wwwaskisopolisgr Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x 5συνx 1 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f x συν x 8 f x συν x 0 0 Δίνονται οι συναρτήσεις fx α ημ βx και συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι α β 1 β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης γ) Να λύσετε την εξίσωση π π Α f g 3 4 f x 3 g x στο διάστημα 3π π, 3 Δίνεται η συνάρτηση fx συνx, x g x α β συν α β x, α,β 0 Αν οι α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f π π 3π β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για x 0,,,, π και να σχεδιάσετε την 4 4 γραφική παράσταση της f για 0 x π γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y 5 δ) Να λύσετε την εξίσωση f x f x 3 0 4 Η συνάρτηση fx ρημ ωx, ω 0, έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται π από το σημείο Α, 4 α) Να βρείτε τα ρ,ω β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0,π δ) Να λύσετε την εξίσωση 5 Δίνεται η συνάρτηση π π fx fx 3 6 1 1 f x σφx 1 σφx 1 ημx ημx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να δείξετε ότι fx σφx γ) Να λύσετε την εξίσωση fx στο διάστημα 0,π 1
wwwaskisopolisgr π 6 Δίνεται η συνάρτηση: fx συν x ημ π x α) Να αποδείξετε ότι fx ημx β) Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f,τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου δ) Nα λύσετε στο διάστημα 0,π την εξίσωση fx 1 0 7 Δίνεται η συνάρτηση: fx α) Να δείξετε ότι fx π συν x συν 0π x 7π ημ x ημ 5π x 4 ημx συνx συνx ημx 4 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π δ) Να λύσετε την εξίσωση 1 f x 8 Έστω η συνάρτηση: fx συνx 1 ημx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή γ) Να λύσετε την εξίσωση: fx ημx 9 Δίνεται η παράσταση: fx ημ x συνx, x α) Να παραγοντοποιήσετε την f β) Να αποδείξετε ότι fx 0, x γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες fx 0 δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4 π f x 3εφ x( 3 1)εφx 1, x 0, 10 Δίνεται η συνάρτηση α) Να λύσετε την εξίσωση fx 0 β) Αν θ η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: 9π συν π θεφπ θσυν θ Α 1 17π ημ181π θσυν θσφ θ
wwwaskisopolisgr 11 Δίνεται η συνάρτηση fx ημx α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της β) Για ποιες τιμές του x παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση; γ) Να λύσετε την εξίσωση: fx ημ x 3 συν x δ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση ανεξάρτητη του x 3π 9π f 8π x f x f x f 7π x Α 13π f x f x είναι ημx εφx 1 συνx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1 β) Να αποδείξετε ότι fx 1 συνx γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια π 4k 1π δ) Να αποδείξετε ότι f x f x 1 Δίνεται η συνάρτηση fx π ε) Να λύσετε την εξίσωση f x 3 3 13 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x ημ x 4ημx α) Να αποδείξετε ότι π 3π f x f x β) Να λύσετε την εξίσωση fx 0 γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 3 g x ημ x ημx f x καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x, για τις οποίες η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή 14 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: π α) εφ ημx 1 β) ημ π συνx 1 15 Δίνεται η συνάρτηση fx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 1 ημxσυνx ημx συνx β) Να αποδείξετε ότι fx ημx συνx γ) Να λύσετε την εξίσωση fxfx 1 0 3
wwwaskisopolisgr 16εφ x 16 Δίνονται οι συναρτήσεις f x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους β) Να λύσετε την εξίσωση fx 3g x 1 εφ x και γ) Να αποδείξετε ότι fx 16ημ x και gx δ) Να λύσετε την εξίσωση 16ημ xσυν x 3 0 17 Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι fx ημ4x 1 4 g x εφ x 1 1 συν x 3π f x ημ π 4x συν 4x 1 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 5ημ π 4x 1 0 x 18 Δίνεται η συνάρτηση fx αημ β, α 0,β 3 γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο 1 α) Να αποδείξετε ότι α και β 1 η οποία έχει μέγιστο το 3 και η β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση 3π f x 1 f x 1 4 4 f 6x f 3x στο διάστημα 0,π 19 Δίνονται οι συναρτήσεις fx ημ x και 4 π π g x συν x 8 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδικές με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων π π 3π γ) Να αποδείξετε ότι fπ f f f 0 4 4 δ) Να αποδείξετε ότι π f x g x 1 16 3π 0 Δίνεται η συνάρτηση fx συν x ημ π x α) Να αποδείξετε ότι fx 3ημx β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα 0,π γ) Να λύσετε την εξίσωση 3 f x δ) Να αποδείξετε ότι στο π 0, π f x f x 9 4
wwwaskisopolisgr 1 Δίνεται η συνάρτηση π f x αημ x β 4, α, β της οποίας η γραφική π π παράσταση διέρχεται από τα σημεία A, 1, B,1, τότε: 4 4 α) Να αποδείξετε ότι α και β 1 β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό της γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f π δ) Να λύσετε την εξίσωση fx 4 ε) Να αποδείξετε ότι: π 3π 5π 7π 9π f f f f f 1 4 4 4 4 4 Δίνεται η συνάρτηση fx ημ x ημx, x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα 0, π με τεταγμένη δ) Να λύσετε την εξίσωση: π f x f x 3 Δίνεται η συνάρτηση fx συν x ημ x 3συνx, x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 1 8 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης gx 3συνx ε) Να λύσετε στο διάστημα συν x 4 Δίνεται η συνάρτηση fx 1 1 ημx α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 0, π την εξίσωση: f x f π x συν x β) Αφού αποδείξετε ότι 1 ημx, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 1 ημx 3π ημ x ημ 31π x 1 γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση f x ημx 1 0 5
wwwaskisopolisgr 5 Το βάθος του νερού σε μέτρα κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου δίνεται από τη πt συνάρτηση ft 0 4συν, όπου t ο χρόνος σε ώρες με t 3 0, 4 α) Να βρείτε τη περίοδο της f β) Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού γ) Αν το ύψος της γέφυρας (από τον πυθμένα της θάλασσας) είναι 30m, να εξετάσετε αν ένα σκάφος ύψους 8m από την επιφάνεια της θάλασσας μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις 1 το μεσημέρι δ) Να βρείτε το βάθος του νερού στις 1 πμ και στις 5 μμ Ποιες άλλες ώρες της ημέρας το νερό θα έχει το ίδιο βάθος; 6