Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης.

Transcript

1 Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση τριών γραμμών μικροταινίας κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης. 0 V, V V, V V 3, V3 Παράδειγμα (α) (β) (α) Σύνδεση τριών όμοιων γραμμών μικροταινίας. (β) Κυκλωματικό ισοδύναμο. η λύση Στο σχήμα (β) δίνεται μία κυκλωματική αναπαράσταση της σύνδεσης των τριών γραμμών που βοηθά στην καλύτερη κατανόηση της γεωμετρίας του σχήματος (α) και σημειώνονται οι σχετικές προσπίπτουσες και σκεδαζόμενες τάσεις. Είναι προφανές ότι οι τρεις γραμμές μεταφοράς συνδέονται παράλληλα. Άρα στο σημείο της σύνδεσης η συνολική τάση θα είναι κοινή και στις τρεις γραμμές (θύρες) του κυκλώματος. V V V 3 Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 9

2 Συνέχεια Είναι επίσης προφανές ότι το άθροισμα των συνολικών ρευμάτων θα είναι ίσο με μηδέν, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα του Kirchoff. I I I 3 0 Εισάγοντας τις προσπίπτουσες και σκεδαζόμενες τάσεις, οι παραπάνω δύο συνθήκες οδηγούν σε τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις: V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V Προσθέτοντας τις τρεις εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει: 3V V V V V V V V Προφανώς λόγω συμμετρίας οι σκεδαζόμενες τάσεις στις θύρες και 3 θα δίνονται από τελείως ανάλογες εκφράσεις: V V V V 3, V 3 V V V Με βάση τα παραπάνω ο πίνακας σκέδασης της σύνδεσης των τριών γραμμών είναι ίσος με: /3 /3 /3 [ ] /3 /3 /3 Προφανώς ο πίνακας είναι μοναδιαίος. /3 /3 /3 Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 0

3 Συνέχεια η λύση Το στοιχείο είναι ίσο με το συντελεστή ανάκλασης στη θύρα, όταν οι και 3 είναι προσαρμοσμένες, δηλαδή έχουν συνδεδεμένα φορτία ίσα με 0. Κοιτώντας από τη θύρα η γραμμή προσαγωγής αντιλαμβάνεται των παράλληλο συνδιασμό δύο αντιστάσεων 0 και κατά συνέπεια: V // / // / 3 V V V3 Λόγω συμμετρίας 33. Επίσης λόγω συμμετρίας τα εκτός διαγωνίου στοιχεία του πίνακα σκέδασης είναι ίσα μεταξύ τους, δηλαδή Αυτό σημαίνει ότι για τη συμπλήρωση του πίνακα σκέδασης αρκεί να υπολογισθεί ένα και μόνο από αυτά. Θα επιλέξουμε το, το οποίο από τον ορισμό είναι ίσο με V / V κάτω από τη συνθήκη V V3 0. Από τη ισότητα των συνολικών τάσεων στις θύρες και προκύπτει και λαμβάνοντας υπόψη την προσαρμογή στη θύρα έπεται: V V V V ( ) V V 3 3 Οι παραπάνω υπολογισμοί επιβεβαιώνουν ότι πράγματι ο πίνακας σκέδασης είναι αυτός που προσδιορίσθηκε στην η λύση. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων

4 Παράδειγμα Στο σχήμα φαίνεται η σύνδεση δύο γραμμών μεταφοράς διαφορετικής χαρακτηριστικής αντίστασης και ενός συγκεντρωμένου στοιχείου με σύνθετη αντίσταση. Προσδιορίστε τον πίνακα σκέδασης σαν συνάρτηση των, και. Προσδιορίστε ξανά τον πίνακα σκέδασης κάνοντας χρήση της κανονικοποίησης των εξ. (8.4). Τι παρατηρείτε; Σύνδεση δύο γραμμών μεταφοράς ανόμοιας χαρακτηριστικής αντίστασης. Το είναι ίσο με το συντελεστή ανάκλασης κοιτώντας στη θύρα και με τη θύρα προσαρμοσμένη (δηλαδή έχοντας συνδέσει σε αυτή φορτίο ίσο με ). V // ( ) V // ( ) Το V 0 είναι ίσο με το συντελεστή ανάκλασης που φαίνεται στη θύρα με τη θύρα προσαρμοσμένη: // ( ) // 0 ( ) V V V Η συνολική τάση V πάνω στο συγκεντρωμένο στοιχείο της σύνθετης αντίστασης είναι η ίδια, V V V V V V V Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων

5 Συνέχεια Το στοιχείο είναι ίσο με / V V υπό τη συνθήκη V 0. ( ) V V V V V ( ) Ομοίως για το στοιχείο : V V V ( ) V V ( ) Παρατηρεί κανείς ότι ο πίνακας σκέδασης δεν είναι συμμετρικός ( ) παρά το γεγονός ότι έχουμε να κάνουμε με ένα αμοιβαίο δίκτυο. Αυτό είναι συνέπεια των διαφορετικών χαρακτηριστικών αντιστάσεων στις δύο θύρες. a n V n 0, n, b n V n 0, n Ο γενικευμένος πίνακας σκέδασης b... N a b... N a b N N N... a NN N. ή [] b [ ][] a Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 3

6 Συνέχεια Η συμμετρία μπορεί να αποκατασταθεί κάνοντας χρήση της κανονικοποίησης που προηγήθηκε, και οδηγεί στο προσδιορισμό του πίνακα [ ]. b V a V a 0 b V a V a 0 b V / a V 0 / ( ) a b V / a V 0 / ( ) a Είναι φανερό ότι ο πίνακας σκέδασης [ ] είναι τώρα συμμετρικός. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 4

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ή ΠΙΝΑΚΑΣ ABCD Αναφέρεται στην περίπτωση δίθυρων δικτύων. ιαφορετική σύμβαση σε σχέση με τον []. V A BV I C D I ίθυρο δίκτυο και συμβάσεις πίνακα ABCD. Συνδέει συνολικές τάσεις και ρεύματα. Στα αριστερά τα μεγέθη εισόδου και δεξιά τα μεγέθη εξόδου! Τα στοιχεία του ABCD έχουν διαφορετικές διαστάσεις. Το ρεύμα στη θύρα «ρέει» μακριά από το δίθυρο. Γιατί είναι τόσο χρήσιμοι? V A BA BV3 I C D C D I 3 ιαδοχική σύνδεση δύο δίθυρων. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 5

8 Προφανώς οι ABCD παράμετροι συνδέονται άμεσα με τους [], [Y] & []. V A BV I C D I V I I V I I Εφαρμόζοντας κατά περίπτωση I =0 ή V =0. V A V I 0 V B I V 0 I C V I 0 Εάν το δίκτυο είναι αμοιβαίο αποδεικνύεται εύκολα με πράξεις ότι: AD BC I D I V 0 Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 6

9 Πίνακες ABCD τυπικών δίθυρων. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 7

10 Προϋποθέτουν κοινή ΧΑ στις θύρες &! Σχέσεις μετασχηματισμού μεταξύ [], [], [Y] και ABCD σε δίθυρα. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 8

11 Παράδειγμα Δείξτε ότι ο πίνακας ABCD μιας γραμμής μεταφοράς μήκους l και χαρακτηριστικής αντίστασης 0 δίνεται από την έκφραση: A B cos( l) j0 sin( l) C D jy 0 sin( l) cos( l) V I A C B V D I Η συνολική τάση και ρεύμα κατά μήκος μίας γραμμής μεταφοράς περιγράφεται από τις γνωστές σχέσεις: jz jz Vz () V e V e jz jz jz jz V V Iz () I e I e e e 0 0 Το στοιχείο A του πίνακα μετάδοσης ορίζεται σαν V A V I 0 jl jl όπου V V(0) V V και V V() l V e V e. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 9

12 Συνέχεια jl jl Η συνθήκη I 0 επιβάλει ότι V e V e 0. Με αντικατάσταση στη σχέση ορισμού του A προκύπτει: jl jl V V V V e e A jl jl jl jl jl V e V e V e V e e cos l Το στοιχείο C υπολογίζεται από κάτω από την ίδια συνθήκη I 0. jl jl 0( ) 0( ) jl jl jl jl 0 jl 0 I 0 I V V V V e e C jsin l V V e V e V e V e e Τα υπόλοιπα δύο στοιχεία υπολογίζονται με τη συνθήκη βραχυκυκλώματος στη θύρα, δηλαδή θέτοντας j l jl V V e V e 0. jl jl jl jl 0 jl jl 0 jl V V V V V V e e B I YV e YV e V e V e e 0 jsin l jl jl 0 0 jl jl jl jl jl V I YV YV V V e e D I YV e YV e V e V e e cos l Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 30

13 ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΙΘΥΡΩΝ ΙΚΤΥΩΝ Φυσικό πρόβλημα: πχ μετάβαση από ένα τύπο ΓΜ σε έναν άλλο. (α) Μετάβαση από ομοαξονική γραμμή σε γραμμή μικροταινίας. Μετρήσεις ή προσομοιώσεις: Προσδιορισμός κάποιου κατάλληλου πίνακα (πχ []). «Μαύρο Κουτί». (β) Αναπαράσταση με ένα μαύρο κουτί. Συσχετίζεται με φυσικά & γεωμετρικά στοιχεία. Αντικατάσταση του μαύρου κουτιού με λίγα ιδανικά στοιχεία. (γ) Ένα δυνατό ισοδύναμο κύκλωμα. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 3

14 ,, Πολύ συχνά χρησιμοποιούνται για τα αμοιβαία δίθυρα δίκτυα ισοδύναμα Τ ή Π. Ένα Τ ή Π ισοδύναμο έχουν γενικά έξι (6) βαθμούς ελευθερίας (πραγματικό & φανταστικό μέρος 3 στοιχείων). Τ-ισοδύναμο ενός αμοιβαίου δίθυρου & σύνδεση με τον πίνακα []. Εάν δεν υπάρχουν απώλειες τότε οι βαθμοί ελευθερίας γίνονται τρεις (3). Μη-αμοιβαία δίκτυα δεν μπορούν να παρασταθούν με παθητικά κυκλώματα αμοιβαίων στοιχείων. Π-ισοδύναμο ενός αμοιβαίου δίθυρου & σύνδεση με τον πίνακα [Y]. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 3

15 ΑΣΥΝΕΧΕΙΕΣ ΚΑΙ ΙΣΟ ΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ασυνέχειες σε μικροκυματικά κυκλώματα: Εμφανίζονται πολύ συχνά! Αναπόφευκτες αλλαγές στον τύπο κάποιας ΓΜ. Στοιχεία που επιτελούν κάποια λειτουργία (stubs, διαφράγματα, posts, κλπ) Απαιτείται κάποιο κατάλληλο ισοδύναμο κύκλωμα. Επαγωγικό διάφραγμα σε ΚΟ. Το απλούστερο ισοδύναμο είναι ένα στοιχείο παράλληλα ή σε σειρά με τη ΓΜ! Εξαρτάται γενικά από τη γεωμετρία & τη συχνότητα Χωρητικό διάφραγμα σε ΚΟ. Ίριδα συντονισμού σε ΚΟ. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 33

16 Για τον προσδιορισμό του στοιχείου μπορεί να απαιτείται κάποια σύνθετη ηλεκτρομαγνητική ανάλυση. Μικρή κυκλική ίριδα. Ασυνέχεια στο ύψος Κ/Ο. Ασυνέχεια στο πλάτος Κ/Ο. Στυλίσκος με χωρητική συμπεριφορά. Τα παραπάνω ισοδύναμα δεν είναι σε καμία περίπτωση μοναδικά! Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 34

17 Προφανώς αντίστοιχα ισχύουν σε τις επίπεδες ΓΜ (όπως η γραμμή μικροταινίας). Γραμμή ανοιχτή στο άκρο της (ανοιχτό κύκλωμα). Εγκοπή γραμμής. Στροφή. Ασυνέχειες σε γραμμές μικροταινίας. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 35

18 Ασυνέχειες σε γραμμές μικροταινίας. Σύζευξη δύο γραμμών μέσω διακένου. Αλλαγή στο πλάτος της γραμμής μικροταινίας. ιακλάδωση γραμμής σε δύο άλλες ανόμοιες γραμμές. Τα παραπάνω ισοδύναμα δεν είναι σε καμία περίπτωση μοναδικά! Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 36

19 Μετασχηματισμός μεταξύ πινάκων [ABCD] και [] στην περίπτωση που οι θύρες και έχουν διαφορετικό επίπεδο χαρακτηριστικής αντίστασης,,, αντίστοιχα. A' Τρόπος Με εφαρμογή του ορισμού του πινάκα [ABCD]: v v v v V A BV A B I v v v v C D I C D v v v v Av ( v) B () v v v ( v Cv v) D () Επιλύουμε την Εξ. () ως προς την ποσότητα v, v C D C D v v v / /, Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 37

20 και ακολούθως αντικαθιστούμε στην Εξ. () και ομαδοποιούμε τους αντίστοιχους όρους: / / / / / / / / A B C D v A B C D v A B C D A B C D v Από την παραπάνω εξίσωση εκτελώντας τις πράξεις εντός της τελευταίας αγκύλης και με χρήση του ορισμού του πίνακα σκέδασης προκύπτουν τα στοιχεία της ης γραμμής του πίνακα σκέδασης AB / C D( / ) AB / C D( / ) ( / )( AD BC) AB / C D( / ) Οι παραπάνω σχέσεις ορθά εκφυλίζονται στις γνωστές σχέσεις μετασχηματισμού για την περίπτωση της κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης 0. Τα υπόλοιπα δύο στοιχεία του πίνακα σκέδασης προκύπτουν εύκολα με αντίστοιχη πορεία. Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 38

21 Β' Τρόπος Εναλλακτικά, η εξίσωση ορισμού του πίνακα [ABCD] μπορεί να τροποποιηθεί κατάλληλα έτσι ώστε να εμφανίζεται κοινό επίπεδο χαρακτηριστικής αντίστασης της δύο θύρες: v v v v v v v v A B A B v v C D v v v v C D v v v v A B v v v v A B v v v v v v C C D D Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με την παραδοχή κοινής χαρακτηριστικής αντίστασης στις δύο θύρες και ίσης με, υπό την προϋπόθεση ότι ο πίνακας [ABCD] έχει αντικατασταθεί από τον [A'B'C'D']. Συνεπώς, τα στοιχεία του πίνακα σκέδασης προκύπτουν από τις συνήθεις σχέσεις μετασχηματισμού: AB/ C D AB / C D( / ) AB/ C D AB / C D( / ) ( AD BC ) ( / )( AD BC) AB/ C D AB / C D( / ) Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 39

22 Γ' Τρόπος Κατ' αναλογία με τον Β' Τρόπο, τώρα όμως με χρήση του ορισμού του γενικευμένου πίνακα σκέδασης. ( a b) ( a b) a b a b A B A B a ( b a b a b) C D ( a b) C D Αναπτύσσουμε την εξίσωση πινάκων πολλαπλασιάζοντας τη η εξίσωση επί B a b Aa ( b) ( a b) D a b C( a b) ( a b) και επαναδιατάσσουμε A B a b a b A Ba b a b a b C D a b C D Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 40

23 Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει ένα δίθυρο στο οποίο έχει επιλεγεί κοινή χαρακτηριστική αντίσταση στις δύο θύρες και ίση με τη μονάδα. Εφαρμόζοντας τις συνήθεις σχέσεις μετασχηματισμού για 0 προκύπτει εύκολα: / A B C / D A B C D ABCD / A B C / D AB / C D( / ) AB / C D( / ) ( AD BC ) ( ADBC) ABCD / A B C / D / ( AD BC) B / C D A ( / ) Προσοχή όμως, τα παραπάνω στοιχεία, αναφέρονται στο γενικευμένο πίνακα σκέδασης, συνεπώς θα πρέπει να μετασχηματιστούν στα συνήθη, v / b v AB / C D( / ) a v / / v AB C D( / ) v / b v ( / )( AD BC) a v / v AB C D / ( / ) Περιγραφή Μικροκυματικών Κυκλωμάτων 4