαφοροποίηση του πλάτους της εξαιτίας της εξασθένισης του καναλιού, της μετατόπισης συχνότητας της φέρουσας και της χρονικής μετατόπισης του μεταδιδόμενου σήματος. Για τον περιορισμό αυτών των φαινομένων χρησιμοποιείται στο δέκτη η μονάδα εκτίμησης και διόρθωσης καναλιού. Η μονάδα αυτή κάνει χρήση γνωστών συμβόλων (πιλοτικά σύμβολα), βάση των οποίων πραγματοποιείται μια διδιάστατη παρεμβολή (interpolation). Τα δεδομένα (μαζί με τα πιλοτικά σύμβολα) χωρίζονται σε ομάδες και οδηγούνται στη μονάδα του IFFT για την εκτέλεση της διαδικασίας διαμόρφωσης. Στη συνέχεια, κατασκευάζεται το κυκλικό πρόθεμα και η διαδικασία ολοκληρώνεται με τη μεταφορά του σήματος της βασικής ζώνης στην επιθυμητή ραδιοσυχνότητα και γίνεται η αποστολή μέσω του ασύρματου καναλιού. Αντίστοιχα στο δέκτη, το σήμα που λαμβάνεται μεταφέρεται στη βασική ζώνη. Ακολουθεί επεξεργασία και αφαίρεση του διαστήματος προστασίας και το ωφέλιμο τμήμα του OFDM συμβόλου οδηγείται για αποδιαμόρφωση στη μονάδα του FFT..4 Παραπομπές Για την παρουσίαση της τεχνικής OFDM, η βασική βιβλιογραφική αναφορά που χρησιμοποιήθηκε είναι η [5]. Καθώς η ανάλυση που επιχειρήθηκε στην ενότητα αυτή είναι σχετικά σύντομη, ο αναγνώστης παραπέμπεται στην αναφορά αυτή για περισσότερες πληροφορίες. Επίσης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι πηγές [6], [7] και [8] για μια εκτενέστερη κάλυψη του θέματος.

3. Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Η αριθμητική αναπαράσταση σε ένα ψηφιακό σύστημα ορίζει τον τρόπο με τον οποίο αναπαριστάται η αριθμητική πληροφορία σε δυαδική μορφή. Κατά συνέπεια, καθορίζει τη μορφή των αριθμητικών δεδομένων σε ένα σύστημα, όπως και των βασικών αλγορίθμων για την επεξεργασία τους. Αυτό καθιστά την επιλογή της κατάλληλης αριθμητικής αναπαράστασης ιδιαίτερα σημαντική, ειδικά για συστήματα ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων, το οποία ουσιαστικά περιλαμβάνουν μια σειρά από μονάδες που εκτελούν κάποιους μαθηματικούς υπολογισμούς. Στο Κεφάλαιο αυτό, αρχικά θα παρουσιαστούν ορισμένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά των αριθμητικών αναπαραστάσεων και η επίδραση που μπορεί να έχει σε ένα κύκλωμα μαθηματικών υπολογισμών η επιλογή της κατάλληλης ψηφιακής αριθμητικής. Στη συνέχεια, θα αναλυθούν οι βασικές αναπαραστάσεις που θα χρησιμοποιηθούν στη συγκεκριμένη διπλωματική και που είναι οι αναπαραστάσεις σταθερής υποδιαστολής συμπληρώματος ως προς και η λογαριθμική αναπαράσταση. Τέλος, θα οριστούν τα κριτήρια με βάση τα οποία θα μπορούν οι διαφορετικές αναπαραστάσεις να θεωρηθούν ισοδύναμες. 3.1 Ψηφιακές Αριθμητικές Αναπαραστάσεις Μια αριθμητική αναπαράσταση * ορίζεται από ένα σύνολο τιμών τις οποίες μπορεί να πάρει ένα ψηφίο και από έναν κανόνα ερμηνείας που καθορίζει την αντιστοίχηση μεταξύ μιας ακολουθίας από ψηφία και της αριθμητικής τιμής της. Γενικά, τα συστήματα αρίθμησης χωρίζονται σε συμβατικά και μη-συμβατικά. Ως συμβατικό ορίζεται ένα σύστημα αρίθμησης εφόσον εκπληρώνει τους ακόλουθους τρεις κανόνες [9] : Είναι μη-πλεονάζων (nonredundant), δηλαδή υπάρχει μοναδική αναπαράσταση κάθε τιμής. Είναι σταθμισμένο (weighted), δηλαδή υπάρχει μια ακολουθία βαρών : w n-1, w n-,, w 0, που καθορίζει την τιμή μιας δοσμένης n-άδας (x n-1, x n-,, x 0 ) σύμφωνα με την εξίσωση : n 1 = X x i w i (3.1) i= 0 Είναι καθοριζόμενο από τη θέση (positional), δηλαδή το βάρος w i εξαρτάται μονάχα από τη θέση i του ψηφίου x i. * Ο όρος αριθμητική αναπαράσταση και σύστημα αρίθμησης (number system) θα χρησιμοποιούνται στο κείμενο εναλλάξ και αναφέρονται στην ίδια έννοια.

3. Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων 1 Τυπικά, στα συμβατικά συστήματα αρίθμησης το βάρος w i σχετίζεται με την i-οστή δύναμη ενός ακέραιου αριθμού r, ο οποίος αποτελεί τη βάση (radix) της αναπαράστασης. Για τα ψηφιακά συστήματα, η βάση αυτή είναι το. Αν επιτραπεί στους δείκτες i να έχουν μόνο τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του 0 (υποθέτοντας ότι n είναι το πλήθος των ψηφίων του αριθμού, τότε 0 i n 1), τότε αντικαθιστώντας στη Σχέση (1.1), w i = r i, προκύπτει η αναπαράσταση ακεραίων αριθμών. Από την άλλη, αν επιτραπεί στους δείκτες i να έχουν και αρνητικές τιμές (αν n το πλήθος των ψηφίων του αριθμού και k + m = n, τότε -m i k 1), αντικαθιστώντας πάλι στη Σχέση (1.1) ), w i = r i, προκύπτει η αναπαράσταση κλασματικών αριθμών. Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση αυτή έχει γίνει η υπόθεση ότι το πλήθος των ακέραιων και των κλασματικών ψηφίων είναι προκαθορισμένο στην αναπαράσταση. Οι αναπαραστάσεις αυτές ονομάζονται αναπαραστάσεις σταθερής υποδιαστολής (fixed-point representations). Μια τέτοια σύμβαση δεν είναι υποχρεωτικό να υπάρχει και μπορούν να υπάρξουν αναπαραστάσεις που το κλασματικό σημείο να βρίσκεται σε διαφορετική θέση σε κάθε αριθμό της αναπαράστασης. Οι αναπαραστάσεις αυτές καλούνται αναπαραστάσεις κινητής υποδιαστολής (floating-point representations) και είναι απαραίτητο απλά να εφαρμόζεται η κατάλληλη κλιμάκωση στα δεδομένα πριν να εκτελεστούν οι βασικές αριθμητικές πράξεις μεταξύ τους. 3.1.1 Ιδιότητες Ψηφιακής Αριθμητικής Αναπαράστασης Ένας βασικός περιορισμός των ψηφιακών αριθμητικών αναπαραστάσεων είναι ότι μπορούν να περιλαμβάνουν μονάχα ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφίων. Αυτό συνεπάγεται ότι μια αναπαράσταση μπορεί να απεικονίσει ένα πεπερασμένο πλήθος αριθμών. Αν ονομάσουμε x max τη μέγιστη τιμή και x min την ελάχιστη τιμή που μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα σύστημα αρίθμησης, τότε η ποσότητα, D = x max x min (3.) ονομάζεται Δυναμική Περιοχή (dynamic range) της αναπαράστασης και δείχνει το εύρος των αναπαραστάσιμων τιμών. Ως ακρίβεια (precision) της αναπαράστασης ορίζεται η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών της αναπαράστασης και δείχνει την ελάχιστη απόσταση που μπορούν να έχουν οι αριθμοί της αναπαράστασης. Να σημειωθεί ότι η ακρίβεια μιας αναπαράστασης έχει σταθερή τιμή μονάχα στις αναπαραστάσεις σταθερής υποδιαστολής σε αναπαραστάσεις κινητής υποδιαστολής, η τιμή της ακρίβειας μπορεί να μεταβάλλεται ανάλογα με την περιοχή τιμών. Αν ονομάσουμε x έναν αριθμό και θελήσουμε να τον αναπαραστήσουμε με κάποιο σύστημα αρίθμησης S, τότε λόγω της πεπερασμένης ακρίβειας του συστήματος, είναι πολύ πιθανό να μη μπορούμε να αναπαραστήσουμε ακριβώς τον x, αλλά μια προσέγγιση του, έστω S(x). Η διαφορά e = x S(x) ονομάζεται απόλυτο σφάλμα αναπαράστασης (Absolute Representation Error). Το απόλυτο σφάλμα αναπαράστασης εξαρτάται από δύο παράγοντες : την ακρίβεια της αναπαράστασης (όπως και ήδη αναφέρθηκε) και τη συνάρτηση προσέγγισης που χρησιμοποιείται. Η συνάρτηση αυτή καλείται συνάρτηση κβαντισμού. Αν S(x 1 ) και S(x ) είναι δύο διαδοχικές τιμές της αναπαράστασης για τις οποίες ισχύει ότι S(x 1 ) < x < S(x ), τότε η συνάρτηση κβαντισμού χρησιμοποιείται για να αντιστοιχίσει το x είτε στην τιμή S(x 1 ) είτε στην τιμή S(x ). Τυπικές μέθοδοι κβαντισμού είναι η αποκοπή (επιλογή του μικρότερου εκ των δύο αριθμών στους οποίους μπορεί να αντιστοιχηθεί ο x) και η στρογγυλοποίηση (χρησιμοποιείται κάποια μετρική απόστασης του x μεταξύ των S(x 1 ) και S(x ) και ο x αντιστοιχίζεται σε αυτόν από τον οποίο απέχει λιγότερο με βάση τη μετρική αυτή [1]). Συνήθως, το απόλυτο μέγεθος του σφάλματος είναι λιγότερο σημαντικό από τη σχετική τιμή του (συγκρινόμενο δηλαδή με την αρχική τιμή του x). Για το λόγο αυτό, τις

3. Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων 13 περισσότερες φορές θεωρείται πιο αντιπροσωπευτικό μέγεθος το σχετικό σφάλμα αναπαράστασης (relative representation error) που ορίζεται ως εξής : x S( x) e relative ( x) = (3.3) x Με βάση το σχετικό σφάλμα αναπαράστασης για έναν αριθμό x, μπορούν να οριστούν δύο ποσότητες που να χαρακτηρίζουν περισσότερο την αριθμητική αναπαράσταση στο σύνολο της. Το μέγιστο σχετικό σφάλμα αναπαράστασης (Maximum Relative Representation Error MRRE) προσδιορίζει τη μέγιστη τιμή που μπορεί να προκύψει για το σχετικό σφάλμα αναπαράστασης και κατά συνέπεια δίνει ένα άνω όριο στην ποσότητα αυτή *. Επειδή μια αναπαράσταση μπορεί να μην είναι γραμμική, όλες οι διαδοχικές τιμές των αναπαριστώμενων αριθμών μπορεί να μην ισαπέχουν. Κατά συνέπεια, το MRRE δεν είναι απόλυτα αντιπροσωπευτικό για τα σφάλματα που μπορούν να προκύψουν σε αυτές τις αναπαραστάσεις. Στην περίπτωση αυτή, πιο χαρακτηριστικό μέγεθος είναι το μέσο σχετικό σφάλμα αναπαράστασης (Average Relative Representation Error ARRE). Ειδικότερα για εφαρμογές ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων, όπου συνήθως εξετάζεται μια ακολουθία τιμών (ένα σήμα), ορίζεται και η ποσότητα της Αναλογίας Σήματος προς Θόρυβο Κβαντισμένου Σήματος (Signal-to-Quantization Noise Ratio SQNR). Έστω ένα σήμα x[i] και η αναπαράσταση του σε κάποιο σύστημα αρίθμησης S(x[i]). Ως Θόρυβο Κβαντισμού θεωρούμε τη διαφορά του σήματος x[i] από την αναπαράσταση του, S(x[i]). Μπορούν να οριστούν οι ποσότητες P signal και P noise που αντιπροσωπεύουν την ισχύ του σήματος και του θορύβου κβαντισμού αντίστοιχα, ως εξής: P noise P signal = ( x i] ) i [ (3.4) ( x i] S( x[ i]) ) = [ (3.5) i Με βάση αυτές τις ποσότητες, το SQNR του σήματος x[i] δίνεται από την ακόλουθη σχέση : Psignal SQNR( db) = 10log10 (3.6) P noise 3.1. Επίδραση της Ψηφιακής Αριθμητικής Αναπαράστασης σε Ένα Σύστημα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Ένα σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων εκτελεί μια σειρά από μαθηματικούς υπολογισμούς σε αριθμητικά δεδομένα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να είναι υλοποιημένο είτε σε λογισμικό (το οποίο να τρέχει σε έναν επεξεργαστή γενικού σκοπού ή σε έναν επεξεργαστή DSP) είτε σε εξειδικευμένο υλικό. Στη διπλωματική αυτή ασχολούμαστε με τη δεύτερη προσέγγιση και η ανάλυση που θα ακολουθήσει αναφέρεται σε αυτή. Να σημειωθεί όμως ότι, αν και τα επιχειρήματα που θα διατυπωθούν αναφέρονται σε υλοποιήσεις απευθείας σε υλικό, τα περισσότερα από αυτά παραμένουν έγκυρα και για το λογισμικό. Απλά στην περίπτωση αυτή το κόστος μετράται διαφορετικά (π.χ. σε αριθμό εντολών, πολυπλοκότητα και απαιτήσεις ενός επεξεργαστή κ.ά.). * Προφανώς το κάτω όριο δεν χρειάζεται να οριστεί, γιατί είναι η περίπτωση της ακριβούς αναπαράστασης ενός αριθμού, οπότε το σφάλμα είναι μηδενικό.

3. Αριθμητική για Συστήματα Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων 14 Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα, η επιλογή ενός συστήματος αρίθμησης καθορίζει πρώτιστα τη μορφή και το μέγεθος των αριθμητικών δεδομένων. Συνεπώς καθορίζει το μέγεθος της λέξης που χρησιμοποιείται σε ένα κύκλωμα και άρα το μέγεθος των βασικών επεξεργαστικών στοιχείων, το μέγεθος των διαύλων μεταφοράς δεδομένων και φυσικά το μέγεθος των στοιχείων μνήμης που χρησιμοποιούνται σε έναν αλγόριθμο για την αποθήκευση ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Ως βασικά επεξεργαστικά στοιχεία, θεωρούμε τα κυκλώματα που υλοποιούν τις βασικές αριθμητικές πράξεις. Τέτοια κυκλώματα είναι οι αθροιστές, οι πολλαπλασιαστές, οι ολισθητές κ.ά. Διαισθητικά, όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος των δεδομένων, τόσο περισσότερο υλικό χρειάζεται για την υλοποίηση των κυκλωμάτων αριθμητικών πράξεων. Στο [13] για παράδειγμα, παρουσιάζονται συγκριτικά αποτελέσματα για το εμβαδό (area) διαφορετικών αρχιτεκτονικών για αθροιστές. Όπως μπορεί να φανεί από τα αποτελέσματα αυτά, δεν υπάρχει αρχιτεκτονική στην οποία το εμβαδό του κυκλώματος που την υλοποιεί να μη σχετίζεται με το μέγεθος των δεδομένων, δικαιολογώντας τη διαισθητική διατύπωση που προηγήθηκε. Παρόλα αυτά, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η εξάρτηση δεν είναι πάντα γραμμική: για μέγεθος λέξης n bit ένας αθροιστής ripple carry έχει εμβαδό της τάξης του O(n) ενώ ένας αθροιστής carry look ahead έχει εμβαδό της τάξης Ο(nlogn). Ο λόγος που εμφανίζονται τόσες διαφορετικές αρχιτεκτονικές ακόμα και για την πρόσθεση, οφείλεται στο γεγονός ότι ένα σύστημα σχεδιάζεται με κάποιες προδιαγραφές που σχετίζονται και με παράγοντες εκτός του εμβαδού του κυκλώματος (area). Κυριότεροι από αυτούς είναι η καθυστέρηση (delay) και η κατανάλωση ισχύος (power). Χρησιμοποιώντας και πάλι το παράδειγμα των αθροιστών [13], μπορεί να φανεί ότι το μέγεθος των δεδομένων εισόδου σχετίζεται στην πλειονότητα των περιπτώσεων με τη καθυστέρηση των κυκλωμάτων. Το ίδιο ισχύει και για την κατανάλωση ισχύος. Ο τύπος [14] : P dyn = (3.7) 0.5 E( sw) CL Fclk Vdd δίνει τη δυναμική κατανάλωση ισχύος ενός κυκλώματος. Στον τύπο αυτό, E(sw) είναι ο μέσος αριθμός μεταβάσεων ανά περίοδο ρολογιού, C L είναι η χωρητικότητα, F clk είναι η συχνότητα λειτουργίας και V dd είναι η τάση τροφοδοσίας. Εφόσον η κατανάλωση ισχύος σχετίζεται τόσο με το μέγεθος ενός κυκλώματος όσο και με την καθυστέρηση του και όπως δείχθηκε παραπάνω τα μεγέθη αυτά εξαρτώνται από το μήκος της λέξης, συνεπάγεται ότι το μέγεθος της αναπαράστασης επηρεάζει και την κατανάλωση του κυκλώματος. Στη Σχέση (3.7), οι ποσότητες E(sw) και C L συχνά συνδυάζονται και το γινόμενο τους, C SW = C L E(sw), που αναφέρεται ως μεταβαίνουσα χωρητικότητα (switched capacitance), περιγράφει τη μέση χωρητικότητα που φορτίζεται σε κάθε περίοδο ρολογιού [14]. Η αριθμητική αναπαράσταση που χρησιμοποιείται σε ένα ψηφιακό σύστημα, μπορεί να επηρεάσει την ποσότητα αυτή με δύο τρόπους, πέρα από αυτόν που αναφέρθηκε. Μιας και η αναπαράσταση ορίζει τη μορφή των αριθμητικών δεδομένων, καθορίζει τι αντιπροσωπεύει κάθε bit της λέξης που χρησιμοποιείται. Συνεπώς, σε μια ακολουθία δεδομένων, οι διαφορές από λέξη σε λέξη, ανάλογα με την αναπαράσταση, μπορεί να είναι μικρές ή μεγάλες, οδηγώντας ένα κύκλωμα σε μικρό ή μεγάλο αριθμό μεταβάσεων. Για παράδειγμα, αν σε μια ακολουθία δεδομένων υπάρχουν συνεχείς εναλλαγές μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών, τότε η χρήση μιας αναπαράστασης η οποία διατηρεί ξεχωριστά την πληροφορία του πρόσημου μπορεί να οδηγήσει σε μείωση των μεταβάσεων στο κύκλωμα σε σχέση με μια αναπαράσταση που ενσωματώνει την πληροφορία του πρόσημου στην αριθμητική πληροφορία [15]. Για λόγους κατανόησης, συγκεκριμενοποιούμε το παραπάνω παράδειγμα. Στην αναπαράσταση προσήμου μέτρου (sign-magnitude) αναπαρίσταται η απόλυτη τιμή του αριθμού και χρησιμοποιείται ένα επιπλέον bit για την αναπαράσταση του προσήμου. Αντίθετα, στην αναπαράσταση συμπληρώματος ως προς, ένας θετικός αριθμός αναπαρίσταται από τη δυαδική τιμή του ενώ ένας αρνητικός αριθμός από το συμπλήρωμα