ΘΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΛΛΗΝΙΣ ΞΤΑΣΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΡΗΣΙΟΥ ΓΝΙΚΟΥ ΛΥΚΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΞΤΑΖΟΜΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΛΙ ΩΝ: ΠΝΤ (5) Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α Β)=Ρ(Α) Ρ(Α Β). Μονάδες 7 Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 4 Α3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα f i μιας παρατήρησης x i ενός δείγματος. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες β) Σε μία κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6 x. Μονάδες ΤΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΛΙ Σ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες ΘΜΑ Β δ) Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες ε) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 0%. Μονάδες Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M)=, η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A)= 4λ 4 7 και η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K)= 5 λ +, όπου 4 λ. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64<Ν(Ω)<7, τότε Β. Να δείξετε ότι Ν(Ω)=68 Β. Να υπολογιστεί η τιμή του λ Μονάδες 6 Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β4. Παίρνουμε τυχαία μία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες 5 ΤΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΛΙ Σ
ΘΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α(8, 0) Β(0, 0) Γ(, 0) (4, y ) E(6, y ) Ζ(8, 0) Η(0, 0) όπου y, y οι τεταγμένες των κορυφών και του πολυγώνου ΑΒΓ ΖΗ. Γ. Να υπολογιστούν οι τεταγμένες y και y των κορυφών και, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 400 ευρώ και το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Γ. Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων f i %. Μονάδες 3 Γ3. Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων f i % της κατανομής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7 Γ4. Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 5000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4 Γ5. Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθμό των πωλητών που ΤΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΛΙ Σ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτημα. Μονάδες 4 ΘΜΑ ίνεται η συνάρτηση f (x) = e x x 3 x+ 0 5, x. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ΑŒΒ και Ρ(Α), Ρ(Β) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α»Β), Ρ(Β Α). 3. ίνεται η συνάρτηση h (x) = e 3x x 5 x 3, x. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=h(x). Μονάδες 8 Μονάδες 3 β) Aν x < x < x 3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και v i =x i +, i=,,3 οι συχνότητες των παρατηρήσεων x i τότε να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Μονάδες 6 ΤΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΛΙ Σ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΡΗΣΙΩΝ Ο ΗΓΙΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. KΑΛΗ ΠΙΤΥΧΙΑ ΤΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΛΙ Σ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΝΙΚΗΣ ΠΑΙΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΙΣ ΣΤΑ ΘΜΑΤΑ ΞΤΑΣΩΝ 0 ΘΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 4 Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 66 Α4. α) Λ β) Λ γ) Σ (με την προϋπόθεση ότι οι f και g παραγωγίσιμες) δ) Λ ε) Σ ΘΜΑ Β Ν( Ω ) Β. 64 7 όμως Άρα από ( :644 ) Ν( Μ ) 7 6 Ν( Μ ) 8 Ν( Μ ) = 7 (εφόσον εφόσον Ν( Μ ) = 7 άρα Ν( Ω ) = 68 Β. Ν( Μ ) +Ν( Κ ) +Ν( Α ) =Ν( Ω) ιαιρώντας με Ν( Ω) ( Ω) ΝΜ Ν Μ Ρ Μ = = Ν Ω = Ν Μ Ν Ω 4 N 4 Ν Μ εκφράζει το πλήθος των σφαιριδίων άρα Ν Μ )
Ν( Μ) Ν( Κ) Ν( Α) + + Ν( Ω) Ν( Ω) Ν( Ω ) = Ρ( Μ ) +Ρ( Κ ) +Ρ( Α ) = 7 5λ+ + 4λ = 4 4 0λ+ 7+ 6λ = 4 6λ 0λ+ 4 = 0 4λ 5λ+ = 0 λ = λ = 4 (όμως για λ = Ρ Α = 4 Άτοπο) άρα λ = 4 Ρ( Α ) = 4 λ = 4 = 4 4 7 7 Ρ( Κ ) = 5λ + = 5 + = 4 4 4 (Σημείωση: Ν( Κ ) το πλήθος των κόκκινων σφαιριδίων Ν( Α) το πλήθος των λευκών σφαιριδίων). Β3. Ν( Μ) Ρ( Μ ) = Ν ( Ω ) Ν( Α) Ρ( Α ) = Ν ( Ω ) Ν( Α) Ν( Ω) Ν( Κ) Ν( Ω) Ν( Ω) Ν( Κ ) = = 34 Β4. Ν Μ Ν Ω 68 = Ν( Μ ) = = = 7 4 Ν Ω 4 4 Ν Ω 68 = Ν Α = = = 7 4 4 4 Ν Κ Ρ Κ = = Ν Ω Ρ( Α Μ ) =Ρ( Α ) +Ρ( Μ ) = + = = 4 4 4 ( Α Μ= )
ΘΜΑ Γ Γ. Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων έχουν xi, fi % μορφή άρα Β 0,0 Χ = 0 f %=0 Γ (, 0 ) Χ = f % = 0 ( 4, Υ ) Χ3 = 4 f 3% =Υ ( ) 4 4 5 5 6, Υ Χ = 6 f % =Υ Ζ 8,0 Χ = 8 f % = 0 άρα 3 4 5 f % + f % + f % + f % + f % = 00 0 + 0 +Υ +Υ + 0 = 00 Υ +Υ = 60 () φόσον // ΟΧ Υ =Υ Άρα από ( ) και Υ =Υ = 30 άρα f3% = 30 f4% = 30 Β Τρόπος x = 4, ( x = 4.00 ώρες επειδή όμως οι πωλήσεις είναι σε χιλιάδες άρα x = 4, ) Σxifi% όμως x = 00 0 0 + 0 + 4Υ + 6Υ + 8 0 άρα 4, = 00 400 = 00 + 40 + 4Υ + 6Υ + 80 4Υ + 6Υ = 900 Λύνονται το ( Σ ) 4Υ + 6Υ = 90 Υ +Υ = 60 Υ =Υ = 30
Γ. 30-5- 0- Γ 5-0- 05- Β Ζ Α Η 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Γ3. Κλάσεις [ ) i x f % 9 0 0 3 0 3 5 4 30 5 7 6 30 7 9 8 0 Σύνολο 00 i Σημείωση: αν η πρώτη κλάση είναι [, c) η πρώτη κλάση γίνεται [ αα+, ) α + α + = 0 α 0 α 9 αα+ όμως το πλάτος c είναι: x x = άρα επίσης το ημιάθροισμα των άκρων δίνει το + = = άρα η πρώτη κλάση είναι [ ) 9,. Γ4. Από τον πίνακα παρατηρούμε ότι τουλάχιστον 5000 έκανε f4% + f5% = 30 + 0 = 40 ηλαδή το 40%
Γ5. φόσον το εμβαδόν που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων είναι 80 άρα ν = 80 πωλητές άρα ο αριθμός των πωλητών είναι 40 80 3 00 = πωλητές. ΘΜΑ. x 3 x x+ x x + x 3 0 5 3 30 5 f x = e = e 3 x x + x 3 3 30 5 f ( x) = e x x + x 3 30 5 f ( x) = f ( x) x x+ 5 5 f x = 0 5x x+ =0 = 8 5 = 0 = x, ± = 30 = 30 5 3 3 5 f x + + f ( x ). Α Β Άρα Ρ( Α ) Ρ( Β) Ρ( Α ) Ρ( Β ) 0 30 30 0 30 Άρα Ρ( Α ) = και Ρ( Β ) = 30 Ρ Α Β =Ρ Α = (φόσον Α Β άρα Α Β=Α) 3 Ρ Α Β =Ρ Α Ρ Α Β = = 0 3 3 Ρ Α Β =Ρ Β = (φόσον Α Β άρα Α Β=Β) 5
Ρ Β Α =Ρ Β Ρ Α Β = = = = 5 3 30 30 5 3. α) f ( x) = h( x) 3 x x x x x x + 3 0 5 5 3 e = e x x x x+ = x 3 x 3 0 5 5 3 3x x x x+ = x x 3 30 5 0 5 5 3x x x x+ + x+ = 0 3 30 5 0 5 5 x 5 3 x x+ = 0 30 30 5 x 5 3 x = 0 ή x + = 0 30 30 5 x 5x+ 6=0 x = ή x = 3 β) x x x 3 x = 0 x = x = 3 3 ν = x + = 0+ ν = ν = x + = + ν = 5 ν = x + = 3+ v = 7 3 3 3 x i ν i xiv i 0 0 5 0 3 7 ΣΥΝ 3 Σx x i ν = i = ν 3 3 πιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη