Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Λεμονίδης Χ. (2007). Ο εκσυγχρονισμός των μαθηματικών περιεχομένων στα νέα βιβλία της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Γέφυρες, 31:24-31. Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας e-mail: lemonidi@auth.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε τις βασικές αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν σε κάποια περιεχόμενα των μαθηματικών των νέων βιβλίων της σειράς «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» για τις τάξεις Α και Γ του Δημοτικού Σχολείου. Πιο συγκεκριμένα θα παρουσιαστούν οι αλλαγές στους αριθμούς και τις πράξεις στο νέο βιβλίο της Γ τάξης. Για τους αριθμούς θα αναφερθούμε στην επέκταση των φυσικών αριθμών μέχρι το 10.000 και στην εισαγωγή των κλασματικών και των δεκαδικών αριθμών. Θα παρουσιαστεί ο νέος τρόπος διδασκαλίας της προπαίδειας και η λογική για τη διδασκαλία του γραπτού πολλαπλασιασμού με τη βοήθεια του ελληνικού πολλαπλασιασμού. Θα αναφερθούμε επίσης στις αλλαγές που έγιναν στις γεωμετρικές έννοιες και τη λύση προβλήματος στα βιβλία της Α και Γ τάξης. Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε προηγούμενη εργασία (Λεμονίδης, Χ., 2006) αναλύθηκαν οι γενικές διδακτικές αρχές των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής που εφαρμόστηκαν στη συγγραφή των βιβλίων της Α και Γ τάξης. Παρουσιάστηκαν επίσης οι βασικές αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν στα περιεχόμενα των αριθμών και των πράξεων στο νέο βιβλίο της Α τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Έτσι λοιπόν στην εργασία αυτή δεν θα αναφερθούμε πάλι στις διδακτικές μας αρχές. Στη συνέχεια θα αναφερθούν σύντομα σε κάποιες γενικές αρχές που ακολουθούμε στη σειρά των βιβλίων με την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Ο τίτλος αυτός αποτελεί και την επωνυμία της άποψης για τη διδασκαλία των μαθηματικών μιας επιστημονικής ομάδας στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας 1. Γενικά ξεκινούμε από μια αρχή που λέει ότι τα μαθηματικά είναι για όλους. Αυτή η αυτονόητη αρχή της υποχρεωτικής εκπαίδευσης σημαίνει ότι σε όλους τους μαθητές, είτε έχουν ή όχι ιδιαίτερη κλίση, είτε ανήκουν σε εθνικές μειονότητες, είτε έχουν μαθησιακές δυσκολίες, κ.ά, το εκπαιδευτικό σύστημα οφείλει να διδάξει τα μαθηματικά και να μη δημιουργηθεί αρνητική στάση προς το μάθημα αυτό. Αυτό το 1 Η ιστοσελίδα για τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» είναι: http://www.eled.uowm.gr/mathslife.html 1

σύνθετο έργο εκτός από το κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό αναφέρεται περισσότερο στον εκπαιδευτικό και τη διδασκαλία που θα πραγματοποιήσει μέσα στην τάξη. Εμείς στα νέα βιβλία των μαθηματικών της Α και Γ τάξης κατασκευάσαμε το υλικό έτσι ώστε να δίνεται η δυνατότητα σε όλους ανεξαιρέτως τους μαθητές, να προβληματιστούν, να ασχοληθούν με ευχάριστες δραστηριότητες και να μάθουν σύμφωνα με την προσωπική τους υποδομή και ρυθμούς. Μια δεύτερη αρχή της σύγχρονης διδασκαλίας που ακολουθούμε στα βιβλία μας είναι ότι ο μαθητής μαθαίνει καλύτερα όταν δρα και ανακαλύπτει μόνος του τη γνώση με βάση αυτό που ήδη γνωρίζει. Ο μαθητής ασχολείται με καταστάσεις και προβλήματα οικεία και ευχάριστα μέσα από τα οποία οδηγείται, πιθανώς με αντιφάσεις και λάθη, στη νέα γνώση. Μέσα στην τάξη οι μαθητές προβληματίζονται, επικοινωνούν, δουλεύουν συλλογικά, εκθέτουν τις σκέψεις τους χωρίς το φόβο του λάθους και της μια σωστής λύσης. Στα βιβλία μας λοιπόν τις περισσότερες φορές η διδασκαλία ξεκινάει με παιχνίδια, δραστηριότητες ή προβλήματα τα οποία προέρχονται από το άμεσο περιβάλλον του παιδιού και είναι ευχάριστα σε αυτό. Με προβληματισμό, συζήτηση, επένδυση της προϋπάρχουσας γνώσης και ομαδική δουλειά οι μαθητές ανακαλύπτουν τα μαθηματικά. Για αυτό το λόγο ονομάσαμε τα βιβλία μας αλλά και τη σχολή που πρεσβεύουμε «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Δίνουμε μεγάλη σημασία στο τι καταστάσεις χρησιμοποιούμε για να παρουσιάσουμε τα μαθηματικά. Θέλουμε να είναι καταστάσεις ευχάριστες και οικίες για τα παιδιά και να λειτουργούν παιδευτικά. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιούμε κατοικίδια και άγρια ζώα που μετρούμε το βάρος, τα πόδια και τις γέννες τους για να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Προτείνονται παιχνίδια με νομίσματα ο ταμίας της τράπεζας- για να ασκηθούν οι μαθητές στην πρόσθεση και την ανάλυση των αριθμών. Παρουσιάζονται έργα από τη λαϊκή παράδοση και τη σύγχρονη τέχνη για να διδαχτεί η γεωμετρία. Δίνονται πολλά στοιχεία από την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, όπως θα δούμε και στη συνέχεια, για να διδάξουμε το γραπτό πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούμε ένα εισαγωγικό στάδιο με τον ελληνικό πολλαπλασιασμό. Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε τις αλλαγές και τη νέα διδασκαλία για τους αριθμούς και τις πράξεις στο νέο βιβλίο της Γ τάξης. Σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς αναφερόμαστε στην επέκτασή τους μέχρι το 10.000. Αναφερόμαστε επίσης στον τρόπο που γίνεται η εισαγωγή των κλασματικών και των δεκαδικών αριθμών. Τέλος παρουσιάζουμε τις αλλαγές στις γεωμετρικές έννοιες και τη λύση προβλήματος που πραγματοποιούνται στα βιβλία της Α και Γ τάξης. ΙΙ. ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ Η επέκταση των φυσικών αριθμών μέχρι το 10.000 Στα παλιά βιβλία οι αριθμοί διδάσκονταν μέχρι το 1.000. Τα βιβλία αυτά ακολουθούσαν μια λογική σύμφωνα με την οποία οι αριθμοί και οι πράξεις διδάσκονταν στο ίδιο μέγεθος αριθμών. Στα νέα αναλυτικά προγράμματα και κατ επέκτασιν στα νέα βιβλία η λογική αυτή αλλάζει οι αριθμοί διδάσκονται σε μεγαλύτερο μέγεθος από ότι οι αριθμοί στις πράξεις. Αυτό γίνεται γιατί αφενός οι αριθμοί μαθαίνονται εύκολα από τους μαθητές και αφετέρου η καλή γνώση των αριθμών βοηθάει και στην εκτέλεση των πράξεων (Χ. Λεμονίδης, 2003α). Έτσι λοιπόν στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα οι αριθμοί, και όχι οι πράξεις, θα διδάσκονται 2

μέχρι το 10.000. Για τη διδασκαλία των φυσικών αριθμών αφιερώνονται 4 μαθήματα (το κεφάλαια 1, το 14, το 40 και το 53). Στα νέα βιβλία για να παρουσιαστούν εμπειρικά οι πολυψήφιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται διάφορα εποπτικά υλικά που είναι τα εξής (βλέπε Εικόνα 1): - Ο κάθετος άβακας στον οποίο παρουσιάζονται ξεχωριστά σε διαφορετικές στήλες και με χάνδρες διαφορετικού χρώματος οι διάφορες τάξεις μεγέθους του αριθμού (μονάδες, δεκάδες, κτλ). Ο κάθετος άβακας είναι ένα μέσο με το οποίο μπορεί να γίνει υλική αναπαράσταση πράξεων μεταξύ διψήφιων ή πολυψήφιων αριθμών. - Ο μετρητής των χιλιομέτρων που λειτουργεί με τη λογική του μετρητή των χιλιομέτρων του αυτοκινήτου και μπορεί να συναρμολογηθεί από τους ίδιους τους μαθητές. Υπάρχει στις τελευταίες σελίδες του βιβλίου. Επάνω σε κύκλους που μπορούν να περιστρέφονται είναι γραμμένα τα ψηφία από το 0 μέχρι το 9. Στα τετραγωνάκια φαίνεται κάθε φορά ένα ψηφίο. - Η αριθμομηχανή με την οποία πραγματοποιούμε πολλές ασκήσεις για την κατανόηση της δομής των αριθμών και του συστήματος αρίθμησης. Παρουσιάζονται από την ιστορία εναλλακτικά αριθμητικά συστήματα όπως είναι το Αρχαίο Ελληνικό και το Ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα. Εικόνα 1: Εποπτικά υλικά για την παρουσίαση των πολυψήφιων αριθμών Εδώ να μπορεί να μπει η Εικόνα 1 Η εισαγωγή των κλασματικών και των δεκαδικών αριθμών Στα παλιά βιβλία οι κλασματικοί αριθμοί εισάγονταν για πρώτη φορά στην Β τάξη και οι δεκαδικοί αριθμοί στην Δ τάξη. Σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα οι κλασματικοί αριθμοί αλλά και οι δεκαδικοί αριθμοί εισάγονται για πρώτη φορά στην Γ τάξη. Εμείς στο βιβλίο της Γ τάξης πραγματοποιούμε την εξής διδακτική επιλογή: παρουσιάζουμε αρχικά τα κλάσματα και με βάση τα δεκαδικά κλάσματα εισάγουμε τους δεκαδικούς αριθμούς. Θα μπορούσε αρχικά να παρουσιαστούν οι δεκαδικοί αριθμοί και στη συνέχεια τα κλάσματα. Εμείς κάναμε την επιλογή που προαναφέραμε γιατί πιστεύουμε ότι αυτή η πορεία από τα κλάσματα προς τους δεκαδικούς είναι η πιο σωστή ιστορικά, επιστημολογικά αλλά και μαθηματικά. Αν δεν γνωρίζει κάποιος τα δεκαδικά κλάσματα δεν μπορεί να θεμελιώσει τους δεκαδικούς αριθμούς και την αξία του κάθε ψηφίου σύμφωνα με τη θέση του στον αριθμό. Θέλαμε να είμαστε πιστοί στη λογική ότι ξεκινάμε την εισαγωγή μιας νέας έννοιας με βάση τις προϋπάρχουσες γνώσεις και εμπειρίες του παιδιού. Στην καθημερινή ζωή λοιπόν τα κλάσματα, σε αντίθεση με τους δεκαδικούς αριθμούς, δεν χρησιμοποιούνται πολύ. Από τα κλάματα αυτά που χρησιμοποιούμαι περισσότερο είναι τα τέταρτα της ώρας, τα τέταρτα του κιλού στο βάρος και τις συνταγές. Εισαγάγαμε λοιπόν αρχικά τις κλασματικές μονάδες παρουσιάζοντας καταστάσεις με τα τέταρτα της ώρας και του βάρους. Το σχήμα του κλάσματος που χρησιμοποιήσαμε περισσότερο σ αυτήν την εισαγωγική φάση είναι το μέρος όλο σε συνεχή ποσά αλλά και σε διακριτά αντικείμενα (Κολέζα, Ε., 2000). Σε αυτήν την τάξη ένας βασικός στόχος είναι να συνδέσουν οι μαθητές την ποσότητα της κλασματικής μονάδας με την ονομασία και τη συμβολική γραφή του κλάσματος. 3

Χρησιμοποιούνται διδακτικές καταστάσεις και εποπτικά υλικά που είναι οικεία στα παιδιά για να παρουσιαστούν τα απλά κλάσματα με βάση τις κλασματικές μονάδες, το κλάσμα που είναι ίσο με τη μονάδα και τα ισοδύναμα κλάσματα. Οι μαθητές τώρα διαθέτουν πολλές προϋπάρχουσες γνώσεις και εμπειρίες για τους δεκαδικούς αριθμούς εξαιτίας του νομίσματος του ευρώ και των υποδιαιρέσεών του. Προσπαθούμε να αξιοποιήσουμε αυτήν την προϋπάρχουσα γνώση των μαθητών για την εισαγωγή των δεκαδικών αριθμών. Εισάγουμε τους δεκαδικούς αριθμούς με βάση τα δεκαδικά κλάσματα. Προτείνεται μια δραστηριότητα στην αριθμομηχανή όπου οι μαθητές πληκτρολογούν τα δεκαδικά κλάσματα ως διαίρεση και στην οθόνη εμφανίζονται δεκαδικοί αριθμοί. Σε αυτήν την τάξη διδάσκονται η συμβολική γραφή και η ονοματολογία των δεκαδικών αριθμών. Παρουσιάζονται κάποιες προσθέσεις και αφαιρέσεις δεκαδικών αριθμών, όχι με τους συστηματικούς κανόνες υπολογισμού, αλλά σε μια αρχική φάση με βάση την εμπειρία και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Νοεροί υπολογισμοί και κατ' εκτίμηση υπολογισμοί Στα νέα βιβλία δίνεται μεγάλη βαρύτητα στους νοερούς υπολογισμούς γιατί υπάρχουν πολλοί λόγοι που δικαιολογούν τη χρησιμότητά τους: Στην καθημερινή ζωή οι νοεροί υπολογισμοί χρησιμοποιούνται πολύ περισσότερο από ό,τι οι γραπτοί υπολογισμοί. Η εξάσκηση με τους νοερούς υπολογισμούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της σημασίας των αριθμών. Η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων. Οι νοεροί υπολογισμοί βοηθούν στην κατανόηση και στην ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού (McIntosh, A., & Dole, S., 2000). Στο νέο βιβλίο προτείνονται πολλοί νοεροί υπολογισμοί οι οποίοι αναφέρονται συνήθως στις τέσσερις πράξεις αλλά και στους αριθμούς και τους κανόνες του συστήματος αρίθμησης. Δίνονται οδηγίες ώστε ο δάσκαλος κατά τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών να ζητάει από τους μαθητές να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο υπολόγισαν το αποτέλεσμα. Το να εξηγεί ο μαθητής τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζει είναι μια πολύ χρήσιμη διανοητική ενέργεια (μεταγνωστική διαδικασία). Ο δάσκαλος θα πρέπει να συντονίζει την τάξη με τέτοιο τρόπο ώστε να δίνει τη δυνατότητα να εκφραστούν, να συζητηθούν και να καταγραφούν όλοι οι δυνατοί τρόποι υπολογισμού μιας πράξης. Οι νοεροί υπολογισμοί οι οποίοι χρησιμοποιούνται πάρα πολύ στην πράξη είναι οι κατ' εκτίμηση υπολογισμοί. Για παράδειγμα, υπολογίζω περίπου αν μου φτάνουν τα 100 ευρώ για την αγορά δύο προϊόντων αξίας 38 ευρώ και 57 ευρώ. Με τους υπολογισμούς αυτούς στην καθημερινή ζωή βρίσκουμε γρήγορα και κατά προσέγγιση το αποτέλεσμα μιας πράξης. Οι υπολογισμοί αυτοί συνήθως χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε το αποτέλεσμα της πράξης που κάνουμε με την αριθμομηχανή, να ελέγξουμε αν μας φτάνουν τα χρήματά μας, κτλ. Οι τυπικές γραπτές πράξεις (αλγόριθμοι) Γνωρίζουμε ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε μια πράξη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορους τρόπους. Μπορούμε να υπολογίσουμε με το μυαλό (νοερός υπολογισμός), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μολύβι και χαρτί και να υπολογίσουμε με τον τυπικό αλγόριθμο, μπορούμε τέλος να υπολογίσουμε με την αριθμομηχανή. 4

Στην παραδοσιακή διδασκαλία και τα παλιά βιβλία ο υπολογισμός των πράξεων περιορίζονταν μόνο με τους γραπτούς τυπικούς αλγόριθμους στους οποίους δίνονταν υπέρμετρη έμφαση. Οι γραπτές πράξεις διδάσκονταν πολύ γρήγορα χωρίς οι μαθητές να εκφράσουν τις άτυπες στρατηγικές υπολογισμού και χωρίς να κατανοήσουν πλήρως τη σημασία της πράξης αυτής. Στη σειρά των βιβλίων Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής για τη διδασκαλία των τυπικών γραπτών πράξεων (των αλγόριθμων) ακολουθείται μια διαφορετική σειρά και λογική. Στην αρχή προτού οι μαθητές διδαχτούν οποιοδήποτε τρόπο υπολογισμού προτείνουμε καταστάσεις προβληματισμού οικείες σε αυτούς για να εκφράσουν τους άτυπους και προσωπικούς τους τρόπους υπολογισμού. Οι μαθητές πραγματοποιούν αρκετούς υπολογισμούς με νοερό τρόπο. Οι γραπτές τυπικές πράξεις (αλγόριθμοι) παρουσιάζονται σε ένα τελικό στάδιο. Με τους αλγόριθμους οι μαθητές αντιμετωπίζουν πράξεις τις οποίες δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν με το νοερό υπολογισμό. Ο καινούργια γραπτή πράξη (αλγόριθμος) που παρουσιάζεται στην Γ τάξη, είναι ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού. Ο πολλαπλασιασμός Η διδασκαλία της προπαίδειας Προτού από την αλλαγή του αναλυτικού προγράμματος, αλλά και τώρα στα νέα βιβλία, η προπαίδεια διδάσκεται σε δύο τάξεις, στη Β και στη Γ τάξη. Αυτό γίνεται γιατί οι μαθητές χρειάζονται πολύ χρόνο και εξάσκηση μέχρι να απομνημονεύσουν τα γινόμενα της προπαίδειας και να τα χρησιμοποιούν με ευχέρεια (Λεμονίδης, Χ., 2003β, σελ. 34-48). Αρχίζουμε τη διδασκαλία της προπαίδειας με τα γινόμενα των αριθμών 2, 5 και 10 τα οποία οι μαθητές τα υπολογίζουν και τα χειρίζονται εύκολα. Με τα γινόμενα αυτά οι μαθητές ασκούνται στις στήλες της προπαίδειας και συνηθίζουν να βλέπουν την εξέλιξη των γινομένων από το ένα μέχρι το δέκα. Στη συνέχεια προχωρούμε στις στήλες του τρία και του τέσσερα και μετά στις στήλες των μεγαλύτερων αριθμών (6, 7, 8 και 9). Κατά τη διάρκεια της εκμάθησης της προπαίδειας, για τον υπολογισμό των γινομένων, οι μαθητές ασκούνται και χρησιμοποιούν διάφορες στρατηγικές (Ter Heege, H., 1985) όπως είναι οι εξής: - Αντιμεταθετική ιδιότητα (6x2 = 2x6). - Τα πολλαπλάσια του 10, π.χ. μπορεί να χρησιμοποιηθεί το γινόμενο10x9 = 90 για να υπολογίσει το γινόμενο 9x9 = 81. - Το διπλάσιο. Υπολογίζουν τα γινόμενα με διπλασιασμό, π.χ. χρησιμοποιούν το γινόμενο 2x6 = 12 για να υπολογίσουν το 4x6 διπλασιάζοντας το 12. - Το μισό. Υπολογίζουν με τη χρήση τoυ μισού. Για τον υπολογισμό των γινομένων τις μορφής 5 x, παίρνουν το μισό του 10x - Αύξηση κατά ένα. Αυξάνουν ένα γνωστό γινόμενο προσθέτοντας τον πολλαπλασιαστή μία φορά. Όταν είναι γνωστό ή υπολογίζεται εύκολα το γινόμενο 5x9 = 45 τότε το γινόμενο 6x9 βρίσκεται με υπολογισμό 45+9. - Μείωση κατά ένα. Μειώνουν ένα γνωστό γινόμενο αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή μια φορά. Συχνά υπολογίζουν 9x8 = 80 8. Αυτή η στρατηγική του ένα λιγότερο χρησιμοποιείται στα γινόμενα της μορφής 9x και 4x Με βάση τις παραπάνω στρατηγικές, ασκούμε τους μαθητές να χρησιμοποιούν επάνω στις στήλες της προπαίδειας κάποια γινόμενα ως σημεία αναφοράς για να υπολογίζουν κάποια άλλα. Τέτοια γινόμενα, είναι τα γινόμενα του 10, του 5 και του 2. Οι μαθητές ασκούνται επίσης στο να κινούνται πάνω στις στήλες της προπαίδειας 5

με βάση τις φορές. Για παράδειγμα, δύο φορές οι δύο φορές μας κάνουν τέσσερις φορές, οι εννιά φορές είναι μια φορά λιγότερο από τις δέκα φορές κτλ. Εισαγωγή στον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός Προηγουμένως αναφέραμε σχετικά με τη διδασκαλία των γραπτών πράξεων ότι ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να αποτελεί το τελικό στάδιο της διδασκαλίας. Δηλαδή οι μαθητές προτού από τον γραπτό αλγόριθμο εξασκούνται σε νοερούς υπολογισμούς του πολλαπλασιασμού και υπολογίζουν με τις άτυπες ή προσωπικές τους στρατηγικές. Πριν διδαχτεί η γραπτή πράξη του πολλαπλασιασμού υπάρχει ένα στάδιο προετοιμασίας για αυτήν την πράξη με δύο μαθήματα (το 28 και το 29) με τίτλο «προς τον πολλαπλασιασμό». Σε αυτά τα μαθήματα οι μαθητές γνωρίζουν τον ελληνικό πολλαπλασιασμό. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι ένας ιστορικός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού που τον εφάρμοζαν πρώτα οι Έλληνες με τον Ευτόκιο γύρω στον 5 ο αιώνα μ.χ. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός αναφέρεται περισσότερο σε υπολογισμό επιφανειών, σύμφωνα με την Ευκλείδεια παράδοση και πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός πίνακα στον οποίο οι αριθμοί που θα πολλαπλασιαστούν αναλύονται σε δεκάδες και μονάδες. Στη συνέχεια με βάση τον ελληνικό πολλαπλασιασμό παρουσιάζεται ο κλασικός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούμε σήμερα. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται βοηθητικά για να κατανοήσουν οι μαθητές τη δομή του κλασικού σημερινού πολλαπλασιασμού και να μπορέσουν να ερμηνεύσουν πολλές από τις ιδιότητές του. Εικόνα 2: Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός Εδώ να μπορεί να μπει η Εικόνα 2 ΙΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η Γεωμετρία στα παλιά βιβλία καταλάμβανε πολύ μικρό χώρο και παρουσιάζονταν με έναν φορμαλιστικό και παραδοσιακό τρόπο χωρίς καμιά σύνδεση με την πραγματικότητα και τον πολιτισμό. Στη σειρά των βιβλίων Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής προσπαθήσαμε να αναβαθμίσουμε την γεωμετρία, αφενός αυξάνοντας την ποσότητα της ύλης σχετικά με τα άλλα περιεχόμενα και αφετέρου εκσυγχρονίζοντάς την ποιοτικά (Λεμονίδης, Χ., 2003γ, σελ. 77-81). Για να παρουσιάσουμε τις γεωμετρικές έννοιες χρησιμοποιήσαμε καταστάσεις της ζωής και συνδέσαμε τη γεωμετρία με την τέχνη και τον πολιτισμό όπου είναι ο φυσικός της χώρος. Παρουσιάζουμε τις γεωμετρικές έννοιες μέσα από θέματα της ζωγραφικής, της λαϊκής παράδοσης και γενικά μέσα από τον ελληνικό και το διεθνή πολιτισμό. Στα μοτίβα και σε πολλά περιεχόμενα της γεωμετρίας όπως τη συμμετρία, παζλ, μωσαϊκά, πλακόστρωτα, κ.ά., μπορεί να υιοθετήσουμε την λογική των εθνομαθηματικών. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δηλαδή καταστάσεις από την ελληνική λαϊκή παράδοση (Εικόνα 3) αλλά και από την διεθνή για να παρουσιάσουμε τη γεωμετρία με έναν τρόπο ώστε να συνδέεται με τον πολιτισμό (Θεοδώρου, Ε. και Λεμονίδης, Χ., 2005). 6

Στην Α και Γ τάξη του Δημοτικού Σχολείου σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών εισάγονται πολλά καινούργια περιεχόμενα της γεωμετρίας τα οποία δεν υπήρχαν στο προηγούμενο αναλυτικό πρόγραμμα. Αυτά τα περιεχόμενα είναι: Η χάραξη γραμμών και σχημάτων με χάρακα και διαβήτη. Κίνηση και προσανατολισμός στις δύο διαστάσεις του τετραγωνισμένου χαρτιού (Καρτεσιανό επίπεδο). Ανάλυση και σύνθεση σχημάτων σε παζλ, μωσαϊκά και πλακόστρωτα. Η έννοια της συμμετρίας. Εικόνα 3: Δραστηριότητα σε μοτίβα και μωσαϊκά μέσα από τη λαϊκή παράδοση Εδώ να μπορεί να μπει η Εικόνα 3 VI. ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Τόσο η φιλοσοφία των νέων προγραμμάτων σπουδών όσο η λογική και ο τρόπος που αποδίδονται τα περιεχόμενα στη σειρά των βιβλίων μας Τα μαθηματικά της φύσης και της ζωής, δίνουν μεγάλη βαρύτητα και αφιερώνουν πολύ χρόνο στη λύση προβλήματος. Η λύση προβλήματος εμφανίζεται σε δύο διδακτικές διαδικασίες: Πρώτον, αποτελεί μέθοδο διδασκαλίας, δηλαδή, οι μαθητές διδάσκονται τα μαθηματικά μέσω της λύσης προβλημάτων. Οι μαθητές με ευρετική μέθοδο λύνοντας κάποιο πρόβλημα ανακαλύπτουν τη νέα έννοια. Δεύτερον, υπάρχουν ειδικά μαθήματα που είναι αφιερωμένα αποκλειστικά στη λύση προβλήματος. Στα μαθήματα αυτά προτείνονται διάφορα προβλήματα τα οποία καλούνται οι μαθητές να λύσουν. Στο βιβλίο της Α τάξης υπάρχουν 5 στα 52 τέτοια μαθήματα και στη Γ τάξη υπάρχουν 6 στα 48 μαθήματα. Σύμφωνα με τη βασική λογική των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής δίνουμε μεγάλη σημασία στο θέμα και το πλαίσιο μέσα στο οποίο τίθεται ένα πρόβλημα. Τα περιεχόμενα των προβλημάτων θέλουμε να είναι ευχάριστα και να κινούν το ενδιαφέρον των παιδιών για να ασχοληθούν με αυτά. Επιλέγουμε θέματα από τη φύση όπως με ζώα άγρια και κατοικίδια με πτηνά της χώρας μας, κτλ. Θέματα σχετικά με τον πολιτισμό και την προστασία του περιβάλλοντος. Παρουσιάζουμε επίσης θέματα που είναι σε πολλές περιπτώσεις διαθεματικά, δηλαδή, συνδέονται με τα περιεχόμενα των άλλων μαθημάτων όπως είναι η Μελέτη Περιβάλλοντος, η Γλώσσα, τα Εικαστικά, κ.ά. Τα προβλήματα που παρουσιάζουμε καλύπτουν μια μεγάλη ποικιλία, μέσω των οποίων επιδιώκουμε να ασκήσουμε τους μαθητές σε διάφορες ικανότητες. Μερικά από αυτά τα είδη προβλημάτων είναι τα εξής: Τα προβλήματα έρευνας. Εδώ η λύση δεν φαίνεται εξαρχής, οι μαθητές θα πρέπει να πραγματοποιήσουν μια έρευνα για να βρουν τη λύση. Αυτά τα προβλήματα αφενός ασκούν το ερευνητικό πνεύμα και την κριτική σκέψη στους μαθητές αφετέρου τους κάνουν να συνειδητοποιήσουν ότι στο πρόβλημα, δεν απαντούμε αμέσως προτείνοντας μια πράξη, αλλά διαβάζουμε με προσοχή την εκφώνηση και προσπαθούμε να βρούμε τη ή τις λύσεις του. Στην Εικόνα 4 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα τέτοιου προβλήματος από τη Γ τάξη. Εικόνα 4: Πρόβλημα έρευνας 7

Εδώ να μπορεί να μπει η Εικόνα 4 Τα προβλήματα με εικόνα. Παρουσιάζεται μια εικόνα την εκφώνηση του προβλήματος από την οποία οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν τα δεδομένα ή το ζητούμενο. Με αυτόν τον τρόπο οι μαθητές ασκούνται στο να αντιμετωπίζουν καταστάσεις και να προβληματίζονται σε πιο ανοιχτά και πραγματικά θέματα που αναφέρονται στην καθημερινή ζωή. Τα προβλήματα με ερωτήσεις που είναι δυνατόν να απαντηθούν ή να μην απαντηθούν. Στα προβλήματα αυτά τίθενται ερωτήσεις από τις οποίες κάποιες μπορεί να απαντηθούν αλλά και κάποιες δεν μπορεί να απαντηθούν με βάση τα δεδομένα της εκφώνησης. Με τέτοιου είδους προβλήματα. οι μαθητές ασκούνται στο να διαβάζουν με προσοχή την εκφώνηση του προβλήματος. Συνειδητοποιούν επίσης ότι σε μια εκφώνηση υπάρχουν συγκεκριμένες πληροφορίες και ερωτήματα. Τα προβλήματα επιλογής της σωστής απάντησης. Στην εκφώνηση των προβλημάτων αυτών δίνονται απαντήσεις μέσα από τις οποίες οι μαθητές θα πρέπει να επιλέξουν τη σωστή απάντηση. Στις απαντήσεις που προτείνονται συμπεριλαμβάνονται λάθος απαντήσεις οι οποίες είναι κάποια από τα συνήθη λάθη που κάνουν οι μαθητές. Η δημιουργία ή συμπλήρωση προβλήματος. Σε αυτά τα προβλήματα συνήθως ζητείται από τους μαθητές να συνθέσουν ένα δικό τους πρόβλημα με δεδομένο μια πράξη ή μια εικόνα ή να συμπληρώσουν μια εκφώνηση. Δίνεται μια εκφώνηση χωρίς ζητούμενο και ζητείται από τους μαθητές να βρουν και να γράψουν το ζητούμενο στην εκφώνηση. Πολλές φορές η ορθότητα του προβλήματος ζητείται να διαπιστωθεί από το συμμαθητή και όχι από το δάσκαλο. Με αυτόν τον τρόπο αναπτύσσεται διάλογος μεταξύ των μαθητών και οι μαθητές αποκτούν μεγαλύτερη αυτονομία όσον αφορά τον έλεγχο της ορθότητας των σκέψεών τους. Εικόνα 5: Δημιουργία προβλήματος και έλεγχος από το συμμαθητή Εδώ να μπορεί να μπει η Εικόνα 4 V. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Το πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών αλλά και τα νέα βιβλία που εφαρμόζονται από το σχολικό έτος 2006-2007 εισάγουν μεγάλες αλλαγές και καινοτομίες τόσο στη διδακτική πράξη όσο και στα περιεχόμενα των μαθηματικών. Οι αλλαγές στη λογική των μαθηματικών και στη διδακτική μεθοδολογία της σειράς των βιβλίων Μαθηματικά της φύσης και της ζωής, αναλύονται περισσότερο σε προηγούμενο άρθρο (βλέπε, Λεμονίδης, Χ., 2006). Σε αυτό το κείμενο παρουσιάζονται οι αλλαγές στα περιεχόμενα της αριθμητικής στην Γ τάξη. Παρουσιάζονται οι λόγοι για τους οποίους έγινε η επέκταση των αριθμών μέχρι το 10.000 και τα εποπτικά μέσα με τα οποία μπορούμε να διδάξουμε τους πολυψηφίους αριθμούς. Τα κλάσματα και οι δεκαδικοί αριθμοί εισάγονται με μια νέα λογική και με δραστηριότητες που βασίζονται στις προϋπάρχουσες γνώσεις 8

και εμπειρίες των μαθητών από την καθημερινή τους ζωή. Εισάγονται οι νοεροί υπολογισμοί και οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί που έλλειπαν παντελώς από τα παλιά βιβλία. Οι υπολογισμοί αυτοί εφαρμόζονται πολύ στη ζωή και είναι πολύ χρήσιμοι μαθησιακά για τα παιδιά. Οι γραπτές πράξεις δεν εισάγονται από την αρχή, δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να αναπτύξουν δικούς τρόπους (άτυπους) υπολογισμού, να υπολογίσουν νοερά και σταδιακά να φτάσουν στις τυπικές γραπτές πράξεις. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι ένα νέο αντικείμενο που προετοιμάζει τους μαθητές και δίνει εξηγήσεις για τις ιδιότητες του τυπικού γραπτού πολλαπλασιασμού. Η προπαίδεια διδάσκεται διαφορετικά. Προτάσσονται τα γινόμενα του 2, του 5 και του 10 τα οποία είναι εύκολα και χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των άλλων γινομένων. Η γεωμετρία γίνεται πιο ουσιαστική και πραγματική με τη σύνδεσή της με φαινόμενα του πολιτισμού και της τέχνης. Παρουσιάζονται πολλά νέα αντικείμενα στη γεωμετρία όπως οι χαράξεις, το δισδιάστατο επίπεδο, τα παζλ, τα μωσαικά, τα πλακόστρωτα και η συμμετρία. Η λύση προβλήματος αποκτά κυρίαρχη θέση στο μάθημα των μαθηματικών. Η νέες έννοιες ανακαλύπτονται μέσα από τη λύση προβλημάτων. Προτείνονται πολλά και διαφορετικά είδη προβλήματος για να καλλιεργήσουν στους μαθητές την ανακαλυπτική και κριτική σκέψη. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κολέζα, Ε., (2000). Γνωσιολογική και Διδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηματικών Εννοιών. Εκδόσεις Leader Books. Αθήνα, σελ. 185-203. Λεμονίδης, Χ., (2003α). Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 189-198. Λεμονίδης, Χ., (2003β). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Περιοδικό «Μέντορας», τεύχος 7, σελ. 34-48, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Λεμονίδης, Χ. (2003γ). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα. Λεμονίδης, Χ., (2006). Οι αρχές για τη διδασκαλία και ο εκσυγχρονισμός των αριθμητικών εννοιών στα νέα βιβλία της Α τάξης του δημοτικού Σχολείου. Γέφυρες (υπό-δημοσίευση). Θεοδώρου Ε., Λεμονίδης Χ., (2005). Εθνομαθηματικά και Γεωμετρία: μια νέα διαθεματική πρόταση για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού. Πρακτικά 4 ης Διεθνούς Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 221-229. McIntosh, A., & Dole, S. (2000). Mental computation, number sense and general mathematics ability: are they linked? In J. Bana, & A. Chapman (Eds.), Mathematics education beyond 2000. Proceedings of the Twenty-Third Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia Incorporated (pp. 401 408). Perth: MERGA. 9

Ter Heege, H. (1985). The Acquisition of Basic Multiplication Skills. Educational Studies in Mathematics, 16, 375 388. 10