Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας"

Ωκεανός Βαρουξής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Θεώρημα Bolzano Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν: Η f είναι συνεχής στο [α, β] και Ισχύει f(a)f(β) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (α, β) τέτοιο ώστε f(x 0 ) = 0. Δηλαδή η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α, β) Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο [α, β], τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο (α, β). Επομένως η γραφική παράσταση C f της f τέμνει τον άξονα x x τουλάχιστον μία φορά στο (α, β) Σχημα Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 + 3x 2 + 5x = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1) Μεθοδολογία Όταν η άσκηση ζητάει να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α, β), τότε: 1 ο βήμα) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο μέλος 2 ο βήμα) Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως νέα συνάρτηση f(x) 3 ο βήμα) Εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f στο [α, β] Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 4 4x 2 + x + 1 = 0 τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x 0 (01, ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x(e x + 2) = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 1

2 Τουλάχιστον δύο ρίζες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x ημx = 1 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0, π) Τουλάχιστον μία ρίζα στο [α, β] Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 3 + 3x 2 3 = ax έχει τουλάχιστον μία λύση στο [ 1,1] Μεθοδολογία Ακριβώς μία ρίζα ( Τουλάχιστον μία ρίζα + Το πολύ μία ρίζα Ακριβώς μία ρίζα ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x + 3 x = 1 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( 1,0) Ακριβώς δύο ρίζες ( Τουλάχιστον δύο ρίζες + Το πολύ δύο ρίζες Ακριβώς δύο ρίζες ) Θεωρούμε την εξίσωση: α x + β x 2 + γ x + 2 = 0 με α, β, γ > 0. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο ( 2,2) Απαλοιφή παρονομαστών Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 1 + x3 + 1 x 2 = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,2) Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 2

3 Μεθοδολογία Αν η εξίσωση περιέχει παρονομαστές, οι οποίοι μηδενίζονται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μετά θέτουμε συνάρτηση f(x). Στο τέλος αντικαθιστούμε στην f(x) = 0 όπου x το x 0 και κάνουμε πράξεις για να αποδείξουμε ότι είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης. Θεωρητικές Ασκήσεις Έστω συνάρτηση f: R R με f(0) = 2 για την οποία ισχύει: (f(x) f(y)) 2 x y για κάθε x, y R. Να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι συνεχής β. Υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 R τέτοιο ώστε f(x 0 ) = x 0 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει η σχέση: f 3 (x) + βf 2 (x) + γf(x) = x 3 2x 2 + 6x 1 για κάθε x R, όπου β, γ R με β 2 < 3γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). ( θέμα πανελλαδικών ) Συνδυαστικές Ασκήσεις Δίνεται συνάρτηση f: R R, συνεχής και περιττή, για την οποία ισχύει: (x 2 9)f(x) + ημ(x 3) lim = 22 x 3 x 2 1 α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β. Να βρείτε τη τιμή f(3) γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) + x 2 = 6 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( 3,3). Συνέπειες του Θ. Bolzano Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ και ισχύει f(x) 0 για κάθε x Δ, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Δηλαδή ισχύει f(x) > 0 για κάθε x Δ ή f(x) < 0 για κάθε x Δ Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 3

4 Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία χωρίζεται το πεδίο ορισμού της από τις διαδοχικές της ρίζες ΣΧΗΜΑ Μελέτη Πρόσημου σε Διαδοχικά Διαστήματα Μεθοδολογία 1 ο βήμα) Βρίσκουμε τις ρίζες της συνάρτησης f 2 ο βήμα) Σε καθένα από τα ανοικτά υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες της f, επιλέγουμε ένα σημείο και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της f. Το πρόσημο της τιμής της f που βρήκαμε είναι ίδιο με το πρόσημο της f στα αντίστοιχα διαστήματα 3 ο βήμα) Αν το διάστημα που αναζητούμε το πρόσημο της f είναι της μορφής (α, β) και είναι δύσκολο να βρούμε σημείο x 0 (α, β) τέτοιο ώστε να υπολογίσουμε το πρόσημο του f(x 0 ), τότε εξετάζουμε το αμέσως καλύτερο ( πολύ κοντά ) δηλαδή lim f(x) ή lim f(x). Το πρόσημο του x a + x β ορίου είναι το ίδιο με το πρόσημο της f στο (α, β) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς το πρόσημό της. α. f(x) = x 4 9x 2, x R β. f(x) = εφx 3, x ( π, π ) ( π, π ) (π, π) 2 γ. f(x) = ημx + συνx, x [0,2π] Σταθερό Πρόσημο σε Διάστημα Δ Η συνάρτηση f: R R είναι συνεχής και ισχύει ότι: f 3 (x) + 2xf(x) = x 4 + x για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι f(x) > 0 για κάθε x R Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 4

5 Η συνάρτηση f: R R είναι συνεχής και ισχύει ότι: x 3 f 2 (x) 2x 5 f(x) = x 2 + x 1 για κάθε x R. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της f Εύρεση Τύπου Συνάρτησης Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με f 2 (x) + 2xf(x) = 1 για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) x 2 διατηρεί σταθερό πρόσημο γ. Αν lim x 0 f(x) > 0, να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με (f(x) x)(f(x) + x) = x για κάθε x R. α. Να βρείτε τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης f β. Ένα επιπλέον ισχύει lim f(x) = +, να βρείτε το τύπο της x συνάρτησης f α. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: (0, + ) R που ικανοποιούν τη σχέση f 2 (x) = ln 2 (x) + 2lnx + 1 για κάθε x (0, + ) β. Εάν επιπλέον γνωρίζουμε ότι f(1) = 1 και lim f(x) = να βρείτε x 0 + τη συνεχή συνάρτηση f Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f: R R που ικανοποιούν τη σχέση f 2 (x) = (e x2 1) 2 Άσκηση 7/ Β Ομάδα Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 5

6 Έστω f: Α R μια συνεχής συνάρτηση με x 2 + f 2 (x) = 1 για κάθε x A α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α, αν Α είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R β. Να βρεθούν οι ρίζες της f(x) = 0 γ. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα ( 1,1) δ. Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση; ε. Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τους πιθανούς τύπους της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο (0, + ) για την οποία ισχύει f 2 (x) = ln 2 x για κάθε x (0, + ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με την ιδιότητα f 2 (x) 1 = 2f(x)lnx για κάθε x > 0. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, + ) β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) lnx διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, + ) f(1)x γ. Αν lim 3 +x 1 = +, τότε: x + x 2 +x 1 i. Να δείξετε ότι f(1) = 1 ii. iii. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) = 1 + ln 2 x + lnx Να υπολογίσετε τα όρια Α = lim f(x) και Β = lim f(x) x 0 x + Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος 6

Σχετικά έγγραφα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής