Υπολογιστική ανάλυση και χαρακτηρισµός µεταϋλικών (metamaterials)

Υπολογιστική ανάλυση και χαρακτηρισµός µεταϋλικών (metamaterials) Στέργιος Στότας Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης E-mail: sstotas@yahoo.com Περίληψη Πρόσφατα, τα τεχνητά κατασκευασµένα µεταϋλικά (metamaterials) έχουν τύχει ιδιαίτερης προσοχής, καθώς παρουσιάζουν ηλεκτροµαγνητικά χαρακτηριστικά που δε συναντώνται στα υλικά που υπάρχουν στη φύση. Φαινόµενα όπως ο αρνητικός δείκτης διάθλασης και ο τεχνητός µαγνητισµός είναι µερικές από τις πιο χαρακτηριστικές συµπεριφορές που επιδεικνύουν αυτά τα υλικά. Στην εργασία αυτή περιγράφεται τόσο η έννοια, όσο και βασικοί τύποι µεταϋλικών, καθώς και ο χαρακτηρισµός µεταϋλικών µε χρήση δύο διαφορετικών µεθόδων οµογενοποίησης. Θεµατική περιοχή: Ασύρµατες Επικοινωνίες, Ηλεκτροµαγνητισµός, Μικροκυµατικές Επικοινωνίες Λέξεις κλειδιά: µεταϋλικά, metamaterials, οµογενοποίηση, ενεργές παράµετροι 1. Εισαγωγή Τα µεταϋλικά (metamaterials) είναι τεχνητά υλικά µε περιοδική δοµή, των οποίων οι ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες δε συναντώνται σε συµβατικά υλικά. Η δοµή τους προκύπτει από την περιοδική επανάληψη ενός µοναδιαίου κελιού (unit cell) (σχήµα 1), του οποίου οι διαστάσεις είναι πολύ µικρότερες από το µήκος κύµατος λειτουργίας (a1, a, a3 << λ). Κάνοντας µια σύγκριση µε τα συµβατικά υλικά µπορούµε να πούµε ότι το µοναδιαίο κελί στα µεταϋλικά είναι ό,τι τα άτοµα στα συµβατικά υλικά. Όπως δηλαδή οι ιδιότητες των συµβατικών υλικών καθορίζονται από τα άτοµα από τα οποία αποτελούνται, έτσι και οι ιδιότητες των µεταϋλικών καθορίζονται από τα µοναδιαία κελιά, των οποίων όµως τη δοµή µπορούµε να µεταβάλλουµε όπως επιθυµούµε, µεταβάλλοντας κατά συνέπεια τις ιδιότητες του µεταϋλικού. Σχήµα 1 Γενική µορφή ενός µοναδιαίου κελιού Ακριβώς επειδή το µέγεθος του µοναδιαίου κελιού είναι πολύ µικρότερο από το µήκος κύµατος λειτουργίας, ένα µεταϋλικό µπορεί να αντιµετωπιστεί ως ένα οµογενές υλικό, το οποίο µπορεί να περιγραφεί ακριβώς από ένα µικρό σύνολο παραµέτρων. Πρόκειται στην ουσία για ενεργές ή ισοδύναµες παραµέτρους (effective parameters), οι οποίες προκύπτουν µετά από µια διαδικασία οµογενοποίησης (homogenization) του µεταϋλικού, στην οποία θα αναφερθούµε στη συνέχεια. Πρόσφατα, η ιδέα σύνθετων υλικών στα οποία και η διηλεκτρική σταθερά ε και η µαγνητική διαπερατότητα µ είναι αρνητική σε ορισµένες συχνότητες έχει τύχει ιδιαίτερης προσοχής. Πρώτος ο Victor Veselago το 1967 µελέτησε θεωρητικά τη διάδοση ενός επίπεδου Η/Μ κύµατος σε ένα τέτοιο υλικό, του οποίου η διηλεκτρική σταθερά ε και η µαγνητική διαπερατότητα µ είναι ταυτόχρονα αρνητικές []. Σε αυτά τα µέσα παρατηρείται το φαινόµενο της αρνητικής διάθλασης [3], χάρη στο οποίο µπορεί να κατασκευαστεί ένα τέλειος φακός [4]. Η υλοποίηση και εφαρµογή των µεταϋλικών αναµένεται να φέρει επανάσταση σε τοµείς όπως η φωτολιθογραφία, οι κεραίες, η µαγνητική τοµογραφία και να οδηγήσει µέχρι στην κατασκευή του µανδύα αφάνειας (invisibility cloak) [14], [15]. Η εργασία αυτή ασχολείται µε το χαρακτηρισµό των µεταϋλικών µέσω του υπολογισµού των ενεργών παραµέτρων. Το υπόλοιπο της εργασίας οργανώνεται ως εξής. Στην ενότητα περιγράφουµε τους βασικούς τύπους µεταϋλικών, στην ενότητα 3 τις µεθόδους οµογενοποίησης των µεταϋλικών. Στην ενότητα 4 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων και η εξαγωγή των

ενεργών παραµέτρων των µεταϋλικών, ενώ τέλος στην ενότητα 5 συγκεντρώνονται τα συµπεράσµατα.. Βασικοί τύποι µεταϋλικών Σχεδόν όλα τα µεταϋλικά που χρησιµοποιούνται σήµερα βασίζονται κυρίως σε δύο δοµές: σε µια πυκνή διάταξη λεπτών αγωγών (thin-wires) και σε µια διάταξη διακοπτόµενων δακτυλιωτών συντονιστών SRRs (splitring resonators). Α. ENG µεταϋλικό από λεπτούς αγωγούς Έχει αποδειχθεί [5] ότι µια διάταξη παράλληλων αγωγών (σχήµα ) παρουσιάζει υψιπερατή συµπεριφορά σε ένα προσπίπτον επίπεδο κύµα, του οποίου το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι παράλληλο στους αγωγούς. Σχήµα (α) ιάταξη παράλληλων λεπτών αγωγών (b) Μοναδιαίο κελί (c) Ενεργός διηλεκτρική σταθερά: µε συνεχή γραµµή το πραγµατικό, µε διακεκοµµένη το φανταστικό µέρος Κάτω από µια συγκεκριµένη συχνότητα (τη συχνότητα αποκοπής της δοµής) δεν υπάρχει διάδοση και ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα υφίσταται ολική ανάκλαση. Αυτή η συµπεριφορά είναι παρόµοια µε τη διάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε πλάσµα. Αν η σταθερά α του πλέγµατος είναι πολύ µικρότερη από το µήκος κύµατος (α<<λ), τότε η διάταξη των αγωγών µπορεί να θεωρηθεί σαν ένα συνεχές υλικό µε συµπεριφορά πλάσµατος, το οποίο περιγράφεται από µια ισοδύναµη µακροσκοπική σχετική διηλεκτρική σταθερά: f ' '' p ε reff, z ε reff, z jε reff, z 1 f jγ f Εδώ το ε reff,z εκφράζει την ενεργό σχετική διηλεκτρική σταθερά στη διεύθυνση z. Τα σύµβολα f και f p αντιπροσωπεύουν τη συχνότητα του σήµατος και τη συχνότητα αποκοπής της διάταξης αντίστοιχα, ενώ ο συντελεστής γ αντιπροσωπεύει τις απώλειες. Η συχνότητα πλάσµατος εξαρτάται γενικώς από τη γεωµετρία του συστήµατος (τη σταθερά του πλέγµατος και την ακτίνα των αγωγών). Η σχετική διηλεκτρική σταθερά στις κάθετες διευθύνσεις (διεύθυνση x και y) είναι πάντοτε θετική και στην περίπτωση λεπτών αγωγών είναι προσεγγιστικά ίση µε αυτήν του κενού. Στην περίπτωση αυτή το µέσο µε λεπτούς αγωγούς µπορεί να θεωρηθεί ως ένα ισοτροπικό D ENG (Epsilon-Negative) µεταϋλικό που περιγράφεται από µια βαθµωτή σχετική διηλεκτρική σταθερά ε reff,z. Β. MNG µεταϋλικό µε SRRs Μετά την πρώτη θεωρητική εισαγωγή από τον Pendry το 1999 [6], µια διάταξη από SRRs έχει χρησιµοποιηθεί ευρέως για τη σύνθεση MNG (Mu-Negative) µεταϋλικών. Ένας διακοπτόµενος δακτυλιωτός συντονιστής (SRR) µπορεί να θεωρηθεί ως µια µικρή κυκλική κεραία µε χωρητικό φορτίο. Αν αυτή η κεραία λειτουργήσει λίγο πάνω από τη συχνότητα συντονισµού, το τοπικό σκεδαζό- µενο µαγνητικό πεδίο θα είναι σχεδόν εκτός φάσης µε το προσπίπτον πεδίο. Συνεπώς το συνολικό τοπικό µαγνητικό πεδίο που προκύπτει θα είναι χαµηλότερο από αυτό του προσπίπτοντος πεδίου. Αυτό οδηγεί σε αρνητική µαγνητική πόλωση και αρνητική ενεργό µαγνητική διαπερατότητα του προκύπτοντος µεταϋλικού. Έχει δειχθεί [6], [7] ότι η µορφή της ενεργού µαγνητικής διαπερατότητας αυτού του µεταϋλικού έχει την ακόλουθη µορφή: f ' '' mp f µ eff µ eff jµ eff 1 f f jγ f όπου f είναι η συχνότητα του σήµατος, f mp η συχνότητα στην οποία µ eff στην περίπτωση µηδενικών απωλειών, f η συχνότητα στην οποία το µ eff αποκλίνει (συχνότητα συντονισµού του SRR) και γ ο συντελεστής που αντιπροσωπεύει τις απώλειες. Η εξάρτηση του µ eff από τη συχνότητα σχεδιάζεται ποιοτικά στο σχήµα 3 (c). Σχήµα 3 (α) ιάταξη των SRRs (b) Μοναδιαίο κελί: πάνω περίπτωση 1D, κάτω περίπτωση D (c) Ενεργός µαγνητική διαπερατότητα: µε συνεχή γραµµή το πραγµατικό και µε διακεκοµµένη το φανταστικό µέρος Γενικά οι συχνότητες f mp και f εξαρτώνται από τη σταθερά πλέγµατος και τις γεωµετρικές παραµέτρους του SRR, δηλαδή την εσωτερική και εξωτερική ακτίνα των δακτυλίων, το πλάτος του κενού µεταξύ των δακτυλίων καθώς και το πλάτος του κενού σε κάθε δακτύλιο. Είναι προφανές από το πάνω µέρος του σχήµατος 3 (b) ότι ένα SRR είναι εγγενώς ανισοτροπικό στοιχείο. Αν το διάνυσµα µαγνητικού πεδίου του προσπίπτοντος επίπεδου κύµατος είναι κάθετο στο SRR, θα προκαλέσει επαγόµενα ρεύµατα που σταδιακά θα δηµιουργήσουν την αρνητική µαγνητική διαπερατότητα. Αντιθέτως αν το

διάνυσµα του µαγνητικού πεδίου είναι παράλληλο στο SRR, δεν µπορεί να προκαλέσει επαγόµενα ρεύµατα και συνεπώς η παρουσία του SRR δεν επηρεάζει την ενεργό µαγνητική διαπερατότητα. Εξαιτίας αυτού, η πρωτοποριακή πειραµατική µελέτη [7] ασχολήθηκε πραγµατικά µε ένα ανισοτροπικό µεταϋλικό. Αυτό το µεταϋλικό υποστήριζε διάδοση οπισθοδροµικών κυµάτων (backward waves) µόνο στην περίπτωση που το διάνυσµα µαγνητικού πεδίου του προσπίπτοντος επίπεδου κύµατος ήταν κάθετο στο SRR. Αν κανείς επιθυµεί να επιτύχει ένα σχεδόν D MNG µεταϋλικό θα πρέπει να χρησιµοποιήσει τουλάχιστον SRRs ανά µοναδιαίο κελί όπως στο σχήµα 3 (b) κάτω. Ένα τέτοιο µεταϋλικό µπορεί να περιγραφεί από ένα x µονοαξονικό τανυστή µαγνητικής διαπερατότητας: µ tr ' '' µ µ µ ( µ r jµ r) µ µ r µ lr όπου µ η µαγνητική διαπερατότητα του κενού, ενώ µ tr και µ lr η σχετική µαγνητική διαπερατότητα στην εγκάρσια (x) και στη διαµήκη (y) κατεύθυνση αντίστοιχα. Σε ένα ανισοτροπικό υλικό που περιέχει ένα SRR ανά µοναδιαίο κελί όπως φαίνεται στο σχήµα 3 (b) πάνω, η διαµήκης µαγνητική διαπερατότητα (κατά τον άξονα y) θα είναι προσεγγιστικά ίση µε αυτήν του κενού ( µ lr 1). Αντίθετα, σε ένα σχεδόν ισοτροπικό MNG µεταϋλικό που βασίζεται σε δύο SRRs (σχήµα 3 (b), κάτω) η εγκάρσια (κατά τη διεύθυνση x) και η διαµήκης (κατά τη διεύθυνση y) µαγνητική διαπερατότητα θα είναι ίσες (µ tr µ lr ). Γ. DNG µεταϋλικό µε λεπτούς αγωγούς και SRRs Το πρώτο DNG µεταϋλικό που αναφέρεται στη βιβλιογραφία [7] ήταν ένας συνδυασµός της ENG δοµής µε λεπτούς αγωγούς και της MNG δοµής µε SRRs, η οποία παρουσιάζεται στο σχήµα 4. Σχήµα 4 (α) DNG µεταϋλικό βασισµένο σε λεπτούς αγωγούς και SRRs (b) Μοναδιαίο κελί: 1D πάνω και D κάτω Είχε υποτεθεί ότι το νέο σύνθετο µέσο θα παρουσίαζε µακροσκοπική διηλεκτρική σταθερά ίση µε αυτήν του ENG µέσου µε λεπτούς αγωγούς και µακροσκοπική µαγνητική διαπερατότητα ίση µε αυτήν του MNG µέσου µε SRRs. Αυτό το απλουστευµένο µοντέλο αµελεί τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των αγωγών και των SRRs [8]. Με αυτό το µοντέλο ένα γενικό D µεταϋλικό µπορεί να περιγραφεί πλήρως από µια βαθµωτή µακροσκοπική διηλεκτρική σταθερά που οφείλεται στους λεπτούς αγωγούς και µια µακροσκοπική µαγνητική διαπερατότητα της µορφής ενός µονοαξονικού τανυστή x που οφείλεται στα SRRs. Αυτό το D DNG µεταϋλικό µπορεί να είναι είτε µαγνητικά ανισοτροπικό (σχήµα 4 (b), πάνω), είτε µαγνητικά ισοτροπικό (σχήµα 4 (b), κάτω). 3. Μέθοδοι οµογενοποίησης Είναι εννοιολογικά βολικό να αντικαταστήσουµε ένα σύνολο σκεδαστών µε ένα οµογενές µέσο, του οποίου οι ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες προκύπτουν από τη λήψη της µέσης τιµής των τοπικών ηλεκτροµαγνητικών πεδίων και κατανοµών ρευµάτων. Ιδανικά, δε θα υπήρχε διαφορά στην παρατηρούµενη ηλεκτροµαγνητική απόκριση του υποθετικού συνεχούς υλικού και του σύνθετου υλικού το οποίο αντικαθιστά. Η ισοδυναµία αυτή µπορεί εύκολα να επιτευχθεί όταν τα εφαρµοζόµενα πεδία είναι στατικά ή µεταβάλλονται χωρικά σε µια κλίµακα πολύ µεγαλύτερη από αυτή της τοπικής ανοµοιογένειας. Στην περίπτωση αυτή το σύνθετο υλικό λέγεται ότι σχηµατίζει ένα ενεργό µέσο (effective medium). Οι ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες ενός µη οµογενούς σύνθετου υλικού καθορίζονται επακριβώς µε την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell. Όταν οι συγκεκριµένες λεπτοµέρειες της ανοµοιογενούς δοµής δεν είναι σηµαντικές στη συµπεριφορά των σχετικών πεδίων που ενδιαφέρουν, τότε η λήψη των µέσων τιµών των τοπικών πεδίων, φορτίων και κατανοµών ρευµάτων δίνει τη µακροσκοπική µορφή των εξισώσεων του Maxwell. Για την επίλυση των εξισώσεων αυτών υποθέτουµε µια σχέση που συνδέει αυτά τα τέσσερα µακροσκοπικά διανύσµατα πεδίων που προκύπτουν από τη διαδικασία της λήψης µέσων τιµών ή αλλιώς της οµογενοποίησης. Με τον τρόπο αυτόν ορίζονται τυπικά οι τανυστές της διηλεκτρικής σταθεράς (ε) και της µαγνητικής διαπερατότητας (µ), που εµπεριέχουν τις ειδικές τοπικές λεπτοµέρειες του σύνθετου µέσου. Οι αναλυτικές τεχνικές γίνονται ολοένα και πιο δύσκολες στην εφαρµογή τους σε περιπτώσεις όπου οι σκεδαστές έχουν πολύπλοκη γεωµετρία. Ωστόσο ως εναλλακτική για αυτές τις περιπτώσεις µια αριθµητική προσέγγιση είναι εφικτή, στην οποία τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία υπολογίζονται µε απευθείας ολοκλήρωση των εξισώσεων του Maxwell και µια διαδικασία λήψης µέσων τιµών εφαρµόζεται για τον καθορισµό των µακροσκοπικών πεδίων και των παραµέτρων του υλικού. Μια τέτοια προσέγγιση είναι εφικτή για προσοµοιώσεις, αλλά δεν επεκτείνεται σε πειραµατικές µετρήσεις, όπου οι τεχνικές ανάκτησης

(retrieval methods) είναι πρωτίστης σηµασίας για το χαρακτηρισµό δοµών. Όσον αφορά τα µεταϋλικά η σχεδίαση και η ανάλυση τους είναι ιδιαίτερα βολική, επειδή µια πλήρης αριθµητική λύση των εξισώσεων του Maxwell µπορεί να επιτευχθεί λαµβάνοντας υπόψη µόνο ένα µοναδιαίο κελί της περιοδικής δοµής. Αρκεί να εφαρµόσουµε στις έδρες του µοναδιαίου κελιού περιοδικές συνθήκες Floquet: f ( x+ a ) f ( x ) exp( j k a ) i όπου f(x) µπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα διανύσµατα των τοπικών πεδίων E, H, B ή D, k το κυµατικό διάνυσµα και α i το διάνυσµα της σταθεράς πλέγµατος (σχήµα 1). Στα πλαίσια αυτής της εργασίας ασχοληθήκαµε µε δύο µεθόδους οµογενοποίησης: τη µέθοδο Volume/Surface averaging [9] και τη µέθοδο S-parameter retrieval [1], οι οποίες αναλύονται στη συνέχεια. A. Μέθοδος Volume/Surface averaging Θεωρούµε µια πλάκα ενός υλικού το οποίο αποτελείται από ένα µοναδιαίο κελί που επαναλαµβάνεται έναν πεπερασµένο αριθµό φορών κατά µήκος της διεύθυνσης y, ενώ επαναλαµβάνεται περιοδικά επ άπειρον στο xz επίπεδο (σχήµα 5). Ως σύµβαση το προσπίπτον κύµα έχει το διάνυσµα k κατά τα y, και είναι πολωµένο µε το E κατά τα z και το H κατά τα x. i ποσότητας στην έδρα P του µοναδιαίου κελιού, η οποία εµφανίζεται µε πράσινο χρώµα στο σχήµα 5. Ανάλογα το αντιστοιχεί στην µέση τιµή της αντίστοιχης ποσότητας στoν όγκο του µοναδιαίου κελιού, ο οποίος εµφανίζεται µε µωβ χρώµα στο σχήµα 5. Στα πλαίσια της µεθόδου αυτής το επίπεδο P που αναφέραµε πρέπει να είναι κάθετο στο ηλεκτρικό πεδίο Ε, ενώ επιπλέον δεν πρέπει να τέµνει κανένα αγώγιµο στοιχείο. Η µέθοδος αυτή έχει εφαρµοστεί µε επιτυχία για τον υπολογισµό αναλυτικών εκφράσεων της παραµέτρου µ σε υλικά κατασκευασµένα από κούφιους αγωγούς και της παραµέτρου ε στο µέσο µε λεπτούς αγωγούς. Πρόσφατα, η προσέγγιση αυτή εφαρµόστηκε σε µεταϋλικά. B. Μέθοδος S-parameter retrieval Αν µια µη οµογενής δοµή µπορεί να αντικατασταθεί ισοδύναµα µε ένα συνεχές υλικό, τότε δε θα πρέπει να υπάρχει διαφορά στα χαρακτηριστικά σκέδασης αυτών των δύο υλικών. Μια διαδικασία λοιπόν υπολογισµού ενεργών παραµέτρων για µια µη οµογενή δοµή αποτελεί η σύγκριση των σκεδαζόµενων κυµάτων, των µιγαδικών δηλαδή συντελεστών ανάκλασης και µετάδοσης ή S- παραµέτρων, µιας πλάκας του µη οµογενούς υλικού µε αυτές ενός υποθετικού συνεχούς υλικού. Θεωρώντας ότι το συνεχές υλικό χαρακτηρίζεται από ένα δείκτη n και µια αντίσταση z, µπορούν να βρεθούν σχετικά απλές αναλυτικές εκφράσεις που να συσχετίζουν τις παραµέτρους n και z µιας πλάκας µε τις S-παραµέτρους [1]. Η αντιστροφή των S-παραµέτρων είναι µια καθιερωµένη µέθοδος για τον πειραµατικό προσδιορισµό αγνώστων υλικών. Επειδή τα µεταϋλικά σχηµατίζονται από διακριτά στοιχεία των οποίων η περιοδικότητα επιβάλλει ένα αυστηρό ελάχιστο του δείγµατος, επιλέγεται το πάχος της πλάκας να είναι ίσο µε τη διάσταση ενός µοναδιαίου κελιού, δηλαδή Ld. Σχήµα 5 Πλάκα περιοδικού υλικού που φωτίζεται από προσπίπτον κύµα Η µέθοδος Volume/Surface averaging [9] προτάθηκε το για τον υπολογισµό των ενεργών παραµέτρων (effective parameters) µέσω των ακολούθων τύπων: B x xyz V / S ε εv / S H x xy µ µ όπου το xy αντιστοιχεί στην µέση τιµή της αντίστοιχης xyz D E z z xy xyz Σχήµα 6 Μέτρηση S-παραµέτρων Αν το µοναδιαίο κελί επαναλαµβάνεται επ άπειρον τότε ο υπολογισµός των παραµέτρων n και z γίνεται µε τον ακόλουθο τρόπο. Αρχικά υπολογίζουµε τον πίνακα µεταφοράς Τ, ο οποίος συσχετίζει τα πεδία στη µια µεριά της πλάκας µε αυτά στην άλλη: ' E E ' T H H red red Ο πίνακας αυτός υπολογίζεται από τις παρακάτω σχέσεις: T 11 ( 1 )( 1 ) + S S + S S 11 1 S

T T T 1 ( 1 )( 1 ) + S + S S S 11 1 S ( 1 )( 1 ) S S S S 11 1 S ( 1 )( 1 ) S + S + S S 11 1 S Ο δείκτης n υπολογίζεται από την σχέση: cos ( nkd) 1 S S + S S 11 που δείχνει ότι ανεξάρτητα από το λόγο του µήκους κύ- µατος προς το µήκος του µοναδιαίου κελιού, ένας ενεργός δείκτης µπορεί να ανακτηθεί µε αυτή τη µέθοδο. Για να υπολογίσουµε τις παραµέτρους ε και µ του µεταϋλικού πρέπει να υπολογίσουµε την κυµατική αντίσταση z του ανοµοιογενούς µέσου, που δίνεται από τη σχέση: z red ( ) ( ) T T T T + 4T T 11 11 1 T Οι δύο ρίζες της εξίσωσης αντιστοιχούν στις δύο κατευθύνσεις διάδοσης του κύµατος. Για µια αµοιβαία δοµή ισχύει Τ 11 Τ και συνεπώς η αντίσταση z έχει τη µορφή: z T 1 red T Παρόλο που µια ανοµοιογενής περιοδική δοµή δεν έχει µια καλά καθορισµένη αντίσταση z, καθώς ο λόγος E/H red θα µεταβάλλεται περιοδικά µέσα στη δοµή, η µεταβολή αυτή γίνεται αµελητέα για πολύ µικρό µέγεθος µοναδιαίου κελιού συγκριτικά µε το µήκος κύµατος. Τέλος η ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και η µαγνητική διαπερατότητα µ του µεταϋλικού υπολογίζονται από τις σχέσεις: ε n / z και µ n z. 4. Προσοµοιώσεις Για τον υπολογισµό των τιµών του τοπικού πεδίου ενός µοναδιαίου κελιού χρησιµοποιήσαµε το COMSOL Multiphysics (version 3.4), το οποίο είναι ένα εµπορικό λογισµικό προσοµοίωσης που βασίζεται στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Προσοµοιώσαµε δύο διαφορετικές δοµές µοναδιαίου κελιού, ένα µε δύο αντιπαράλληλους σπειροειδείς συντονιστές (σχήµα 7 (α)) και ένα µε SRR σε συνδυασµό µε λεπτό αγωγό (σχήµα 7 (β)). Στη συνέχεια εφαρµόσαµε τις µεθόδους οµογενοποίησης Volume/Surface averaging και S- parameter retrieval που περιγράψαµε παραπάνω για την εύρεση των ενεργών παραµέτρων ε και µ του µεταϋλικού. (α) (β) Σχήµα 7 (α) Μοναδιαίο κελί µε δύο σπειροειδείς συντονιστές (β) Μοναδιαίο κελί µε SRR και λεπτό αγωγό A. Σπειροειδείς συντονιστές Στο σχήµα 7 (α) εµφανίζεται η δοµή του µοναδιαίου κελιού και η µορφή του προσπίπτοντος επίπεδου, ενώ στο σχήµα 8 οι διαστάσεις του σπειροειδούς συντονιστή. Οι σπειροειδείς συντονιστές είναι τοποθετηµένοι στις δύο πλευρές µιας πλάκας διηλεκτρικού, πάχους mm και διηλεκτρικής σταθεράς.. Οι διαστάσεις του µοναδιαίου κελιού είναι α H 3 mm, α E mm και α k 14 mm. Το σύνθετο υλικό υπό µελέτη είναι µια επίπεδη πλάκα µεταϋλικού άπειρη στις διαστάσεις που είναι παράλληλες στα διανύσµατα E και H. Αριστερά και δεξιά της άπειρης πλάκας έχουν τοποθετηθεί διαχωριστικά πάχους mm, µε ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες αυτές του κενού, ώστε να ληφθεί υπόψη η πεπερασµένη διάσταση της δοµής. Σχήµα 8 Γεωµετρία και διαστάσεις σπειροειδούς συντονιστή Στις έδρες που είναι παράλληλες στο E-k και στο H- k επίπεδο εφαρµόσαµε περιοδικές οριακές συνθήκες (Periodic Boundary Conditions), ενώ στις δύο έδρες των διαχωριστικών εφαρµόσαµε οριακές συνθήκες σκέδασης (Scattering Boundary Conditions), που είναι ουσιαστικά απορροφητικές οριακές συνθήκες πρώτης τάξης. Τέλος στους δύο σπειροειδείς συντονιστές εφαρµόσαµε οριακές συνθήκες PEC (Perfect Electric Conductor). Στη συνέχεια προσοµοιώσαµε το παραπάνω µοναδιαίο κελί στην περιοχή συχνοτήτων.9 GHz έως 1.5 GHz µε βήµατα του.5 GHz. Το πλέγµα που χρησιµοποιήθηκε αποτελούνταν από 1684 στοιχεία, ενώ οι βαθµοί ελευθερίας ήταν 393. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο οµογενοποίησης Volume/Surface averaging προέκυψαν οι τιµές της ενεργού διηλεκτρικής σταθεράς ε και της ενεργού µαγνητικής διαπερατότητας µ που παρουσιάζονται στο σχήµα 1. Με συνεχή και διακεκοµµένη κόκκινη γραµµή απεικονίζονται οι παράµετροι ε και ε αντίστοιχα, ενώ µε συνεχή και διακεκοµµένη µπλε γραµµή απεικονίζονται

οι παράµετροι µ και µ αντίστοιχα. Στο σχήµα 9 παρουσιάζεται η µορφή των ενεργών παραµέτρων ε και µ του [9], στο οποίο αναλύεται η µέθοδος οµογενοποίησης που χρησιµοποιήσαµε. Σύµφωνα µε το [11] η τιµή των µ και µ δε φαίνεται να υπερβαίνει σηµαντικά την τιµή 4 του σχήµατος 9. Και στα τρία σχήµατα παρατηρούµε µια στενή ζώνη συχνοτήτων στην οποία το πραγµατικό µέρος της µαγνητικής διαπερατότητας γίνεται αρνητικό. Σχήµα 11 Συντελεστές S 11 και S πλάκας µεταϋλικού σπειροειδών συντονιστών συναρτήσει της συχνότητας, όπως παρουσιάζονται στο [9] 1.9 S11 S.8.7.6.5.4 Σχήµα 9 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού σπειροειδών συντονιστών συναρτήσει της συχνότητας, όπως παρουσιάζονται στο [9] 5 4 3 1-1 real epsilon imag epsilon real mu imag mu.3..1.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 x 1 9 Σχήµα 1 Συντελεστές S 11 και S πλάκας µεταϋλικού σπειροειδών συντονιστών συναρτήσει της συχνότητας (προσοµοίωση COMSOL) 6 5 4 3 epsilon' epsilon'' mu' mu'' - 1.1 1.1 1.14 1.16 1.18 1. 1. 1.4 1.6 1.8 1.3 Σχήµα 1 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού σπειροειδών συντονιστών συναρτήσει της συχνότητας (Μέθοδος Volume/Surface averaging) Από τα παραπάνω σχήµατα προκύπτει καλή συµφωνία µεταξύ των αποτελεσµάτων που παρουσιάζονται στο [9] και στη µεθοδολογία που ακολουθήσαµε. Η διαφορά στη συχνότητα συντονισµού που παρατηρείται οφείλεται πιθανότερα στη διαφορά των διαστάσεων του σπειροειδούς συντονιστή, καθώς οι διαστάσεις που παρουσιάζονται στο σχήµα 8 είναι ελλιπείς. Εφαρµόζοντας στην ίδια δοµή τη µέθοδο οµογενοποίησης µε χρήση των S-παραµέτρων που αναλύσαµε προηγουµένως και εφαρµόζοντας οριακές συνθήκες port εκεί που είχαµε εφαρµόσει Scattering Boundary Conditions στο πρόγραµµα προσοµοίωσης COMSOL προκύπτουν τα παρακάτω δύο σχήµατα (1 και 13), τα οποία παρουσιάζουν το πλάτος των παραµέτρων S 11 και S και τις ενεργές παραµέτρους ε και µ του µεταϋλικού αντίστοιχα. x 1 9 1-1.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 Σχήµα 13 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού σπειροειδών συντονιστών συναρτήσει της συχνότητας (S-parameter retrieval method) Το µέτρο των συντελεστών S 11 και S που πήραµε από την προσοµοίωση (σχήµα 1) φαίνεται να συµφωνεί καλά µε αυτό του [9] (σχήµα 11), ενώ από τα σχήµατα 9 και 13 προκύπτει µια πολύ καλή συµφωνία µεταξύ των αποτελεσµάτων των δύο µεθόδων οµογενοποίησης µε αυτά που παρουσιάζονται στο [9]. B. SRR και λεπτός αγωγός Στο σχήµα 7 (β) εµφανίζεται η µορφή του µοναδιαίου κελιού άπειρης επίπεδης πλάκας µεταϋλικού που αποτελείται από ένα SRR και ένα λεπτό αγωγό, καθώς και η µορφή του προσπίπτοντος κύµατος. Τα δύο αυτά στοιχεία είναι τοποθετηµένα στις δύο πλευρές µιας διηλεκτρικής πλάκας πάχους 1.6 mm και διηλεκτρικής σταθεράς.6. Οι διαστάσεις του µοναδιαίου κελιού είναι α H 6.5 mm, x 1 9

α E 8.8 mm και α k 8.8 mm. Το σύνθετο υλικό υπό µελέτη είναι µια επίπεδη πλάκα µεταϋλικού άπειρη στις διαστάσεις που είναι παράλληλες στα διανύσµατα E και H του σχήµατος 7 (β). Αριστερά και δεξιά της άπειρης πλάκας έχουν τοποθετηθεί διαχωριστικά πάχους 1 mm, µε ηλεκτροµαγνητικές ιδιότητες αυτές του κενού, ώστε να ληφθεί υπόψη η πεπερασµένη διάσταση της δοµής. Στη συνέχεια προσοµοιώσαµε το παραπάνω µοναδιαίο κελί στην περιοχή 3 έως 5 GHz µε βήµα.1 GHz. Το πλέγµα που χρησιµοποιήθηκε αποτελούνταν από 1864 στοιχεία, ενώ οι βαθµοί ελευθερίας ήταν 786. Στα σχήµατα 14 και 15 εµφανίζεται ο συντελεστής µετάδοσης συναρτήσει της συχνότητας µιας άπειρης επίπεδης πλάκας µεταϋλικού πάχους ενός µοναδιαίου κελιού κατά τη διεύθυνση διάδοσης, όπως προεκυψε στο [1] και από την προσοµοίωση µε το πρόγραµµα COMSOL Multiphysics αντίστοιχα. αντίστοιχες παράµετροι όπως υπολογίστηκαν µε το πρόγραµµα COMSOL Multiphysics και τις µεθόδους οµογενοποίησης S-parameter retrieval και Volume/Surface averaging αντίστοιχα. Σχήµα 16 (c) ιηλεκτρική σταθερά ε και (d) Μαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού SRR και λεπτού αγωγού πάχους ενός µοναδιαίου κελιού, όπως παρουσιάζονται στο [1] Στα σχήµατα 16 (c) και (d) φαίνονται οι αρνητικές τιµές του πραγµατικού µέρους της διηλεκτρικής σταθεράς ε και της µαγνητικής διαπερατότητας µ. Η περιοδικότητα επηρεάζει το µαγνητικό συντονισµό στο µ. Το πραγµατικό µέρος του ε είναι αρνητικό σε όλες τις συχνότητες, κάτι που επιβεβαιώνει ότι βρισκόµαστε κάτω από τη συχνότητα πλάσµατος του µεταϋλικού. Σχήµα 14 Συντελεστής µετάδοσης (σε db) πλάκας µεταϋλικού SRR και λεπτού αγωγού πάχους ενός µοναδιαίου κελιού κατά τη διεύθυνση διάδοσης, όπως παρουσιάζεται στο [1] 15 1 5 S-parameter retrieval method epsilon' epsilon'' mu' mu'' -5-1 S (db) -5-1 S-parameter db (S) -15 - -5-3 -35-15 3 3. 3.4 3.6 3.8 4 4. 4.4 4.6 4.8 5 Σχήµα 17 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού µε SRR και λεπτό αγωγό συναρτήσει της συχνότητας (S-parameter retrieval method) x 1 9-4 -45 3 3. 3.4 3.6 3.8 4 frequency 4. 4.4 4.6 4.8 5 x 1 9 Σχήµα 15 Συντελεστής µετάδοσης (σε db) πλάκας µεταϋλικού SRR και λεπτού αγωγού πάχους ενός µοναδιαίου κελιού κατά τη διεύθυνση διάδοσης (προσοµοίωση COMSOL) Από τα σχήµατα 14 και 15 µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι στην περίπτωση προσοµοίωσης µε το COMSOL ο συντελεστής µετάδοσης έχει την ίδια µορφή µε αυτή του [1], ωστόσο είναι µετατοπισµένος κατά περίπου - db, ενώ ο συντονισµός παρατηρείται σε ελαφρώς χαµηλότερη συχνότητα (3.46 GHz αντί 3.58 GHz). Στο σχήµα 16 παρουσιάζεται η ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και η µαγνητική διαπερατότητα µ του µεταϋλικού συναρτήσει της συχνότητας, όπως υπολογίστηκαν στο [1]. Τέλος στο σχήµα 17 και 18 παρουσιάζονται οι 3.5 1.5 1.5 -.5-1 Volume/Surface averaging method epsilon' epsilon'' mu' mu'' -1.5 3 3. 3.4 3.6 3.8 4 frequency 4. 4.4 4.6 4.8 5 x 1 9 Σχήµα 18 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά ε και µαγνητική διαπερατότητα µ πλάκας µεταϋλικού SRR και λεπτού αγωγού πάχους ενός µοναδιαίου κελιού συναρτήσει της συχνότητας (Volume/Surface averaging method)

Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη µέθοδο S-parameter retrieval µε αυτά του [1], µπορούµε να παρατηρήσουµε µια πολύ καλή συµφωνία µεταξύ των δύο αποτελεσµάτων. Η διαφορά έγκειται στο ότι οι παράµετροι είναι ελαφρώς µετατοπισµένες σε χαµηλότερη συχνότητα (της τάξης των.1-. GHz), κάτι που ήδη παρατηρήσαµε και στο συντελεστή µετάδοσης στα σχήµατα 14 και 15, ενώ κάποιες µικρές διαφορές παρατηρούνται και στο πλάτος. Συγκρίνοντας τώρα τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη µέθοδο Volume/Surface averaging µε αυτά του [1], παρατηρούµε ότι αυτά δε συµφωνούν. Όσον αφορά τη διηλεκτρική σταθερά ε φαίνεται από το σχήµα 18 ότι παραµένει σχέδον αµετάβλητη συναρτήσει της συχνότητας, ενώ η µαγνητική διαπερατότητα µ µεταβάλλεται πολύ διαφορετικά σε σχέση µε αυτή του σχήµατος 16 (d). Η διαφορά αυτή οφείλεται κυρίως στη χρήση διαφορετικών µεθόδων οµογενοποίησης, καθώς επίσης και στην απαίτηση της µεθόδου οµογενοποίησης Volume/Surface averaging το επίπεδο P (σχήµα 7 (β)) να µην τέµνει αγώγιµο στοιχείο. 5. Συµπεράσµατα Στην εργασία αυτή προσοµοιώσαµε µε χρήση του εµπορικού λογισµικού COMSOL Multiphysics µια άπειρη επίπεδη πλάκα δύο διαφορετικών µεταϋλικών, ενός του οποίου το µοναδιαίο κελί αποτελείται από ένα ζεύγος σπειροειδών συντονιστών και ενός που αποτελείται από ένα SRR (split-ring resonator) και ένα λεπτό αγωγό. Στη συνέχεια αξιοποιήσαµε τα αποτελέσµατα της προσοµοίωσης για να εξάγουµε µε τη βοήθεια του MATLAB τις ενεργές παραµέτρους ε και µ του µεταϋλικού κάνοντας χρήση δύο διαφορετικών µεθόδων οµογενοποίησης: (1) της Volume/Surface averaging που βασίζεται στη λήψη της µέσης τιµής των τοπικών πεδίων και () της S-parameter retrieval που βασίζεται στη χρήση των συντελεστών ανάκλασης και διάθλασης για την εξαγωγή των ενεργών παραµέτρων. Στην περίπτωση των σπειροειδών συντονιστών παρατηρήθηκε πολύ καλή συµφωνία των δύο µεθόδων οµογενοποίησης. Τέλος στην περίπτωση του SRR µε το λεπτό αγωγό τα αποτελέσµατα που προέκυψαν µε τη χρήση της µεθόδου οµογενοποίησης S-parameter retrieval συµφωνούν σε πολύ µεγάλο βαθµό µε αυτά της πηγής [1] που χρησιµοποιήθηκε, σε αντίθεση µε τα αποτελέσµατα της µεθόδου Volume/Surface averaging. Βιβλιογραφία [1] N. Engheta, R. W. Ziolkowski, METAMATERIALS: Physics and Engineering Explorations, IEEE Press, 6. [] V. G. Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and µ, Sov. Phys. Uspekhi, vol. 1, no. 4, pp. 59 514, 1968. [3] R. W. Ziolkowski, Pulsed and CW Gaussian beam interactions with double negative metamaterial slabs, Opt. Express, vol. 11, pp. 66 681, Apr. 3. [4] J. B. Pendry, Negative refraction makes a perfect lens, Phys. Rev. Lett., vol. 85, no. 18, pp. 3966 3969, Oct.. [5] J. B. Pendry, J. A. Holden, J. D. Robbins, and J. W. Stewart, Low frequency plasmons in thin-wire structures, J. Phys. Condensed Matter, vol. 1, pp. 4785 489, 1998. [6] J. B. Pendry, A. Holden, J. D. Robbins, and J.W. Stewart, Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena, IEEE Trans. MTT, vol. 47, no. 11, Nov. 1999. [7] D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser and S. Schultz, A composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity, Phys. Rev. Lett., vol. 84, no. 18, pp. 4184 4187, May. [8] C. R. Simovski, P. A. Belov, and H. Sailing, Backward wave region and negative material parameters of a structure formed by lattices of wires and split-ring resonators, IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 51, no. 1, Oct. 3. [9] O. Acher, J.-M. Lerat, N. Mallejac, Evaluation and illustration of the properties of Metamaterials using field summation, Optics Express Vol. 15, No.3 (7) [1] R. S. Penciu, M. Kafesaki, T. F. Gundogdu, E.N. Economou, C. M. Soukoulis, Theoretical study of left-handed behavior of composite metamaterials, Photonics and Nanostructures Fundamentals and Applications 4 (6) [11] J.-M. Lerat, N. Mallejac, and O.Acher, Determination of the effective parameters of a metamaterial by field summation method, Journal of Applied Physics 1, 8498 (6) [1] D. R. Smith, D. C. Vier, Th. Koschny, and C. M. Soukoulis, Electromagnetic parameter retrieval from inhomogeneous metamaterials, Physical Review E 71, 36617 (5) [13] D. R. Smith, J. B. Pendry, Homogenization of metamaterials by field averaging (invited paper), J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 3, No.3 (6) [14] S. A. Cummer, D. R. Smith, M. Rahm, J. Pendry, D. Schurig, and A. Starr, Scattering theory derivation of a 3D acoustic cloaking shell, Physical Review Letters, v. 1, 431 (8) [15] D. Schurig, J. J. Mock, B. J. Justice, S. A. Cummer, J. B. Pendry, A. F. Starr, D. R. Smith, Demonstration of a Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies, Science, 314, 977-8 (6)