ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή κύμανση. Α. Τι ονομάζεται παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της; Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) lim (συνx) = συνx x x0 β) (cf (x))' = c f '(x) 0 (μονάδες ) (μονάδες ) γ) Σε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων. (μονάδες ) δ) Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογενές, όταν ο συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 0%. (μονάδες ) ε) Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α Β (μονάδες ) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e x (x-), x R Θεωρούμε επίσης δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με f(x ) Ρ(Α) = x και Ρ(Β) = e όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x

2 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) = και Ρ(Β) = Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα και Μονάδες 5 Β4. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α ' Β') Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν ως προς μία ποσοτική μεταβλητή Χ και ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις Κεντρικές fi% Fi Fi% τιμές xi [α,.) λ [.,.) λ+0 [.,.) [.,.) κλ -λ+0 [.,.) κλ -λ+0 Σύνολα Δίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F και F5 είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 5x -8x+κ, όπου x R και κ R Γ. Να αποδείξετε ότι κ= και λ=0 Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι f %=0, f %=0, f %=0, f 4 %=0 και f 5 %=0 Μονάδες 5

3 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Γ. Αν το 5% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του και το 5% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 4, τότε να αποδείξετε ότι α=0 και c=4 (μονάδες 4) Στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο. (μονάδες 4) Μονάδες 8 Γ4. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες η ίσες του είναι 800, τότε να υπολογίσετε το μέγεθος του δείγματος. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση x f(x) = +,x R x + και ο δειγματικός χώρος Ω={ω, ω, ω, ω 4 }, όπου ω = -, ω =0 και <ω <ω 4 Δίνονται, επίσης, οι πιθανότητες Ρ(ω i )=f(ω i ) -, όπου i=, f '(x) Ρ(ω ) = lim x x και Δ. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ του δειγματικού χώρου Ω με Α = {ω Ω/f'(ω) 0}, Α = {ω Ω/f(ω) > } και Γ {ω Ω/x ωx = + για κάθε x R 4 } α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ) και Ρ(ω 4 ) β) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) και Ρ(Α-Β) (μονάδες 8) (μονάδες 8) Μονάδες Δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f, η οποία σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45 ο Δ. Αν Μ κ (ω κ, y κ ), κ=,,, 4 είναι σημεία της εφαπτομένης (ε): y=x+ με = δy δω κ και R κ y κ = 5 τότε να υπολογίσετε τα ω και ω 4 του δειγματικού χώρου Ω, όπου δ : η διάμεσος των τετμημένων των σημείων Μ κ, ω κ

4 δ y κ R y κ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 : η διάμεσος των τεταγμένων των σημείων Μ κ και : το εύρος των τεταγμένων των σημείων Μ κ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f (x)=[e x (x-)] =e x (x-) x e > 0 x Είναι f'(x) 0 e (x ) 0 x 0 x Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Στο / f( ) = e ( ) = 4 e. x = η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή την Β. P(A) = και ( 4 e) 4 P(B) = = =. e Β. Έστω ότι Α, Β είναι ασυμβίβαστα τότε 7 P(A B) = P(A) + P(B) = + = > ΑΤΟΠΟ. Οπότε Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Β4. Αρκεί P(A' B') δηλαδή P(A' B') και Ισχύει Α' Β' Α' οπότε P(A' B') P(A') ή P(A' B') P(A) P(A' B') = < άρα P(A' B'). P(A' B')

5 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Θα δείξουμε P(A' B') ή P[(A ' (B')]' ή P(A' B') ή P(B A) ή P(B) P(A B) ή P(A B) ή P(A B) ή P(A B) ή P(A B) P(A) ισχύει αφού A B A. ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι F 5 = και F 5 %=00. Από τους τύπους VIETA 8 F + F5 = F5 5 = F = 5 k F F 5 = k = 5 Επειδή F 5 %=00 λ -λ-70=0 Άρα λ=0. λ = 0 η ' λ = 7 Απορ. Γ. Οπότε f %=λ=0, f %=0, f %=0, f 4 %=0, f 5 %=0. f% Γ. Έχουμε f% + = 5% οπότε x = f% 4 f% 5 + = 5οπότε x 4 =4 Είναι x + c= x4 c=4. η κλάση [α, α+4) η κλάση [α+4, α+8) α α + 8 Οπότε x = ή α + = α = 0 άρα α=0.

6 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Κλάσεις Κεντρικές fi% Fi Fi% τιμές xi [0, 4) 0 0, 0 [4, 8) 0 0,4 40 [8, ) 0 0 0, 0 [, ) 4 0 0,9 90 [, 0) Σύνολα 00 Γ4. Έχουμε = οπότε ω= ν ΘΕΜΑ Δ Δ. α) Ρ(ω ) = Ρ( ) = f( ) = + = Ρ(ω ) = Ρ(0) = f (0) = 0 + = x x f'(x) = ( + )' = x (x + ) f'(x) (x+ ) lim = lim = οπότε x x x (x + ) f'(x) Ρ(ω ) = lim = ( ) = οπότε x x Ρ(ω 4) = Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) = = ω β) f'(ω) 0 0 ω 0 ω (ω + ) ω ή ω. Άρα Α{-, ω, ω 4 } και 4 Ρ(Α) = Ρ( ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω 4) = + + = = ω ω f(ω) > + > > 0 ω > 0 άρα ω + ω +

7 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Β={ω, ω 4 } οπότε Ρ(Β) = Ρ(ω ) + Ρ(ω 4) = + = Για κάθε x R είναι x + ωx+ 0 οπότε Δ 0 4 Δηλαδή ω 0 ω άρα Γ={-, 0} 5 Οπότε Ρ(Γ) = Ρ( ) + Ρ(0) = + = Είναι Α-Β={-} οπότε Ρ(Α Β) = Ρ( ) =. Δ. Έστω Μ (x 0, f(x 0 )) το σημείο επαφής. x0 λεφ = εφ45 = οπότε f'(x 0) = = (x0 + ) 4 x0 + x0 = 0 x 0(x0 + ) = 0 x0 = 0 x0 = 0 f(0)= και f (0)= άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της cf στο Μ είναι y = x y= x+. Δ. Μ (ω, y ) όπου ω = - και y = -+=0 Μ (ω, y ) όπου ω =0 και y =0+= Μ (ω, y ) όπου y =ω + Μ 4 (ω 4, y 4 ) όπου y 4 =ω 4 + και αφού <ω <ω 4. Είναι y <y <y <y 4 Ry = y y 5 = ω + ω = ω ω δ ω = = y + y + ω + + ω δ y = = = ω + ω Είναι δω=δy = ω = ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΣΗΣ Π. ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Ε. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.