Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 3: Άλγεβρα Βοole και Λογικές Πράξεις Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής την άλγεβρα Boole και τις λογικές πράξεις. 4
Περιεχόμενα ενότητας Δυαδική λογική. Βασικές λογικές πράξεις. Λογικές πύλες. Άλγεβρα Boole. 5
Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς Ο υπολογιστής μπορεί να εκτελέσει: Λογικές πράξεις (δυαδικής λογικής). Αριθμητικές πράξεις. Οι πράξεις εκτελούνται: Σε ομάδες bits: δυαδικούς αριθμούς. 6
Ψηφιακά Ηλεκτρονικά και Δυαδική Λογική Η δυαδική λογική ταιριάζει με την τεχνολογία του τρανζίστορ: 2 καταστάσεις: ON-OFF, 1-0. Ψηφιακά ηλεκτρονικά (2 στάθμες). Δυαδική άλγεβρα Boole: Λογική άλγεβρα. Συσχέτιση με διακοπτικά κυκλώματα. Η εργασία του Shannon (1938). 7
Ποσότητες Δυαδικής Λογικής Στη δυαδική λογική άλγεβρα: Καθορίζονται λογικές πράξεις μεταξύ των λογικών ποσοτήτων 0 και 1 (bits). Στα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυκλώματα: Κύκλωμα δέχεται ως είσοδο την ηλεκτρική αναπαράσταση των 0 και 1. Και παράγει στην έξοδό του την ηλεκτρική αναπαράσταση του αποτελέσματος μιας λογικής πράξης. Το κύκλωμα υλοποίησης της λογικής πράξης ονομάζεται πύλη (gate). 8
Βασικές λογικές πράξεις λογικές πύλες Μία λογική πράξη μεταξύ μεταβλητών είναι μία συνάρτηση που ορίζεται από έναν πίνακα αληθείας (truth table). Το ηλεκτρικό κύκλωμα που εκτελεί μία λογική πράξη ονομάζεται λογική ή ψηφιακή πύλη και παριστάνεται από ένα σύμβολο. Τα δυαδικά ψηφία 1 και 0, που ουσιαστικά παριστάνουν τις δύο καταστάσεις αληθής (true), ψευδής (false), στη φυσική τους υπόσταση είναι δυο διακριτά επίπεδα ηλεκτρικής τάσης (συνήθως στην ιδανική περίπτωση 5V και 0V). 9
Λογικές πράξεις με bits Διάγραμμα 1: Λογικές πράξεις με bits (Διδάσκων, 2015). 10
Πύλη OR H έξοδος είναι αληθής (true) (1), εάν μια από τις εισόδους ή και οι δυο είναι αληθείς (1). Σχήμα 1: Πύλη OR (Διδάσκων, 2015). 11
Πύλη AND H έξοδος είναι αληθής (1), όταν και οι δυο είσοδοι είναι αληθείς (1). Σχήμα 2: Πύλη AND (Διδάσκων, 2015). 12
Πύλη NOT (Αντιστροφέας) Δημιουργεί αντιστροφή του σήματος εισόδου. Σχήμα 3: Πύλη NOT (Διδάσκων, 2015). 13
Πύλη NAND (ΝΟΤ AND) Η έξοδος είναι ψευδής (0) μόνο όταν Α και Β είναι αληθείς (1). Σχήμα 4: Πύλη NAND (Διδάσκων, 2015). 14
Πύλη NOR (NOT OR) H έξοδος είναι αληθής (1), όταν και οι δύο είσοδοι είναι ψευδείς (0). Σχήμα 5: Πύλη NOR (Διδάσκων, 2015). 15
Πύλη XOR H έξοδος είναι αληθής (1), όταν ή μία εκ των δύο εισόδων είναι αληθής (1), αλλά όχι και οι δύο ταυτόχρονα. Σχήμα 6: Πύλη XOR (Διδάσκων, 2015). 16
Πύλη XNOR (NOT XOR) H έξοδος είναι αληθής (1) όταν και οι δυο είσοδοι είναι ψευδείς (0), ή και οι δυο είναι αληθείς (1). Σχήμα 7: Πύλη XNOR (Διδάσκων, 2015). 17
Δυνατοί πίνακες αληθείας στο δυαδικό σύστημα Ένας πίνακας αληθείας παριστάνει τη συνάρτηση μεταξύ των εισόδων και της εξόδου ενός λογικού συστήματος. Για δυο εισόδους υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί πραγματικών τιμών: FF, FT, TF, TT Επειδή κάθε δυνατή είσοδος μπορεί να δώσει δύο διαφορετικές εξόδους (F, T) συνεπάγεται ότι οι δυνατοί πίνακες αληθείας για ένα λογικό σύστημα δύο εισόδων είναι: 2⁴=16. 18
Ιδιότητες και κανόνες της άλγεβρας Boole Λογικές πράξεις με σταθερές. Λογικές πράξεις με μια μεταβλητή. Λογικές πράξεις με δυο ή περισσότερες μεταβλητές. Λογικές πράξεις με σταθερές: AND OR NOT 0*0=0 0+0=0 0*1=0 0+1=1 O=1 1*0=0 1+0=1 1=0 1*1=1 1+1=1 19
Λογικές πράξεις-ιδιότητες με δυο ή περισσότερες μεταβλητές Αντιμεταθετική ιδιότητα A+B = B+A A*B = B*A Απορροφητική ιδιότητα A+(A*B) = A A*(A+B) = A Προσεταιριστική ιδιότητα A+(B+C) = (A+B)+C A*(B*C) = (A*B)*C Επιμεριστική ιδιότητα A*(B+C) = (A*B)+(A*C) A+(B*C) = (A+B)*(A+C) Κανόνες De Morgan (AA + BB) =A* BB AA BB = AA+ BB 20
Παράδειγμα (1) Κανόνας ελαχιστοποίησης A*B+A* BB =A A+B*A+ BB ) =A Να αποδειχθεί ότι: (A+B) *(A+ BB ) = A (A+B)*(A+B) = A*A+A*B+A*B+B* BB = A+A*B+A*B+0 = (AA + AA) *(B+B) =A+A =A Να αποδειχθεί ότι: Α*Β + Α*Β = Α Α + (ΑΒ) = Α(Α+Β) =Α 21
Παράδειγμα (2) Απάντηση: A*B + (AA BB) = a*(b+ BB) = A*1=A A+(A*B) = A*A+A*B=A*(A+B) A+(A*N) = A*(1+B)=A*1=A Χρήση του πίνακα αλήθειας Α Α*Β Α+(Α*Β) 0 0 0 1 Β 1 Τα θεωρήματα De Morgan είναι πιο σημαντικά στην λογική σχεδίαση όπου συσχετίζονται AND και NOR πύλες ή OR και NAND Πύλες. 22
Παράδειγμα 2 συνέχεια Για παράδειγμα χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα De Morgan για να σχεδιάσουμε λενα συνδυασμό πυολών NAND που είναι ισοδύναμος με μια πύλη OR δυο εισόδων a Γιαμια πύλη OR ισχύει f= (AA + BB) = (AA BB) επίσης (AA AA) = AA Σχήμα 8: Παράδειγμα (Διδάσκων, 2015). 23
Βιβλιογραφία Forouzan, Β. Α. (2003). Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών, Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Tanenbaum, Α. S. (2013). Modern Operating Systems (3rd Edition), Pearson. Παπακωνσταντίνου, Γ., Τσανάκας, Π., Κοζύρης, Ν., Μανουσοπούλου, Α. και Ματζάκος,Π. (2004). Τεχνολογία Υπολογιστικών Συστημάτων και Λειτουργικά Συστήματα, ISBN 960-7251-25-3, Αθήνα. Πασπαλλής N. (2011). Εισαγωγή στην Επιστήμη της Πληροφορικής Σημειώσεις μαθήματος. Τμήμα Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου. 24