Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc tridiag niec m trec, dhlad m trec thc morf c A = a b 0... 0 0 c a b 3... 0 0 0 c 3 a 3... 0 0... 0 0 0... a n b n 0 0 0... c n a n, () ìpou a, a i, b i, c i C, i =, 3,..., n, kai ìpou n eðnai h tˆxh thc m trac A, emfanðzontai se pollˆ probl mata thc fusik c (p.q., sthn kbantomhqanik kai kbantik jewrða pedðwn, stic talant seic twn astèrwn netronðwn, sta kômata barôthtac, stic montèrnec kosmologikèc jewrðec). To fusikì endiafèron estiˆzetai kurðwc stic idiotimèc thc m trac A, oi opoðec sumpðptoun me tic rðzec λ,..., λ n tou qarakthristikoô thc poluwnômou p(λ). P.q., gia n = 8, to qarakthristikì polu numo grˆfetai p(λ) = a + a λ + a 3 λ + a 4 λ 3 + a 5 λ 4 + a 6 λ 5 + a 7 λ 6 + a 8 λ 7 + a 9 λ 8. ()
Sthn bibliografða, eðnai gnwstìc ènac axiìpistoc kai taqôtatoc algìrijmoc gia ton upologismì twn suntelest n tou qarakthristikoô poluwnômou mðac tetragwnik c m trac (S. Rombouts and K. Heyde, J. of Comp. Phys., 40, 453 (998)), o opoðoc mporeð na efarmosjeð kai stic tridiag niec m trec (afoô autèc eðnai eidikèc peript seic tetragwnik n mhtr n). DÐdetai to kôrio prìgramma drv ectm.for (istoselðda tou maj matoc: Diˆfora 07, aposumpðesh me password: arbtrary), to opoðo perièqei èna upoprìgramma pou kataskeuˆzei tuqaðec migadikèc tridiag niec m trec, tˆxhc n = 8, kai èna upoprìgramma pou upologðzei touc suntelestèc a,..., a 9 tou qarakthristikoô poluwnômou p(λ). 'Opwc faðnetai kai apì thn Ex. (), oi suntelestèc antistoiqoôn sto poluwnumikì sq ma (polynomial format) A A, dhlad eðnai aniìntec suntelestèc se anioôsec dunˆmeic tou λ, me thn deiktodìthsh na arqðzei apì to kai ìqi apì to 0.. Erwt seic. Na upologðsete tic rðzec λ,..., λ 8 tou qarakthristikoô poluwnômou p(λ).. Na entopðsete th rðza me to megalôtero, katˆ thn apìluth tim tou, pragmatikì mèroc. 3. Na epexergasjeðte th rðza aut me mða {arijmhtik diadikasða stðlbwshc}, ste telik c na thn upologðsete me th megalôterh dunat akrðbeia..3 UpodeÐxeic. MporeÐte na upologðsete tic migadikèc rðzec me qr sh tou upoprogrˆmmatoc SUBROUTINE CPZERO kai twn sqetik n parelkomènwn tou apì th biblioj kh SLATEC (p.q., Enìthta 0). Prosèxte pˆntwc ìti to upoprìgramma autì leitourgeð me apl akrðbeia (KIND = 4), ˆra prèpei na koinopoi sete se autì touc poluwnumikoôc suntelestèc apl c akrðbeiac (pðnakac CCOEFS) kai ìqi touc poluwnumikoôc suntelestèc dipl c akrðbeiac (pðnakac CDCOEFS). EpÐshc, prosèxte ìti to upoprìgramma SUBROUTINE CPZERO leitourgeð me to poluwnumikì sq ma A D (aniìntec suntelestèc se katioôsec dunˆmeic, me thn deiktodìthsh na arqðzei apì to ), ˆra prèpei me kˆpoion trìpo na antistrèyete thn seirˆ twn poluwnumik n suntelest n.. MporeÐte na pragmatopoi sete thn arijmhtik diadikasða stðlbwshc me qr sh tou upoprogrˆmmatoc SUBROUTINE CDNEWTON, (p.q., Enìthta 0-). Prosèxte pˆntwc ìti to upoprìgramma autì leitourgeð me dipl akrðbeia (KIND = 8), ˆra prèpei na koinopoi sete se autì touc poluwnumikoôc suntelestèc dipl c akrðbeiac (pðnakac CDCOEFS). EpÐshc, prosèxte ìti sto parìn prìblhma oi poluwnumikoð suntelestec eðnai migadikoð kai ìqi pragmatikoð, ˆra prèpei
na tropopoi sete katˆllhla to upoprìgramma SUBROUTINE CDNEWTON. AntÐstoiqec tropopoi seic prèpei na upostoôn kai ta upoprogrˆmmata FUNCTION F, FUNCTION DF, FUNCTION POLY, FUNCTION DPOLY (Enìthta 0-)..4 Dedomèna Katˆ thn ektèlesh, to kôrio prìgramma drv ectm.for ja sac zht sei na d sete mða tim sthn akèraia metablht LPS. Prèpei na d sete to {l gon yhfðo} tou ArijmoÔ Mhtr ou sac..5 Apotelèsmata. Na katagrˆyete (me trða dekadikˆ yhfða, tìso gia to pragmatikì, ìso kai gia to fantastikì touc mèroc) ìlec tic entopizìmenec rðzec apo to upoprìgramma SUBROUTINE CPZERO.. Na katagrˆyete thn upodeiknuìmenh rðza metˆ thn arijmhtik diadikasða stðlbwshc (me ennèa dekadikˆ yhfða). 3. Na katagrˆyete thn tim tou qarakthristikoô poluwnômou p(λ) sthn upodeiknuìmenh rðza. H tim aut paristˆnei èna mètro thc akrðbeiac upologismoô thc sugkekrimènhc rðzac. 3
Θέμα 3 Διατύπωση: Με χρήση των εξισώσεων Lagrange, να ευρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης του διπλού εκκρεμούς. Διαπραγμάτευση: Το σύστημα έχει δύο βαθμούς ελευθερίας. Για την περιγραφή του, χρησιμοποιούμε ως γενικευμένες συντεταγμένες τις γωνίες θ και θ που σχηματίζουν οι ράβδοι και, αντίστοιχα, με την κατακόρυφο. Τα διανύσματα l l θέσης των μαζών m και m είναι r = lsinθi + lcos θk, r = l sinθ + l sinθ i + l cosθ + l cos θ k. ( ) ( ) Οπότε η κινητική ενέργεια του συστήματος έχει τη μορφή T = mr + mr = ml θ + m l θ + l θ + ll θθ cos( θ θ). Η δυναμική ενέργεια (ως προς το οριζόντιο επίπεδο της στήριξης) είναι V = m gz m gz = m gl cosθ m g l cosθ + l cos θ. Από την Lagrangian του συστήματος ( ) ( ) ( ) ( ) θ L= m+ m lθ + ml θ + mll θθ cos θ θ + m+ m glcosθ+ mgl cos προκύπτει ότι οι εξισώσεις Lagrange d L L = 0, i =,, dt θi θi δίδουν τις ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις () ( m+ m) l θ+ m ll cos( θ θ) θ= m ll θsin ( θ θ) ( m+ m) glsin θ, () ml l cos( θ θ) θ+ ml θ= mll θ sin ( θ θ) mgl sin θ, οι οποίες παριστάνουν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης των (δύο) σφαιριδίων του διπλού εκκρεμούς. Θέτουμε a = m + m l ( ), ( ) a = a = m ll cos θ θ, a m l = ( ) ( + ) = ( ) b m ll θ sin θ θ m m gl sin θ, b m ll θ sin θ θ m gl sin θ. Οπότε το σύστημα ()-() λαμβάνει την μορφή a θ + a θ = b, a θ + a θ = b, από την οποία προκύπτει ότι
ba ba θ = =Δ, aa aa ba ba θ = =Δ. aa aa Στη συνέχεια, θέτοντας θ = ζ, θ = ζ, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα των τεσσάρων συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης θ = ζ, ζ = Δ, θ = ζ, ζ = Δ. Ερωτήσεις:. Με χρήση του πακέτου της Ενότητας 04-, να επιλύσετε το πρόβλημα του διπλού εκκρεμούς για τις ακόλουθες περιπτώσεις (τα αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν στα μεγέθη: γωνία εκτροπής- [Q], γωνία εκτροπής- [Q], αμφότερες σε μοίρες, επιτάχυνση της βαρύτητας [GA], μήκος νήματος- [L], μάζα- [M], μήκος νήματος- [L], μάζα- [M], χρονικό διάστημα επίλυσης [T_END], στο σύστημα CGS):..,,98,5,000,50,00,0...,,98,30,050,55,5,60..3.,,98,0,800,40,00,40..4. 3,3,98,5,000,50,00,0..5.,,98,00,000,00,00,0..6.,,98,5,000,50,00,0..7.,,98,30,750,75,75,0..8. +,-,98,45,00,45,50,40..9. +,-,98,30,050,60,05,0..0. +3,-3,98,00,000,00,00,40. Να ασχοληθείτε με την περίπτωση που αντιστοιχεί στο "λήγον ψηφίο" του Αριθμού Μητρώου σας. Να αποστείλετε τα δύο αρχεία της αριθμητικής λύσης στο Email του διδάσκοντος.. Να τροποποιήσετε κατάλληλα το πακέτο της Ενότητας 05-6, ώστε αυτό να παρεμβάλλει με την μέθοδο των "cubic splines" τις συναρτήσεις θ και θ. Στην συνέχεια, να υπολογίσετε την πρώτη τιμή του χρόνου t cycle για την οποία ισχύει θ (t cycle ) = θ (0). Να εξετάσετε άν συγχρόνως ισχύει και θ (t cycle ) = θ (0). Να καταγράψετε τον υπολογισθέντα χρόνο t cycle και τα σχόλιά σας.